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§1　空间直角坐标系
1.1　点在空间直角坐标系中的坐标
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念．(重点)2．会在空间直角坐标系中用三元有序实数组刻画空间中点的位置．(重点、难点)
1．通过空间直角坐标系的有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助在空间直角坐标系中点的位置的刻画，培养直观想象与逻辑推理素养．
飞机在空中飞行时，只给飞机在地面的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位置吗？
在空间中，如何确定点的位置？
1．空间直角坐标系的建立
(1)空间直角坐标系：
过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O?xyz．
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出右手，让四指与大拇指垂直．
②四指先指向x轴正方向．
③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．
④大拇指的指向即为z轴正方向．
(3)有关名称
如图所示，
①O叫作原点．
②x，y，z轴统称为坐标轴．
③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面．x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个三元有序实数组来刻画．
(2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)．x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标．
(3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组一一对应．
如何确定空间中点P坐标？
[提示]　过点P分别向坐标轴作垂面，与三条坐标轴分别交于A、B、C，若点A、B、C的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是的形式．
(　　)
(2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是的形式．
(　　)
(3)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于yOz平面的对称点为(－1，，2)．
(　　)
(4)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于坐标原点O的对称点为(－1，－，－2)．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．点A(2，0，3)在空间直角坐标系的位置是(　　)
A．y轴上　
B．xOy平面上
C．xOz平面上
D．yOz平面上
C　[注意到y＝0，可知点A在
xOz平面上．]
3．点P(1，，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为________．
(1，，0)　[由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，，0)．]
4．如图，在长方体ABCD?A′B′C′D′中，|AB|＝12，|AD|＝8，|AA′|＝5．以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x
轴、y轴和z
轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．
[解]　由点A为坐标原点，且点B，D，A′分别在x
轴、y轴和z
轴上得，
A(0，0，0)，B(12，0，0)，D(0，8，0)，A′(0，0，5)．
由点C，B′，D′分别在xOy平面、xOz平面、yOz平面内得，
C(12，8，0)，B′(12，0，5)，D′(0，8，5)．
由点C′在三条坐标轴上的射影分别是B，D，A′得，
C′(12，8，5)．
类型1　根据点的坐标确定点的位置
【例1】　在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
[思路点拨]　可以先确定点(2，－6，0)在xOy平面的位置，再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置．
[解]　法一：先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．
法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，
则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置．
2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|、|y0|、|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0、y0、z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
[跟进训练]
1．在空间直角坐标系中作出点M(2，3，4)．
[解]　如图，在xOy平面内确定点M1(2，3，0)，作M1M平行于z轴，在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|＝4，则点M的坐标为(2，3，4)．
类型2　已知点的位置写出点的坐标
【例2】　已知棱长为1的正方体ABCD?A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．
(1)　　　　　　　　　(2)
[思路点拨]　(1)可先写出A，B，C，D的坐标，再结合正方体的性质得出A′，B′，C′，D′的坐标；
(2)可先写出A′，B′，C′，D′的坐标，再结合正方体的性质得出A，B，C，D的坐标．
[解]　(1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，
所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．
因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)．
同理，A′(1，0，1)，C′(0，1，1)．
因为B′B垂直于xDy平面且与z轴正半轴在xDy平面同侧，且|B′B|＝1，所以B′(1，1，1)．
(2)因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴，
y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，
所以A′(1，0，0)，C′(0，1，0)，D(0，0，－1)，D′(0，0，0)．
同(1)得B′(1，1，0)，A(1，0，－1)，C(0，1，－1)，B(1，1，－1)．
1．已知点M的位置，求其坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足为M′，求M′的x轴坐标，y轴坐标，即点M的x轴坐标，y轴坐标，再求M点在z轴上射影的z轴坐标，即点M的z轴坐标，于是得到M点坐标(x，y，z)．
2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x，y，z∈R．
分类
坐标轴
坐标平面
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
xOz平面
坐标形式
(x，0，0)
(0，y，0)
(0，0，z)
(x，y，0)
(0，y，z)
(x，0，z)
[跟进训练]
2．如果把本例中正方体的棱长变为，且建立如图所示的空间直角坐标系，求正方体各顶点的坐标．
[解]　依题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，
∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)．
∵AA′⊥平面xOy，且|AA′|＝，
∴A′(1，0，)，B′(0，1，)，C′(－1，0，)，D′(0，－1，)．
类型3　空间中点的对称问题
[探究问题]
1．类比平面直角坐标系中，线段的中点坐标公式，空间直角坐标系中，线段的中点坐标公式是什么？
[提示]　若A，B，
则线段AB的中点坐标为．
2．类比平面直角坐标系中，三角形的重心坐标公式，空间直角坐标系中，三角形的重心坐标公式是什么？
[提示]　若A，B，C，
则△ABC的重心坐标为．
　关于点对称
【例3】　点M关于点(a，b，c)的对称点的坐标为________．
[思路点拨]　类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中心是线段的中点．
　[由中点坐标公式得，点M关于点(a，b，c)的对称点的坐标为M′．]
[跟进训练]
3．点M(a，b，c)关于原点的对称点的坐标为________．
(－a，－b，－c)　[关于原点对称的点M的坐标为(－a，－b，－c)．]
　关于坐标轴对称
【例4】　求点M(a，b，c)关于坐标轴的对称点的坐标．
[思路点拨]　从分析对称点的性质入手．
[解]　关于x轴的对称点M0的坐标为(a，－b，－c)，
关于y轴的对称点M1的坐标为(－a，b，－c)，
关于z轴的对称点M2的坐标为(－a，－b，c)．
[跟进训练]
4．在空间直角坐标系中，点P(1，1，1)与Q(1，－1，－1)两点间的位置关系是(　　)
A．关于x轴对称
B．关于xOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
A　[点P(1，1，1)与Q(1，－1，－1)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x对称．]
　关于坐标平面对称
【例5】　求点M(a，b，c)关于坐标平面的对称点的坐标．
[思路点拨]　从分析对称点的性质入手．
[解]　点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a，b，－c)，
关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b，c)，
关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
[跟进训练]
5．在空间直角坐标系中，点P1(a，b，c)关于xOy平面的对称点为点P2，点P2关于yOz平面的对称点为点P3，点P3关于zOx平面的对称点为点P4，则点P4的坐标为________．
[答案]　(－a，－b，－c)
1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：
2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．
1．确定空间定点M的坐标的步骤
(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R．
(2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z．
(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤
(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R．
(2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．
(3)三个平面的唯一交点就是M．
3．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是①要根据图形对称性建立空间直角坐标系；②要使尽量多的点落在坐标轴上．
1．点Q(0，0，3)的位置是(　　)
A．在x轴上
B．在y轴上
C．在z轴上
D．在面xOy内
C　[只有z坐标不为0，显然在z轴上．]
2．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的中点坐标是(　　)
A．
B．
C．(－12，3，5)
D．
B　[中点x＝＝，y＝＝2，z＝＝3．]
3．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若点P(x，y，z)在直线DB1上，则x，y，z所满足的条件是(　　)
A．
B．
C．
　
D．x＝y＝z
[答案]　D
4．点P1(－1，1，4)关于坐标平面yOz对称的点为P2，则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为________．
(1，1，－4)　[P1(－1，1，4)?P2(1，1，4)?P3(1，1，－4)．]
5．在平行四边形ABCD中，已知A(1，0，0)，B(3，1，2)，C(0，－2，1)，求D点坐标．
[解]　可设D(x，y，z)，
由A、C的中点与B、D的中点重合得，
＝，＝，＝，
所以x＝－2，y＝－3，z＝－1，
故D点坐标为(－2，－3，－1)．
PAGE1.2　空间两点间的距离公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会推导空间两点间的距离公式．(重点)2．能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点)
1．通过推导空间两点间的距离公式，培养直观想象与逻辑推理素养．2．借助空间两点间的距离公式的应用，培养数学运算素养．
在平面直角坐标系中，两点间的距离公式是什么？怎样推导的？通过类比，你能否得到在空间直角坐标系中两点间的距离公式？
空间两点间的距离公式
(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝．
(2)空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离|PQ|＝．
方程x2＋y2＋z2＝1表示什么图形？
[提示]　以坐标原点为圆心，1为半径的球面．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点P(a，b，c)到x轴的距离为．
(　　)
(2)棱长为a，b，c的长方体的体对角线长为．
(　　)
(3)不等式x2＋y2＋z2≤1表示以坐标原点为圆心，1为半径的球．
(　　)
(4)＋≥．
(　　)
[答案]　(1)√
　(2)√　(3)√
　(4)√
2．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体对角线长为6，且底面是边长为4，则该正四棱柱的高为(　　)
A．9　　　　B．　　　　C．4　　　　D．2
D　[正四棱柱的高h＝＝2．]
3．空间两点P1(1，2，3)，P2(3，2，1)
之间的距离为________．
2　[|P1P2|＝＝2．]
4．已知在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度．
[解]　(1)D(0，0，0)，N(2，1，0)，M(1，2，3)．
(2)|MD|＝＝，
|MN|＝＝．
类型1　求空间中两点间的距离
【例1】　如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
[解]　以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得
D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝．
利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：
[跟进训练]
1．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为△ABC的三个顶点，求证：△ABC为直角三角形．
[证明]　|AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89，又|AB|2＝89，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．
类型2　由距离公式求空间点的坐标
【例2】　已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
(0，0，6)　[设P(0，0，z)，
由|PA|＝|PB|，
得＝，
解得z＝6．
∴点P的坐标为(0，0，6)．]
1．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？
[解]　设P(0，y，0)，
由|PA|＝|PB|，
得＝，
解得y＝－．
∴点P的坐标为．
2．求到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．
[解]　因为点P(x，y，z)
到A，B的距离相等，
所以＝．
化简得9x＋5y－4z＋24＝0，
因此，到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是9x＋5y－4z＋24＝0．
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．
2．到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)构成的集合就是线段AB的中垂面，P是线段AB的中垂面与z轴的交点．
类型3　距离公式的应用
【例3】　如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
[解]　由题图可知，P．
∵Q点在CD上，
∴设Q(0，1，z)，z∈[0，1]，
∴|PQ|＝
＝
，
∴当z＝时，|PQ|min＝．
本题首先设出Q点的坐标，然后利用距离公式表示|PQ|，从而将其转化为函数最值问题，最后通过配方求其最小值，这体现了解析法解决空间问题的一般思路.
[跟进训练]
2．在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3，4，5)的距离最小，并求出最小值．
[解]　∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，
∴设点M(a，2a，0)，
则|MP|＝＝＝，
∴当a＝1时，|MP|取最小值3，此时M(1，2，0)，
∴当点M坐标为(1，2，0)时，|PM|最小，最小值为3．
1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．
2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．
1．点(3，－2，－4)到坐标原点的距离为(　　)
A．9　　　　B．3　　　　C．29　　　　D．
[答案]　D
2．坐标原点到下列各点距离最大的点是(　　)
A．(1，1，1)　　
B．(1，2，2)
C．(2，－3，5)　　
D．(3，0，4)
[答案]　C
3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　　)
A．－3或4　　
B．6或2
C．3或－4　　
D．6或－2
D　[由两点间距离公式，得＝2，解得x＝6或－2．]
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．
3　[|AB|＝＝．
当a＝－1时，|AB|的值最小，最小值为＝3．]
5．在空间直角坐标系中，求到两定点A(2，3，0)，B(5，1，0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件．
[解]　由题意可得
|PA|＝，
|PB|＝，
∵|PA|＝|PB|，
∴＝，
整理得6x－4y－13＝0．
PAGE§2　空间向量与向量运算
2.1　从平面向量到空间向量
2.2　空间向量的运算(一)
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(重点)2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点、难点)
1．通过空间向量的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助空间向量的加法、减法的学习，提升数学运算与直观想象素养．
1．空间中任意两个向量是共面向量吗？任意三个向量呢？
2．上面的结论，对你学习空间向量有什么启发？
1．空间向量
(1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量．
(2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模．
(3)表示法
用有向线段表示，A叫作向量的起点，B叫作向量的终点，也可记作a，其模记为或|a|．
(4)特殊向量
(5)共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量或平行向量．
规定：零向量与任意向量平行．
1．向量与向量的长度和方向之间有什么关系？
[提示]　向量与向量长度相等，但方向相反，即＝－．
2．共面向量
(1)共面向量的概念
平行于同一个平面的向量，叫作共面向量．
(2)三个向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
3．空间向量的加减法与运算律
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b
减法
＝－＝a－b
空间向量的加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
2．空间向量的减法是否也有交换律与结合律？
[提示]　没有．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．
(　　)
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不共线．
(　　)
(3)在空间中，任意两个向量都共面．
(　　)
(4)－＝．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．空间两个向量a，b
互为相反向量，已知|b|＝2，则下列结论不正确的是(　　)
A．b＝－a
B．|a|＝2
C．a与b方向相反
D．a＋b＝0
D　[a＋b等于0，而不是0．]
3．在空间四边形OABC中，＋－等于(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
C　[＋－＝＋＋＝．]
4．如图所示，在以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，求：
(1)单位向量共有多少个？
(2)模为的所有向量．
[解]　(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的，，，，，，，这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，共8个．
类型1　空间向量的有关概念
【例1】　如图所示，在正六棱柱ABCDEF?A′B′C′D′E′F′中，
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与是相反向量吗？
(3)与平行的向量有多少个？
[思路点拨]　根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．
[解]　(1)，，．
(2)是．
(3)11个．
特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．
[跟进训练]
1．给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD?A1B1C1D1中，＝－；
③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；
④在四边形ABCD中，必有＋＝．
其中正确命题的序号是________．
①②　[①正确；②正确，因为与的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以＝－；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＋＝．
综上可知，正确命题为①②．故填①②．]
类型2　空间向量的加减运算
【例2】　如图所示，已知长方体ABCD?A′B′C′D′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．
(1)－；
(2)＋＋．
[解]　(1)－＝－＝＋＝＋＝．
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝．
向量，如图所示．
1．在例2的条件下，下列各式运算结果为的是(　　)
①－－；②＋－；③－－；④－＋．
A．①②　
B．②③
C．③④
D．①④
A　[(1)－－＝－＝；
(2)＋－＝＋＝；
(3)－－＝－＝－＝≠；
(4)－＋＝＋＋＝＋≠，故选A．]
2．在例2的条件下，用向量，，表示向量．
[解]　在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得＝＋，
在平行四边形ABCD中，由平行四边形法则可得＝＋，
故＝＋＋．
1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”．
2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法．
类型3　空间向量加、减运算的应用
【例3】　在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，求证：＋＝＋．
[证明]　法一：因为底面ABCD是平行四边形，所以，＝，
又＝－，＝－，
所以－＝－，
所以＋＝＋．
法二：设点E是平行四边形ABCD对角线的交点(图略)，则点E分别是对角线AC，BD的中点，
所以＋＝2，＋＝2，
所以＋＝＋．
求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点.
?1?当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则.
?2?求两向量的差时，常考虑：
①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再使用减法的三角形法则.
[跟进训练]
2．例3的逆命题是否成立？若成立，给出证明，若不成立，举出反例．
[证明]　成立，证明如下：
由＋＝＋，得－＝－，
所以＝，
所以底面ABCD是平行四边形．
1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．
2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．
1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定(　　)
A．有不同的方向　　　
B．有不相等的模
C．不可能是平行向量　
D．不可能都是零向量
D　[若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．]
2．在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是(　　)
A．点　　　　B．直线　　　C．圆　　　　D．球面
D　[由于单位向量的模为单位长度，由球面的定义知：应选D．]
3．在空间四边形ABCD
中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
A　[＝＋＋＝－b＋a＋c＝a－b＋c．]
4．化简(－)－(－)＝________．
0　[法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)
(－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋
＝＋＋＋＝0．
法二：(利用向量的减法运算法则求解)
(－)－(－)
＝(－)＋－
＝＋－＝－＝0．]
5．如图所示，已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
(1)＋；
(2)＋－；
(3)＋＋；
(4)＋＋＋＋．
[解]　(1)＋＝．
(2)＋－＝＋＋＝．
(3)＋＋＝＋＝．
(4)＋＋＋＋＝0．
PAGE2.2　空间向量的运算(二)
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义．(重点)2．理解共线向量基本定理及推论．(重、难点)
1．通过空间向量的数乘运算及其运算律的应用，培养数学运算与直观想象素养．2．通过共线向量基本定理及推论的应用，培养逻辑推理素养．
空间向量的数乘运算也可以像平面向量数乘运算那样定义吗？空间向量共线也有与平面向量共线一样的判定和性质吗？为什么？
1．向量的数乘运算
定义
与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘
几何定义
λ＞0
λa与向量a方向相同
λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＜0
λa与向量a方向相反
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
结合律
λ(μa)＝(λμ)a
分配律
(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
2．共线向量基本定理
空间两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．
(1)若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
(2)在空间向量中，与非零向量a共线的单位向量有几个，分别是什么？
[提示]　(1)不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．
(2)有2个，分别是与－．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当λ≠0时，a与－λa的方向相反．
(　　)
(2)|－2a|＝2|a|．
(　　)
(3)若＝λ(λ∈R)，则点A，B，C共线．
(　　)
(4)若a＝λb，则λ＝．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．已知λ∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|＞0
[答案]　C
3．若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是(　　)
A．a＝e1－e2，b＝e1＋e2
B．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2
C．a＝e1－e2，b＝2e1－3e2
D．a＝e1＋e2，b＝e1－e2
C　[在C选项中，b＝6a，由共线向量基本定理知，a，b共线．]
4．化简3a＋2b－(a－4b)．
[解]　3a＋2b－(a－4b)＝3a＋2b－a＋2b＝a＋4b．
类型1　空间向量的数乘运算
【例1】　如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，试用，，表示．
[解]　
(1)∵＋＝，
∴－－＝－(＋)＝－＝－＝．
(2)∵＝＋
＝＋＝＋(＋)
＝＋＋
＝－－．
1．在例1中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算．
2．对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的几何性质．
[跟进训练]
1．本例中试用，，表示．
[解]　
＝＋＝2＋
＝2＋＝2O＋(－)
＝2＋－
＝2＋＋
＝2＋＋
＝＋2＋．
类型2　向量共线问题
【例2】　如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，判断与是否共线．
[解]　
由已知可得，
＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＝＋＝＝－．
所以＝－，
故与共线．
向量共线的判定方法
判定向量a，b共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b＝aλ(a≠0)成立．
[跟进训练]
2．在本例中，若M、N分别为AD1，BD的中点，证明：与共线．
[证明]　连接AC，则N∈AC且N为AC的中点，
所以＝，由已知得＝，
所以＝－＝－＝．
所以与共线．
类型3　点共线问题
【例3】　如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．
[证明]　设＝a，＝b，＝c．
因为＝2，＝，
所以＝，＝．
所以＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c．
所以＝－＝a－b－c＝．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，
所以E，F，B三点共线．
证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立；
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)；
(3)对空间任一点O，有＝x＋y，其中x＋y＝1．
[跟进训练]
3．如图，已知OE是平行六面体OADB?CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上．
[证明]　如图，连接AM并延长交BC于点H，
因为M是△ABC的重心，所以H为BC的中点，
所以＝(＋)．
所以＝＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝＋－．
所以＝＋＝(＋＋)．又因为＝＋＋＝＋＋，
所以＝，所以点M在直线OE上．
1．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同．
2．证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可；也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”
来证明三点共线．
1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[＋(＋)＝＋×(2)＝＋＝．]
2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则(　　)
A．λ＝μ＝0
B．a＝b＝0
C．λ＝0，b＝0
D．μ＝0，a＝0
A　[因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又因为λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0．]
3．已知a＝e1＋2e2＋e3，b＝3e1－2e2－e3，则3a－b＝(　　)
A．4e2＋2e3
B．4e1＋e3
C．3e1＋6e2＋e3　　　　
D．8e2＋2e3
D　[3a－b＝3(e1＋2e2＋e3)－(3e1－2e2－e3)＝3e1＋6e2＋e3－3e1＋2e2＋e3＝8e2＋2e3．]
4．已知|a|＝3，|b|＝5，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系为b＝________a．
　[由于|a|＝3，|b|＝5，则|b|＝|a|，又两向量同向，故b＝a．]
5．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)．
[解]　原式＝a＋b＋c＝a＋b－c．
PAGE2.2　空间向量的运算(三)
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点)2．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点)3．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点)
1．通过空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．
平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平面向量的数量积那样定义吗？为什么？
1．空间向量的夹角
定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角
记法
〈a，b〉
范围
0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
当〈a，b〉＝时，a⊥b；a·b＝0规定：零向量与任意向量垂直
1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？
[提示]　〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)数量积的性质
两个向量数量积的性质
若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0
若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|．
特别地：a·a＝|a|2或|a|＝
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
|a·b|≤|a|·|b|
3．投影向量与投影数量
①如图，已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，过A向直线OB作垂线，垂足为点A′，称向量为向量a在向量b方向上的投影向量，其长度等于||a|cos〈a，b〉|．
②如图，|a|cos〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·．
③数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积．
2．空间向量的数量积运算满足结合律吗？
[提示]　数量积运算不满足结合律．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量与的夹角和向量与的夹角互补．
(　　)
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0．
(　　)
(3)a·b＝|a||b|是a与b共线的充分条件．
(　　)
(4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝(　　)
A．－2　　　　B．－1　　　　C．±1　　　　D．2
[答案]　A
3．在如图所示的正方体中，下列夹角为45°的一组向量是　(　　)
A．与　　　　
B．与
C．与　　　　
D．与
[答案]　A
4．已知向量a，b满足：|b|＝，〈a，b〉＝45°，且a与2b－a互相垂直，求向量a的模．
[解]　由a与2b－a互相垂直得，a·(2b－a)＝0，
所以2a·b－a2＝0，即2|a|·|b|·cos
45°－a2＝0，
所以2|a|－|a|2＝0，
解得|a|＝0或2．
类型1　空间向量的数量积运算
【例1】　已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．
求(1)·；(2)·．
[解]　如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0．
(1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16．
(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0．
求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键.
[跟进训练]
1．若本例的条件不变，计算·．
[解]　·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2．
类型2　利用数量积求夹角
[探究问题]
1．若向量与的夹角为α，直线AB与CD所成的角为β，则α＝β一定成立吗？
[提示]　不一定．α＝β或α＋β＝π．
2．怎样利用数量积求两直线的夹角α？
[提示]　先求cos
α＝|cos〈a，b〉|＝；再结合α的范围确定其值．
3．如何利用数量积证明两个非零向量a和b互相垂直？
[提示]　a·b＝0?a⊥b．
【例2】　已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，
(1)求向量与所成角的余弦值；
(2)求直线OE与BF所成角的余弦值．
[解]　(1)设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
则a·b＝b·c＝c·a＝．
因为＝(＋)＝(a＋b)，＝－＝－＝c－b，||＝||＝，
所以·＝(a＋b)·(c－b)＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，
设与所成的角为θ，则cos
θ＝＝＝－．
所以向量与向量所成角的余弦值是－．
(2)直线OE与BF所成角的余弦值为＝．
求两个向量的夹角的两种方法
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．
(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
[跟进训练]
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小，并求异面直线BC1与AC所成的角．
[解]　法一：如图，连接AD1，CD1，因为＝，所以∠CAD1的大小就等于〈，〉．
因为△ACD1为等边三角形，所以∠CAD1＝60°．
所以向量与的夹角的大小为60°，异面直线BC1与AC所成的角的大小也为60°．
法二：设正方体的棱长为1，则||＝，||＝．
·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋||2＋·＋·＝0＋||2＋0＋0＝||2＝1．
cos〈，〉＝＝＝，
所以〈，〉＝60°．即向量与的夹角的大小为60°，异面直线BC1与AC所成的角的大小也为60°．
类型3　利用数量积求两点间的距离
【例3】　如图，在三棱锥A?BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN的长．
[解]　因为＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋，
所以2＝2
＝2－·－·＋·＋2＋2
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2
＝a2，
所以||＝a，即MN的长为a．
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示．
(2)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求距离．
[跟进训练]
3．已知在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　)
A．6　　　　B．　　　　C．3　　　　D．
B　[设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
因此a·b＝b·c＝c·a＝．
由＝a＋b＋c得||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6．
所以||＝，故选B．]
1．本节课的重点
(1)空间向量的数量积的求法；
(2)利用空间向量的数量积的性质求两向量的夹角、求向量的模及判断两向量垂直．
2．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．
1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
[答案]　A
2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A．　　　
　　B．　　C．－　　　　　D．0
D　[·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－||||＝0，
所以⊥．
所以cos〈，〉＝0．]
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)
A．a2　　B．a2　　C．a2
　　D．a2
C　[·＝(＋)·＝(·＋·A)＝＝a2．]
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
[答案]　
5．如图，在120°的二面角α?l?β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．
[解]　因为AC⊥AB，BD⊥AB，
所以·＝0，·＝0，
又因为二面角α?l?β的平面角为120°，
所以〈，〉＝60°，
所以CD2＝||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3×62＋2×62×cos
60°＝144，
所以CD＝12．
PAGE§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示
3.1　空间向量基本定理
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解空间向量基本定理及其意义．(重点)2．能够在具体问题中适当地选取一组基，并能用这组基表示空间中的任何一个向量．(难点)
通过空间向量基本定理及其应用，提升逻辑推理、数学运算、直观想象素养．
在平面向量中，我们学面向量基本定理及其意义，并根据该定理提出了研究平面向量的一种基本方法─基底法，那么在空间中是否有类似方法呢？
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝x，AD＝y，AA1＝z，e1、e2、e3分别是、、的单位向量，试用向量e1、e2、e3表示向量，表示结果唯一吗？
1．空间向量基本定理
条件
三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p
结论
存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
2．基
(1)条件：三个向量a，b，c不共面．
(2)结论：{a，b，c}叫做空间的一组基．其中向量a，b，c都叫作基向量．
(1)0能不能作为一个基向量？
(2)空间向量的基唯一吗？
[提示]　(1)由于0与任何两个向量都共面，因此0不能作为基向量．
(2)不唯一，只要三个向量不共面，都可以作为空间中所有向量的一组基．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基．
(　　)
(2)若{a，b，c}为空间向量的一组基，则{－a，b，2c}也可构成空间向量的一组基．
(　　)
(3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一组基，则a，b，c共面．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．下列各组向量能构成一组基的是(　　)
A．长方体ABCD?A1B1C1D1中的向量，，
B．三棱锥A?BCD中的向量，，
C．三棱柱ABC?A1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量，，
D．四棱锥S?ABCD中的向量，，
[答案]　B
3．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝1　
B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝1
C　[如图，＝＋＝＋＝＋(＋)．故x＝，y＝．]
4．如图所示，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点M在AC上，且|AM|＝|MC|，点N在A1D上，且|A1N|＝2|ND|，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示．
[解]　＝＋＝a＋b．
∵|AM|＝|MC|，∴＝－＝－(a＋b)．
又|A1N|＝2|ND|，
∴＝＝(－)＝(b－c)．
∴＝＋＋＝－(a＋b)＋c＋(b－c)＝(b＋c－a)．
类型1　空间向量的基
【例1】　已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基．
[解]　假设，，共面，
由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x
＋y成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3．
因为{e1，e2，e3}是空间的一组基，
所以e1，e2，e3不共面，
所以，此方程组无解．即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
所以，，不共面．
故{，，}能作为空间的一组基．
基的判断思路
判断给出的三个向量能否构成一组基，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
[跟进训练]
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一组基的向量组有(　　)
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．0个
B　[因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如图，
令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝．
可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B．]
类型2　空间向量基本定理及应用
【例2】　如图，在三棱柱ABC?A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基{a，b，c}表示向量，．
[解]　连接A′N(图略)．
＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋(－)＋＝＋＋＝(a＋b＋c)．
＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝a＋b＋c．
　若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
[解]　因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，
所以＝(＋)＝a＋b．
＝(＋)＝(＋＋)＝＋＋＝＋(－)＋＝＋－＝b＋a－c．
对空间向量基本定理的两点说明
?1?任意性：用空间三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量.
?2?唯一性：基确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是唯一的.
空间向量基本定理为用基本量法研究空间向量提供了理论依据.
[跟进训练]
2．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且M分PC为PM∶MC＝2，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
[解]　法一：如图所示，取PC的中点E，
连接NE，则＝－．
因为＝＝＝－．＝－＝－＝．
连接AC，则＝－＝＋－，
所以＝－－(＋－)＝－－＋，
因为，，不共面．
所以x＝－，y＝－，z＝．
法二：＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－(－＋＋)＝－－＋，
因为、、不共面，
所以x＝－，y＝－，z＝．
类型3　四点共面
【例3】　如图，已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1上的点，并且BE＝BB1，DF＝DD1．
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
[解]　(1)证明：＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋，
故A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－－＝＋－－＝－＋＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝．
∴x＋y＋z＝．
1．三个向量共面的充要条件
若向量b，c不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是：存在实数x，y，使得
a＝xb＋yc．
2．利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件．
[跟进训练]
3．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC所在的平面内．
[解]　(1)∵＝＋＋，
∴＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，又这三个向量又有公共点M，
∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC所在的平面内．
1．空间向量基本定理的应用，即用三个不共面的向量作为基底表示空间中的任意向量，需依据图形特点，结合向量的加法、减法、数乘的运算，运用平行四边形法则及三角形法则将待求向量转化为三个基向量的线性组合．
2．设，，是不共面向量，则对空间任一点P，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z．当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基，否则不能作为基．当{a，b，c}为基时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q?p．]
2．正四面体ABCD棱长为2，E、F分别为BC、AD中点，则EF的长为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．2
A　[设＝a，＝b，＝c．
则|a|＝|b|＝|c|＝2，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝．
∴＝－＝c－(b＋a)＝(c－b－a)．
∴2＝(c2＋b2＋a2－2b·c－2c·a＋2a·b)＝×(4＋4＋4－4－4＋4)＝2，
∴||＝，即EF的长为．]
3．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
1　－1　[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有
解得
]
4．如图，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)用基{a，b，c}分别表示向量，，；
(2)化简＋＋，并在图中标出化简结果．
[解]　(1)＝＋＝＋－＝a－b＋c．
＝＋＋＝－a＋b＋c．
＝＋＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c．
(2)＋＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝．
如图，连接DA1，则即为所求．
PAGE3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解空间向量坐标的概念．(重点)2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．(重点)3．掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．(重点、难点)
1．通过学习空间向量坐标的概念，培养数学抽象素养．2．通过求空间向量的模、夹角，培养数学运算与直观想象素养．3．通过判断两个向量的共线或垂直，培养逻辑推理素养．
1．在平面向量中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b分别等于什么？
2．空间向量的坐标比平面向量的坐标多了一个竖坐标，如何把平面向量运算的坐标表示类比到空间向量运算中？
1．空间向量的正交分解及其坐标表示
标准正交基
在空间直角坐标系O?xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基
空间直角坐标系
以i，j，k的公共起点O为原点，分别以i，j，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O?xyz
空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，则把x，y，z称作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)．单位向量i，j，k都叫作坐标向量
2．空间向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
则(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；
(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R；
(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
3．空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(x1，y，z1)，b＝(x2，y2，z2)．
则a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；
|a|＝＝；
若点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
|AB|＝||＝．
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．
空间向量的加法的坐标表示是如何推导的？
[提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，
所以a＋b＝＋＝i＋j＋k＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在不同的坐标系中，同一向量的坐标仍相同．
(　　)
(2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a∥b，则＝＝．
(　　)
(3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．
(　　)
(4)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||＝．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知向量a＋b＝(4，1，0)，a－b＝(0，1，－2)，则cos〈a，b〉＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[由已知得a＝，b＝，所以cos〈a，b〉＝＝＝．]
3．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝________．
[答案]　1
4．已知A点的坐标是(－1，－2，6)，B点的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，求向量与的夹角．
[解]　因为＝(－1，－2，6)，＝(1，2，－6)．
所以cos〈，〉＝＝－1，
所以向量与的夹角为π．
类型1　空间向量的坐标运算
【例1】　(1)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)；
(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标：
①＝(－)；②＝(－)．
[解]　(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8．
(2)由题意知，＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)．
①＝(－)＝(6，3，－4)＝，则点P的坐标为．
②设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
因为＝(－)＝，
所以
解得x＝5，y＝，z＝0，
则点P的坐标为．
对空间向量坐标运算的两点说明
?1?空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广.
?2?空间向量的加法、减法、数乘运算的结果依然是一个向量；空间向量的数量积运算的结果是一个实数.
[跟进训练]
1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　)
A．－1　　　　B．1　　　　C．0
　　　　D．－2
A　[因为p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，所以p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1．]
2．已知△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)，求顶点B、C的坐标及．
[解]　设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为＝(4，1，2)，
所以，解得，
所以B的坐标为(6，－4，5)．
因为＝(3，－2，5)，
所以解得，
所以C的坐标为(9，－6，10)，＝(－7，1，－7)．
类型2　坐标形式下的平行与垂直
【例2】　已知空间三点A(－2，0，2)、B(－1，1，2)、C(－3，0，4)．设a＝，b＝．
(1)设|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k．
[解]　(1)因为＝(－2，－1，2)且c∥，
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，
所以|c|＝＝3|λ|＝3．
解得λ＝±1．
所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0．
解得k＝2或k＝－．
1．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
a∥b(b≠0)?当b与三坐标轴都不平行时，a∥b?＝＝．
a⊥b?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
2．利用平行与垂直的充要条件可以解决两类问题
①平行与垂直的判定，②平行与垂直的应用．
[跟进训练]
3．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　)
A．x＝，y＝1
　
B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－
D．x＝1，y＝－1
B　[由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．
因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
所以
解得
]
4．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________．
　[设H(x，y，z)，则＝(x，y，z)，＝(x，y－1，z－1)，＝(－1，1，0)．因为BH⊥OA，所以·＝0，即－x＋y－1＝0　①，又点H在直线OA上，
所以＝λ，即
　②，联立①②解得
所以点H的坐标为．]
类型3　向量夹角与长度的计算
[探究问题]
已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
1．如何求、的模与〈，〉的大小？
[提示]　因为＝(－2，1，6)－(0，2，3)＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)．
所以＝＝，＝＝，
由夹角公式得cos
〈，〉＝＝＝，
又〈，〉∈[0，π]，
所以〈，〉＝60°．
2．在空间中，如何利用向量求△ABC的面积？
[提示]　S＝||||sin〈，〉＝．
【例3】　在直三棱柱ABC?A1B1C1中，其中CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．
(1)求的模；
(2)求cos〈，〉的值．
[解]　如图，以C为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系C?xyz．
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)．
所以||＝＝．
(2)依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)．
所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以·＝3，||＝，||＝．
所以cos〈，〉＝＝．
1．空间中的距离和夹角问题可转化为向量的模与夹角问题求解．这体现了向量的工具作用．引入坐标运算，可使解题过程程序化．
2．平行四边面积的计算公式：
S?ABCD＝．
[跟进训练]
5．已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)．
求：(1)向量，的模；
(2)向量，夹角的余弦值．
[解]　(1)因为＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)，＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)，
所以||＝
＝，||＝
＝2．
(2)因为·＝(1，－3，2)·(2，0，－8)＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
所以cos〈，〉＝＝＝－．
因此，向量，夹角的余弦值为－．
1．向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能反映向量的方向与大小．
2．对于空间向量的坐标运算．牢记运算法则是正确计算的关键．
3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求空间角和两点间距离的问题，在求空间角时，应注意所求角与两向量夹角之间的关系及所求角的范围限制．
1．已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b(　　)
A．平行且同向
B．平行且反向
C．垂直　　　　
D．不垂直也不平行
C　[∵a·b＝1×0＋(－5)×6＋6×5＝0，∴a⊥b．]
2．下列各组向量中不平行的是(　　)
A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)
B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0)
C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)
D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)
[答案]　D
3．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A．30°　　B．60°　　C．120°
　　D．150°
C　[a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°．]
4．设a＝(1，0，1)，b＝(1，－2，2)，则|a－b|＝________，〈a，b〉＝________．
　　[由a－b＝(1，0，1)－(1，－2，2)＝(0，2，－1)，得|a－b|＝＝．
∵cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝．]
5．若A(3cos
α，3sin
α，1)，B(2cos
θ，2sin
θ，1)，求||的取值范围．
[解]　||＝
＝，
∵－1≤cos(α－θ)≤1，
∴1≤||≤5．
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