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第三讲　分类与整合思想
知识整合
一、分类与整合思想的含义
分类与整合思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．
二、分类与整合的常见类型
有关分类与整合的数学问题需要运用分类与整合思想来解决，引起分类与整合的原因大致可归纳为如下几种：
1．由数学概念引起的分类与整合：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
2．由性质、定理、公式的限制引起的分类与整合：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
3．由数学运算要求引起的分类与整合：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
4．由图形的不确定性引起的分类与整合：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．
5．由参数的变化引起的分类与整合：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
6．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．
1.由概念、法则、公式引起的分类与整合
典题例析
例1　(1)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝－　.
[解析]　当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解．
当0解得所以a＋b＝－.
(2)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝，若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，则A＝　或　.
[解析]　在△ABC中，由sinC＋sin(B－A)＝2sin2A可得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A，即sinAcosB＋cosAsinB＋cosAsinB－sinAcosB＝4sinAcosA，
∴cosAsinB＝2sinAcosA，
即cosA(sinB－2sinA)＝0，即cosA＝0或sinB＝2sinA，
①当cosA＝0时，A＝；
②当sinB＝2sinA时，根据正弦定理得b＝2a，
由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcosC，结合c＝2，C＝，得a2＋b2－ab＝4，
∴a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，
∴B＝，∴A＝.
综上可得，A＝或.
规律总结
“四步”解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题
第一步：确定分类对象：一般把需要用到概念、法则、公式解决问题的对象作为分类目标．
第二步：确定分类标准：运用概念、法则、公式对分类对象进行区分．
第三步：分类解决“分目标”：对分类出来的“分目标”分别进行处理．
第四步：汇总“分目标”：将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．
跟踪训练
1．(2019·广东联考)设函数f(x)＝若f[f(a)]≤3，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(－∞，－]　　　　　　
B．[－，＋∞)
C．[－，]
D．(－∞，]
[解析]　令f(a)＝t，则f(t)≤3?或解得t≥－3，则f(a)≥－3?或解得a<0或0≤a≤，则实数a的取值范围是(－∞，]，故选D.
2．已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b是，2的等比中项，c是1,5的等差中项，则a的取值范围是　(2，)　.
[解析]　因为b是，2的等比中项，所以b＝＝1；
因为c是1,5的等差中项，所以c＝＝3.
因为△ABC为锐角三角形，
①当a为最大边时，有解得3≤a<；
②当c为最大边时，有解得2由①②得2所以实数a的取值范围是(2，)．
2.由图形位置或形状引起的分类与整合
典题例析
例2　(1)在约束条件下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(　D　)
A．[6,15]　　　　
B．[7,15]
C．[6,8]
D．[7,8]
[解析]　由?取点A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．
①当3≤s<4时，可行域是四边形OABC，如图1所示，此时，7≤z<8.
②当4≤s≤5时，此时可行域是△OAC′，如图2阴影部分所示，zmax＝8.
综上可知，z＝3x＋2y最大值的变化范围是[7,8]．
(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率为　或　.
[解析]　不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，
若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；
若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝，
所以圆锥曲线T的离心率为或.
规律总结
图形位置或形状的变化中常见的分类
圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．
跟踪训练
1．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则的值为　或2　.
[解析]　若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2.
又因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，
所以＝.
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
综上可知，＝或2.
2．如图，M，N是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，则点B的横坐标的取值范围是(　A　)
A．(－3,3]　　　　　　　
B．(－∞，3]
C．(－6，－3)
D．(－6，－3)∪(－3,3]
[解析]　①若直线MN的斜率不存在，则点B的坐标为(3,0)．
②若直线MN的斜率存在，设A(3，t)(t≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得y－y＝4(x1－x2)，
∴(y1＋y2)＝4，即kMN＝，
∴直线MN的方程为y－t＝(x－3)，
∴点B的横坐标xB＝3－，由消去x，得y2－2ty＋2t2－12＝0，
由Δ>0得t2<12，又t≠0，∴xB＝3－∈(－3,3)．
综上，点B的横坐标的取值范围为(－3,3]．
3.由变量或参数引起的分类与整合
典题例析
(文)
例3　设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．
[思路探究]　看到求f(x)＝x3－ax－b的单调区间，想到对参数a进行分类整合，分为a≤0和a>0两种情况．
[解析]　由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况讨论：
①当a≤0时，f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的单调递减区间为(－，)，单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
规律总结
几种常见的由参数变化引起的分类与整合
(1)含有参数的不等式的求解．
(2)含有参数的方程的求解．
(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题．
(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．
(5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
典题例析
(理)
例3　已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x)．
(1)若函数g(x)过点(1,1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的单调性．
[解析]　(1)因为函数g(x)过点(1,1)，所以1＝，
解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.
所以f
′(x)＝＋＝.
所以f
′(0)＝3.所以所求的切线的斜率为3.
又f(0)＝0，所以切点为(0,0)．
故所求的切线方程为y＝3x.
(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋(x>－1)，
所以f
′(x)＝＋＝.
①当a≥0时，因为x>－1，所以f
′(x)>0.
②当a<0时，由得－1由得x>－1－a.
综上可知，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)内单调递增；当a<0时，函数f(x)在(－1，－1－a)内单调递减，在(－1－a，＋∞)内单调递增．
规律总结
1．几种常见的由参数变化引起的分类讨论
(1)含有参数的不等式的求解．
(2)含有参数的方程的求解．
(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题．
(4)二元一次方程表示曲线类型的判定等．
2．利用分类讨论思想的注意点
(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．
(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏．
(3)讨论结果归类合并，最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．
跟踪训练
　当实数x，y满足时，ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是　(－∞，]　.
[解析]　由约束条件作可行域如图中阴影部分，
联立解得C(1，)．
联立解得B(2,1)．
在x－y－1＝0中取y＝0，得A(1,0)．
由ax＋y≤4得y≤－ax＋4，
要使ax＋y≤4恒成立，
则平面区域在直线y＝－ax＋4的下方．
若a＝0，则不等式等价于y≤4，此时满足条件；
若－a>0，即a<0，平面区域满足条件；
若－a<0，即a>0时，要使平面区域在直线y＝－ax＋4的下方，则只要B在直线上或直线下方即可，
即2a＋1≤4，得0

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