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§4　向量在立体几何中的应用
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解直线的方向向量和平面的法向量及其意义．(重点)2．会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点、难点)
1．通过直线的方向向量和平面的法向量的学习，提升数学抽象素养．2．通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养直观想象与数学运算素养．
1．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线吗？可以确定唯一一条过点A且垂直于向量a的直线吗？
2．给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面吗？可以确定唯一一个过点A且平行于向量a的平面吗？
1．直线的方向向量
设l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量．
如图所示，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ta．把这个式子称为直线l的向量表示．
2．平面的法向量
如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量．
如图所示，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有·n＝0．把此式称为平面α的一个向量表示式．
直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？
[提示]　直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b分别是两条平行直线的方向向量，则a与b共线．
(　　)
(2)若a，b分别是两个平行平面的法向量，则a与b共线．
(　　)
(3)若a，b分别是两个互相垂直平面的法向量，则a与b垂直．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．若点A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2，2，6)　
B．(－1，1，3)
C．(3，1，1)
D．(－3，0，1)
[答案]　A
3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
2∶3∶(－4)　[＝，＝，
由法向量的定义得，a·＝0，a·＝0，
所以，x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．]
4．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)若O为原点，则在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b?
[解]　
(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5．
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，
解得t＝，
因此存在点E，使得⊥b，点E的坐标为E．
类型1　直线的方向向量及应用
【例1】　在空间直角坐标系O?xyz中，已知直线l过点A(－1，0，2)，其方向向量为n＝(2，1，3)．
(1)求直线l的向量表达式；
(2)求直线l与坐标平面xOy的交点B的坐标．
[解]　(1)直线l的向量表达式为＝＋tn(t∈R)．
(2)由(1)知，＝(－1＋2t，t，2＋3t)，令2＋3t＝0，得t＝－，所以，点B的坐标为．
1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平行直线的方向向量共线．
2．在空间中，过点A，方向向量为n的直线可以表示为＝＋tn．
[跟进训练]
1．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有(　　)
A．8个
B．7个
C．6个
D．5个
A　[与向量平行的向量就是直线AB的方向向量，有，，，，，，，，共8个，故选A．]
类型2　求平面的法向量
【例2】　求△ABC所在平面的单位法向量，其中A(－1，－1，0)、B(1，1，1)、C(3，4，3)．
[解]　∵＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，设n＝(x，y，z)．
则由得，取z＝1得，n＝．
于是单位法向量为±＝±＝±．
求平面法向量的方法与步骤
?1?求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如；
?2?设平面的法向量为n＝?x，y，z?；
?3?联立方程并求解；
?4?所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数?常数不能为0?便可得到平面的一个法向量.
[跟进训练]
2．四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．在如图所示的坐标系A?xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
[解]　A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)．
∵AD⊥平面SAB，
∴＝(1，0，0)是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·＝(1，y，z)·(1，2，0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－．又n·＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，∴z＝．
∴n＝，即为平面SCD的一个法向量．
类型3　平面的法向量的应用
[探究问题]
已知平面α过点A，n是平面α的一个法向量．
1．点P在平面α内的充要条件是什么？
[提示]　点P在平面α内的充要条件是⊥n．
2．如何判断向量m是否平行于平面α？
[提示]　若m⊥n，则向量m平行于平面α，否则向量m不平行于平面α．
3．如何判断向量p是否垂直于平面α？
[提示]　若p∥n，则向量p垂直于平面α，否则向量m不垂直于平面α．
【例3】　已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1，1)
　
B．
C．
　
D．
B　[要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．
对于选项A，＝(1，0，1)，
则·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；
对于选项B，＝，
则·n＝·(3，1，2)＝0，故B正确；
同理可排除C，D．故选B．]
若平面α过点A(x0，y0，z0)，n＝(A，B，C)是它的一个法向量，则平面α的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.
[跟进训练]
3．已知平面α过点A(3，－1，2)，n＝(1，－1，2)是平面α的一个法向量．
(1)求平面α的方程；
(2)求平面α与坐标轴的交点坐标．
[解]　(1)设P(x，y，z)是平面α上一点，则＝(x－3，y＋1，z－2)．
∵⊥n，
∴·n＝0，即1×(x－3)＋(－1)×(y＋1)＋2(z－2)＝0
故平面α的方程为x－y＋2z－8＝0．
(2)令y＝z＝0，得x＝8，所以平面α与x轴的交点为(8，0，0)；
令x＝z＝0，得y＝－8，所以平面α与y轴的交点为(0，－8，0)；
令x＝y＝0，得z＝4，所以平面α与z轴的交点为(0，0，4)．
1．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所在直线与直线平行或重合即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可．
2．直线的方向向量与平面的法向量是本章的两个重要概念，它是研究与直线、平面有关的位置关系与数量关系的基础，要掌握其求法．
1．设平面α内两个向量的坐标分别为a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中，是平面的法向量的是(　　)
A．(－1，－2，5)　
B．(－1，1，－1)
C．(1，
1，1)
D．(1，－1，－1)
B　[由平面的法向量的定义知：平面α的法向量与向量a，b均垂直．经检验选项B符合题意．]
2．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m＝(　　)
A．8　　　B．－8　　　C．±8　　　D．以上都不对
B　[∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，
则(2，m，1)·＝0，∴2＋m＋2＝0，∴m＝－8．]
3．设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t等于(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
C　[由题意得u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解得t＝5．]
4．当两个平面平行时，它们的法向量________；当两个平面垂直时，它们的法向量________．
平行　垂直　[由于平面与其法向量垂直，所以，当两个平面平行时，它们的法向量平行；当两个平面垂直时，它们的法向量垂直．]
5．在△ABC中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
[解]　(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)．
因为＝(2，4，－1)，＝(2，2，1)，
所以，所以，令b＝2，则a＝－3，c＝2．
所以平面ABC的一个法向量为n＝(－3，2，2)．
(2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，所以＝(x－1，y＋1，z－2)，
所以⊥n，
所以－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，整理得，3x－2y－2z－1＝0．
故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0．
PAGE4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系
学
习
任
务
核
心
素
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1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点)2．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理及其应用．(重点、难点)
通过证明空间中的平行与垂直问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养．
1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n．
(1)若l⊥α，则m与n有怎样的关系？
(2)若m∥n，则l与α有怎样的关系？
2．问题1中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发？
1．用向量研究平行与垂直
设空间两条直线l1、l2的方向向量分别为e1、e2，两个平面α1、α2的法向量分别为n1、n2，则有下表：
元素
平行
垂直
l1与l2
e1∥e2
e1⊥e2
l1与α1
e1⊥n1
e1∥n1
α1与α2
n1∥n2
n1⊥n2
(1)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，若m⊥n，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？
(2)已知直线l的方向向量为m，v1，v2是平面α的一组基，若存在x，y∈R，使得m＝xv1＋yv2，则l与α有怎样的关系？反之，成立吗？
[提示]　(1)l∥α或l?α．成立．
(2)l∥α或l?α．成立．
2．立体几何中的几个定理
(1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
(3)三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线a与平面α相交，则直线a的方向向量和平面α的法向量不平行．　(　　)
(2)已知直线a的方向向量为a，b、c是平行于平面α的两个不共线向量，若存在x，y，使得a＝xb＋yc，则a∥α．
(　　)
(3)若平面α、β的法向量平行，则α∥β．
(　　)
(4)若平面α、β的法向量不平行，则平面α与β相交．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15　　
D．x＝6，y＝
D　[由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝．]
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．
－4　[∵α⊥β，∴a·b＝0，
∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4．]
4．如图所示，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
求证：AC1⊥BD．
[证明]　设＝a，＝b，＝c，∵＝a＋b＋c，＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c
＝|b||c|cos
60°－|a||c|cos
60°＝0．
∴⊥，∴AC1⊥BD．
类型1　空间中位置关系的判定
【例1】　根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)不重合的直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)；
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)；
(3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝(3，2，－)；
(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)；
(5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)．
[解]　(1)∵a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)，
∴a＝－b，
∴a∥b，即l1∥l2．
(2)∵a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)，
∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，
∴a，b既不共线也不垂直，
∴l1与l2相交或异面．
(3)∵u＝(1，－1，2)，v＝，
∴u·v＝3－2－1＝0，
∴u⊥v，
∴α⊥β．
(4)∵u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)，
∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)，
∴u与v既不共线也不垂直，
∴α和β相交但不垂直．
(5)∵a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)，
∴u＝－a，
∴u∥a，
∴l⊥α．
1．两条不重合的直线的方向向量共线时，这两直线平行；否则这两直线相交或异面．
2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．
3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
[跟进训练]
1．设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
4　[∵α∥β，∴(1，3，－2)＝λ(－2，－6，k)，
∴∴λ＝－，k＝4．]
类型2　利用空间向量证明平行关系
【例2】　如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：平面BCE⊥平面BDE．
[证明]　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED?平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD．
以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)．
(1)∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)，
则＝(－2，0，1)，＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)，
∴＝＋，故，，共面．
又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．
(2)＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB．
又·＝0，∴BC⊥DE．
又DE∩DB＝D，DB，DE?平面BDE，∴BC⊥平面BDE．
又BC?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面BDE．
证明线面平行常用的方法：
?1?证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量平行.本例证法一；
?2?证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.本例证法二；
?3?证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面.本例证法三.
[跟进训练]
2．如图，已知在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．
[解]　∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，
如图，建立空间直角坐标系A?xyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(1，1，0)，D(0，2，0)．不妨令P(0，0，t)，
∴＝(1，1，－t)，＝(1，－1，0)，
设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得令z＝1，解得x＝y＝，
∴n＝．
设点G的坐标为(0，0，m)，又E，
则＝．
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，即×＋0×＋m×1＝0，即m－＝0，
解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．
类型3　利用空间向量证明垂直关系
　证明线线垂直问题
【例3】　如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC．
[证明]　由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，
因而E，F，
所以＝，＝(0，2，0)，
因此·＝0．从而⊥，所以EF⊥BC．
证明直线与直线垂直的方法
?1?利用已知的垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
?2?证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直.
[跟进训练]
3．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
[证明]　法一：以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，于是F．
∵E在BC上，∴设E(m，1，0)，∴＝(m，1，－1)，＝．
∵·＝0，∴PE⊥AF．
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF．
法二：因为点E在边BC上，可设＝λ，
于是·＝(＋＋)·(＋)＝(＋＋λ)·(＋)＝(·＋·＋·＋·＋λ·＋λ·)＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0，
因此⊥．
故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．
　证明线面垂直问题
【例4】　如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
[证明]　法一：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．
∴＝(1，1，2)－(2，2，1)＝(－1，－1，1)．
＝(2，2，2)－(2，0，0)＝(0，2，2)，
＝(0，2，0)－(2，0，0)＝(－2，2，0)．
而·＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0．
·＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC．
又AB1∩AC＝A，AB1?平面B1AC，AC?平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC．
法二：设＝a，＝c，＝b，
则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，
∵
＝＋＝a＋b．
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0．
∴⊥，即EF⊥AB1，
同理，EF⊥B1C．
又AB1∩B1C＝B1，AB1?平面B1AC，B1C?平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC．
证明直线与平面垂直的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
[跟进训练]
4．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD．
[证明]法一：如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，
则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，
∴＝(1，－1，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，0，1)，
而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0．
∴⊥，⊥，
即OA1⊥OB，OA1⊥BG，
而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD．
法二：同法一建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，
∴，令x＝1得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一个法向量为(1，－1，2)，
显然＝(－1，1，－2)＝－n，
∴∥n，∴A1O⊥平面GBD．
　证明面面垂直问题
【例5】　如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．
[证明]　设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E，连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为．
因为＝(0，0，1)，＝，
所以＝，所以∥．
又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，
又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD．
证明平面与平面垂直的方法
?1?证明一个平面内的一条直线的方向向量是另一个平面的法向量.
?2?证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.
[跟进训练]
5．在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
[解]　由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，
故＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝．
设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即即令x＝1，得y＝1，故n＝(1，1，0)．
设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，
则即令c＝4，得a＝1，b＝－1．故n2＝(1，－1，4)．
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
所以n1⊥n2．
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C．
1．利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”：
(1)用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)进行向量运算；
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
2．证明线面平行与垂直问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来证明．
1．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为(　　)
A．1∶2　　
B．1∶1
C．3∶1　　　
D．2∶1
B　[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)．
设点F的坐标为(0，y，0)，则＝(－1，y，0)，＝．
因为BF⊥PE，所以·＝0，解得y＝，即点F的坐标为，
所以F为AD的中点，
所以AF∶FD＝1∶1．]
2．若直线l的方向向量为a＝(2，0，1)，平面α的法向量为n＝(－4，0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为(　　)
A．l与α斜交　　　
B．l?α
C．l∥α　　　　
D．l⊥α
D　[∵a＝(2，0，1)，n＝(－4，0，－2)，∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α．]
3．已知平面α，β
是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：
①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；
③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β；
其中正确的是(　　)
A．①③　　　B．①②　　　C．②③　　　D．②④
A　[由平面的法向量的定义知①③正确．]
4．已知直线l的方向向量为(2，m，－1)，平面α的法向量为(1，1，2)，且l与α相交，则m的取值范围是________．
m≠0　[∵l与α相交，∴l的方向向量与α的法向量不垂直．∴(2，m，－1)·(1，1，2)＝2＋m－2≠0．解得m≠0．]
5．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG．
[证明]　∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，
∴AB，AP，AD两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
法一：∴＝(0，1，0)，＝(1，2，－1)，
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则n＝(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，
∵＝(2，0，－2)，∴·n＝0，∴n⊥，
∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG．
法二：＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)．设＝s＋t，
即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，
∴
解得s＝t＝2．
∴＝2＋2，
又∵与不共线，∴，与共面．
∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG．
PAGE4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系
第1课时　空间中的角
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解直线与平面所成角的概念．(重点、易错点)2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．(重点、难点)
通过利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题，提升逻辑推理、直观想象与数学运算等数学素养．
前面，我们用空间向量研究了空间中的位置关系：平行与垂直，是否可以用空间向量研究空间中的数量关系呢？这要解决两个问题：一、用什么刻画空间中的数量关系；二、怎样刻画空间中的数量关系．
1．两条直线所成的角
设两条直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos
θ＝，θ∈．
2．直线与平面所成的角
设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin
θ＝，θ∈．
3．两个平面所成的角
设二个平面所成的角为θ，且这两个平面的法向量分别为a，b，则cos
θ＝，θ∈．
(1)二面角的平面角的取值范围是什么？
(2)二面角α?l?β的平面角与平面α，β所成的角有何关系？
(3)二面角α?l?β的平面角与平面α，β的法向量的夹角有何关系？
[提示]　(1)[0，π]．
(2)相等或互补．
(3)相等或互补．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角一定相等．
(　　)
(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝．
(　　)
(3)直线与平面所成角的范围为．
(　　)
(4)设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为n1，平面的法向量为n2，则sin
θ＝．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(　　)
A．30°　
B．150°
C．30°或150°
D．以上均错
[答案]　A
3．若v＝(1，1，0)是直线l的一个方向向量，n＝(1，2，－1)是平面α的一个法向量，则l与α的夹角为________．
　[cos〈v，n〉＝＝，
∴〈v，n〉＝，∴l与α的夹角为－＝．]
4．如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
[解]　建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，
所以＝(－1，0，1)，＝(1，－1，0)，
所以cos〈，〉＝＝＝－，又0°≤〈，〉≤180°，
所以〈，〉＝120°，
故PB与CD所成的角为60°．
类型1　两条异面直线所成角的向量求法
【例1】　如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
[解]　以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．
1．利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是
(1)选好基底或建立空间直角坐标系；
(2)求出两直线的方向向量v1，v2；
(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解．
2．两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．
[跟进训练]
1．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．
[解]　以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E(1，t，0)(0≤t≤2)，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，＝(1，0，－1)，＝(1，t－2，0)，
根据数量积的定义及已知得，1＋0×(t－2)＋0＝×·cos
60°，
所以t＝1，
所以点E的位置是AB的中点．
类型2　直线与平面所成角的向量求法
[探究问题]
1．如图1，直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则直线l与平面的夹角θ与〈a，n〉有怎样的关系？
图1
[提示]　θ＝－〈a，n〉．
2．将图1改成图2呢？
图2
[提示]　θ＝〈a，n〉－．
【例2】　已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
[解]　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M，
C1，B(0，a，0)，
故＝，＝，＝．
设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z)．
则∴取y＝2，
则n＝．
又＝，
∴cos〈，n〉＝＝＝－．
设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝．
借助于向量求线面角，关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，另外，一定要注意向量夹角和直线与平面所成的角的区别和联系.
[跟进训练]
2．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P?ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．
(1)求证：AB∥FG；
(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
[解]　(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，
所以AB∥DE．又因为AB?平面PDE，DE?平面PDE，
所以AB∥平面PDE．
因为AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，
所以AB∥FG．
(2)因为PA⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE．
如图，建立空间直角坐标系A?xyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，
所以＝(1，1，0)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)．
设平面ABF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
即取z＝1，则n＝(0，－1，1)．
设直线BC与平面ABF所成角为α，
则sin
α＝|cos〈n，〉|＝＝．
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为．
设点H的坐标为(u，v，w)．
因为点H在棱PC上，所以可设＝λ(0<λ<1)，即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，
所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ．
因为n是平面ABF的一个法向量，所以n·＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0．
解得λ＝，所以点H的坐标为．
所以|PH|＝＝2．
类型3　二面角的向量求法
[探究问题]
1．如图1，n1，n2分别是平面π1，π2的法向量，则二面角π1－l－π2的大小θ与〈n1，n2〉有怎样的关系？
图1
[提示]　θ＝π－〈n1，n2〉．
2．将图1改成图2呢？
图2
[提示]　θ＝〈n1，n2〉．
【例3】　如图的多面体是直平行六面体ABCD?A1B1C1D1被平面AEFG所截后得到的几何体，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°．
(1)求证：BD⊥平面ADG；
(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
[思路点拨]　本题是“无棱”的二面角，可考虑利用向量法求解．抓住DA、DB、DG两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出平面AEFG、平面ABCD的法向量，再求其所成的角．
[解]　(1)证明：在△BAD中，∵AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，
∴由余弦定理可得BD＝．
∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD．
又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴GD⊥BD．
又AD∩GD＝D，∴BD⊥平面ADG．
(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz．
∵∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，
则有A(1，0，0)，B(0，，0)，G(0，0，1)，E(0，，2)，C(－1，，0)．
∴＝(－1，，2)，＝(－1，0，1)．
设平面AEFG的法向量为n＝(x，y，z)，
故有，
取n＝．
而平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，1)，
∴cos〈，n〉＝＝．
故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．
利用空间向量计算二面角大小的常用方法：
?1?找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
?2?找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[跟进训练]
3．如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A?A1D?B的余弦值．
[解]　如图所示，取BC中点O，连接AO．因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．
取B1C1中点为O1，以O为原点，，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)．
所以＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．
设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，
因为n⊥，n⊥，
得得所以
取z＝1，得n＝(－，0，1)．
又因为＝(1，2，－)，＝(－2，1，0)，＝(－1，2，)，
所以·＝－2＋2＋0＝0，·＝－1＋4－3＝0，
所以⊥，⊥，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1，
又BD∩BA1＝B，BD?平面A1BD，BA1?平面A1BD，
所以AB1⊥平面A1BD，
所以是平面A1BD的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝＝＝－，
又因为二面角A?A1D?B为锐角，
所以二面角A?A1D?B的余弦值为．
利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的夹角来求．
(1)首先要找到并表示出相关向量，常用的两种方法是坐标法、基向量法，解题时要灵活掌握；
(2)其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系；
⑶最后利用两个向量的夹角公式求出空间角．
1．已知直线l1的方向向量s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为(　　)
A．－　　　B．　　　C．　　　D．－
B　[∵cos〈s1，s2〉＝＝＝－．∴l1，l2夹角的余弦值为|cos〈s1，s2〉|＝．]
2．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则α与β的夹角为(　　)
A．30°　　B．60°　　C．120°　　D．150°
B　[设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，
则cos
θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°．]
3．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
D　[设正方体的棱长为1，建系如图．则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)．
平面ACD1的一个法向量为＝(1，1，1)．又＝(0，0，1)，
则cos〈，〉＝＝＝．
故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝．]
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________．
　[如图，建立空间直角坐标系．
由已知得A1(4，0，0)，B(4，4，3)，B1(4，4，0)，C(0，4，3)．
∴＝(0，4，3)，＝(－4，0，3)，
∴cos〈，〉＝．]
5．如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4．
(1)证明：AF⊥平面A1ED；
(2)求二面角A1－ED－F的正弦值．
[解]　以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设AB＝1，依题意得D(0，2，0)，F(1，2，1)，A1(0，0，4)，E．
(1)证明：易得＝(1，2，1)，＝，＝．于是·＝0，·＝0．因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED．
(2)设平面EFD的法向量为u＝(x，y，z)，
则，又＝，＝，故有，不妨令x＝1，可得u＝(1，2，－1)．
由(1)可知，为平面A1ED的一个法向量，
于是cos〈u，〉＝＝，从而sin〈u，〉＝．
所以二面角A1?ED?F的正弦值为．
PAGE第2课时　空间中的距离问题
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点)2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点)
通过利用空间向量解决距离问题的过程，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养．
1．如图，已知向量s是直线l的方向向量，点P在直线l上，点A是空间中一点，则向量在s上的投影数量是什么？其几何意义是什么？
2．如何利用在s上的投影数量求点A到直线l的距离？
1．点到平面的距离
(1)定义
如图所示，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量．过点P作PP′⊥平面α，垂足为点P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离．
(2)求法
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|，n0＝．
2．点到直线的距离
(1)定义
如图所示，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则垂线段PP′的长度就是点P到直线l的距离．
(2)求法
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝，l0＝．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值．
(　　)
(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．
(　　)
(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．若三棱锥P?ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
D　[分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．
可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，
则d＝＝．]
3．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________．
[答案]　5
4．如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E使得点A1到平面AED的距离为？
[解]　以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)．
假设存在点E满足条件，设＝λ，λ∈(0，1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．
又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量，
则，即取x＝1，得，n＝．
由于＝(0，0，2)，d＝＝，
∴＝．
又λ∈(0，1)，解得λ＝．
∴存在点E且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为．
类型1　求点到直线的距离
【例1】　在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．
[思路点拨]　先求、的坐标，再代入公式d＝计算．
[解]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，
于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，
所以·＝＝，||＝，
所以点D1到直线GF的距离d＝＝＝．
用向量法求点到直线的距离时，需要注意以下几点
1．点P可以在直线l上任意选取，因此可选取易求得坐标的特殊点；
2．直线l的方向向量可任意选取；
3．点到直线的距离公式中l0是单位向量，在求得直线l的方向向量l后，要将其单位化．
[跟进训练]
1．已知ABCD?EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[建立如图所示空间直角坐标系，则＝×(1，0，0)＋×(0，1，0)＋×(0，0，1)＝．
又∵＝(1，0，0)，
∴在上的投影数量为·＝，
∴点P到AB的距离为＝．]
类型2　求点到平面的距离
【例2】　如图，直三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱AA1＝，底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B1到平面A1BC的距离．
[思路点拨]　建立坐标系，确定向量的坐标并找出平面A1BC的一个法向量n，代入d＝求解．
[解]　如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，1，)，C1(0，0，)，
∴＝(－1，1，－)，＝(－1，0，－)，＝(1，－1，0)．
设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则，即，取z＝1得，n＝(－，0，1)，
所以，点B1到平面A1BC的距离d＝＝．
1．本题是一个求点到平面距离的问题，要从几何角度作出表示这个距离的线段有很大的困难，利用向量方法求解较为容易．
2．求点到平面的距离的步骤可简化为
(1)求平面的法向量；
(2)求斜线段对应的向量在平面法向量上的投影数量的绝对值，即为点到平面的距离．
[跟进训练]
2．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为1，求点A1到平面AD1C的距离．
[解]　以D为原点建立空间直角坐标系，则＝(0，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，
设平面AD1C的一个法向量为n＝(x，y，1)，
则
得则
∴n＝(1，1，1)，∴d＝＝＝．
类型3　求直线与平面的距离
【例3】　如图所示，在已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求直线A1B1与平面ABE的距离．
[思路点拨]　因为直线A1B1平行于平面ABE，可将其转化为点A1到平面ABE的距离求解．
[解]　如图所示，以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，
过C作AB的垂线交AB于F，易得BF＝，∴B(1，2，0)，
∴＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)．
设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)．
∵直线A1B1∥平面ABE，
∴直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离．
∵＝(0，0，2)，
∴直线A1B1到平面ABE的距离为|·|＝＝．
求直线与平面的距离，在直线与平面平行的条件下，往往转化为点到平面的距离求解，但这个点要适当选取，以求解简单为准则，另外，在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离过渡.
[跟进训练]
3．四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
[解]　(1)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，＝(－1，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，1，1)，
∴＝＋．
∴∥平面PFB．又∵D?平面PFB，
∴DE∥平面PFB．
(2)∵DE∥平面PFB，∴E到平面PFB的距离等于D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则即取x＝2，得，n＝(2，－1，1)，
又＝(－1，0，0)，
∴D到平面PFB的距离为d＝＝＝．
空间距离包括点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．
1．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
A　[＝(－2，0，－1)，||＝，·＝，
则点P到直线l的距离d＝＝＝．]
2．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[建立如图所示坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，O，
所以＝(1，0，1)，＝，
由题意知为平面ABC1D1的法向量，
∴O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝．]
3．已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为________．
　[如图所示建立空间直角坐标系，
则A1(4，0，3)，B1(4，6，3)，B(4，6，0)，C1(0，6，3)，
所以＝(－4，6，0)，＝(0，6，－3)，＝(0，6，0)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
由得，取x＝1得，n＝．
∴d＝＝．]
4．已知棱长为1的正方体AC1，E，F分别是B1C1，C1D1的中点．
(1)求证：E，F，D，B共面；
(2)求点A1到平面的DBEF的距离．
[解]　如图，建立空间直角坐标系D?xyz．则知A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，E，F．
(1)证明：由＝(－1，－1，0)，＝，得＝，∥，
∴EF∥DB，
∴E，F，D，B共面．
(2)设n＝(x，y，z)是平面DBEF的法向量．
由n⊥，n⊥，＝(1，1，0)，＝，
得则取y＝1，得n＝，
又＝(1，0，1)，
则A1到平面DBEF的距离d＝＝1．
PAGE§5　数学探究活动(一)：正方体截面探究
问题1　什么叫几何体的截面？
[提示]　一个几何体与一个平面相交所得平面图形(包含它的内部)，叫作几何体的截面．
问题2　截面的边是如何得到的？
[提示]　截面的边是平面与几何体的各面的交线．
问题3　作截线的主要依据是什么？
[提示]　(1)基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．及公理1的三个推论．
(2)基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么它们的交线平行．
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体．正方体是立体几何的一个重要模型，下面我们来探究用平面截正方体所得截面的形状．
探究1　截面最少是几边形？最多是几边形？
[提示]　正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过三个面，最多经过六个面．所以截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形，如下图．
三角形　　　　正方形　　　　　　矩形
梯形　　　　　五边形　　　　　六边形
探究2　当截面是三角形时，可以是锐角三角形吗？可以是直角三角形吗？可以是钝角三角形吗？
[提示]　可以是锐角三角形，但不能是直角三角形、钝角三角形．当截面是三角形时，其三边是平面截正方体有一个公共顶点得到的，易知此三角形是锐角三角形．
探究3　如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？
[提示]　可以是平行四边形、梯形．当截面是四边形时，该四边形有两条边是平面截正方体的一对对面得到的，因此它们平行，所以截面只能是平行四边形或梯形．
探究4　当截面是五边形时，可以是正五边形吗？
[提示]　不可以．当截面是五边形时，该五边形有两条边是平面截正方体的一对对面得到的，因此它们平行，而正五边形任意两边都不平行，因此截面不可能是正五边形．
探究5　当截面是六边形时，可以是正六边形吗？
[提示]　可以．
【例1】　正方体ABCD?A1
B1
`
C1
D1
的棱长为a，则过AC平行于BD1的截面面积是________．
a2　[取DD1的中点为E(图略)，则过AC平行于BD1的截面为△AEC，
所以AE＝CE＝a，AC＝a，所以S△AEC＝×a×＝a2．]
[跟进训练]
1．已知正方体ABCD?A1
B1C1D1，任作平面α与对角线AC1垂直，使得平面α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则(　　)
A．S为定值，l不为定值
B．S与l均为定值
C．S不为定值，l为定值
D．S与l不为定值
C　[先考虑特殊情形．
不妨设正方体棱长为1，如图所示，取E，F，G，H，I，J分别为六条棱的中点，显然，正六边形EFGHIJ是符合要求的截面，它的周长l1＝3，面积S1＝，当截面为正△A1BD时，其周长l2＝3，面积S2＝．
注意到l1＝l2，S2≠S2，由此可以断定S不为定值，而l有可能为定值．
再考察一般情形．
设六边形J1E1F1G1H1I1为任意一个符合要求的截面，则此截面与前面两个特殊的截面平行．
由相似三角形对应边成比例，得＝，＝，
所以J1E1＝A1E1，E1F1＝B1E1，J1E1＋E1F1＝(A1E1＋B1E1)＝A1B1＝．
同理，另四边之和为2．
因此，六边形J1E1F1G1H1I1的周长为定值3，故选C．]
【例2】　如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①当0②当CQ＝时，S为等腰梯形；
③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R1＝；
④当⑤当CQ＝1时，S的面积为．
①②③⑤　[设截面与D1D相交于T，则AT∥PQ且AT＝2PQ?DT＝2CQ．
对①，当0对②，当CQ＝时，DT＝1，T与D1重合，截面S为四边形APQD1，所以AP＝D1Q．截面S为等腰梯形．
所以为真．
对③，当CQ＝时?QC1＝，DT＝，D1T＝．利用三角形相似解得C1R1＝．所以为真．
对④，当对⑤，当CQ＝1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G1即为菱形APC1G1A．对角线长度分别为和，S的面积为．
所以为真．综上，选①②③⑤．]
[跟进训练]
2．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)
A．　　　
B．　　　
C．　　　
D．
A　[根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD?A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，
所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，
所以其面积为S＝6××＝，故选A．]
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