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立体几何
一、高考动向：
考查思维能力和空间想象能力，特别是使用向量代数方法解决立体几何几何问题的能力，以顺应几何的改革方向，高考命题侧重于直线与平面之间的各种位置关系的考查，从湘卷来看，一般是一小一大，17分左右。客观题仍是侧重于点线面位置关系及空间角，有可能涉及求表面积和体积问题，难度不会太大，主观题估计向新课标靠拢。
锥体和柱体作为载体，传统法和向量法都好解决问题仍是主旋律，主要考查线面的平行与垂直，角与距离考查可能减少，也可能出现新的题型，如开放性试题，立体几何背景下的点的轨迹问题等，试题新颖，立意巧妙，要注意训练。
二、主干知识整合
1．空间几何体的三视图
(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．
2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤
(1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐标系；(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox′，Oy′，使∠x′Oy′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；(3)画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度变为原来的一半；(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线(虚线)．
3．基本面积公式
4．空间几何体的体积计算公式
5．平行关系的转化
两平面平行问题常常转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．
6．解决平行问题时要注意以下结论的应用
(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．(4)平行于同一条直线的两条直线平行．(5)平行于同一个平面的两个平面平行．(6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．
7．垂直关系的转化
与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．
在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面．当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．
三、热身练习：
1. (1)[2011·山东卷] 如图12－3是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图1；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图12－3；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图12－3.其中真命题的个数是(　A　)
图1 图2
A．3 B．2 C．1 D．0
（2）如图2一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(　　)
A.＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋
2.(1) [2011·安徽卷] 一个空间几何体的三视图如图3所示，则该几何体的表面积为(　　)
图3 图4
A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80
(2)[2011·湖南卷] 设图4是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)
A．π＋12 B．π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18
3. [2011·辽宁卷] 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为(　　)
A．3 B．2 C. D．1
4. 设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(　　)
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
5. （辽宁理8）。如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
（A）AC⊥SB （B）AB∥平面SCD
（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
6. (1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　)A．30° B．45° C．60° D．90°
图5
(2)如图6，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为_______．
图6
四、例题讲解
例1. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点.求证：（1）// 平面； （2）平面平面.
证明：（1）连结，∵ 底面是边长为的正方形，
∴与互相平分，
∵为的中点， ∴为与的交点，
在中，∵为的中点， ∴//，
又 ∵平面，平面， ；
（2）∵ 面面，平面面，平面，， ∴ 平面，
∵平面， ，
又 ∵， ∴，
∴是等腰直角三角形，且，即，
　　 ∵ ， ∴ 面，
　　 又 ∵面， ∴ 面面.
例2. 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）.
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结，证明：面.
（Ⅰ）解：如图
（Ⅱ）解：所求多面体体积为
；
（Ⅲ）证明：在长方体 ( http: / / www. )中，连结，则，
∵分别为、中点，∴，
∵，∴，
又∵面，平面，∴面.
例3. 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB = BC = 2 AD = 4， E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF ( 如图 ) .
(1) 当x = 2时，求证：BD⊥EG；
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x )，求f ( x ) 的最大值.
（1）证明: 作DH⊥EF于H，连结BH、GH，
由平面平面，得DH⊥平面EBCF，
∵ EG平面EBCF， ∴ EG⊥DH，
在梯形ABCD中，∵ EF∥BC，AD∥BC， ∴ EF∥AD，
∵∠ABC =∠BAD =， ∴ ∠EBC =∠BEF =∠AEF =，
∴ AE∥DH，∴ 四边形AEHD为矩形，∴ AD = EH，
∵ AB = BC = 2 AD = 4，G是BC的中点， ∴ BG = EH，
∴ 四边形BGHE为正方形， ∴ EG⊥BH，
∵ BHDH＝H，∴ EG⊥平面DBH，
而BD平面DBH，∴BD⊥EG；
（2）解：∵ AD∥BC，BC面BFC，AD面BFC，∴ AD∥面BFC，
∴ VD - BFC ＝ VA - BFC ＝＝
4(4-x)x，
即当时，有最大值为.
注意：平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变；
五、专项训练：
1. 已知是平面，是直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A、若∥，则　 B、若∥，则∥
C、若，则∥　 D、若，则
2. 设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：
①；②；③；④.其中正确命题的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，
且侧棱，正视图是边长为2的正方形，
该三棱柱的侧视图面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 对于任意直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（　　）.
（A）平行　　　　　（B）相交　　 （C）垂直　　　（D）互为异面直线
7. 将边长为的正方体沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为 .
8. 已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）
① 矩形；
② 不是矩形的平行四边形；
③ 有三个面为直角三角形，有一个面为
等腰三角形的四面体；
④ 每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤ 每个面都是直角三角形的四面体.
9. 如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长为的菱形，，是中点，截面交于.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：⊥平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
10. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中，
且，．若将五边形看成底面，
为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱.
（1）图2为面的直观图，请以此为底面将该储
蓄罐的直观图画完整；
（2）已知该储蓄罐的容积为，求制作该
储蓄罐所需材料的总面积（精确到整数位，材料厚
度、接缝及投币口的面积忽略不计）．
11、如图13－2，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF∶FD＝2∶1.
(1)证明：EA⊥PB；
(2)证明：BG∥平面AFC.
12、（湖南理19） 如图5，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．（Ⅰ）证明：平面平面;
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
六、规律技巧提炼
1．真实图形中和两坐标轴平行的线段在直观图中仍然和两坐标轴平行，在真实图形中与x轴平行的线段在直观图中长度不变，在真实图形中和y轴平行的线段在直观图中变为原来的一半．这种画法蕴含着一个一般的规律，在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面积之比是2.
2．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．
3．实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，往往是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体体积的基本方法就是“分解”，将组合体“分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积”，然后根据组合体的结构，将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差
4．求二面角问题中，如果图形中没有显示出二面角的棱，则要根据平面的三个公理作出这个二面角的棱．
5．在空间中线线平行和面面平行都有传递性，但线面平行没有传递性．在空间任意平移两条直线不改变两条直线所成的角，同时注意两直线所成角的范围是.
6．两异面直线所成的角归结到一个三角形中的内角时，容易忽视这个三角形中的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
7．面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，在线面角、二面角的求解中很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线．垂直问题的关键是线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直(线面垂直的定义)，通过线线垂直证明线面垂直(线面垂直的判定定理)、面面垂直(面面垂直的判定定理)，在解决垂直问题中要把这些垂直关系理清，确定合理的推理论证顺序．
8．空间向量证明位置关系的方法：
(1)线线平行：直线与直线平行，只要证明它们的方向向量平行．
(2)线面平行：用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(3)面面平行：平面与平面的平行，除了用线面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两平面的法向量平行即可．
(4)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向量垂直．
三、练习的参考答案：1. B 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C
6. 解析：抓住题中的关键词“任意”与“必有”，那么l可以在平面外，也可以在平面内；当l在平面外时，还有与平面相交与平行两种可能，不管在何种情况下，平面内必有直线m⊥l.
7. 解析：先作图如下：
对照平面图形（图1）和立体图形（图2）可知：折叠前的线段DO和BO，它们在折叠后的长度未变，仍为. 由勾股定理的逆定理可得，在立体图形（图2）中，∠DOB = 90°. 折叠前与AC垂直的线段BD虽被折成两段，但与AC的垂直关系并没有改变，即DO⊥AC. 因此易知DO即为三棱锥
的高，从而易求出三棱锥的体积.
8. ①③④⑤
9. 证明：（Ⅰ）∵ 底面是边长为的菱形，∴，
∵平面，平面，
∴平面， ……2分
∵平面，平面平面，
∴； ……4分
（Ⅱ）取的中点，连结、、，
∵ 底面是边长为的菱形，，
∴ 是正三角形， ∴ ，
同理可得，，
又 ∵ ，∴平面，
∵ 平面， ∴， ………………6分
∵，是中点，∴， ………………8分
∵， ∴⊥平面； ………………9分
（Ⅲ）∵ 侧面底面，侧面底面，，
∴ 底面， ………………11分
∵ 是边长为2的正三角形， ∴，
∵ 是边长为2的正三角形， ∴，
∴ 三棱锥的体积V . …………14分
10. 解：(1) 该储蓄罐的直观图如右图所示；
(2) 设，则五边形的面积为=，
∴ 该储蓄罐的容积为，解得，
∴ 该储蓄罐的展开图的面积为
，
∴ 制作该储蓄罐所需材料的总面积约为.
4
6
4
2
2
2
4
6
2
2
（俯视图）
（正视图）
（侧视图）
H
图1
图2
E
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