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§5　正态分布
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数．(重点)2．认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(重点)
1．通过正态分布的学习，培养逻辑推理素养．2．借助正态曲线的应用，培养数学运算素养．
1．离散型随机变量的取值有何特点？如何刻画离散型随机变量取值的分布规律？
2．一件产品的使用寿命是否为随机变量？它能一一列举出来吗？
1．正态分布
在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的正态分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的正态分布密度(函数)，简称正态分布．
正态分布的密度函数解析式为φμ，σ(x)＝e
eq
\s\up8(－)，x∈(－∞，＋∞)．它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．
2．正态曲线满足的性质
(1)正态曲线有如下性质
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称．
③曲线的最高点位于x＝μ处．
④当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．
(2)正态曲线的特点
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．
(3)3σ原则
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682
6，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954
4，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997
4．
正态分布密度函数中μ与σ的意义分别是什么？
[提示]　μ表示随机变量的平均水平，σ是衡量随机变量的总体波动大小．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与标准差．
(　　)
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．
(　　)
(3)正态曲线可以关于y轴对称．
(　　)
(4)正态曲线的“高瘦”与“矮胖”只与σ的大小有关．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝(　　)
A．0　　　　B．σ　　　　C．－μ　　　D．μ
[答案]　D
3．已知正态分布密度函数为f(x)＝e
eq
\s\up8(－)，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．
[答案]　0　
4．一台机床生产一种尺寸为10
mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布，求正态分布密度函数解析式．
[解]　由题意得
μ＝(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10，
σ2＝[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03，
即μ＝10，σ2＝0.03．
所以Y的正态分布密度函数为φ(x)＝e
eq
\s\up8(－)，x∈R．
类型1　正态曲线
【例1】　如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布密度曲线的函数解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
[思路点拨]　给出一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的均值、标准差以及解析式．
[解]　从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20，＝，解得σ＝．
于是正态分布密度曲线的函数解析式为
φμ，σ(x)＝e
eq
\s\up8(－)，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2．
1．用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ与σ的值．
2．当x＝μ时，正态分布密度函数取得最大值，即f(μ)＝，注意该式在解题中的运用．
[跟进训练]
1．如图是σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>1>σ2>σ3>0　　
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
D　[当μ＝0，σ＝1时，正态分布密度函数φ(x)＝e
eq
\s\up8(－)，x∈(－∞，＋∞)，当x＝0时，取得最大值，所以σ2＝1，即σ2＝1，由正态曲线的特点知：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮小”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3，故选D．]
类型2　正态分布下的概率计算
【例2】　在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________．
[思路点拨]　由题意知，正态曲线关于x＝1对称，而区间(0，1)与区间(1，2)关于x＝1对称，故由正态曲线性质得X在区间(0，1)和(1，2)上取值的概率相等．
0.8　[∵X～N(1，σ2)，
∴正态曲线关于x＝1对称．
∴P(1∴P(01．解答此题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化．
2．正态分布在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)利用P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，P(X[跟进训练]
2．设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．
[解]　∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2．
(1)P(－1<ξ≤3)＝P(1－2<ξ≤1＋2)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.683．
(2)∵P(3<ξ≤5)＝P(－3<ξ≤－1)，
∴P(3<ξ≤5)＝[P(－3<ξ≤5)－P(－1<ξ≤3)]
＝[P(1－4<ξ≤1＋4)－P(1－2<ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]
＝(0.954－0.683)＝0.135
5．
(3)∵P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)，
∴P(ξ≥5)＝[1－P(－3<ξ≤5)]
＝[1－P(1－4<ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)]
＝(1－0.954)＝0.023．
类型3　正态分布的应用
【例3】　设在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数．
[思路点拨]　要求及格的人数，即要求出P(90≤X≤150)，而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解．
[解]　∵X～N(110，202)，∴μ＝110，σ＝20，
∴P(110－20∴1305．
90≤X≤150的概率为0.683＋0.158
5＝0.841
5，
∴及格的人数为54×0.841
5≈45人，130分以上的人数为54×0.158
5≈9人．
正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
[跟进训练]
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．
[解]　∵X～N(50，102)，
∴μ＝50，σ＝10．
∴P(30×0.954＋×0.683＝0.818
5，即他在(30，60]分内赶到火车站的概率是0.818
5．
1．类比函数的性质，结合正态分布密度曲线的特点掌握正态分布曲线的性质．
2．求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率的区间．
3．由正态分布的对称性知：若ξ～N(μ，σ2)，则P(ξ>μ)＝P(ξ<μ)＝0.5．
1．下列变量中，是连续型随机变量的是(　　)
A．投掷五枚硬币出现的正面次数
B．某工厂生产的某种零件的长度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之差
D．某人的手机在一周内接到的电话次数
B　[B中的变量的取值不能一一列出，所以它是连续型随机变量，而A、C、D中的变量均是离散型随机变量．]
2．在正态分布总体服从N(μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的(　　)
A．方差与标准差　
B．期望与方差
C．期望与标准差
D．标准差与期望
C　[由正态分布概念可知C正确．]
3．设随机变量X～N(0，1)，则P(X<0)＝________．
　[由正态分布曲线的对称性知P(X<0)＝．]
4．一建筑工地所需要的钢筋的长度服从正态分布，其中μ＝8，σ＝2．质检员在检查一大批钢筋的质量时发现现有的钢筋长度小于2
m．这时，他是让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止生产，检修钢筋切割机？
[解]　设检验出钢筋长为x
m，则x<2．由题意X～N(μ，σ2)，其中μ＝8，σ＝2，∴(x－μ)＝|X－8|>6＝3σ．
这说明这一钢筋的长度出现在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外，理应拒绝假设，所以检验员应马上让钢筋工停止生产，立即检修钢筋切割机．
PAGE§1　随机事件的条件概率
1.1　条件概率的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解条件概率的概念．(重点)2．掌握求条件概率的两种方法．(重点、难点)3．能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．
1．通过条件概率的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助求条件概率，培养数学运算素养．
1．三张奖券中只有一张能中奖，现分别由3位同学不放回地抽取，那么第二位同学抽到中奖奖券的概率是多少？比第一位同学中奖的概率小吗？
2．如果已知第一位同学未抽到中奖奖券，那么第二位同学抽到中奖奖券概率又是多少？
3．上述两个问题有何不同？
1．条件概率
(1)条件概率的定义
在事件A发生的条件下事件B发生的概率，称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率，记作P(B|A)．
(2)条件概率公式
当P(A)>0时，有P(B|A)＝．
1．如何从集合角度看条件概率公式？
[提示]　若事件A已发生，则为使事件B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB．由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间，因此，有P(B|A)＝．
2．条件概率的性质
(1)P(B|A)∈[0，1]．
(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．P(B|A)与P(B)有何大小关系？
[提示]　P(B|A)≥P(B)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)P(A|B)＝P(B|A)．
(　　)
(2)P(B|A)＝P(B)．
(　　)
(3)P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(　　)
(4)对于古典概型，P(A|B)＝．
(　　)
[答案]　　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝．]
3．某人一周值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六值班的概率为________．
　[法一：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝．
法二：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则n(AB)＝1，n(A)＝C＝6，故P(B|A)＝＝．]
4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，求P(B|A)．
[解]　　法一：P(A)＝＝＝，P(AB)＝P(B)＝＝．
由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝．
法二：事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个．
事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1．
故由古典概型概率P(B|A)＝＝．
类型1　利用定义求条件概率
【例1】　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．
(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；
(2)求P(B|A)．
[思路点拨]　可先求P(A)，P(B)，P(AB)，再用公式P(B|A)＝求概率．
[解]　由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)＝，P(B)＝＝＝，P(AB)＝＝．
(2)P(B|A)＝＝＝．
用定义法求条件概率P?B|A?的步骤是：
?1?分析题意，弄清概率模型；
?2?计算P?A?，P?AB?；
?3?代入公式求P?B|A?＝.
[跟进训练]
1．本例条件不变，如何求P(A|B)．
[解]　　P(A|B)＝＝＝．
类型2　利用基本事件个数求条件概率
【例2】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
[思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可利用古典概型的概率计算公式求解；第(3)问为条件概率，可以利用定义P(B|A)＝求解，也可以利用公式P(B|A)＝求解．
[解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB．
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝．
(2)因为n(AB)＝A＝12，于是P(AB)＝＝＝．
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝．
法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝．
如果随机试验属于古典概型，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P?B|A?＝，其中n?AB?表示事件包含的基本事件个数，n?A?表示事件A包含的基本事件个数.
[跟进训练]
2．某个班级有学生40人，其中有共青团员15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．现在要在班内任选一名共青团员当团员代表，求这个代表恰好在第一组内的概率．
[解]　把40名学生看成40个基本事件，其中第一小组所包含的基本事件个数为10个，第一小组的团员所包含的基本事件个数为4个．
记“班内任选一名学生是共青团员”为事件A．记“任选一名团员代表在第一小组”为事件B．
∴P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝．
故这个团员代表恰好在第一组内的概率为．
类型3　条件概率的性质及应用
[探究问题]
1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？
[提示]　掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．
2在“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？
[提示]　“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．
3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？
[提示]　设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C．则所求事件为B∪C|A．
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝．
【例3】　有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．
[思路点拨]　先设出基本事件，求出基本事件的概率，再求试验成功的概率．
[解]　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
C＝{第二次取出的球是红球}，
D＝{第二次取出的球是白球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝，P(D|A)＝，P(C|B)＝，P(D|B)＝．
事件“试验成功”表示为CA∪CB，又事件CA与事件CB互斥，故由概率的加法公式，得P(CA∪CB)＝P(CA)＋P(CB)＝P(C|A)·P(A)＋P(C|B)·P(B)＝×＋×＝0.59．
1．应用概率加法公式的前提是事件互斥．
2．为了求复杂事件的概率，往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件的和，求出简单事件概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
[跟进训练]
3．把一副扑克(不含大小王)的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家，A＝赵家得到6张草花(梅花)，B＝孙家得到3张草花．
(1)计算P(B|A)；
(2)计算P(AB)．
[解]　(1)四家各有13张牌，已知A发生后，A的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张草花在另三家中的分派是等可能的．
问题已经转变成：39张牌中有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率．
于是P(B|A)＝≈0.278．
(2)在52张牌中任选13张牌有C种不同的等可能的结果．于是Ω中元素数＝C，A中元素数＝CC，利用条件概率公式得到P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×0.278≈0.012．
1．由条件概率的定义可知，P(B|A)与P(A|B)是不同的．另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
2．在条件概率的定义中，要强调P(A)＞0．当P(A)＝0时，P(B|A)＝0．
3．P(B|A)＝可变形为P(AB)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中的两个值就可以求得第三值．
1．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[由题意知：P(AB)＝，P(B|A)＝，∴P(A)＝＝＝．]
2．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)等于(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　[P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝＝．]
3．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．1
B　[因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是．]
4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
0.5　[根据条件概率公式知P＝＝0.5．]
5．抛掷红、蓝两个骰子，事件A＝“红骰子出现4点”，事件B＝“蓝骰子出现的点数是偶数”．求P(A|B)．
[解]　　∵P(B)＝，P(AB)＝．∴P(A|B)＝＝＝．
PAGE1.2　乘法公式与事件的独立性
1.3　全概率公式
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1．理解相互独立事件的定义及意义．2．理解概率的乘法公式与全概率公式．(重点)3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式解题．(难点)
1．通过相互独立事件的定义的学习，培养数学抽象素养．2．借助概率的乘法公式与全概率公式的应用，培养数学运算与数学建模素养．
1．若P(B|A)＝P(B)，则事件A发生与否对事件B的发生是否有影响？
2．当事件B发生不影响事件A的概率时，P(AB)等于什么？
1．概率的乘法公式
当P(A)>0时，P(AB)＝P(B|A)·P(A)．
2．相互独立事件的概率
(1)一般地，事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
3．相互独立事件的性质
若A与B是相互独立事件，则A与，B与，与也相互独立．
若A，B相互独立，则A与也相互独立，为什么？
[提示]　∵A、B相互独立，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)(1－P())＝P(A)－P(A)P()，
∴P(A)P()＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P()，
∴A与相互独立．
3．全概率公式
(1)全概率公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有
P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)．
(2)贝叶斯公式
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)＞0，P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi|A)＝．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立．
(　　)
(2)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
(　　)
(3)若事件A与相互独立，则A与B不一定相互独立．
(　　)
(4)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　
(4)√
2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
A　[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A．]
3．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．
　[事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A∪B且A与B互斥，P(C)＝P(A∪B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝．]
4．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为．
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
[解]　设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝．
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－××＝．
类型1　互斥事件与相互独立事件的判断
【例1】　判断下列各对事件是互斥事件，还是相互独立事件．
(1)运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；
(2)甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；
(3)甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；
(4)甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．
[思路点拨]　利用独立事件、互斥事件的意义判断．
[解]　(1)甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；
(2)甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；
(3)甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件；
(4)甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件．
判断两事件相互独立的方法
?1?若P?AB?＝P?A?P?B?，则事件A和B相互独立.
?2?由事件本身的性质直接判定是否相互影响，从而得出事件是否相互独立.
[跟进训练]
1．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解]　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为．这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝．
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件发生的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立的．
类型2　相互独立事件同时发生的概率
【例2】　某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
[思路点拨]　(1)先找出第四轮被淘汰的事件，再看它是独立事件还是互斥事件；(2)至多进入第三轮含有第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰三个互斥事件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解．
[解]　(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1，2，3，4)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝．“该选手进入第四轮才被淘汰”记为B，P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)P()＝×××＝．
(2)法一：“该选手至多进入第三轮考核”记为C，
P(C)＝P(＋A1＋A1A2)＝P()＋P(A1)P()＋P(A1)P(A2)P()
＝＋×＋××＝．
法二：“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为D，
则P(D)＝×××＝．
而C与B∪D为对立事件，B与D为互斥事件，
∴P(C)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－－＝．
1．求P(AB)时，要注意事件A，B是否相互独立，求P(A＋B)时，应注意事件A，B是否互斥．对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路：①分类讨论；②转化为求对立事件的概率，利用P()＝1－P(A)来计算．
2．复杂问题可考虑分解为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解．
[跟进训练]
2．设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别是0.2，0.6，0.3，试求：
(1)在三次射击中恰有一次命中的概率；
(2)在三次射击中至少有一次命中的概率．
[解]　设“第i次射击命中目标”为事件Ai(i＝1、2、3)，则P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.3，由题意A1、A2、A3相互独立．
(1)恰有一次命中的概率为P＝P(A1∩∩)＋P(∩A2∩)＋P(∩∩A3)
＝P(A1)·P()·P()＋P()·P(A2)·P()＋P()·P()·P(A3)
＝0.2×(1－0.6)×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.6×(1－0.3)＋(1－0.2)×(1－0.6)×0.3＝0.488．
(2)至少有一次命中的概率为
P＝1－P(∩∩)＝1－(1－0.2)×(1－0.6)×(1－0.3)＝0.776．
类型3　全概率公式的应用
【例3】　设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的该概率．
[解]　设B＝{从仓库中随机提一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，
则有B＝A1B∪A2B，
由题意则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式得，
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868．
1．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题．
2．从以上典型例题的分析可以看出，应用全概率公式解决问题时，准确、迅速寻找完备事件组是解决此类问题的关键，其应用的一般方法和步骤归纳如下：
(1)认真分析题目中的条件，找出完备事件组A1，A2，…，An；
(2)求出Ai发生的条件下B发生的条件概率P(B|Ai)，这样就可以直接利用全概率公式解决此类问题了．
[跟进训练]
3．袋中装有编号为1，2，…，n的n个球，先从袋中任取一个球，如该球不是1号球，就放回袋中，是1号球，就不放回，求第二次取到2号球的概率．
[解]　设事件A为“第一次取到的是1号球”，事件B为“第二次取到的是2号球”，
显然P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，
由全概率公式得，
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝．
1．两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响；两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件可以同时发生．
2．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．
3．利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问题，寻找完备事件组是求解的关键．
1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立的事件是(　　)
A．A与　　　
B．A与
C．与B
D．与
A　[A与是对立事件．]
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A．互斥事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件
C　[由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(AB)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C．]
3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率为p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是(　　)
A．p1p2
B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2
D．1－(1－p1)(1－p2)
B　[甲解决问题乙没有解决问题的概率为p1(1－p2)，乙解决问题而甲没有解决问题的概率是p2(1－p1)，故恰有1人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．]
4．一批种子的发芽率为0.9，如果播种时每次播种两粒种子，则每次有苗的概率是________．
0．99　[设一粒种子发芽为事件A，另一粒种子发芽为事件B，则有苗即为事件A发生或事件B发生，则P＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝0.9×0.1＋0.1×0.9＋0.9×0.9＝0.99．]
5．有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋中，然后再从乙袋中任取1个球，求此球为白球的概率．
[解]　设事件Ai表示“从甲袋中取出的2个球中有i个白球”，其中i＝0，1，2，事件B表示“从乙袋中取到的是白球”，根据题意，P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A0)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
则有B＝A1B∪A2B，由全概率公式得，
P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＋×＝．
PAGE§2　离散型随机变量及其分布列
2.1　随机变量
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解随机变量的含义．2．了解随机变量与函数的区别与联系(重点)．3．会用随机变量描述随机现象(重点、难点)．
1．通过随机变量有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助用随机变量描述随机现象，培养数学建模素养．
1．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X取什么数字？
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示．在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果变化而变化的量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列举出来的随机变量，称为离散型随机变量．
(1)任何随机试验的结果都可以用数字表示吗？
(2)离散型随机变量的取值一定是有限个吗？
[提示]　(1)可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．
(2)不一定．可以是无限个，如1，2，3，…，n，…．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的取值只能是有限个．
(　　)
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．
(　　)
(3)离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y(　　)
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
[答案]　D
3．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．
[答案]　21
4．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．
[解]　ξ的可能取值为0，1，2．
ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；
ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；
ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．
类型1　随机变量的概念
【例1】　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2022年5月1日的旅客数量；
(2)2022年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2022年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1
000
cm3的球的半径长．
[思路点拨]　判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．
[解]　(1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1
000
cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．
2．随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值．
[跟进训练]
1．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；
(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
(3)标准大气压下，水沸腾的温度．
[解]　(1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，因此是随机变量．
(2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)标准大气压下，水沸腾的温度100
℃是定值，所以不是随机变量．
类型2　离散型随机变量的判定
【例2】　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某超市5月份每天的销售额；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ．
[解]　(1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法：
?1?明确随机试验的所有可能结果；
?2?将随机试验的试验结果数量化；
?3?确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
[跟进训练]
2．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场树木最高达30
m，则此林场中树木的高度．
[解]　(1)只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片可能的号数可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．即其结果可以一一列出，是离散型随机变量．
(3)林场树木的高度一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
类型3　用随机变量表示随机试验的结果
【例3】　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
[思路点拨]　分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果
[解]　(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11．
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11．
X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；
X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；
X＝5，表示取出标有2，3或标有1，4的两张卡片；
……
X＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．
1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1，2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，引入变量i，可写成X＝i．
2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．
[跟进训练]
3．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；
(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．
[解]　(1)ξ可取3，4，5．
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．
(2)ξ的可能取值为区间[0，59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．
1．随机变量可将随机试验的结果数量化．
2．随机变量与函数的异同点：
随机变量
函数
相同点
都是一种映射，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
不同点
把试验结果映射为实数，即随机变量的自变量是试验结果
把实数映射为实数，即函数的自变量是实数
1．下列变量中，不是随机变量的是(　　)
A．一射击手射击一次命中的环数
B．某个人的属相随年龄的变化
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
B　[属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．故选B．]
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A．取到产品的件数　
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
C　[取到次品的件数可能为0，1，2是随机的，可作为随机变量．]
3．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是(　　)
A．两颗都是4点
B．一颗1点，另一颗3点
C．两颗都是2点
D．一颗是1点，另一颗是3点；或者两颗都是2点
D　[由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1颗是1点，另一颗是3点；或者2颗都是2点．]
4．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为________．
4　[因为只有5把钥匙，最多只需试验4次，故ξ≤4．]
5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
[解]　根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．
PAGE2.2　离散型随机变量的分布列
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解离散型随机变量及分布列的概念．(重点)2．掌握离散型随机变量的分布列的求法．(难点)
1．通过离散型随机变量及分布列的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助求离散型随机变量的分布列，培养数学运算素养．
1．掷一枚骰子，所得点数为X，X是离散型随机变量吗？X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？
2．由问题1所得到的结论，能求出P(2＜X≤4)吗？
1．离散型随机变量
取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量X的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作：P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)，①，把①式列成如下表格：
X＝xi
x1
x2
…
xn
…
P(X＝xi)
p1
p2
…
pn
…
上述表格或①式称为离散型随机变量X的分布列．
如果随机变量X的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X服从这一分布列，并记作X～．
(2)性质：
在离散型随机变量X的分布列中，
①pi>0(i＝1，2，…，n，…)；
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．
3．伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验．
4．两点分布
如果随机变量X的分布列如表
X
1
0
P
p
q
其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)．
两点分布不仅是最简单的，也是最重要的概率分布模型，在实际生活中有着广泛的应用．
在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为什么为1?
[提示]　因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件，所以所有概率之和为1．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．
(　　)
(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．
(　　)
(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是(　　)
A．
ξ
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
B．
ξ
1
2
3
P
0.4
0.7
－0.1
C．
ξ
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.3
D．
ξ
1
2
3
P
0.3
0.1
0.4
[答案]　C
3．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________．
　[设10个球中有白球m个，则＝1－，解得m＝5．P(X＝2)＝＝．]
4．从集合{1，2，3，4，5}中，等可能地取出一个非空子集．
(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；
(2)记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列．
[解]　(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A．
基本事件总数n＝C＋C＋C＋C＋C＝31．
事件A包含的基本事件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}，事件A包含的基本事件数m＝3．
所以P(A)＝＝．
(2)依题意，X的所有可能值为1，2，3，4，5．
又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝．
故X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
类型1　离散型随机变量的分布列
【例1】　一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．
(1)求X的分布列；
(2)求X的取值不小于4的概率．
[解]　(1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝．
求离散型随机变量分布列的一般步骤：
?1?确定X的所有可能取值xi?i＝1，2，…?以及每个取值所表示的意义；
?2?利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P?X＝xi?＝pi?i＝1，2，…?；
?3?写出分布列；
?4?根据分布列的性质对结果进行检验.
[跟进训练]
1．一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5．在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列．
[解]　随机变量X的可能取值为1，2，3．
当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2，3，4，5的4个球中取，故有P(X＝1)＝＝＝；
当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3，4，5的3个球中取，故有P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4，5的2个球，故有P(X＝3)＝＝．因此，X的分布列为
X
1
2
3
P
类型2　离散型随机变量分布列的性质
【例2】　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P．
[思路点拨]　(1)先求出X的分布列，再根据分布列的性质确定a．(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．
[解]　依题意，随机变量X的分布列为
X＝i
P(X＝i)
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝．
(2)法一：P＝P＋P＋P＝＋＋＝．
法二：P＝1－P＝1－＝．
(3)因为故P＝P＋P＋P＝＋＋＝．
1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义．
2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．
[跟进训练]
2．已知随机变量X的分布列，求随机变量Y＝X2的分布列．
X＝i
－2
－1
0
1
2
3
P(X＝i)
[解]　由于Y＝X2对于X的不同取值－2，2及－1，1，Y分别取相同的值4与1，即Y取4这个值的概率为X取－2与2的概率与合并的结果，Y取1这个值的概率为X取－1与1的概率与合并的结果，故Y的分布列为
Y＝i
0
1
4
9
P(Y＝i)
类型3　离散型随机变量分布列的应用
【例3】　袋中装有标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
[思路点拨]　(1)利用古典概型公式求解即可；求解(2)的关键在于确定X的所有可能取值及取每个值的概率；(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和，由(2)易得其概率．
[解]　(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则
P(A)＝＝．
法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．
因为P(B)＝＝，
所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝．
(2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5．
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝．
所以随机变量X的分布列为
X
2
3
4
5
P
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝．
离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用.
[跟进训练]
3．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ，
(1)随机变量ξ的分布列；
(2)ξ≥8的概率．
[解]　　(1)由已知得ξ的取值为7，8，9，10，
∵P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
7
8
9
10
P
(2)法一：P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝．
法二：P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝1－＝．
1．离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．
2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点
(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．
1．若随机变量X的分布列如下，则m的值是(　　)
X＝i
1
2
3
P(X＝i)
m
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[由分布列的性质得m>0，且＋＋m＝1，故m＝．]
2．设随机变量X的分布列如下，则下列各式中正确的是(　　)
X
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.2
0.4
A．P(X＝1)＝0.1
B．P(X＞－1)＝1
C．P(X＜3)＝1
D．P(X＜0)＝0
A　[根据分布列知只有A正确．]
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)
A．0　　B．　　C．　　D．
B　[设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p．
依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝．
故P(ξ＝0)＝1－p＝．]
4．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，则n的值为________．
10　[由条件知，ξ取1，2，3，…，n时的概率均为．
又∵ξ<4时，n＝1，2，3，且P(ξ<4)＝0.3，∴＝0.3即n＝10．]
5．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
[解]　(1)X的分布列如下表：
X
0
1
P
(2)X的分布列如下表：
X
0
1
P
PAGE§3　离散型随机变量的均值与方差
3.1　离散型随机变量的均值
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．理解离散型随机变量均值的性质．(重点)3．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值的平均水平，解决一些相关的实际问题．(难点)
1．通过离散型随机变量均值概念的学习，培养数学抽象素养．2．求离散型随机变量的均值，培养数学运算素养．
著名经济学家纳什因提出“纳什均衡”而获得诺贝尔经济学奖．在纳什均衡论中有一个有趣的数学问题叫“囚徒困境”．
有两名同案犯，被警方抓获并隔离审讯．如果两人拒不交待，将因证据不足而被无罪释放；如果一方招供一方不招，招供的一方将因有立功表现而只被判3年，不招供的一方则将被判10年；如果双方都招供将各被判5年．请问他们将作何种选择？
离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X取值的平均水平．
(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b．
(1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量？
(2)随着样本容量的增加，样本的平均值与总体平均值有什么关系？
[提示]　(1)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．
(2)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均值．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化．
(　　)
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．
(　　)
(3)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(2X)＝2．
(　　)
(4)若随机变量X的数学期望EX＝1，则E(X＋1)＝2．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．随机变量X的分布列如下，则X的均值是(　　)
X
1
2
3
P
0.2
0.5
m
A．2　　B．2.1
C．2.3
D．随m的变化而变化
[答案]　B
3．设X的分布列如下，且Y＝2X＋5，则EY＝________．
X
1
2
3
4
P
[答案]　
4．现有A，B，C
3个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，且P(X＝0)＝，求随机变量X的数学期望EX．
[解]　由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，由于P(X＝0)＝，故(1－p)2＝，∴p＝．
∴P(X＝1)＝××＋××＋××＝＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝1－－－＝＝，
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
类型1　求离散型随机变量的均值
【例1】　袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
[思路点拨]　首先根据取到的两个球的不同情况，确定ξ的取值为0，1，2，3，4，再分别计算概率，即可得到分布列，然后利用均值的公式求解．
[解]　(1)由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
当ξ＝0时，即取到2个黑球，则P(ξ＝0)＝＝；
当ξ＝1时，即取到1个黑球和1个白球，则P(ξ＝1)＝＝；
当ξ＝2时，即取到1个红球和1个黑球或者取到2个白球，则P(ξ＝2)＝＋＝；
当ξ＝3时，即取到1个红球和1个白球，则P(ξ＝3)＝＝；
当ξ＝4时，即取到2个红球，则P(ξ＝4)＝＝．
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
(2)均值Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．
求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值．
(2)求概率：求X取每个值的概率．
(3)写分布列：写出X的分布列．
(4)求均值：由均值的定义求出EX，
其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．
[跟进训练]
1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出黑球不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数X的均值．
[解]　由题意知X的所有可能取值为1，2，3，4，5．
P(X＝1)＝＝0.2；
P(X＝2)＝×＝0.2；
P(X＝3)＝××＝0.2；
P(X＝4)＝×××＝0.2；
P(X＝5)＝××××＝0.2．
于是我们得到随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
所以EX＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3．
类型2　离散型随机变量均值的性质
【例2】　已知随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
(1)求EX；
(2)若Y＝2X－3，求EY．
[解]　(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
所以EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－．
(2)法一：由公式E(aX＋b)＝aEX＋b，得
EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×－3＝－．
法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y
－7
－5
－3
－1
1
P
所以EY＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－．
1．本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且Eξ＝－，求a的值．
[解]　Eξ＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15．
2．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
m
若η＝aξ＋3，Eη＝，则a＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
B　[由分布列的性质得＋＋m＝1，所以m＝，
所以Eξ＝－1×＋0×＋1×＝－，
法一：Eη＝E(aξ＋3)＝aEξ＋3＝－a＋3＝．
所以a＝2．
法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：
η
－a＋3
3
a＋3
P
Eη＝(－a＋3)×＋3×＋(a＋3)×＝．
所以a＝2．]
求离散型随机变量均值的解题思路
(1)若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出EX，再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求EY．
(2)利用X的分布列得到Y的分布列，关键由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得EY．
类型3　离散型随机变量均值的应用
【例3】　一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩：凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表：
摸5个球
中彩发放奖品
有5个白球
1顶帽子(价值20元)
恰有4个白球
1张贺卡(价值2元)
恰有3个白球
纪念品(价值0.5元)
其他
同乐一次(无任何奖品)
试计算：(1)摸一次能获得20元奖品的概率．
(2)按摸10
000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？
[思路点拨]　在一次摸球中，博彩者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，他能否赚钱，就要看该随机变量的均值是否大于0．
[解]　(1)摸一次能获得20元奖品的概率是P＝＝．
(2)如果把取到的白球作为随机变量X，则P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝，
所以博彩者的收入这一随机变量Y(可以为负数)的分布列为：
Y
－19
－1
0.5
1
P
所以收入的随机变量Y的均值为
EY＝(－19)×＋(－1)×＋0.5×＋1×≈0.431
8．
故这个人可以赚钱，且摸10
000次净收入的均值为4
318元．
?1?实际问题中的均值问题,均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计.
?2?概率模型的解答步骤
①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；
②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；
③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.
[跟进训练]
2．根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：
射手
8环
9环
10环
甲
0.3
0.1
0.6
乙
0.2
0.5
0.3
试比较甲、乙两射手射击水平的高低．
[解]　设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X1，X2，则
EX1＝8×0.3＋9×0.1＋10×0.6＝9.3，
EX2＝8×0.2＋9×0.5＋10×0.3＝9.1．
这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高，从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点．如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大．
1．本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法，难点是均值的实际应用．
2．要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论
(1)E(C)＝C(C为常数)；
(2)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2；
(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝EX1·EX2．
1．设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的数学期望为EX＝3，则a－b＝(　　)
A．　　　B．0　　　C．－　　　D．
A　[由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的数学期望EX＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，∴a＝，b＝0，∴a－b＝．]
2．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为(　　)
A．　　　B．　　　C．2　　　D．
D　[由题意得，X可能取值为2，3．且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．
所以EX＝×2＋×3＝2＋＝．]
3．如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数(AQI)趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
设X是此人停留期间空气质量优良的天数，则X的均值为(　　)
A．　　B．　　C．1　　D．
B　[离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝．
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以随机变量X的均值为EX＝0×＋1×＋2×＝．]
4．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)的得分的均值是________．
1.4　[设得分随机变量为X，依题意X＝0，1，2．
P(X＝0)＝C×0.70×(1－0.7)2＝0.09，
P(X＝1)＝C×0.71×(1－0.7)1＝0.42，
P(X＝2)＝C×0.72×(1－0.7)0＝0.49，
∴EX＝0×0.09＋1×0.42＋2×0.49＝1.4．]
5．一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数ξ的均值．
[解]　若该运动员投篮1次，则P(ξ＝1)＝0.6；若投篮2次，则说明他第1次没有投进，而第2次投进，P(ξ＝2)＝0.6×0.4＝0.24；若投篮3次，则说明他前2次没有投进，而第3次投进，P(ξ＝3)＝0.42×0.6；若投篮4次，则说明他前3次没有投进，而第4次投进，P(ξ＝4)＝0.43×0.6；若投篮5次，则说明他前4次没有投进，而第5次投进与否均可，所以概率为P(ξ＝5)＝0.44×1．所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.6
0.24
0.096
0.038
4
0.025
6
所以，投篮次数的均值为Eξ＝1×0.6＋2×0.24＋3×0.096＋4×0.038
4＋5×0.025
6＝1.649
6．
PAGE3.2　离散型随机变量的方差
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解离散型随机变量的方差的意义．(重点)2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点)
1．通过离散型随机变量的方差的学习，培养数学抽象素养．2．借助求离散型随机变量的方差，培养数学运算素养．
我们已经知道可以利用随机变量的均值来刻画随机变量取值的集中趋势，那么如何刻画随机变量取值的波动大小呢？
1．方差及标准差的定义
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)方差DX＝(xi－EX)2pi．(2)标准差σX＝．
2．方差的性质
D(aX＋b)＝a2DX．
(1)随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量？
(2)随着样本容量的增加，样本的方差与总体方差有什么关系？
[提示]　(1)随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的方差是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的．
(2)随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体方差．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量的取值越稳定．
(　　)
(2)若X是常数，则DX＝0．
(　　)
(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量与其期望的平均偏离程度．
(　　)
(4)若Y＝2X＋1，则DY＝4DX＋1．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．已知X的分布列为
X
1
2
3
4
P
则DX的值为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
[答案]　C
3．已知X的分布列为
X
0
1
2
P
设Y＝2X＋3，则DY＝________．
[答案]　
4．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，求DX．
[解]　由题知X＝6，9，12．
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝．
∴X的分布列为
X
6
9
12
P
∴EX＝6×＋9×＋12×＝7.8．
DX＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36．
类型1　求离散型随机变量的方差
【例1】　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差．
[解]　由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝4)＝＝．
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
Dξ＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75．
求离散型随机变量的方差的步骤
(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果．
(2)求出随机变量取各个值的概率．
(3)列出分布列．
(4)利用公式EX＝xipi求出随机变量的期望EX．
(5)代入公式DX＝(xi－EX)2pi，求出方差DX．
[跟进训练]
1．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望和方差．
[解]　乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2．
P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝1)＝×＋×＝；P(ξ＝2)＝×＝．
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
Eξ＝0×＋1×＋2×＝，
Dξ＝×＋×＋×＝．
类型2　方差的性质
【例2】　已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.2
a
0.2
0.1
求EX，DX，D(－2X－3)．
[解]　∵0.2＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，∴a＝0.3．
∴EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8．
DX＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56．
D(－2X－3)＝4DX＝6.24．
方差的性质
?1?D?aX＋b?＝a2D?X?.
?2?方差也可以用公式DX＝E?X2?－?EX?2计算?可由DX＝?xi－EX?2pi展开得到?.
[跟进训练]
2．如果X是离散型随机变量，EX＝6，DX＝0.5，X1＝2X－5，那么EX1和DX1分别是(　　)
A．EX1＝12，DX1＝1
B．EX1＝7，DX1＝1
C．EX1＝12，DX1＝2
D．EX1＝7，DX1＝2
D　[E(X1)＝2EX－5＝12－5＝7，D(X1)＝4DX＝4×0.5＝2．]
类型3　方差的实际应用
【例3】　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：
X
1
2
3
P
a
0.1
0.6
Y
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
[解]　(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3．
同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4．
(2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．
由于EX＞EY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX＞DY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论：依据均值和方差的意义做出结论．
[跟进训练]
3．有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：
X甲
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
X乙
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中X甲，X乙分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120．试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好？
[解]　EX甲＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，EX乙＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125．
又DX甲＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，
DX乙＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165．
由EX甲＝EX乙可知，甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于120．但由于DX甲1．解决离散型随机变量的均值与方差，关键在于找出随机变量的特点，求出其分布列后直接按定义求解．
2．对于应用题，必须对实际问题进行具体分析，先求出概率分布列、均值、方差，再对具体问题进行分析，做出决策．
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　)
A．m　　　　　
B．2m(1－m)
C．m(m－1)
D．m(1－m)
D　[随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
1－m
m
所以Eξ＝0×(1－m)＋1×m＝m．
所以Dξ＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．]
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　)
A．EX＝0，DX＝1
B．EX＝，DX＝
C．EX＝0，DX＝
D．EX＝，DX＝1
A　[由题意知，随机变量X的分布列为
X
－1
1
P
所以EX＝(－1)×＋1×＝0，DX＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1．]
3．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1A．　　　　B．　　　　C．3　　　　D．
C　[由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，
所以解得x1＝1，x2＝2或x1＝，x2＝舍去，
所以x1＋x2＝3，故选C．]
4．随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.1，则Dξ＝________．
ξ
0
1
x
P
p
0.49　[由随机变量分布列的性质求得p＝，由Eξ＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2．Dξ＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49．]
5．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：
降水量X
X<300
300≤X＜700
700≤X＜900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
[解]　(1)由已知条件和概率的加法公式有
P(X<300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2．
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1．
所以Y的分布列为
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8．
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8．
(2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，
又P(300≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6．
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝．
故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是．
PAGE§4　二项分布与超几何分布
4.1　二项分布
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握独立重复试验的概念及意义，理解在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式．(重点)2．理解n次独立重复试验的模型，并能用于解一些简单的实际问题．(重点、难点)3．理解二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布．
1．通过独立重复试验与二项分布的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助在n次独立重复试验中事件发生k次的概率公式与二项分布模型的应用，提升数学运算与数学建模素养．
以下四个试验，他们的共同点是什么？
(1)抛一枚质地均匀的硬币5次．
(2)某位同学玩射击游戏，总共射击10次，每次射中的概率为0.7．
(3)小明同学罚球的命中率为0.7，总共罚球4次．
(4)口袋有5个白球，4个黑球，有放回得抽4次．
1．n重伯努利试验
一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．二项分布的期望与方差
若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
独立重复试验必须具备哪些条件？
[提示]　独立重复试验必须具备以下条件：
①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变．
②各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立．
③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)掷一枚质地均匀的硬币三次，可看作3重伯努利试验．
(　　)
(2)二项分布是表示n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．
(　　)
(3)二项分布是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2．下列随机变量X不服从二项分布的是(　　)
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
B　[选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n，0.3)．]
3．一只蚂蚁位于数轴x＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x＝1处的概率为________．
　[由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁在x＝1处的概率为C××＝．]
4．加工某种零件需经过三道工序．设第一、二、三道工序的合格率分别为，，，且各道工序互不影响．
(1)加工一个零件是否是独立重复事件？求该零件的合格率；
(2)从该种零件中任取3件，恰好取到X件合格品，X是否服从二项分布？
(3)在(2)的条件下，求恰好取到1件合格品的概率．
[解]　(1)加工一个零件需经过三道工序，各道工序互不影响，它们是独立的，但三道工序的合格率不同，因此不是独立重复试验．由事件的独立性知，该种零件的合格率P＝××＝．
(2)从该种零件中任取3件，相当于3次独立重复试验，恰好取到X件合格品，即随机变量X的取值是取到合格品的事件发生的次数，因此X服从二项分布．
(3)由二项分布的概率公式得，恰好取到1件合格品的概率P(X＝1)＝C××＝0.189．
类型1　求伯努利试验的概率
【例1】　若图书室中只存放技术书和数学书，每名读者借技术书的概率为0.2，借数学书的概率为0.8．有5名读者依次借书，设每人只借一本书，求至多有2人借数学书的概率．
[思路点拨]　读者借一本书只有两种结果，每名读者借一本书可以看做是五次相互独立的重复试验，因此可用相互独立的重复试验的概率公式求解．
[解]　记“读者借数学书”为事件A，“读者借技术书”为事件，
因此，每名读者借一本书可看做是五次独立的重复试验，其中P(A)＝0.8，P()＝0.2，
故所求的概率为C×0.80×0.25＋C×0.81×0.24＋C×0.82×0.23＝0.057
92．
即至多有2人借数学书的概率为0.057
92．
1．伯努利试验有以下两个特点：
①对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；
②重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
2．在伯努利试验中，事件A发生k的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)．
[跟进训练]
1．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲，乙，丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：
①3位病人都被治愈的概率为0.93；
②3人中的甲被治愈的概率为0.9；
③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1；
④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12；
⑤3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.92×0.1．
其中正确结论的序号是________．(把正确的序号都填上)
①②④　[①中事件为3次独立重复试验恰有3次发生的概率，其概率为0.93，故①正确；由独立重复试验中，事件A发生的概率相同，知②正确；③中恰有2人被治愈的概率为P(X＝2)＝Cp2(1－p)＝3×0.92×0.1，从而③错误；④中恰好有2人未被治愈相当于恰好1人被治愈，故概率为C×0.9×0.12＝3×0.9×0.12，从而④正确．⑤中恰有2人被治愈且甲被治愈，可分为甲、乙被治愈，丙未被治愈或甲、丙被治愈，乙未被治愈，其概率为0.9×0.9×0.1＋0.9×0.1×0.9＝2×0.92×0.1，从而⑤错误．]
类型2　二项分布及其应用
【例2】　某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的分布列．
[思路点拨]　本题是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数X的分布列服从二项分布，可直接由二项分布得出．
[解]　在重复射击中，击中目标的次数X服从二项分布，X～B(n，p)．
由已知，n＝4，p＝0.8，P(X＝k)＝C·0.8k·(0.2)4－k，k＝0，1，2，3，4．
∴P(X＝0)＝C·0.80·(0.2)4＝0.001
6，
P(X＝1)＝C·0.81·(0.2)3＝0.025
6，
P(X＝2)＝C·0.82·(0.2)2＝0.153
6，
P(X＝3)＝C·0.83·(0.2)1＝0.409
6，
P(X＝4)＝C·0.84·(0.2)0＝0.409
6．
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.001
6
0.025
6
0.153
6
0.409
6
0.409
6
1．利用二项分布解题的关键在于建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
2．在解题时，要注意概率的加法公式、乘法公式、以及“正难则反”策略(利用对立事件求概率)的灵活运用．
[跟进训练]
2．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率
；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．
[解]　(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0，1，2，3)，则P(A3)＝·＝．
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝．
(2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C··＝，
P(X＝2)＝＝．
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
类型3　二项分布的期望与方差
【例3】　某人每次投篮时投中的概率都是．若投篮10次，求他投中的次数ξ的均值和方差．
[解]　因为ξ～B，所以Eξ＝10×＝5．Dξ＝10××＝．
由于两点分布、二项分布的方差已有现成的计算公式，所以在计算服从这些常见分布的随机变量的方差时，既可以利用定义进行计算，也可以代入它们的计算公式直接求解，很显然后一种方法不但计算量小而且准确率高，但使用后一种方法的前提是必须判断出随机变量服从这些常见的分布.
[跟进训练]
3．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值Eξ为3，标准差为．
(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
[解]　由题意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n．
(1)由Eξ＝np＝3，Dξ＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝．
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)＝＋＋＋＝，
所以需要补种沙柳的概率为．
1．凡是所涉及的n次试验相互独立，每次试验只有两个相互对立的结果A和，且在每次试验中，A发生的概率相同，则n次试验中A发生的次数X就服从二项分布．
2．凡是服从二项分布的随机变量一定只能取有限个值，否则，随机变量不服从二项分布．
3．凡服从二项分布的随机变量在表示n次试验中某事件发生的次数时，此事件在每次试验中发生的概率相等，否则随机变量不服从二项分布．
1．设随机变量X～B，则P(X＝3)＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
A　[由X～B，得P(X＝3)＝C＝．]
2．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为．记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，则X＝3的概率为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
C　[已知a1＝1，要使X＝3，只需后四位数中出现2个1和2个0，∴P(X＝3)＝C××＝．]
3．箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取出1个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为(　　)
A．×
B．×
C．C××
D．C××
B　[取球次数X是一个随机变量，X＝4表明前3次取出的球都是黄球，第4次取出白球．这4次取球，取得黄球的概率相等，且每次取球是相互独立的，所以这是独立重复试验．设A表示“取出的1个球是白球”，则P(A)＝＝，P()＝1－＝，故P(X＝4)＝P(
A)＝[P()]3·P(A)＝×．]
4．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则结束比赛，假定甲每局比赛获胜的概率为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为________．
　[因为甲以3∶1获胜，所以共下四局，则前3局中甲胜了2次，第四局甲胜，所以P＝C××＝．]
5．在反复进行的某种试验中，其每次成功的概率为0.7，该试验独立进行4次．
(1)求在4次试验中，只成功3次的概率；
(2)试求出第4次试验才成功的概率．
[解]　(1)由于试验独立进行，设随机变量X表示成功的次数，则X～B(4，0.7)．
∴所求概率为P(X＝3)＝C×0.73×(1－0.7)4－3＝0.411
6．
(2)第4次试验才成功，则前三次不成功，∴P＝0.33×0.7＝0.018
9．
PAGE4.2　超几何分布
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(重点、难点)
1．通过超几何分布的学习，培养数学素养建模．2．通过超几何分布的应用，培养数学运算素养．
已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X表示取得的次品数．
1．X可能取哪些值？
2．“X＝1”表示的试验结果是什么？P(X＝1)等于什么？
3．如何求P(X＝k)(k＝0，1，2)?
1．超几何分布的概念
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋．
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布．
2．超几何分布的期望(均值)
若随机变量X服从参数N，M，n的超几何分布，即X～H(N，M，n)，则均值EX＝．
设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中逐个抽取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数．
(1)如果每次抽取后不放回，那么随机变量X服从什么分布？
(2)如果每次抽取后放回，那么随机变量X服从什么分布？
[提示]　(1)X～H(N，M，n)；(2)X～B．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在超几何分布中，取出的n件产品中次品的件数的最小值一定是0．
(　　)
(2)在超几何分布中，取出的n件产品中次品的件数的最大值一定是n．
(　　)
(3)若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则p(X＝k)＝．
(　　)
(4)已知在8件产品中有3件次品，5件正品，现从中任取2件，用X表示取得的正品数，则X不服从超几何分布．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P＝＝．]
3．设8件产品中，有2件次品，现从中抽取4件，用X表示抽得次品的件数，则X服从参数为________(即定义中的N，M，n)的超几何分布．
[答案]　8，2，4
4．交5元钱，可以参加一次摸奖，袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽取2个球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
[解]　设随机变量X表示抽奖人所得的钱数，则X的取值为2、6、10．
P(X＝2)＝＝，
P(X＝6)＝＝，P(X＝10)＝＝．
故X的分布列为
X＝k
2
6
10
P(X＝k)
类型1　求超几何分布的分布列
【例1】　某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动．设所选3人中女生人数为X，求X的分布列．
[思路点拨]　写出X的可能取值→求出每个X对应的概率→写出分布列．
[解]　X的所有可能取值为0，1，2，由题意得：
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．
∴X的分布列为
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
1．解答本题易出现P(X＝k)算错或列表时X＝k与P(X＝k)的位置不对应的错误．
2．求超几何分布的分布列，关键是求得P(X＝k)的值，而求其值，就要先分清N，M和n的值．
[跟进训练]
1．本例中若所选3人中男生人数为X，其他条件不变，求X的分布列．
[解]　X的所有可能取值为1，2，3，由题意得：
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．
∴X的分布列为
X＝k
1
2
3
P(X＝k)
类型2　利用超几何分布模型求相应事件的概率
【例2】　在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件．
求：(1)2件都是合格品的概率；
(2)2件都是次品的概率；
(3)1件是合格品，
1件是次品的概率．
[思路点拨]　解答本题可根据超几何分布公式求解．
[解]　从100件产品中任取2件可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数C，由于任意抽取，这些结果出现的可能性相等，
∴C＝4
950为基本事件总数．
(1)100件产品中有95件合格品，取到2件合格品的结果数，就是从95个元素中任取2个的组合数C，记“任取2件都是合格品”为事件A1，那么事件A1的概率为P(A1)＝＝．
(2)由于在100件产品中有5件次品，取到2件次品的结果数为C，记“任取2件都是次品”为事件A2，那么事件A2的概率为P(A2)＝＝．
(3)记“任取2件，1件是合格品，1件是次品”为事件A3，而取到1件合格品，1件次品的结果数为CC，那么事件A3的概率为P(A3)＝＝．
1．解答本题第(3)问时，也可利用前两问的结果，借助其对立事件来求，即P(A3)＝1－P(A2)－P(A1)＝．
2．应用超几何分布的概率公式时，要正确确定M、N、n、k，同时要避免不必要的重复计算．
[跟进训练]
2．某种彩票的开奖是从1，2，…，36中任意选出7个基本号码，凡购买的彩票上的7个号码中有4个或4个以上基本号码就中奖，根据基本号码个数的多少，中奖的等级如表，
含有基本号码个数
4
5
6
7
中奖等级
四等奖
三等奖
二等奖
一等奖
求至少中三等奖的概率．
[解]　P(X≥5)＝P(X＝5)＋P(X＝6)＋P(X＝7)＝＋＋≈0.01，
∴至少中三等奖的概率为0.01．
类型3　超几何分布的综合应用
【例3】　在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观，在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A片区，3个场馆分布在B片区，3个场馆分布在C片区．由于参观的人很多，在进入每个场馆前都需排队等候，已知A片区的每个场馆的排队时间为2小时，B片区和C片区的每个场馆的排队时间都为1小时．参观前小红突然接到公司通知，要求她一天后务必返回，于是小红决定从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观．
(1)求小红每个片区都参观1个场馆的概率；
(2)设小红排队时间总和为X(小时)，求随机变量X的分布列．
[思路点拨]　(1)利用古典概型公式求解；(2)A片区需等2小时，B片区、C片区均需等1小时，这样A片区参观场馆的个数可视为超几何分布，也可按三区计算，分类讨论．
[解]　(1)从10个场馆中随机选定3个场馆，基本事件的总数为C＝120，
设“小红每个片区都参观1个场馆”为事件D，其中所包含的基本事件的个数为CCC＝36．由于每个基本事件发生的可能性是相等的，所以P(D)＝＝．
即小红每个片区都参观1个场馆的概率是．
(2)随机变量X可能取得的值为3，4，5，6．
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝．
∴随机变量X的分布列为
X＝k
3
4
5
6
P(X＝k)
1．本例(3)按所等时间分两类时X并不服从超几何分布，但A片区参观场馆的个数服从超几何分布．它们之间存在着对应关系．
2．解决这类问题的关键是要根据题目中所给条件与超几何分布的概念，确定所求问题是否服从超几何分布．
[跟进训练]
3．一袋中有x(x∈N＋)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．
(1)当x＝3时，求取出的2个球颜色都相同的事件的概率；
(2)当x＝3时，设X表示取出的2个球中红球的个数，求X的分布列；
(3)如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于，求x的最小值．
[解]　(1)当x＝3时，设“取出的2个球颜色都相同”为事件A，
P(A)＝＝，即取出的2球颜色都相同的事件概率为．
(2)当x＝3时，X可取0，1，2，
∵P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．
∴X的概率分布列为
X＝k
0
1
2
P(X＝k)
(3)设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则P(B)＝<，
∴x2－6x＋2>0，
∴x>3＋或x<3－，且x∈N＋，
∴x的最小值为6．
解决超几何分布问题的关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同m时的概率P(X＝m)，从而求出X的分布列．
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
C　[根据题意知该问题服从超几何分布，∴P＝＝．]
2．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是(　　)
A．没有白球
B．至少有一个白球
C．至少有一个红球
D．至多有一个白球
B　[＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．]
3．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A．N＝9，M＝4，n＝4
B．N＝9，M＝5，n＝5
C．N＝13，M＝4，n＝4
D．N＝14，M＝5，n＝5
A　[由超几何分布的定义可知N，M，n分别为9，4，4．]
4．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)
　[设选取的4人中英国人有X个，由题意知X服从参数为N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)．
∴P(X＝3)＝．]
5．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
[解]　X的可能取值是1，2，3，
P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝．
故X的分布列为
X
1
2
3
P
PAGE概率
类型1　离散型随机变量分布列及应用
【例1】　袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示摸球终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量X的分布列；
(3)求甲取到白球的概率．
[思路点拨]　(1)可由概率求出白球的个数；(2)先确定随机变量的取值，再求出概率，得出分布列；(3)取到白球的事件含有取到1个白球，3个白球，5个白球．
[解]　(1)设袋中原有n个白球，由题意，知＝＝＝，可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，X的可能取值为1，2，3，4，5．
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝．
所以取球次数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取球．记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝．
1．离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
2．求离散型随机变量分布列的步骤
第一步，确定随机变量X的所有可能取值；
第二步，求出随机变量X取每一个值时相应的概率；
第三步，列表．
[跟进训练]
1．某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9
000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
(1)获赔的概率；
(2)获赔金额ξ的分布列．
[解]　设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k＝1，2，3．由题意知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝．
(1)该单位一年内获赔的概率为1－P(
)＝1－P(1)P(2)P(3)＝1－××＝．
(2)ξ的所有可能值是0，9
000，18
000，27
000．
P(ξ＝0)＝P(
)＝P(1
)P(2
)P(3
)＝××＝，
P(ξ＝9
000)＝P(
)＋P(1
A23)＋P(
A3)
＝P(A1)P(2)P(3)＋P(1)P(A2)P(3)＋P(1)P()P(A3)
＝××＋××＋××
＝＝，
P(ξ＝18
000)＝P(A1A23)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝××＋×
×＋××＝＝，
P(ξ＝27
000)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝××＝．
综上可知，ξ的分布列为
ξ
0
9
000
18
000
27
000
P
类型2　离散型随机变量的均值与方差
【例2】　A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列和期望．
[思路点拨]　根据题意可得X的可能值为0，1，2，3，且X～B(3，p)．
[解]　(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2，依题意有：
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝．P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝，
所求概率为P＝P(B0·A1)＋P(B0·A2)＋P(B1·A2)＝×＋×＋×＝．
(2)X的可能值为0，1，2，3，且X～B(3，)．
即P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝＝．
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
1．均值和方差都是随机变量的两个重要的数字特征，方差是建立在均值基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．离散型随机变量的均值与方差在实际问题特别是风险决策中有着重要意义．
2．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值与方差的定义求出EX、DX．
3．若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
[跟进训练]
2．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望．
[解]　设Ai(i＝0，1，2，3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0，1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝．
(2)X的所有可能值为：0，10，50，200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝．
综上可知，获奖金额X的分布列为
X
0
10
50
200
P
从而有EX＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．
类型3　事件的相互独立与二项分布的应用
【例3】　某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和期望；
(2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率．
[思路点拨]　本题解题的关键是明确ξ的取值及ξ取不同值时所表示的试验结果，明确ξ的取值后，利用相互独立事件的概率公式计算即可．
[解]　(1)如果三个题目均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)．
如果三个题目均答对，得10＋10＋20＝40(分)．
如果三个题目一对两错，包括两种情况：
①前两个中一对一错，第三个错，得10＋0＋(－10)＝0(分)；
②前两个错，第三个对，得0＋0＋20＝20(分)．
如果三个题目两对一错，也包括两种情形：
①前两个对，第三个错，得10＋10＋(－10)＝10(分)；
②第三个对，前两个一对一错，得20＋10＋0＝30(分)．
故ξ的可能取值为－10，0，10，20，30，40．
P(ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016；
P(ξ＝0)＝C×0.2×0.8×0.4＝0.128；
P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256；
P(ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024；
P(ξ＝30)＝C×0.8×0.2×0.6＝0.192；
P(ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384．
所以ξ的分布列为
ξ
－10
0
10
20
30
40
P
0.016
0.128
0.256
0.024
0.192
0.384
所以Eξ＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24．
(2)这位挑战者总得分不为负数的概率为P(ξ≥0)＝1－P(ξ<0)＝1－0.016＝0.984．
1．独立事件是相互之间无影响的事件，P(AB)＝P(A)P(B)是事件A，B独立的充要条件．
2．n重伯努利试验中，某事件A恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，其中随机变量X服从二项分布．
[跟进训练]
3．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
[解]　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”．
因为P(X＝5)＝×＝，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1－＝，即这2人的累计得分X≤3的概率为．
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B，X2～B，
所以EX1＝2×
＝，EX2＝2×＝，
从而E(2X1)＝2EX1＝，E(3X2)＝3EX2＝．
因为E(2X1)＞E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
类型4　正态分布的应用
【例4】　在某次语文考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90，100)．
(1)试求考试成绩X位于区间(70，110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2
000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人？
[思路点拨]　正态分布已确定，则μ和σ可求出，这样就可以根据正态分布的三个常见的区间上取值的概率进行求解．
[解]　∵X～N(90，100)，∴μ＝90，σ2＝100，σ＝10．
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率就是0.954．
(2)μ－σ＝80，μ＋σ＝100，由于正态变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683，所以考试成绩X位于区间(80，100)内的概率是0.683，一共有2
000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有2
000×0.683＝1
366(人)．
正态分布在实际生产生活中有着广泛的应用，在解题中注意求准正态分布中的参数μ，σ，熟练掌握随机变量在三个区间?μ－σ，μ＋σ?，?μ－2σ，μ＋2σ?，?μ－3σ，μ＋3σ?内取值的概率，并结合正态分布密度曲线的性质解决实际问题.
[跟进训练]
4．某厂生产的圆柱形零件的外径X～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1
000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7
cm．试问该厂生产的这批零件是否合格？
[解]　由于圆柱形零件的外径X～N(4，0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4，0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)，即(2.5，5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7?(2.5，5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．
【例】　某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
[解]　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2．可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19．
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4
040．
当n＝20时，
EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4
080．
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19．
频率分布直方图、条形图、柱状图等是考查数据收集和整理的常用依据，掌握图中常见数据的提取方法，将频率看作概率是解决这类问题的关键.
[素养提升练]
某市某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该市空气质量指数与空气质量等级对应关系，如表(假设该区域空气质量指数不会超过300)．
空气质量指数
(0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
(200，250]
(250，300]
空气质量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该市在2020年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．
(1)请估算2020年(以365天计算)全年该市空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；
(2)该市将于2020年12月25，26，27日举办一场国际会议，若这三天中某天出现5级重度污染，则该天需要净化空气费用10万元，出现6级严重污染，则该天需要净化空气费用20万元，假设每天的空气质量等级相互独立，记这三天净化空气总费用为X万元，求X的分布列及数学期望．
[解]　(1)由直方图可得2020年(以365天计算)全年该市空气质量优良的天数为(0.002＋0.004)×50×365＝0.3×365＝109.5≈110．
(2)由题可知，X的所有可能取值为0，10，20，30，40，50，60，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝10)＝C××＝，
P(X＝20)＝C××＋C××＝＝，
P(X＝30)＝＋C××C××＝，
P(X＝40)＝C××＋C××＝，
P(X＝50)＝C××＝，
P(X＝60)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
10
20
30
40
50
60
P
EX＝0×＋10×＋20×＋30×＋40×＋50×＋60×＝9(万元)．
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