资源简介

4．机械能守恒定律
知识结构导图
核心素养目标
物理观念：动能、势能、机械能的概念．
科学思维：转化观点在机械能守恒中的理解和应用．
科学探究：(1)通过实例探究机械能守恒条件．
(2)根据具体事例探究机械能守恒定律的不同表达式．
科学态度与责任：机械能守恒定律在日常生活中的应用．
知识点一　追寻守恒量
阅读教材第89页内容．
1．伽利略的斜面实验探究如图所示．
2．过程：不计一切摩擦，将小球由斜面A上某位置滚落，它就要继续滚上另一个斜面B.
3．现象：无论斜面B比斜面A陡些或缓些，小球的速度最后总会在斜面上的某点变为0，这一点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度________．
4．结论：这一事实说明某个量是____________的．在物理学中我们把这个量叫做________．
知识点二　动能与势能的相互转化
阅读教材第90页“动能与势能的相互转化”部分．
1．重力势能与动能
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能______，动能________，________能转化成了________能；若重力做负功，则________能转化为________能．
2．弹性势能与动能
只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能________，物体的动能________，________能转化为________能．
3．机械能
(1)定义：重力势能、弹性势能与____________都是机械运动中的能量形式，统称为机械能(mechanical
energy)．
(2)动能与势能的相互转化：通过________或________做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式．
拓展：
某车站的设计方案如图所示．由于站台建得稍高，车进站时要上坡，出站时要下坡．忽略摩擦力，分析这种设计的优点．
进站前关闭发动机，机车靠惯性上坡，机车的动能转化为重力势能储存起来，出站时下坡，机车和重力势能转化为动能，这种设计的优点是节省了能源．
知识点三　机械能守恒定律
阅读教材第91～93页“机械能守恒定律”部分．
1．推导
物体沿光滑曲面从A到B滑下
由动能定理得W＝mv－mv
又因，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少，
即W＝mgh1－mgh2
从以上两式可得mv＋mgh2＝mv＋mgh1
等式左边为物体末状态动能与势能之和，等式右边为物体初状态动能与势能之和．
2．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相______，而总的机械能________．这叫作机械能守恒定律(Law
of
conservation
of
mechanical
energy)．
3．表达式
mv＋mgh2＝mv＋mgh1
4．守恒条件：只有重力或弹力做功．
易错警示：
(1)“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，机械能的总量总保持不变．
(2)机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零．
【思考辨析】　判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)物体在速度增大时，其机械能可能在减小．(　　)
(2)物体所受合外力为零时，其机械能一定守恒．(　　)
(3)物体受到摩擦力作用时，其机械能一定要变化．(　　)
(4)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．(　　)
(5)物体做匀速运动，它的机械能一定守恒．(　　)
(6)物体所受合外力做的功为零，它的机械能一定守恒．(　　)
(7)物体所受合外力不等于零，它的机械能可能守恒．(　　)
(8)物体只受重力或系统内弹力作用，机械能守恒．(　　)
要点一　机械能守恒条件的理解及应用
1．对守恒条件的进一步理解
机械能守恒的具体情况有：
(1)物体只受重力或弹力，不受其他力，如自由落体运动和各种抛体运动；
(2)物体除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，如物体沿光滑固定的斜面或弧面下滑，物体受重力和支持力作用，但支持力不做功；
(3)对于物体系统来说，除系统内的重力和弹力做功之外，外力不做功，有内力做功，但内力做功的代数和为零．
(4)对于某一系统，系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内也没有机械能与其他形式的能发生转化．
点睛：机械能守恒的条件绝不是合力做的功为零，更不是合力为零；物体所受合力为零，机械能也不一定守恒，要注意与动能定理区分。
点拨：解答本题可以按以下思路分析：
【例1】　(多选)如图，物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)(　　)
练1　(多选)关于机械能守恒，下列说法中正确的是(　　)
A．物体做匀速运动，其机械能可能不守恒
B．物体所受合力不为零，其机械能一定不守恒
C．物体所受合力为零，其机械能一定守恒
D．物体沿竖直方向向下做加速度为5
m/s2的匀加速运动，其机械能减少
点拨：
只有重力或弹力做功是判断机械能守恒的基本条件．只有重力或弹力做功并不意味着物体只受重力或弹力作用，而是除重力或弹力做功外不能有其他力做功，或其他力做功的代数和为零．
解题通法
判断机械能守恒的方法
　(1)做功分析法(常用于单个物体)．
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)．
拓展：如图所示，小球的受力情况如何？各个力的做功情况如何？
小球在摆动过程中受重力和绳的拉力作用．拉力和速度方向总垂直，对小球不做功；只有重力对小球做功．
小球在摆动过程中重力势能和动能在不断转化．在摆动过程中，小球总能回到原来的高度．可见重力势能和动能的总和，即机械能保持不变．
要点二　机械能守恒定律的应用
　情境：如图，运动员抛铅球，铅球质量为m，抛出点所在位置的高度为h，初始速度为v0，忽略空气阻力，重力加速度为g.
讨论：
(1)铅球在空中运动过程中，能量如何转化？
(2)铅球运动过程中机械能守恒吗？落地点的动能为多少？
(3)铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
1．应用机械能守恒定律解题的基本思路
应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力，只要符合守恒条件，机械能就守恒。机械能守恒定律只涉及物体系的初、末状态的物理量，无需分析中间过程的复杂变化，使处理问题得到简化，应用的基本思路如下：
(1)选取研究对象——物体系或物体．
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在所研究过程的初、末状态时的机械能．
(4)根据机械能守恒定律列方程，进行求解．
2．应用机械能守恒定律的二个角度
类别
表达式
物理意义
从不同状态看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
动能的增加量等于势能的减少量
用机械能守恒定律解题的基本思路
题型一　单个物体的机械能守恒问题
【例2】　将质量为m的物体以初速度v0＝10
m/s竖直向上抛出，忽略空气阻力，g取10
m/s2，则：
(1)物体上升的最大高度是多少？
(2)上升过程中，何处重力势能与动能相等？
[拓展]在[例2]中，若选择地面为参考平面，物体在上升过程中，当物体的动能与重力势能相等时，物体的速度多大？
点拨：①在B下落过程中，A与B的速率时刻相等．
②在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒．
③当B落地后，A的机械能是守恒的．
题型二　多物体系统的机械能守恒问题
【例3】　如图所示，质量分别为3
kg和5
kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8
m，求：(g取10
m/s2)
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？
点拨：解答本题的关键是分析清楚小球的运动过程，把握圆周运动最高点临界速度的求法：重力提供向心力．正确利用机械能守恒定律进行分析．
题型三　机械能守恒定律与圆周运动的综合应用
【例4】　如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
练2　如图所示，一固定在地面上的光滑斜面的顶端固定一个轻弹簧，地面上质量为m的物块(可视为质点)向右滑行并冲上斜面，设物块在斜面最低点A在速率为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则物块运动到C点时弹簧的弹性势能为(　　)
A．mgh
B．mgh＋mv2
C．mgh－mv2
D.mv2－mgh
练3　假设运动员从雪道的最高点A(如图所示)由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10
m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10
m/s2)
思考与讨论　(教材P90)一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落(如图)．它们都由高度为h1的地方下落到高度为h2的地方．在这两种情况下，重力做的功相等吗？重力势能的变化相等吗？动能的变化相等吗？重力势能各转化成什么形式的能？
提示：因为高度相同，所以重力做的功相等．重力势能的变化相等；动能的变化不相等；小球在液体中下落，除了重力做功外，还有阻力做功．在真空中减少的重力势能转化为动能；在油中减少的重力势能转化为动能和内能．
思考与讨论　(教材P91)
在图中，如果物体从位置B沿光滑曲面上升到位置A，重力做负功．这种情况下上式的关系是否还成立？
提示：上式的关系仍成立．
物体从位置B上升到位置A，重力做功为W，由动能定理得：W＝mv－mv
根据重力做功：W＝－ΔEp＝－mgh1＋mgh2
联立两式得：mv＋mgh2＝mv＋mgh1
1．如图所示是必修2课本中四幅插图，四幅图表示的运动过程中物体机械能不守恒的是(　　)
A．图甲中，滑雪者沿光滑斜面自由下滑
B．图乙中，过山车关闭油门后通过不光滑的竖直圆轨道
C．图丙中，小球在水平面内做匀速圆周运动
D．图丁中，石块从高处被斜向上抛出后在空中运动(不计空气阻力)
2．如图，质量为m的苹果，从离地面H高的树上由静止开始落下，树下有一深度为h的坑．若以地面为零势能参考平面，则当苹果落到坑底前瞬间的机械能为(　　)
A．－mgh
B．mgH
C．mg(H＋h)
D．mg(H－h)
3．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧的弹性势能逐渐减少
B．物体的机械能不变
C．弹簧的弹性势能先增加后减少
D．弹簧的弹性势能先减少后增加
4.
如图，质量为1
kg的小物块从倾角为30°、长为2
m的光滑固定斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，重力加速度g取10
m/s2，则它滑到斜面中点时具有的机械能和动能分别是(　　)
A．5
J,5
J
B．10
J,15
J
C．0,5
J
D．0,10
J
5.
如图所示，用长为L的轻绳系住一个小铁球并把轻绳另一端悬挂在距水平地面2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，不计空气阻力．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为(　　)
A.
B.
C.
D.
6．[新题型]
情境：小明同学用实验研究“圆珠笔的上跳”，一支可伸缩的圆珠笔，内有一根弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出．如图所示，手握笔杆，使笔尖向上，小帽抵在桌面上，在压下后突然放手，笔杆将竖直向上跳起一定的高度．
问题：在某次实验中，小明用刻度尺测得圆珠笔跳起的高度为12
cm，请你帮他分析：
(1)圆珠笔由桌面静止起跳到上升至最大高度的过程中，能量发生了怎样的变化？
(2)从能量转化的角度计算出圆珠笔起跳的初速度v0多大？(g取10
m/s2)
微专题(七)　动能定理和机械能守恒定律的应用
一、动能定理与牛顿运动定律的比较
1．动能定理与牛顿第二定律的比较
规律
动能定理
牛顿第二定律
内容
合力做的功等于物体动能的变化
加速度与合外力成正比，与物体的质量成反比
表达式
W合＝ΔEk＝mv－mv，标量形式，无分量形式，涉及F、l、m、v、W、Ek、ΔEk
F合＝ma，矢量形式，有分量形式，Fx＝max，Fy＝may
研究对象
单个物体
单个物体或系统(中学阶段，限于只有一个物体有加速度或整体有相同的加速度)
特点
某个过程中，合力的功和动能变化的因果、数值关系
某一时刻，合力与加速度的因果、数值关系
2.规律的选择原则
(1)解决物体在恒力作用下的直线运动问题，可以用牛顿第二定律结合运动学公式求解，也可以用动能定理求解．
(2)对非匀变速直线运动，动能定理仍然适用，而牛顿运动定律不能运用．
【典例1】　如图所示，A、B间是一个风洞，水平地板AB延伸至C点，通过半径r＝0.28
m的光滑圆弧CD与足够长的光滑斜面DE连接．质量m＝2
kg且可看成质点的滑块在风洞中受到水平向右的恒定风力F＝20
N，滑块与地板AC间的动摩擦因数μ＝0.2.已知xAB＝1
m，xBC＝0.5
m，g取10
m/s2.如果将滑块在风洞中A点由静止释放，求：
(1)滑块第一次经过B点的速度大小．
(2)滑块第一次经过圆弧上C点时对地板的压力大小．
[拓展1]　在[典例1]中滑块在斜面轨道上能够上升的最大高度是多少？
[拓展2]　在[典例1]中滑块整个运动过程中在A、C间运动的总路程为多少？
练1　
如图是检验某种防护罩承受冲击能力的装置，M为半径R＝1.6
m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点，N为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径r＝
m，圆心位于B点．在A处放置水平向左的弹簧枪，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01
kg的小钢珠，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能．假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，g取10
m/s2.求：
(1)小钢珠在B点的速度大小；
(2)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep.
练2　如图所示，小球从竖直放置的四分之一光滑圆弧轨道abc的b点由静止开始沿轨道下滑，从c点水平飞出，下落到倾角为30°的斜面上的d点．已知小球的质量为m，圆弧轨道的半径为R，b点和圆心O的连线与水平方向的夹角为30°，重力加速度取g.求：
(1)小球到c点时所受轨道支持力的大小；
(2)小球从圆弧轨道c点水平飞出落到斜面d点时的动能；
(3)某同学认为，无论小球以多大速度从c点水平飞出，落到斜面时的速度方向都相同．你是否同意这一点观点？请通过计算说明理由．
二、动能定理与机械能守恒定律的综合应用
1．动能定理与机械能守恒定律的比较：
动能定理
机械能守恒定律
研究对象
单个物体
单个物体或系统
条件
无
只有重力或弹力做功
常用公式
W合＝Ek2－Ek1
ΔEp＝－ΔEk
2.规律的适用范围：
(1)动能定理：恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用．
(2)机械能守恒定律：只有系统内的弹力或重力做功．
【典例2】　如图甲所示，为2022年北京冬奥会跳台滑雪馆“雪如意”的效果图．如图乙所示为由助滑区、空中飞行区、着陆缓冲区等组成的依山势而建的赛道示意图．运动员保持蹲踞姿势从A点由静止出发沿直线向下加速运动，经过距离A点s＝20
m处的P点时，运动员的速度为v1＝50.4
km/h.运动员滑到B点时快速后蹬，以v2＝90
km/h的速度飞出，经过一段时间的空中飞行，以v3＝126
km/h的速度在C点着地．已知BC两点间的高度差h＝80
m，运动员的质量m＝60
kg，重力加速度g取9.8
m/s2，计算结果均保留两位有效数字．求：
(1)A到P过程中运动员的平均加速度大小．
(2)以B点为零势能参考点，求到C点时运动员的机械能．
(3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，运动员克服阻力做的功．
练3　如图所示，AB是倾角θ为45°的直轨道，CD是半径R＝0.4
m的半圆形轨道，它们通过一段曲面BC平滑相接，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑．一个质量m＝1
kg的物体(可以看作质点)从高H的地方由静止释放，结果它从圆弧最高点D点水平飞出，垂直斜面击中P点．已知P点与圆弧的圆心O等高，g取10
m/s2.求：
(1)物体击中P点前瞬间的速度大小；
(2)在C点物体对轨道的压力大小；
(3)物体由静止释放时的高度H.
练4　质量m＝1
kg的物体，在水平拉力F(拉力大小恒定，方向与物体初速度方向相同)的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4
m时，拉力F停止作用，运动到位移为8
m时物体停止，运动过程中Ek?x的图线如图所示．g取10
m/s2.求：
(1)物体的初速度多大？
(2)物体和平面间的动摩擦因数为多大？
(3)拉力F的大小？
4．机械能守恒定律
知识点一
3．相同
4．不变　能量
知识点二
1．减少　增加　重力势　动　动　重力势
2．减少　增加　弹性势　动
3．(1)动能　(2)重力　弹力
知识点三
2．转化　保持不变
思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×　(7)√　(8)√
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要点一
【例1】　【解析】　A选项中，物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；B选项中，物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；C选项中，小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；D选项中，用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒。故选项C、D正确。
【答案】　CD
练1　解析：物体做匀速运动，其动能不变，但机械能可能变化，如物体匀速上升或下降，机械能会相应地增加或减少，选项A正确；由机械能守恒的条件知，选项B、C错误；物体沿竖直方向向下做加速度为5
m/s2的匀加速运动时，物体一定受到一个与运动方向相反的力的作用，此力对物体做负功，物体的机械能减少，选项D正确．
答案：AD
要点二
　提示：(1)动能和重力势能相互转化．
(2)铅球在空中运动时，只受重力，机械能守恒。落地点的动能Ek＝mgh＋mv.
(3)根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关．
【例2】　【解析】　(1)物体上升的过程中机械能守恒，则有mghmax＝mv
解得hmax＝5
m.
(2)设物体在h高处，物体的重力势能与动能相等，即mgh＝Ek①
又由机械能守恒定律得
mgh＋Ek＝mv
②
联立①②式解得
h＝＝
m＝2.5
m.
【答案】　(1)5
m　(2)2.5
m
[拓展]　解析：当动能与重力势能相等时，则动能为总机械能的，设物体的速度为v，则mv2＝×mv，即v＝v0＝5
m/s.
答案：5
m/s
【例3】　【解析】　(1)解法一　由E1＝E2解对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考面，则mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2，
解得v＝＝
m/s＝2
m/s.
解法二　由ΔEk＝－ΔEp解对A、B组成的系统，
有(mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh)，
解得v＝2
m/s。
(2)当B落地后，A以2
m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械守恒可得mAgh′＝mAv2，
解得h′＝＝
m＝0.2
m.
【答案】　(1)2
m/s　(2)0.2
m
【例4】　【解析】　(1)设小球的质量为m
，小球在A点的动能为EkA＝mg，
设小球在B点的动能为EkB，由动能定理得EkB＝mg，得＝5.
(2)若小球沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0，
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有
N＋mg＝m，得vC应满足mg≤m，由机械能守恒定律有mg＝mv.可知小球恰好可以沿轨道运动到C点．
【答案】　(1)5:1　(2)恰好能到达C点
练2　解析：弹簧被压缩至最短时，物块的速度为0.物块沿斜面运动到弹簧被压缩至最短的过程中，机械能守恒，有mgh＋Ep＝mv2.
所以弹簧的弹性势能Ep＝mv2－mgh.
答案：D
练3　解析：滑雪过程中只有重力做功，运动员的机械能守恒。选B点所在水平面为参考平面，由A点到B点的过程中，mv＝mgh1，h1＝5
m－1
m＝4
m，得vB＝＝4
m/s≈8.9
m/s；从B点到C点的过程由机械能守恒定律得mv＝－mgh2＋mv，其中h2＝10
m，故vC＝＝2
m/s.
答案：4
m/s　2
m/s
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1．解析：滑雪者沿光滑斜面自由下滑时，斜面的支持力不做功，只有重力做功，其机械能守恒；过山车关闭油门后通过不光滑的竖直圆轨道，阻力做负功，其机械能减小，机械能不守恒；小球在水平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能也不变，两者之和不变，即其机械能守恒．石块从高处被斜向上抛出后在空中运动时，不计空气阻力，只受重力，其机械能一定守恒．B符合题意．
答案：B
2．解析：苹果下落过程机械能守恒，开始下落时其机械能为E＝mgH，落到坑底前瞬间机械能仍为mgH.
答案：B
3．解析：因弹簧左端固定在墙上，右端与物体连接，故撤去F后，物体向右运动过程中，弹簧先恢复到原长后，再被物体拉伸，其弹性势能先减少后增加，物体的机械能先增加后减少，故D正确，A、B、C错误．
答案：D
4．解析：物块的机械能等于物块动能和重力势能的总和，选初始位置为零势能点，则物块在初始位置的机械能E＝0，在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，所以物块滑到斜面中点时的机械能为0，故有－mg×h＋＝0，所以动能是5
J，C正确．
答案：C
5．解析：小铁球恰能到达最高点B，由mg＝知，小铁球在最高点处的速度v＝.以地面为零势能面，小铁球在B点处的总机械能为3mgL＋mv2＝mgL，小铁球运动时机械能守恒，无论轻绳是在何处断的，到达地面时的动能都等于在B点时的机械能，即mv′2＝mgL，故小铁球落到地面时的速度v′＝，D正确．
答案：D
6．解析：(1)圆珠笔弹簧的弹性势能减少，转化为圆珠笔的动能，离开桌子后，圆珠笔减少的动能转化成圆珠笔增加的重力势能，圆珠笔运动到最高点时，圆珠笔的重力势能最大，动能为零．
(2)由机械能守恒定律得：mgh＝mv，
代入数据得：v0≈1.55
m/s.
答案：(1)圆珠笔弹簧弹性势能―→圆珠笔动能―→圆珠笔重力势能　(2)1.55
m/s

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