资源简介

1．1　集　合
1.1.1　集合的含义与表示
Q　
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”
问题1：数学家说的集合是指什么？
问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
X　
1．集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的__总体__叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的__元素__是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
[知识点拨]　集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
2．元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A
a__∈__A
a属于集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A
a?A
a__不属于__集合A
[知识点拨]　符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
3．集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
名称
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
__N__
__N
或N＋__
__Z__
__Q__
__R__
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__一般符号__及__取值(或变化)范围__，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的__共同特征__.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
Y　
1．下列各组对象中不能组成集合的是(　C　)
A．清华大学2021年入校的全体学生
B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员
C．中国著名的数学家
D．不等式x－1>0的实数解
[解析]　“著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．
2．已知a∈R，且a?Q，则a可以为(　A　)
A．
B．
C．－2
D．－
[解析]　∈R，且?Q，故选A．
3．设x∈N，且∈N，则x的值可能是(　B　)
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
[解析]　∵x∈N，∴x≠－1，排除C，又∵∈N，∴x≠0，排除A、D，故选B．
4．下列说法中
①集合N与集合N
是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z
中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．
其中正确的个数是__2__.
[解析]　由数集的性质可知①③错误，②④正确．
5．已知集合A中含有三个元素0,1，x，若x2∈A，求实数x的值．
[解析]　当x2＝0时，得x＝0，此时集合A中有两个相同的元素，舍去．
当x2＝1时，得x＝±1.
若x＝1，此时集合A中有两个相同的元素，舍去．
若x＝－1，此时集合A中有三个元素0,1，－1，符合题意．
当x2＝x时，得x＝0或x＝1，易知都不符合题意．
综上可知，符合题意的x的值为－1.
H　
命题方向1　?集合的基本概念
典例1　下列各组对象：
①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2018年在韩国举行的第23届冬奥会的所有参赛运动员；④的所有近似值．
其中能够组成集合的是__②③__.
[思路分析]　结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
[解析]　①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.
『规律方法』　1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
〔跟踪练习1〕
下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校2019年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．
[解析]　(1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合．
命题方向2　?元素和集合的关系
典例2　已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
[思路分析]　－3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．
[解析]　由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
当x－2＝－3时，x＝－1，
把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；
当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，
当x＝－时，集合的三个元素分别为－，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－.
『规律方法』　解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．
〔跟踪练习2〕
已知集合A中仅含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为__0或－1__.
[解析]　∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
命题方向3　?用列举法表示集合
典例3　用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数组成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点组成的集合．
[思路分析]　(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．
[解析]　(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}．
(3)方程组的解是.所求集合为{(，)}．
『规律方法』　1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
〔跟踪练习3〕
用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
[解析]　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．
命题方向4　?用描述法表示集合
典例4　用描述法表示下列集合：
(1)所有不小于2，且不大于20的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第二象限内的点组成的集合；
(3)使y＝有意义的实数x组成的集合；
(4)200以内的正奇数组成的集合；
(5)方程x2－5x－6＝0的解组成的集合．
[思路分析]　用描述法表示集合时，关键要弄清元素的属性是什么，再给出其满足的性质，注意不要漏掉类似“x∈N”等条件．
[解析]　(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}．
(2)第二象限内的点(x，y)满足x<0，且y>0，故集合可表示为{(x，y)|x<0，y>0}．
(3)要使该式有意义，需有，
解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2，且x≠0}．
(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．
(5){x|x2－5x－6＝0.}
『规律方法』　用描述法表示集合应注意的问题
1．写清楚该集合中的代表元素，即弄清代表元素是数、点还是其他对象；
2．准确说明集合中元素所满足的特征；
3．所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的符号；
4．用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系．
〔跟踪练习4〕
用描述法表示下列集合：
(1)大于4的全体奇数组成的集合；
(2)二次函数y＝3x2－1图象上的所有点组成的集合；
(3)所有的三角形组成的集合．
[解析]　(1)奇数可表示为2k＋1，k∈Z，又因为大于4，故k≥2，故可用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．
(2)点可用实数对表示，故可表示为{(x，y)|y＝3x2－1}．
(3){x|x是三角形}．
Y　　忽略集合中元素的互异性　　
典例5　设集合A＝{x2，x，xy}、B＝{1，x，y}，若集合A、B所含元素相同，求实数x、y的值．
[错解]　由A＝B，得，或，解得或或.
[错因分析]　当x＝1，y∈R时，A＝B＝{1,1，y}，不满足集合元素的互异性，当x＝1，y＝1时，A＝B＝{1,1,1}也不满足元素的互异性，当x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，满足题意．
[正解]　由错解得或或.经检验当取与时不满足集合中元素的互异性，
所以x＝－1，y＝0.
[点评]　在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．
X　　解决集合的新定义问题的基本方法　　
集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．
典例6　当x∈A时，若x－1?A且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为__{5}__.
[思路分析]　准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键．
[解析]　由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}，故填{5}．
『规律方法』　解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．
K　
1．下列语句能确定一个集合的是(　D　)
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
[解析]　由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D．
2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　D　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
[解析]　由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D．
3．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(　C　)
A．0∈A
B．a?A
C．a∈A
D．a＝A
[解析]　由于集合A中只含有一个元素a，由元素与集合的关系可知，a∈A，故选C．
4．方程组的解集是(　C　)
A．{x＝1，y＝1}
B．{1}
C．{(1,1)}
D．{(x，y)|(1,1)}
[解析]　由方程组，可得3y＝3，解得y＝1，x＝1.故方程组的解集为{(1,1)}，故选C．
5．用列举法表示下列集合．
(1)A＝{x∈Z|∈Z}；
(2)B＝{y|y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0}；
(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
[解析]　(1)要使x，是整数，则|3－x|必是6的约数，当x＝－3,0,1,2,4,5,6,9时，|3－x|是6的约数，
∴A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}．
(2)由y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0，可知0当x＝0，±1，±2时，y＝9,8,5符合题意，
∴B＝{5,8,9}．
(3)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则有或或.
∴C＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
A级　基础巩固
一、选择题
1．(2019·山东金乡县高一期中测试)下列各组对象可以组成集合的是(　B　)
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第四象限的一些点
D．所有小的正数
[解析]　由集合的含义，根据集合中元素的确定性，排除A、C、D，故选B．
2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　B　)
A．{1,1}　　　　　　　
B．{1}
C．{x＝1}
D．{x2－2x＋1＝0}
[解析]　∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1，故选B．
3．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为(　D　)
A．{1,2}
B．{(1,2)}
C．{(1,1)，(2,2)}
D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
[解析]　x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.
∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D．
4．集合A中含有3个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a的值为(　D　)
A．2
B．4
C．6
D．2或4
[解析]　∵a∈A，A＝{2,4,6}，
∴当a＝2时，6－a＝4∈A，当a＝4时，6－a＝2∈A，当a＝6时，6－a＝0?A，
∴a＝2或4，故选D．
5．方程组的解集是(　D　)
A．
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7}
D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
[解析]　解方程组，得.
用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D．
6．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝＋，则a与集合A的关系是(　A　)
A．a∈A
B．a?A
C．a＝A
D．{a}∈A
[解析]　由于＋＜10，所以a∈A，故选A．
二、填空题
7．用符号∈与?填空：
(1)0__?__N
；__?__Z；
0__∈__N；(－1)0__∈__N
；
＋2__?__Q；__∈__Q.
(2)3__∈__{2,3}；3__?__{(2,3)}；
(2,3)__∈__{(2,3)}；(3,2)__?__{(2,3)}．
(3)若a2＝3，则a__∈__R，若a2＝－1，则a__?__R.
[解析]　(1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．
8．设a，b是非零实数，则＋可能取的值构成的集合中的元素有__－2,0,2__.
[解析]　a>0，b>0时，＋＝＋＝2，
a>0，b<0时，＋＝＋＝1－1＝0，
a<0，b>0时，＋＝＋＝－1＋1＝0，
a<0，b<0时，＋＝＋＝－1－1＝－2，
∴＋可能取的值构成的集合中的元素有－2,0,2.
三、解答题
9．用描述法表示下列集合．
(1){2,4,6,8,10,12}；
(2){，，，，}；
(3)被5除余1的正整数集合；
(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(5)方程组的解组成的集合．
[解析]　(1){x|x＝2n，n∈N
，n≤6}．
(2){x|x＝，n∈N
，n≤5}．
(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．
(4){(x，y)|xy<0}．
(5)或.
B级　素养提升
一、选择题
1．下列集合中，不同于另外三个集合的是(　C　)
A．{x|x＝2
019}
B．{y|(y－2
019)2＝0}
C．{x＝2
019}
D．{2
019}
[解析]　选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2
019，都是数集．而选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
2．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是(　D　)
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
[解析]　由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为(　B　)
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
[解析]　因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．
4．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　D　)
A．0?M
B．2∈M
C．－4?M
D．4∈M
[解析]　当x>0时，＝1，当x<0时，＝－1，
故当x，y，z全为正时，原式＝4；
当x，y，z两正一负时，xyz<0，原式＝0；
当x，y，z两负一正时，xyz>0，原式＝0；
当x，y，z全为负时，xyz<0，原式＝－4，故M的元素有4,0，－4，∴4∈M.故选D．
二、填空题
5．用列举法写出集合{∈Z|x∈Z}＝__{－3，－1,1,3}__.
[解析]　∵∈Z，x∈Z，
∴3－x为3的因数．
∴3－x＝±1，或3－x＝±3.
∴＝±3，或＝±1.
∴－3，－1,1,3满足题意．
6．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__.
[解析]　当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
三、解答题
7．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2
019＋b2
019的值．
[解析]　由a，，1组成一个集合，可知a≠0且a≠1.
由题意可得，或，
解得，或(舍去)．
∴a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.
8．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[解析]　(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.
9．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．
(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．
[解析]　(1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集．
(2)若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，}或{－1,2，}或{1,3，}等．

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