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专题05
立体几何初步【知识梳理】
空间几何体的结构及其表面积、体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4.空间几何体的表面积与体积公式
　　名称
几何体　　　　
表面积
体积
柱　体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥　体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝S底h
台　体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
【例题1】下列说法正确的是（
）
A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
【答案】C
【详解】
直四棱柱的底面不一定是长方形，因此不一定是长方体，A错；
两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错；
正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；
平行六面体一定是棱柱，D错．
故选：C．
【例题2】如图的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
如图所示，
由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为，
所以原来的图形是平行四边形，
其在横轴上的边长为1，高为，
所以它的面积是．
故选：A
【跟踪训练1】棱长为a的正四面体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】棱长都是3的三棱锥的表面积S为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，，若已知，，，，则球O的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
平面的基本性质与推论
1.平面的基本性质
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形
语言
符号
语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形
语言
符号
语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形
语言
符号
语言
a，b是异面直线
a?α
3.异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
【例题1】下列说法正确的是（
）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形一定是平面图形
D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行
【答案】C
【详解】
A：不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面，不正确；
B：点在直线上时，不能确定平面，不正确；
C：梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，正确；
D：过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，不正确.
故选：C.
【例题2】A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（
）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α?α∩β＝直线AB
C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
D．lα，nα，l∩n＝A?l与n不能确定唯一平面
【答案】D
【详解】
由平面性质的三个公理得选项A正确；
由题得，所以α∩β＝直线AB，所以选项B正确；
因为不共线的三个点只能确定一个平面，所以α与β重合，所以选项C正确；
lα，nα，l∩n＝A，
l与n能确定唯一平面，所以选项D不正确.
【跟踪训练1】已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（
）
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈，M∈β，N∈，N∈β?
C．A∈，A∈β?
D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线?，β重合
【跟踪训练2】如图所示，用符号语言可表述为（
）
A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
【跟踪训练3】在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
空间中的平行关系
1.平行直线
(1)平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(2)基本性质4(空间平行线的传递性)
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面
a?α，b?α，
a∥b?a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a?β，
α∩β＝b?a∥b
3.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
a?α，b?α，a∩b＝P，
a∥β，b∥β?α∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a?α?a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b?a∥b
【例题1】已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【详解】
A.直线也可能相交或者异面；
B.若在平面内则不成立；
C.直线也可能异面；
D.因为
，所以，且，故.
【例题2】如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
对于A：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；
对于B：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；
对于C：
根据正方体结构特点可知：既不相交也不平行，故不共面；
对于D：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：相交，故共面；
故选：C.
【跟踪训练1】已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（
）
A．
B．
C．
D．
空间的垂直关系
1.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直
?l⊥α
推论1
如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
?b⊥α
推论2
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
?a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
【例题1】已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【详解】
对于A，若，，则或异面，故A错.
对于B，若，，则或异面或相交，故B错.
对于C，若，，则可平行于平面或在平面内或与平面相交，
故C错误.
对于D，因为，故在平面存在直线，使得，而，
故，因为，故，故D正确.
故选：D.
【例题2】如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起的过程中，下列结论能成立的是（
）
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
【答案】B
【详解】
因为在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为DC边的中点，
则在折起过程中，D点在平面BCE上的射影的轨迹为为O1O2(如图)．
因为折起过程中，DE与AC所成角不能为直角，所以DE不垂直于平面ACD，故A错；
因为AD⊥ED，并且在折起过程中，当点D的射影位于O点时，有AD⊥BD，所以在折起过程中AD⊥平面BED能成立，故B正确；
折起过程中，BD与AC所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD，故C错；
只有D点射影位于O2位置，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，所以折起过程中CD不垂直于平面BED，故D错.
故选：B.
【跟踪训练1】在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练2】在直角三角形中，，D的斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则x的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】在正方体中，下列判断正确的是（
）
A．面
B．面
C．面
D．
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精品试卷·第
2
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专题05
立体几何初步【知识梳理】
空间几何体的结构及其表面积、体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4.空间几何体的表面积与体积公式
　　名称
几何体　　　　
表面积
体积
柱　体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥　体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝S底h
台　体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
【例题1】下列说法正确的是（
）
A．直四棱柱是长方体
B．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．平行六面体不是棱柱
【答案】C
【详解】
直四棱柱的底面不一定是长方形，因此不一定是长方体，A错；
两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错；
正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；
平行六面体一定是棱柱，D错．
故选：C．
【例题2】如图的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
如图所示，
由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为，
所以原来的图形是平行四边形，
其在横轴上的边长为1，高为，
所以它的面积是．
故选：A
【跟踪训练1】棱长为a的正四面体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为正四面体是各面都是全等的等边三角形，
又该正四面体的棱长为，
所以该正四面体的表面积为.
故选：D.
【跟踪训练2】棱长都是3的三棱锥的表面积S为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
如图
由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，棱长为3，
所以，所以可知：正四面体的表面积为，
故选：A．
【跟踪训练3】已知三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，且，，若已知，，，，则球O的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由，，，
则由余弦定理有：
，即，
∴由正弦定理知△的外接圆半径：，
由题意知：面，又，三棱锥的外接球半径：
，
由球的体积公式，有：，
故选：C
平面的基本性质与推论
1.平面的基本性质
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形
语言
符号
语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形
语言
符号
语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形
语言
符号
语言
a，b是异面直线
a?α
3.异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
【例题1】下列说法正确的是（
）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形一定是平面图形
D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行
【答案】C
【详解】
A：不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面，不正确；
B：点在直线上时，不能确定平面，不正确；
C：梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，正确；
D：过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，不正确.
故选：C.
【例题2】A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（
）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α?α∩β＝直线AB
C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合
D．lα，nα，l∩n＝A?l与n不能确定唯一平面
【答案】D
【详解】
由平面性质的三个公理得选项A正确；
由题得，所以α∩β＝直线AB，所以选项B正确；
因为不共线的三个点只能确定一个平面，所以α与β重合，所以选项C正确；
lα，nα，l∩n＝A，
l与n能确定唯一平面，所以选项D不正确.
【跟踪训练1】已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（
）
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈，M∈β，N∈，N∈β?
C．A∈，A∈β?
D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线?，β重合
【答案】C
【详解】
，A∈β，
由基本事实可知为经过A的一条直线而不是A.
故的写法错误.
故选：C
【跟踪训练2】如图所示，用符号语言可表述为（
）
A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
【答案】A
【详解】
根据点、线、面的位置关系的符号表示可得α∩β＝m，n?α，m∩n＝A，
故选：A
【跟踪训练3】在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
对于选项A，点确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在直线上，
故四点不共面；
对于选项B，连结底面对角线，
则由中位线定理可知，，又，
则，
故四点共面；
对于选项C，显然所确定的平面为正方体的底面，
而点不在该平面内，
故四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一个正六边形，
即点确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，
而点不在直线上，
故四点不共面.
故选：B．
空间中的平行关系
1.平行直线
(1)平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(2)基本性质4(空间平行线的传递性)
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面
a?α，b?α，
a∥b?a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α，a?β，
α∩β＝b?a∥b
3.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
a?α，b?α，a∩b＝P，
a∥β，b∥β?α∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a?α?a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b?a∥b
【例题1】已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【详解】
A.直线也可能相交或者异面；
B.若在平面内则不成立；
C.直线也可能异面；
D.因为
，所以，且，故.
【例题2】如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不是共面直线的图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
对于A：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；
对于B：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：，故共面；
对于C：
根据正方体结构特点可知：既不相交也不平行，故不共面；
对于D：
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知：相交，故共面；
故选：C.
【跟踪训练1】已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：设正四面体的棱长为，如图，取的中点，连接，
因为点为棱的中点，所以∥，，
所以为异面直线与所成的角或其补角，
因为正四面体的棱长为，所以，
所以，
故选：A
【跟踪训练2】在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在上移动，则当为公垂线段时，两点的距离最小；
四棱锥为正四棱锥，平面，为正方形的中心，
，又，，平面，
过作，垂足为，
平面，，为的公垂线，
又，两点的最短的距离为.
【跟踪训练3】如图，是正方体的棱上的一点（不与端点重合），平面，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
如图，设，
可得面面，
∵平面，根据线面平行的性质可得，
∵为的中点，∴为中点，∴．
故选：D．
空间的垂直关系
1.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直
?l⊥α
推论1
如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
?b⊥α
推论2
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
?a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
【例题1】已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【详解】
对于A，若，，则或异面，故A错.
对于B，若，，则或异面或相交，故B错.
对于C，若，，则可平行于平面或在平面内或与平面相交，
故C错误.
对于D，因为，故在平面存在直线，使得，而，
故，因为，故，故D正确.
故选：D.
【例题2】如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起的过程中，下列结论能成立的是（
）
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
【答案】B
【详解】
因为在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为DC边的中点，
则在折起过程中，D点在平面BCE上的射影的轨迹为为O1O2(如图)．
因为折起过程中，DE与AC所成角不能为直角，所以DE不垂直于平面ACD，故A错；
因为AD⊥ED，并且在折起过程中，当点D的射影位于O点时，有AD⊥BD，所以在折起过程中AD⊥平面BED能成立，故B正确；
折起过程中，BD与AC所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD，故C错；
只有D点射影位于O2位置，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，所以折起过程中CD不垂直于平面BED，故D错.
故选：B.
【跟踪训练1】在棱长为的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
连接、、、、、、，如下图所示：
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，
平面，，同理可得，
，平面，同理可证平面，
设过点且垂直于的平面为平面，则与平面、平面都平行，
平面，平面平面，平面平面，
，为的中点，则为的中点，
同理可知，平面分别与棱、、、交于中点，
易知六边形为正六边形，且其边长为，
因此，满足条件的所有点构成的平面图形的面积是.
【跟踪训练2】在直角三角形中，，D的斜边的中点，将沿直线翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得，则x的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意得，则，如图所示，取中点，
翻折前，在图1中，连接，，则，
翻折后，在图2中，若，则有：
∵，，，且平面，
∴平面，∴，
又，为中点，∴
∴，，
在中，由三边关系得：①，②，③；
由①②③可得
当时，，则三点共线，同时满足，
所以
【跟踪训练3】在正方体中，下列判断正确的是（
）
A．面
B．面
C．面
D．
【答案】A
【详解】
在正方体中，，
又，且，平面，则，
同理，则平面，故A正确，B不正确；
连接，，则为与所成角，为，故C?D不正确.
故选：A.
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精品试卷·第
2
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（共
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