资源简介

§1　一元线性回归
1.1　直线拟合
1.2　一元线性回归方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过实例掌握回归分析的基本思想方法．(难点)2．会利用最小二乘法求线性回归方程，并能用线性回归方程进行预报．(重点)
通过线性回归方程的应用，培养数学建模与数据分析素养．
圆的周长l与半径r是什么关系？父亲的身高与儿子的身高之间有何关系？这两个问题有什么不同？
1．变量之间的相关关系
(1)变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重y与身高x．一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性．
(2)在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将成对数据(xi，yi)所对应的点描出来，这些点构成的图称为散点图．
(3)在两个变量X和Y的散点图中，若所有点看上去都在一条光滑的曲线附近波动，此时就可以用这条曲线近似地描述这两种变量之间的关系，该过程称之为曲线拟合；若所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用这条直线近似地描述这两种变量之间的关系，该过程称之为直线拟合．
2．最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用
[yi－?a＋bxi?]2来刻画这些点与直线Y＝a＋bX的接近程度，使得上式达到最小值的直线Y＝a＋bX就是要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
3．线性回归方程
假设成对数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归方程为Y＝a＋bX，则
＝＝，＝－．
在线性回归方程Y＝a＋bX中，当一次项系数b为正数时，其散点图有什么特征？
[提示]　在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正方体的体积V与其边长a是函数关系．
(　　)
(2)西瓜藤的长短与西瓜的产量不是函数关系．
(　　)
(3)散点图可以粗略地判断两个变量是否具有线性相关关系．
(　　)
(4)在求线性回归方程之前，应先判断这两个变量是否具有线性相关关系．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．根据下表中的数据，得到的回归方程为Y＝bX＋9，则b＝(　　)
X
4
5
6
7
8
Y
5
4
3
2
1
A．2　　B．1　　C．0　　D．－1
D　[由题意可得＝×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，＝×(5＋4＋3＋2＋1)＝3，∵回归方程为Y＝bX＋9且回归直线过点(6，3)，∴3＝6b＋9，解得b＝－1．]
3．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到如下数据：
天数X/天
3
4
5
6
7
繁殖个数Y/万个
2.5
3
4
4.5
c
若已知回归直线方程为Y＝0.85X－0.25，则表中c的值为________．
6　[＝＝5，＝＝，代入回归直线方程，得＝0.85×5－0.25，所以c＝6．]
4．某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第X年与年销售量Y(单位：万件)之间的关系如下表：
X
1
2
3
4
Y
12
28
42
56
(1)在图中画出表中数据的散点图；
(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合Y与X的关系(不必说明理由)；
(3)建立Y关于X的回归方程，预测第5年的销售量．
参考公式：回归直线X的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝＝，＝－．
[解]　(1)作出的散点图如图．
(2)根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合Y与X的关系．
(3)观察(1)中散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：
i
xi
yi
x
xiyi
1
1
12
1
12
2
2
28
4
56
3
3
42
9
126
4
4
56
16
224
∑
10
138
30
418
可得＝，＝，
所以＝＝＝，＝－＝－×＝－2．
故回归直线方程为Y＝X－2．
当x＝5时，y＝×5－2＝71．
故预测第5年的销售量大约为71万件．
类型1　散点图及其应用
【例1】　5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生学科　　　
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
[思路点拨]　可以以数学成绩为自变量，考查因变量物理成绩的变化趋势．
[解]　以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图．
由散点图可见，两者之间具有相关关系．
判断变量之间有无相关关系，一种常用的方法是绘制散点图，散点图是分析研究两个变量相关关系的重要手段.从散点图中，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的，否则不是线性相关.
[跟进训练]
1．李老师为了了解学生的计算能力，对某同学进行了10次试验，收集数据如下：
题数x(道)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
做题时间y(分钟)
9
19
26
37
48
52
61
73
81
89
画出散点图，并判断它们是否有线性相关关系．
[解]　散点图如图，由散点图可以看出，两者之间具有线性相关关系．
类型2　求线性回归方程
【例2】　某研究机构对高三学生的记忆力X和判断力Y进行统计分析，得下表数据：
X
6
8
10
12
Y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程Y＝bX＋a．
[解]　(1)散点图如图．
(2)因为＝＝9，
＝＝4，
xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
x＝62＋82＋102＋122＝344，
所以＝＝＝＝0.7，＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为Y＝0.7X－2.3．
[跟进训练]
2．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利Y(元)与该周每天销售这种服装件数X之间的一组数据如下表：
X
3
4
5
6
7
8
9
Y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求样本点的中心；
(2)画出散点图；
(3)求纯获利Y与每天销售件数X之间的回归方程．
[解]　(1)＝6，≈79.86，样本点的中心为(6，79.86)．
(2)散点图如下．
(3)因为xiyi＝3
487，x＝280，
所以＝＝≈4.75．
＝－≈51.36，
所以Y＝4.75X＋51.36．
类型3　线性回归分析的应用
【例3】　某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价X(X取整数)(元)与日销售量Y(台)之间有如下关系：
X
35
40
45
50
Y
56
41
28
11
(1)画出散点图，并判断Y与X是否具有线性相关关系；
(2)求日销售量Y对销售单价X的线性回归方程；(b取整数)
(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(2)写出P关于X的函数关系式，并预测当销售单价X为多少元时，才能获得最大日销售利润．
[解]　(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．
(2)因为＝×(35＋40＋45＋50)＝42.5，＝×(56＋41＋28＋11)＝34．
xiyi＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5
410．
x＝352＋402＋452＋502＝7
350．
所以＝＝＝≈－3．
＝－＝34－(－3)×42.5＝161.5．
所以线性回归方程为Y＝161.5－3X．
(3)依题意，有P＝(161.5－3X)(X－30)＝－3X2＋251.5X－4
845＝－3＋－4
845．
所以当X＝≈42时，P有最大值，约为426元．即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．
对两个变量进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误.
[跟进训练]
3．在一段时间内，某种商品的价格X(万元)和需求量Y(t)之间的一组数据如下表所示：
价格X
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量Y
12
10
7
5
3
(1)画出散点图；
(2)求出Y对X的回归直线方程；
(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．(精确到0.01
t)
[解]　(1)散点图如图所示．
(2)采用列表的方法计算a与回归系数b．
序号
xi
yi
x
xiyi
1
1.4
12
1.96
16.8
2
1.6
10
2.56
16
3
1.8
7
3.24
12.6
4
2
5
4
10
5
2.2
3
4.84
6.6
Σ
9
37
16.6
62
＝×9＝1.8，＝×37＝7.4，
＝＝＝－11.5，
＝7.4＋11.5×1.8＝28.1．
所以Y对X的回归直线方程为Y＝28.1－11.5X．
(3)当x＝1.9时，y＝28.1－11.5×1.9＝6.25，所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25
t．
1．判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关．
2．求回归直线的方程时应注意的问题
(1)应首先进行相关性检验．如果两个变量之间不具有线性相关关系，或者说它们之间的线性相关关系不显著，即使求出回归直线的方程也是毫无意义的，用其估计和预测的值也是不可信的．
(2)用公式计算a，b的值时，要先算出b，然后才能算出a．
3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为Y＝bX＋a，则X＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a．
1．对具有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程Y＝a＋bX中，线性回归方程系数b(　　)
A．可以小于0
B．只能大于0
C．可能等于0
D．只能小于0
A　[b可能大于0，也可能小于0，但当b＝0时，x，y不具有线性相关关系．]
2．有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；
③通过回归方程Y＝bX＋a可以估计观测变量的取值和变化趋势；
④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1　　B．2　　
C．3　　D．4
C　[①②③正确．]
3．某产品的广告费用X与销售额Y的统计数据如下表：
广告费用X(万元)
4
2
3
5
销售额Y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程Y＝bX＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.36万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
B　[因为＝＝3.5，＝＝42，
所以a＝－b＝42－9.4×3.5＝9.1，
所以回归方程为Y＝9.4X＋9.1，
所以当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．]
4．某研究机构对儿童记忆能力X和识图能力Y进行统计分析，得到如表数据：
记忆能力X
4
6
8
10
识图能力Y
3
5
6
8
由表中数据，求得线性回归方程为Y＝X＋a，当某儿童的记忆能力为12时，预测他的识图能力为________．
9.5　[因为＝＝7，＝＝5.5，
所以5.5＝0.8×7＋a，所以a＝－0.1．
当x＝12时，y＝0.8×12－0.1＝9.6－0.1＝9.5．]
5．已知一个回归直线方程为Y＝1.5X＋45，X∈{1，7，5，13，19}，求．
[解]　由已知可知：＝＝9．
又∵回归直线过点(，)，
∴＝1.5＋45，即＝1.5×9＋45＝58.5．
PAGE§2　成对数据的线性相关性
2.1　相关系数
2.2　成对数据的线性相关性分析
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解两个随机变量间的线性相关系数r，并能利用公式求出相关系数r．(重点)2．了解正相关、负相关、不相关的概念．3．能利用相关系数r判断两个随机变量间线性相关程度，从而判断回归直线拟合的效果．(重点)
1．通过相关系数、正相关、负相关等概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助相关系数r的应用，提升数学建模与数据分析素养．
利用散点图可以从形上判断两个变量是否线性相关，如何从数上判断呢？
1．相关系数r的计算
一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数
r＝
＝
2．相关系数r与线性相关程度的关系
(1)r的取值范围为[－1，1]；
(2)|r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；
(3)|r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱．
3．相关性的分类
(1)当r>0时，两个变量正相关；
(2)当r<0时，两个变量负相关；
(3)当r＝0时，两个变量线性不相关．
假设两个随机变量的相关系数r＝0，这是否说明这两个随机变量不相关？
[提示]　只能说明这两个随机变量不线性相关，而不能说明这两个随机变量不相关．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个变量的相关系数r＞0，则两个变量正相关．
(　　)
(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．
(　　)
(3)若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．下列四个散点图中，变量X与Y之间具有线性负相关关系的是(　　)
A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D
D　[观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量X与Y之间具有负的线性相关关系．故选D．]
3．部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值与工业增加值资料如下表(单位：百万元)：
固定资产价值
3
3
5
6
6
7
8
9
9
10
工业增加值
15
17
25
28
30
36
37
42
40
45
根据上表计算的相关系数为________．
0.991
8　[∵＝＝6.6．
＝＝31.5．
∴r＝＝0.991
8．]
4．一唱片公司欲知唱片费用X(十万元)与唱片销售量Y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽取了10张，得到如下的资料：xi＝28，x＝303.4，yi＝75，y＝598.5，xiyi＝237，求Y与X的相关系数r的值．
[解]　由题中数据可知，
r＝＝0.3．
类型1　正、负相关的判断
【例1】　对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　　)
(1)　　　　　　　(2)
(3)　　　　　　　(4)
A．r2B．r4C．r4D．r2A　[由散点图知图(1)与图(3)是正相关，故r1>0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r2<0，r4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2判断正、负相关的方法
?1?利用散点图来判断；
?2?利用线性回归系数b的正负来判断；
?3?利用线性相关系数r的正负来判断.
[跟进训练]
1．在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图，下列结论中正确的是(　　)
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
B　[观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%．]
类型2　线性相关系数及应用
【例2】　维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”Y来衡量，这个指标越高，耐热水性能就越好，而甲醛浓度是影响“缩醛化度”的重要因素，在生产中常用甲醛浓度X(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批试验，获得如下表数据．
甲醛浓度(克/升)
18
20
22
24
26
28
30
缩醛化度(克分子%)
26.86
28.35
28.75
28.87
29.75
30.00
30.36
求相关系数r．
[思路点拨]　利用相关系数r的公式计算．
[解]　列表如下：
i
xi
yi
x
xiyi
y
1
18
26.86
324
483.48
721.459
6
2
20
28.35
400
567
803.722
5
3
22
28.75
484
632.5
826.562
5
4
24
28.87
576
692.88
833.476
9
5
26
29.75
676
773.5
885.062
5
6
28
30.00
784
840
900
7
30
30.36
900
910.80
921.729
6
∑
168
202.94
4
144
4
900.16
5
892.013
6
＝24，＝28.99，
r＝
＝≈0.94．
当相关系数|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越高，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越低.
[跟进训练]
2．下列是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量
320
330
360
410
460
470
480
判断施化肥量与水稻产量是否有相关关系．
[解]　列表如下：
i
xi
yi
x
y
xiyi
1
15
320
225
102
400
4
800
2
20
330
400
108
900
6
600
3
25
360
625
129
600
9
000
4
30
410
900
168
100
12
300
5
35
460
1
225
211
600
16
100
6
40
470
1
600
220
900
18
800
7
45
480
2
025
230
400
21
600
∑
210
2
830
7
000
1
171
900
89
200
∴r＝＝≈0.975．
由于r＝0.975>0，因此施化肥量和水稻产量成线性正相关关系．
类型3　非线性回归方程及应用
【例3】　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(ωi－)2
(xi－)·(yi－)
(ωi－)·(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1
469
108.8
表中ωi＝，＝ωi．
(1)根据散点图判断，Y＝a＋bX与Y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量Y关于年宣传费X的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立Y关于X的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x．根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
＝，＝－β．
[解]　(1)由散点图可以判断，Y＝c＋d适宜作为年销售量Y关于年宣传费X的回归方程类型．
(2)令ω＝，先建立Y关于ω的线性回归方程，由于
＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以Y关于ω的线性回归方程为Y＝100.6＋68ω，因此Y关于X的回归方程为Y＝100.6＋68．
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
y＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12．
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z
取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
1．对于非线性回归分析问题，应先进行变量代换，
求出代换后的回归直线方程，再求非线性回归方程．
2．回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
[跟进训练]
3．某市共有200
000名中小学生，其中有7%的学生在2019年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5∶3∶2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1
000元、1
500元、2
000元．经济学家调查发现，当地人均可支配收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“国家精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难．现统计了该地级市2015年到2019年共5年的人均可支配收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x取15时代表2015年，x与y(万元)近似满足关系式y＝C1·2C2x，其中C1，C2为常数(2015年至2021年该市中小学生人数大致保持不变)．
(ki－)2
(yi－)2
(xi－)(yi－)
(xi－)(ki－)
2.3
1.2
3.1
4.6
2
1
其中ki＝log2
yi，＝ki．
(1)估计该市2020年人均可支配收入；
(2)求该市2020年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少．
附：①对于一组具有线性相关关系的数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线方程v＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝，α＝－β．
②
2－0.7
2－0.3
20.1
21.7
21.8
21.9
0.6
0.8
1.1
3.2
3.5
3.73
[解]　(1)因为＝×(13＋14＋15＋16＋17)＝15，所以
(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10．
由k＝log2
y得k＝log2
C1＋C2x，
所以C2＝＝，log2
C1＝－C2＝1.2－×15＝－0.3，
所以C1＝2－0.3＝0.8，所以y＝0.8×2
eq
\s\up10()．
当x＝18时，y＝0.8×21.8＝0.8×3.5＝2.8(万元)．
即该市2020年人均可支配收入为2.8万元．
(2)由题意知2019年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生有200
000×7%＝14
000人，
一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7
000人、4
200人、2
800人，2020年人均可支配收入比2019年增长＝20.1－1＝0.1＝10%，
所以2020年该市特别困难的中学生有2
800×(1－10%)＝2
520人．
很困难的的学生有4
200×(1－20%)＋2
800×10%＝3
640人，
一般困难的学生有7
000×(1－30%)＋4
200×20%＝5
740人．
所以2020年的“专项教育基金”的财政预算大约为5
740×1
000＋3
640×1
500＋2
520×2
000＝16
240
000(元)＝1
624(万元)．
1．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．
2．相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，从量上给出了有无必要建立两变量间的线性回归方程．
1．在对两个变量X，Y进行线性回归分析时，有下列步骤：
①对所求出的回归直线方程作出解释；
②收集数据(xi，yi)，i＝1，2，…，n；
③求线性回归方程；
④求相关系数；
⑤根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可行性要求能够作出变量X，Y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是(　　)
A．①②⑤③④
B．③②④⑤①
C．②④③①⑤
D．②⑤④③①
D　[对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i＝1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①．]
2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1　　B．0　　C．－　　D．1
A　[完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为－1，故选A．]
3．已知变量X，Y之间的线性回归方程为y＝－0.7x＋10.3，且变量X，Y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是(　　)
X
6
8
10
12
Y
6
m
3
2
A．变量X，Y之间呈负相关关系
B．可以预测，当x＝20时，y＝－3.7
C．m＝4
D．该回归直线必过点(9，4)
C　[由－0.7<0，得变量X，Y之间呈负相关关系，故A正确；当x＝20时，y＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B正确；由表格数据可知＝×(6＋8＋10＋12)＝9，＝(6＋m＋3＋2)＝，则＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C错；由m＝5，得＝＝4，所以该回归直线必过点(9，4)，故D正确．故选C．]
4．某地区近10年居民的年收入X与年支出Y之间的关系大致符合＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是_____
亿元．
12.1　[将x＝15代入＝0.8x＋0.1，得＝12.1．]
5．某班的健康调查小组从所在学校共选取15名男同学，其年龄、身高和体重数据如表所示(本题中身高单位：cm，体重单位：kg)．
年龄
(身高，体重)
年龄
(身高，体重)
15
(154，48)，(161，65)，(168，64)
18
(166，64)，(168，72)，(182，74)
16
(158，50)，(162，59)，(175，80)
19
(160，51)，(172，68)，(178，90)
17
(161，60)，(167，62)，(173，68)
根据表中数据，设计了两种方案预测学生身高．方案①：建立平均体重与年龄的线性回归模型，表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算，数据整理如下表：
i
1
2
3
4
5
年龄ti
15
16
17
18
19
平均体重si
59
63
63.3
70
69.7
方案②：建立平均体重与平均身高的线性回归模型，将所有数据按身高重新分成6组：[153，158)，[158，163)，[163，168)，[168，173)，[173，178)，[178，183]，并将每组的平均身高依次折算为155，160，165，170，175，180，各组的体重按平均体重计算，数据整理如下表．
i
1
2
3
4
5
6
平均身高xi
155
160
165
170
175
180
平均体重yi
48
57
63
68
74
82
(1)用方案①预测20岁男同学的平均体重和用方案②预测身高168
cm的男同学的平均体重，你认为哪个更合理？请给出理由；
(2)请根据方案②建立平均体重Y与平均身高X的线性回归方程Y＝X＋(数据精确到0.001)．
附：＝＝，＝－，xiyi＝66
225，x＝168
775，＝，＝．
[解]　(1)对比两种方案，用方案②预测身高168
cm的男同学的平均体重更合理．
因为身高和体重的相关关系强于年龄与体重的相关关系．
(2)＝＝≈1.291，
又因为(，)在回归直线上，
所以＝－＝－1.291×≈－150.909．
故平均体重Y与平均身高X的线性回归方程为
Y＝1.291X－150.909．
PAGE§3　独立性检验问题
3.1　独立性检验
3.2　独立性检验的基本思想
3.3　独立性检验的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过对典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用．(重点)2．知道独立性检验在生物统计、医学统计、企业单位等方面的应用，养成实事求是的科学态度．
通过独立性检验在生物统计、医学统计、企业单位等方面的应用，培养数学建模与数据分析素养．
在上个世纪末时，有女性控告美国加州大学伯克莱分校在录取研究生时存在性别歧视，她们提供了一份数据：
录取
未录取
总计
录取率
男
1
198
1
493
2
691
44.5%
女
557
1
278
1
835
30.4%
总计
1
755
2
771
4
526
38.8%
她们说男生的录取率比女生的录取率高了很多，所以她们有理由相信校方存在性别歧视．经过计算后她们发现χ2＝92.205，远远大于10.828，所以她们有99.9%的把握认为性别对录取是有影响的．其依据就是我们将要学的独立性检验的有关知识方法．
1．与列联表相关的概念
(1)分类变量：变量的不同“值”，表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
(2)列联表：
①列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．
②一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
　　BA　　
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
2．独立性检验的基本思想
(1)定义：利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
(2)公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
(3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断．
①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
②当χ2>2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
③当χ2>3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联；
④当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联．
设n＝a＋b＋c＋d，用估计P(A1B1)，用估计P(A1)，用估计P(B1)，在什么情况下，A1与B1独立？
[提示]　当＝·时，A1与B1独立．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2值越大．
(　　)
(2)当χ2<2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联．
(　　)
(3)列联表频率分析法可初步分析两分类变量是否有关系，而独立性检验中χ2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．某市政府调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3
000人，计算发现χ2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度是(　　)
P(χ2≥k)
…
0.15
0.10
0.025
0.010
0.005
…
k
…
2.072
2.706
5.024
6.635
7.879
…
A．90%　
　B．95%　
　C．
97.5%　
　D．99.5%
C　[∵χ2＝6.023>5.024，∴可断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程度为97.5%，故选C．]
3．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(　　)
A．平均数与方差　　
B．回归分析
C．独立性检验
D．概率
C　[判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．]
4．吃零食是中学生普遍存在的现象．吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表：
　　　　　　　性别吃零食情况　　　　　
男
女
总计
喜欢吃零食
5
12
17
不喜欢吃零食
40
28
68
总计
45
40
85
试回答吃零食与性别有关系吗？
[解]　χ2＝＝＝≈4.722>3.841．
所以有95%以上的把握认为“吃零食与性别”有关．
类型1　2×2列联表及应用
【例1】　下面是2×2列联表．
　　　BA　　　
B1
B2
总计
A1
33
21
54
A2
a
13
46
总计
b
34
100
(1)表中a，b处的值应为多少？
(2)若用频率估计概率，则P(A1)、P(B1)、P(A1B1)分别是多少？
(3)表中的数据能说明A1与B1相互独立吗？
[解]　(1)a＝46－13＝33，b＝33＋a＝33＋33＝66．
(2)P(A1)＝，P(B1)＝，P(A1B1)＝．
(3)因为P(A1)×P(B1)＝×≈＝P(A1B1)，所以表中的数据能说明A1与B1相互独立．
若＝·成立，则可以认为A1与B1相互独立.
若＝·成立，则可以认为A1与B2相互独立.
若＝·成立，则可以认为A2与B1相互独立.
若＝·成立，则可以认为A2与B2相互独立.
由于频率不同于概率，即使变量A与B相互独立，式子两边也不一定相等.
[跟进训练]
1．在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系．
[解]　2×2列联表如下：
年龄在六十岁以上
年龄在六十岁以下
总计
饮食以蔬菜为主
43
21
64
饮食以肉类为主
27
33
60
总计
70
54
124
将表中数据代入公式得
＝＝0.671
875．
＝＝0.45．
显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．
类型2　两个变量的独立性检验
【例2】　为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试判断“学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关”？
[解]　根据题目所给的数据得到如下列联表：
理科
文科
总计
有兴趣
138
73
211
无兴趣
98
52
150
总计
236
125
361
根据列联表中数据由公式计算得随机变量χ2的观测值
χ2＝≈1.871×10－4．
因为1.871×10－4<2.706，
所以没有充分的证据判断变量A，B有关联，不能认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”．
独立性检验的步骤
(1)确定分类变量，获取样本频数，得到列联表．
(2)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0．
(3)利用公式χ2＝计算随机变量χ2的观测值k．
(4)作出判断．
如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y的关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．
[跟进训练]
2．在研究某种药物对“H1N1”病毒的治疗效果时，进行动物试验，得到以下数据，对150只动物服用药物，其中132只动物存活，18只动物死亡，对照组150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试问该种药物对治疗“H1N1”病毒是否有效？
[解]　(1)2×2列联表如下：
存活数
死亡数
总计
服用该药物
132
18
150
未服该药物
114
36
150
总计
246
54
300
(2)由(1)知
χ2＝≈7.317>6.635．
故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该种药物对“H1N1”病毒有治疗效果．
类型3　独立性检验的综合应用
【例3】　某高校共有学生15
000人，其中男生10
500人，女生4
500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：χ2＝．
P(χ2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
[解]　(1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得2×(0.150＋0.125＋0.075＋0.025)＝0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4个小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4个小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：
平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4个小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4个小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得χ2的观测值
χ2＝≈4.762>3.841．
有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
?1?独立性检验问题是常与统计、概率相结合，解题时一定要认真审题，找出各数据的联系.
?2?解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.
[跟进训练]
3．某城市地铁即将开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：
月收入(单位：百元)
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75]
赞成定价者人数
1
2
3
5
3
4
认为价格偏高者人数
4
8
12
5
2
1
(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．
月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
总计
认为价格偏高者
赞成定价者
总计
附：χ2＝．
[解]　(1)“赞成定价者”的月平均收入为
x1＝≈50.56．
“认为价格偏高者”的月平均收入为
x2＝＝38.75，
∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．
(2)根据条件可得2×2列联表如下：
月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
总计
认为价格偏高者
3
29
32
赞成定价者
7
11
18
总计
10
40
50
χ2＝≈6.27<6.635，
∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．
1．熟记公式χ2＝．
2．熟悉临界值与相关程度的关系，一般情况下，当χ2>2.706时，说明“变量A与B有关联”的可信程度为90%；当χ2>3.841时，说明“变量A与B有关联”的可信程度为95%；当χ2>6.635时，说明“变量A与B有关联”的可信程度为99%；当χ2≤2.706时，可认为变量A与B无关联．
1．下面关于χ2的说法正确的是(　　)
A．χ2在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关
B．χ2的值越大，两个事件的相关的正确性就越大
C．χ2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当χ2的值很小时可以推定两类变量不相关
D．χ2的计算公式是χ2＝
B　[χ2只适用于2×2列联表问题，且χ2只能推定两个分类变量相关，但不能推定两个变量不相关．选项D中χ2公式错误，分子上少了平方．]
2．若变量X和Y的列联表如下：
　　　YX　　　
Y1
Y2
总计
X1
a
b
a＋b
X2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则下列说法正确的是(　　)
A．ad－bc越小，说明X与Y的相关联程度越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y的相关联程度越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关联程度越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的相关联程度越强
C　[χ2＝，当(ad－bc)2越大时，χ2越大，说明X与Y的相关性越强．]
3．下面是两个分类变量的列联表：
　　　　YX　　　　　
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
则表中a，b处的值分别为(　　)
A．94，96　　B．52，50　　C．52，54　　D．54，52
C　[根据列联表的特点可以发现：73＝21＋a，b＝a＋2，解之得a＝52，b＝54，故选C．]
4．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．
是　[因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．]
5．为了考察某种新药的副作用，给50位患者服用此新药，另外50位患者服用安慰剂(一种和新药外形完全相同，但无任何药效的东西)，得到如下观测数据．
　　　　副作用药物　　　　
有
无
总计
新药
15
35
50
安慰剂
6
44
50
总计
21
79
100
由以上数据，你认为服用新药会产生副作用吗？
[解]　由公式得χ2＝≈4.882．
∵4.882>3.841，
∴可以有95%的把握认为新药会产生副作用．
PAGE第7章
统计案例
类型1　线性回归分析
【例1】　一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：
零件数X(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间Y(分钟)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)Y与X是否具有线性相关关系？
(2)如果Y与X具有线性相关关系，求出线性回归方程．
参考数据：＝55，＝91.7，x＝38
500，y＝87
777，xiyi＝55
950．
[思路点拨]　对变量进行相关性检验，可用公式r＝计算r的值，当|r|越接近于1时，说明两个变量具有越强的线性相关关系．
[解]　(1)r＝
＝≈0.999
8，
∴Y与X具有较强的线性相关关系．
(2)设所求的线性回归方程为Y＝bX＋a，则
＝＝≈0.668，
＝－＝91.7－0.668×55＝54.96．
所以所求的线性回归方程为Y＝0.668X＋54.96．
判断两个变量是否线性相关有两种方法：一是画出“散点图”；二是计算相关系数r的值.值得注意的是，在求回归直线之前，要先判断它们是否线性相关，否则求出的回归直线可能毫无意义.
[跟进训练]
1．已知X与Y有如下五组数据，
X
1
2
3
5
10
Y
10
5
4
2
2
试分析X与Y之间是否具有线性相关关系．若有，求出回归直线方程；若没有，说明理由．
[解]　作出散点图，如图所示，
由散点图可以看出，X与Y不具有线性相关关系．
类型2　可线性化的回归分析
【例2】　在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
X
0.25
0.5
1
2
4
Y
16
12
5
2
1
试建立Y与X之间的回归方程．
[思路点拨]　先确定拟合函数模型，再利用公式求出回归方程．
[解]　由数值表可作散点图如下
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设y＝，令t＝，则y＝kt，原数据变为
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
由置换后的数值表作散点图如下：
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下
i
ti
yi
tiyi
t
y
1
4
16
64
16
256
2
2
12
24
4
144
3
1
5
5
1
25
4
0.5
2
1
0.25
4
5
0.25
1
0.25
0.0625
1
∑
7.75
36
94.25
21.312
5
430
所以＝1.55，＝7.2．
所以＝≈4.134
4．＝y－≈0.8．
所以y＝0.8＋4.134
4t．
所以Y对X的回归方程是Y＝0.8＋．
利用线性回归拟合曲线的一般步骤
?1?绘制散点图，根据样本点的分布，选择接近的、合适的曲线类型.
?2?进行变量替换y′＝f?y?，x′＝g?x?.使变换后的两个变量呈线性相关关系.
?3?按最小二乘法原理求线性回归方程.
?4?将线性化方程转换为关于原始变量X，Y的回归方程.
[跟进训练]
2．在平炉炼钢中，由于矿石与炉气中的氧气作用，铁水的总含量不断下降，现测得含碳量Y(百分比)与熔化时间X(小时)的关系，如下表：
熔化时间X
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
含碳量Y(百分比)
9.73
7.46
6.04
4.35
2.74
2.06
熔化时间X
6.2
6.4
6.6
6.8
7
含碳量Y(百分比)
1.48
0.98
0.57
0.41
0.25
(1)画出散点图；
(2)求回归方程．
[解]　(1)散点图如下．
(2)可以看出含碳量Y(百分比)与熔化时间X(小时)的散点图并不分布在一条直线周围，因此，不宜用线性回归方程来拟合它．根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝menx的周围，其中m，n是待定参数，令z＝ln
y，则表中的数据变为：
时间x
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
z＝ln
y
2.275
2.010
1.798
1.470
1.008
0.723
时间x
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
z＝ln
y
0.392
－0.020
－0.562
－0.892
－1.386
得z＝－1.845x＋11.69，即ln
y＝－1.845x＋11.69，
∴回归方程为Y＝e－1.845X＋11.69．
类型3　独立性检验的基本方法
【例3】　某市对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：
支持新教材情况教龄
支持新教材
支持旧教材
总计
教龄在15年以上的教师
12
25
37
教龄在15年以下的教师
10
24
34
总计
22
49
71
根据此资料，你是否认为教龄的长短与支持新的数学教材有关？
[思路点拨]　根据独立性检验思想，由公式计算出χ2，然后与临界值比较得出结论．
[解]　由公式得χ2＝＝≈0.08．
由χ2<2.706，我们没有充分的证据说明教龄的长短与支持新的数学教材有关．
独立性检验的基本步骤为：
?1?找相关数据，作列联表；
?2?求统计量χ2；
?3?判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的确信度.若χ2>3.841，则有95%的把握认为“X与Y有关系”；若χ2>2.706，则有90%的把握认为“X与Y有关系”；如果χ2<2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”.
[跟进训练]
3．针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别是否和喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧人数占女生人数的．
(1)若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人；
(2)若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至多有多少人．
[解]　设男生人数为x，依题意可得列联表如下：
喜欢韩剧情况性别
喜欢韩剧
不喜欢韩剧
总计
男生
x
女生
总计
x
x
(1)若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2>3.841，
χ2＝＝x>3.841，解得x>10.24．
∵，为整数，
∴若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．
(2)没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2≤2.706，
由χ2＝＝x≤2.706，解得x≤7.216，
∵，为整数，
∴若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至多有6人．
【例】　下图是我国2013年至2019年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1－7分别对应年份2013－2019．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合Y与T的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立Y关于T的回归方程(系数精确到0.01)，预测2021年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646．
参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－．
[思路点拨]　
[解]　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，(ti－)2＝28，＝0.55，
(ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99．
因为Y与T的相关系数近似为0.99，说明Y与T的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合Y与T的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.10，
＝－≈1.331－0.10×4≈0.93．
所以Y关于T的回归方程为Y＝0.93＋0.10T．
将2021年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.93＋0.10×9＝1.83．
所以预测2021年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨．
在两个变量的回归分析中要注意以下两点：
?1?求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.
?2?借助散点图，观察两个变量之间的关系.若不是线性关系，则需要根据相关知识转化为线性关系.
[素养提升练]
某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率Y和温度X(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10
℃至40
℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率Y和温度X的回归方程类型的是(　　)
A．Y＝a＋bX　　　
B．Y＝a＋bX2
C．Y＝a＋beX
D．Y＝a＋bln
X
D　[散点图中点的分布形状与对数函数的图象类似，故选D．]
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