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第五讲　选择题的解题方法
知识整合
题型地位
选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%，解选择题的快慢和成功率的高低对于能否进入做题的最佳状态以及整个考试的成败起着举足轻重的作用．如果选择题做得比较顺手，会使应试者自信心增强，有利于后续试题的解答．
题型特点
数学选择题属于客观性试题，是单项选择题，即给出的四个选项中只有一个是正确选项，且绝大部分数学选择题属于低中档题，一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．其主要体现在以下三个方面：
(1)知识面广，切入点多，综合性较强；
(2)概念性强，灵活性大，技巧性较强；
(3)立意新颖，构思精巧，迷惑性较强．
由于解选择题不要求表述得出结论的过程，只要求迅速、准确作出判断，因而选择题的解法有其独特的规律和技巧．因此，我们应熟练掌握选择题的解法，以“准确、迅速”为宗旨，绝不能“小题大做”．
解题策略
数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．其解法的基本思想有以下两点：
(1)充分利用题干和选择支提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略．
(2)既要看到通常各类常规题的解题思想，原则上都可以指导选择题的解答，更应看到，根据选择题的特殊性，必定存在着一些特殊的解决方法．其基本做法如下：①仔细审题，领悟题意；②抓住关键，全面分析；③仔细检查，认真核对．
另外，从近几年高考试题的特点来看，选择题以认识型和思维型的题目为主，减少了繁琐的运算，着力考查逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力，且许多题目既可用通性通法直接求解，也可用“特殊”方法求解．所以做选择题时最忌讳以下两点：
(1)见到题就埋头运算，按着解答题的解题思路去求解，得到结果再去和选项对照，这样做花费时间较长，有时还可能得不到正确答案．
(2)随意“蒙”一个答案，确率只有25%！但经过筛选、淘汰，正确率就可以大幅度提高．
总之，解选择题的基本策略是“不择手段”．
1.直接法
直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．
典题例析
例1　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，
解得a＝b，∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
(2)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　C　)
A．2　　
B．8　　
C．4　　
D．10
[解析]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2，或y＝－2－2，∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4.
规律总结
直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．一般来说，涉及概念、性质的辨析或简单的运算题目多采用直接法．
跟踪训练
1．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　D　)
A．7　　　
B．5　　　
C．－5　　　
D．－7
[解析]　解法一：由题意得
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
解法二：由
解得或
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
2．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　A　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　由题可知抛物线的准线方程为x＝－1．如图所示，过A作AA2⊥y轴于点A2，过B作BB2⊥y轴于点B2，则＝＝＝.
2.特例检验法
特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
典题例析
例2　(1)设椭圆C：＋＝1的长轴的两端点分别是M，N，P是C上异于M，N的任意一点，则PM与PN的斜率之积等于(　B　)
A．　　
B．－　　
C．　　
D．－
[解析]　取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点(0，)，又取M(－2,0)，N(2,0)，所以kPM·kPN＝·＝－，故选B.
(2)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　D　)
A．2x<3y<5z
B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
[解析]　令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，
∴t>1．
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－
＝
＝<0，
∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.故选D．
规律总结
用特殊值法解题时要注意：
1．所选取的特例一定要简单，且符合题设条件；
2．特殊只能否定一般，不能肯定一般；
3．当选取某一特例出现两个或两个以上的选项都正确时，要根据题设要求选择另外的特例代入检验，直到找到正确选项为止．
跟踪训练
1．如图，
在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(　B　)
A．3?1
B．2?1
C．4?1
D．?1
[解析]　将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝，故选B.
2．已知点E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令＝a，＝b，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且＝ma，＝nb，则＋＝(　A　)
A．3　　　
B．4　　　
C．5　　　
D．
[解析]　由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值，故可利用特殊直线确定所求值．
方法一：如图1，PQ∥BC，则＝，＝，此时m＝n＝，故＋＝3.
方法二：如图2，取直线BE作为直线PQ，显然，此时＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋＝3.
3.排除法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．
典题例析
例3　(1)(2019·大连模拟)设函数f(x)＝若f(x0)>3，则x0的取值范围为(　C　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
[解析]　取x0＝1，则f(1)＝＋1＝<3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A．故选C．
(2)(2019·银川质检)已知函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　C　)
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
[解析]　依题意x≠－c，故－c>0，则c<0，排除B；f(0)＝>0，故b>0，排除D；当x→＋∞时，f(x)<0，则a<0，排除A．综上所述，故选C．
规律总结
1．对于干扰项易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个，如本例的图象问题．
2．允许使用题干中的部分条件淘汰选项．
3．如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一，等效命题应该同时排除．
4．如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的．
5．如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断．
跟踪训练
1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　A　)
A．(－，2)∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－，＋∞)
D．(－∞，－)
[解析]　解法一：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，且a与b不反向，所以－2λ－1<0且λ≠2，解得λ∈(－，2)∪(2，＋∞)．解法二：因为当λ＝0时，a与b的夹角为钝角，排除B，D；当λ＝2时，a与b的夹角为π，排除C，故选A．
2．(文)已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且满足f(x)＋f(－x)＝0，当x>0时，f(x)＝lnx－x＋1，则函数y＝f(x)的大致图象为(　A　)
[解析]　因为函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且满足f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数，故排除C、D，又f(e)＝1－e＋1<0，所以(e，f(e))在第四象限，排除B，故选A．
(理)函数f(x)＝的图象大致是(　D　)
[解析]　由函数的解析式得，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝f(x)，故函数f(x)在定义域内是偶函数．
当x＝±1时，f(x)＝0，当x∈(0,1)∪(－1,0)时，f(x)<0，可排除B，C；
当x→0时，f(x)→0，排除A，故选D．
4.数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法，有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．
典题例析
例4　已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为__(1,2)__．
[解析]　作出函数f(x)的图象，根据图象观察出函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象交点的情况，然后利用判别式等知识求解．
画出函数f(x)的图象如图所示．
函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y1＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0)．
当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a<2.
当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x2＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点，
此时，由，得x2＋(5－a)x＋4＝0.
当Δ＝0时得(5－a)2－16＝0，
解得a＝1或a＝9(舍去)，
则当1故实数a的取值范围是1规律总结
数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．
跟踪训练
1．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　C　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－1[解析]　函数y＝log2(x＋1)的图象如图所示，所以不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－12．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝.若函数g(x)＝则函数y＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上零点的个数是(　D　)
A．7　　　
B．8　　　
C．9　　　
D．10
[解析]　函数y＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]上的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点个数．根据函数y＝f(x)的性质可知：
当x∈[1,3]时，x－2∈[－1,1]，
所以f(x)＝2f(x－2)＝2.
当x∈[3,5]时，x－2∈[1,3]，
所以f(x)＝2f(x－2)＝4.
当x∈[－3，－1]时，x＋2∈[－1,1]，
所以f(x)＝f(x＋2)＝.
当x∈[－5，－3]时，x＋2∈[－3，－1]，
所以f(x)＝f(x＋2)＝.
f(0)＝g(0)＝1，f(1)＝g(1)＝0，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．
观察图象可知y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点个数为10.
5.构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．
典题例析
例5　已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2
020)>e2
020f(0)
B．f(2)020)>e2
020f(0)
C．f(2)>e2f(0)，f(2
020)020f(0)
D．f(2)020)020f(0)
[解析]　构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.又因为f(x)0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(2)>g(0)，即>，则f(2)>e2f(0)；g(2
020)>g(0)，即>，则f(2
020)>e2
020f(0)．故选A．
规律总结
构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情境进行研究．
跟踪训练
　若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出下列五个命题：
①四面体ABCD每组对棱相互垂直；
②四面体ABCD每个面的面积相等；
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
其中正确命题的个数是(　B　)
A．2　　　
B．3　　　
C．4　　　
D．5
[解析]　构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x，y，z.
对于①，需要满足x＝y＝z，才能成立；因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故②正确，③显然不成立；
对于④，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④正确；
每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立．故正确命题有②④⑤，选B.
6.估算法由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．
典题例析
例6　已知点P是双曲线－＝1上的动点，F1，F2分别是此双曲线的左、右焦点，O为坐标原点．则的取值范围是(　B　)
A．[0,6]　　　　　
B．(2，]
C．(，)
D．[0，]
[解析]　当点P趋于双曲线右支上的无穷远处时，|PF1|，|PF2|，|OP|趋于相等，从而原式的值趋于2.当点P位于右支的顶点处时，|PF1|＋|PF2|＝4，|OP|＝2.从而原式的值为，排除C、D选项，又易知原式的值不可能为0，排除A，故选B.
规律总结
估算省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间．它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确与错误的原因．另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，做到准确快速地解题．
跟踪训练
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　C　)
A．　　　
B．5　　　
C．6　　　
D．
[解析]　
该多面的体积比较难求，可连接BE，CE，
问题转化为四棱锥E－ABCD与三棱锥E－BCF的体积之和，而VE－ABCD＝S·h＝×9×2＝6，所以只能选C．

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