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不等式恒成立问题中参数范围的求解策略探析
不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面
起到了积极的作用。
恒成立问题是高中数学中的一个热点,而不等式更是高考的重点,有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点,这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强,部分考生常感到无从下手,茫然不知所措,那么到底如何解决这类问题呢 实际上只要紧紧 “抓住题型”，这类问题求解中的求不等式恒成立时的参数范围将迎刃而解。
一、直接型：题干中有任意、均有、总是、恒成立等关键词时的不等式恒成立问题
――――常用“直接代入法、判别式法、参变分离法、数形结合法”解决
（－）直接代入法――利用单调性求解
如一次函数型“若时，不等式>0恒成立，求a的取值范围？”
解：设f(x)=
则 解得：
（二）判别式法---二次函数型
如“当xR时,不等式恒成立,求m的取值范围 ”
解：只须即-4(三）参变分离法----构造新函数求最值
如“当x(1,2)时,不等式恒成立,求m的取值范围是 ”
解：不等式可化为即<-m
设f(x)= ,当x(1,2)时,f(x)<5,则-m
例：若不等式对一切正数x、y恒成立，求实数a的取值范围.
解 分离参数得:.∵,
∴,∴,从而,即a的取值范围是.
(四)数形结合法---转化成两函数图像的位置关系求解
如“若对任意,不等式恒成立,求实数a的取值范围 ”
如图知：
例：设若不等式恒成立，求a的取值范围.
解：设则，它表示的是圆心
为半径为2的半圆（如图所示）.
另设，它的几何意义是一条经过原点，斜率为a的直线，将
两者图像画在同一坐标系下，根据不等式的几何意义，要使得半圆恒在直线的上方（包括相交），当且仅当时才成立，所以a的取值范围就是.
点评：本题是数形结合思想中的 “形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现. 由表达式结构特征，能让我们联系到用其几何意义去处理.
二、间接型----需转化为不等式恒成立解决
常见有以下几类
（一）已知含参函数的定义域为R，求参变量的取值范围？
如“已知函数的定义域是R,求k实数的取值范围是 ”
分析：可转化为“xR时恒成立” 再解决
(二)已知含参函数(一般可求导)在给定区间上的单调性,求参变量的取值范围？
如“已知函数(x,a为常数，),若函数f(x)在为增函数,求a的取值范围？”
分析：可转化为“恒成立” 再解决
（三）已知含参函数在给定区间上有意义，求参变量的取值范围？
如“设，其中a，如果时,f(x)有意义,求a的取值范围 ”
分析：可转化为“恒成立”再解决
（四）已知给定区间是含参不等式解集的子集，求参变量的取值范围？
如″设命题,命题q:,若是的必要不充分条件，则实数a的的取值范围是？”
分析：是的必要不充分条件p是q的充分不必要条件
P:
由于P=
则可转化为时，恒成立。
（也可以其它方法解决：如“Q=，则解得：”）
练习题
1 、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________
2、若不等式对恒成立，实数a的取值范围是 。
3、当时，不等式恒成立，求的取值范围。
4、设,当x[-1,+]时，都有恒成立，求a的取值范围。
5、已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;
6、R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当
时，有恒成立，求实数m的取值范围.
7、若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围
8、已知函数，其中为实数．若不等式
对任意都成立，求实数的取值范围
9、已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值； （2）讨论函数的单调区间；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
不等式恒成立的题型和解法还有很多，只要充分利用所给定的函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决。只有这样，才能真正提高分析问题和解决问题的能力。
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x
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