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匀变速直线运动的位移与时间的关系（三）
（含追及相遇问题）
一、知识引入
推导：根据速度与时间的关系解出时间为
代入位移与时间的关系可得
二、速度与位移的关系
1.速度与位移的关系：
2.理解：
①
关系式中无时间参量，这是使用该方程的标志
②
公式中表示末速度，表示初速度，表示加速度
③
若物体做匀减速直线运动，可知，这时加速度；也可将匀减速直线运动视为匀加速直线运动的逆过程，则方程可写
3.中间位置速度
①
表达式
推导：
前一半位移
后一半位移
两式左边相等，则
②
比较中间时刻速度和中间位置速度的大小
根据图象可知
【例8】（多选）如图为AK47突击步枪，该枪枪管长度约为400mm，子弹在枪口的速度约为700m/s，若将子弹在枪管中的运动看做匀加速直线运动，下列说法正确的是（　　）
A．子弹在枪管中的加速度约为6.125×105m/s2
B．子弹在枪管中的加速度约为6.125×104m/s2
C．子弹在枪管中的运动时间约为1.14×10－3s
D．子弹在枪管中的运动时间约为0.114s
【答案】AC
【解析】子弹在枪管中做初速度为零的匀加速直线运动，由v2＝2ax得a＝＝6.125×105m/s2，故A正确、B错误．由v＝at得t＝＝1.14×10－3s，故C正确、D错误．
【例9】一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3
m/s，则小球到达斜面底端时的速度为（　　）
A．4
m/s
B．5
m/s
C．6
m/s
D．3
m/s
【答案】D
【解析】
设斜面长为L，加速度为a，到底端的速度为v，则由v＝
得3
m/s＝，所以v＝3
m/s，D正确．
【训练23】国庆期间，京津冀地区平均PM2.5浓度维持在250
μg/m3左右，出现严重污染．已知汽车在京津高速上行驶限速120
km/h，由于雾霾的影响，某人开车在此段高速公路上行驶时，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为50
m，该人的反应时间为0.5
s，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5
m/s2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是（　　）
A．10
m/s
B．15
m/s
C．20
m/s
D．25
m/s
【答案】C
【解析】
设汽车行驶的最大速度为v，则有：vt0＋＝x，即0.5v＋＝50，解得v＝20
m/s.
【训练24】如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5
m/s增加到10
m/s时位移为x。则当速度由10
m/s增加到15
m/s时，它的位移是（　　）
A．
x
B．x
C．2x
D．3x
【答案】B
【解析】由v2－v＝2ax得102－52＝2ax,152－102＝2ax′，两式联立可得x′＝x，故B正确。
【训练25】（多选）如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2
m，BC＝3
m．且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是（　　）
A．可以求出物体加速度的大小
B．可以求得CD＝4
m
C．可以求得OA之间的距离为1.125
m
D．可以求得OB之间的距离为12.5
m
【答案】BC
【解析】
由Δs＝at2可得物体的加速度a的大小为a＝＝＝，因为不知道时间，所以不能求出加速度，故A错误；根据sCD－sBC＝sBC－sAB＝1
m，可知sCD＝(3＋1)
m＝4
m，故B正确；物体经过B点时的瞬时速度为vB＝vAC＝，再
v＝2as可得O、B两点间的距离为sOB＝＝·＝3.125
m，所以O与A间的距离为
sOA＝sOB－sAB＝(3.125－2)m＝1.125
m，故C正确，D错误．
【训练26】某航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统。已知某型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5
m/s2，起飞的最小速度是50
m/s，弹射系统能够使战斗机具有的最大速度为30
m/s，则：
(1)战斗机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
【答案】(1)4
s　(2)160
m
【解析】
(1)战斗机在跑道上运动的过程中，当有最大弹射速度、最大加速度时，起飞所需的时间最短，故有
t＝＝
s＝4
s，
则战斗机起飞时在跑道上的加速时间至少为4
s。
(2)根据速度位移关系式v2－v＝2ax可得，
x＝＝
m＝160
m，
即航空母舰的跑道至少为160
m。
专题：追及相遇问题（两个物体）
☆
一个关键点：两个物体在同一时刻在同一位置相遇
☆
两个重要关系：
①
两物体是否相遇取决于二者的位移关系
②
追及过程中，速度相等时，若两物体不相遇，两物体的间距最大或最小
☆
三个运动方式
①
匀速直线运动
②
匀加速直线运动：注意题干中是否有最大速度的限制
③
匀减速直线运动：注意物体速度何时减为0
1.追及相遇问题分析示例
①
匀加速追匀速
同一直线上有两个物体甲、乙，甲初速度为0，以加速度做匀加速直线运动，乙以做匀速直线运动，初始位置如图所示，甲、乙相距，均向右运动
分析：开始阶段，甲慢乙快，二者距离越来越大，甲做匀加速直线运动，直到甲、乙速度相等时，二者距离达到最大，此后，甲的速度大于乙的速度，二者距离越来越近，直至相遇，如图所示
甲、乙两物体的位移关系
其中，所用时间相同。
利用图象分析追及过程过程
根据分析可知时刻，甲、乙两物体相距最远
②
匀减速追匀速
同一直线上有甲、乙两个物体，甲以初速度、加速度做匀减速直线运动，乙以做匀速直线运动（），初始位置如图所示，甲、乙相距，均向右运动
分析：开始阶段，甲快乙慢，甲和乙的距离越来越近，速度相等时，甲、乙相距最近，此时甲、乙相距最近，此时若甲未追上乙，则之后永远追不上，若恰好相遇，如图
位移关系为
【例10】一辆货车以8
m/s的速度在平直铁路上匀速运行，由于调度失误，在后面600
m处有一辆客车以72
km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2
000
m才能停止．求：
(1)客车滑行的加速度是多少？
(2)计算后判断两车是否会相撞．
【答案】(1)0.1
m/s2　(2)见解析
【解析】
(1)由公式v2－v＝2ax得客车刹车的加速度大小为
a＝＝
m/s2＝0.1
m/s2.
(2)假设不相撞，设两车达到共同速度用时为t，则
v2－at＝v1，t＝120
s
货车在该时间内的位移
x1＝v1t＝8×120
m＝960
m
客车在该时间内的位移
x2＝t＝1
680
m
位移大小关系：x2＝1
680
m>600
m＋x1＝1
560
m，故已相撞．
【训练27】（多选）近年来，雾霾天气频繁出现．某日早6时浓雾天气中道路能见度只有30
m，且路面湿滑．一辆小汽车以18
m/s的速度自中华路由南向北行驶，通过某路段时，突然发现正前方浓雾中有一辆卡车正以6
m/s的速度同向匀速行驶，于是，司机鸣笛示警同时紧急刹车，但路面湿滑，只能实现2
m/s2的加速度减速行驶．前车接到示警于2
s后以2
m/s2的加速度加速行驶．以下说法正确的是（　　）
A．前后车因都采取了必要的减加速运动，所以不会追尾
B．前后车虽采取了减加速运动，但加速度过小，仍会发生追尾碰撞
C．在前车开始加速时，两车相距仅有9
m的距离
D．两车距离最近只有2
m
【答案】AD
【解析】
设v1＝18
m/s，v2＝6
m/s，a＝2
m/s2，t0＝2
s，s＝30
m；设汽车经时间t两者共速，则v1－at＝v2＋a(t－t0)，解得t＝4
s，此时间内汽车的位移x1＝v1t－at2＝56
m，卡车的位移x2＝v2t0＋v2(t－t0)＋a(t－t0)2＝28
m，因x2＋s＞x1可知两车不会追尾，此时两车的距离为28
m＋30
m－56
m＝2
m，故A、D正确，B错误；在前车开始加速时，两车相距Δx＝s－[(v1－v2)t0－at]＝10
m的距离，故选项C错误．
【训练28】据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍，开车时打电话发生事故的概率是安全驾驶的2.8倍．一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2
s，相当于盲开50
m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离(从开始刹车到汽车停下来所行驶的距离)至少是25
m，根据以上提供的信息：
(1)求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小；
(2)若该车以108
km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100
m处道路塌方，该司机因用手机微信抢红包，2
s后才发现危险，司机的反应时间为0.5
s，刹车的加速度与(1)问中大小相等．试通过计算说明汽车是否会发生交通事故．
【答案】(1)25
m/s
12.5
m/s2　(2)见解析
【解析】
(1)汽车运动的速度为v1＝＝
m/s＝25
m/s；设汽车刹车的最大加速度为a，则a＝＝
m/s2＝12.5
m/s2.
(2)108
km/h＝30
m/s；司机看手机时，汽车发生的位移为x1＝v2t＝30×2
m＝60
m，
反应时间内发生的位移的大小为x2＝v2Δt＝30×0.5
m＝15
m，
刹车后汽车发生的位移x3＝＝
m＝36
m；
所以汽车前进的距离为x＝x1＋x2＋x3＝60
m＋15
m＋36
m＝111
m＞100
m，所以会发生交通事故．
【训练29】国产自主品牌哈弗汽车近年来技术进步明显，深受用户喜爱．汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究，在一次汽车性能测试中，A、B两辆汽车相距s，在同一直线上同方向匀减速行驶，汽车速度减为零后保持静止不动．A车在前，初速度为v1，加速度大小为a1，B车在后，初速度为v2，加速度大小为a2且已知v1＜v2，但两车一直没有相遇，问A、B辆车在运动过程中相距的最小距离为多少？
【答案】s＋－或s－
【解析】
若a1≥a2，A车先停下来，B车后停，只有B车停下来时才是最近距离
Δs＝s＋－
若a1≤a2，
那么两车应该是速度相等时距离最近
当v1－a1t＝v2－a2t
t＝
在时间t内，A的位移x1＝v1t－a1t2
B的位移x2＝v2t－a2t2
最近距离为Δs＝s＋x1－x2＝s－.
【训练30】已知A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v1＝10
m/s，B车在后，速度v2＝30
m/s，B车在距A车x0＝75
m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过x＝180
m才能停下来。求：
(1)B车刹车过程的加速度大小；
(2)B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？
(3)若相撞，B车从开始刹车到两车相撞用多长时间？若不相撞，两车的最小距离是多少？
【答案】(1)2.5
m/s2　(2)两车会相撞　(3)6
s
【解析】
(1)由－2ax＝0－v，
解得B车刹车过程的加速度大小为
a＝＝
m/s2＝2.5
m/s2。
(2)当B车速度由30
m/s减为10
m/s时，
需要时间t＝
s＝8
s，
此过程中B车的位移
xB＝×8
m＝160
m，
A车的位移xA＝10×8
m＝80
m。
则xB>xA＋75
m，故两车会相撞。
(3)设B车从开始刹车到两车相撞用时t1，则
v2t1－at＝v1t1＋75
m，
代入数据，解得t1＝6
s或t1＝10
s(舍)。
故B车从开始刹车到两车相撞所用时间为6
s。
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匀变速直线运动的位移与时间的关系（三）
（含追及相遇问题）
一、知识引入
推导：根据速度与时间的关系解出时间为
代入位移与时间的关系可得
二、速度与位移的关系
1.速度与位移的关系：
2.理解：
①
关系式中无时间参量，这是使用该方程的标志
②
公式中表示末速度，表示初速度，表示加速度
③
若物体做匀减速直线运动，可知，这时加速度；也可将匀减速直线运动视为匀加速直线运动的逆过程，则方程可写
3.中间位置速度
①
表达式
推导：
前一半位移
后一半位移
两式左边相等，则
②
比较中间时刻速度和中间位置速度的大小
根据图象可知
【例8】（多选）如图为AK47突击步枪，该枪枪管长度约为400mm，子弹在枪口的速度约为700m/s，若将子弹在枪管中的运动看做匀加速直线运动，下列说法正确的是（　　）
A．子弹在枪管中的加速度约为6.125×105m/s2
B．子弹在枪管中的加速度约为6.125×104m/s2
C．子弹在枪管中的运动时间约为1.14×10－3s
D．子弹在枪管中的运动时间约为0.114s
【例9】一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3
m/s，则小球到达斜面底端时的速度为（　　）
A．4
m/s
B．5
m/s
C．6
m/s
D．3
m/s
【训练23】国庆期间，京津冀地区平均PM2.5浓度维持在250
μg/m3左右，出现严重污染．已知汽车在京津高速上行驶限速120
km/h，由于雾霾的影响，某人开车在此段高速公路上行驶时，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为50
m，该人的反应时间为0.5
s，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5
m/s2，为安全行驶，汽车行驶的最大速度是（　　）
A．10
m/s
B．15
m/s
C．20
m/s
D．25
m/s
【训练24】如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5
m/s增加到10
m/s时位移为x。则当速度由10
m/s增加到15
m/s时，它的位移是（　　）
A．
x
B．x
C．2x
D．3x
【训练25】（多选）如图所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2
m，BC＝3
m．且物体通过AB、BC、CD所用的时间相等，则下列说法正确的是（　　）
A．可以求出物体加速度的大小
B．可以求得CD＝4
m
C．可以求得OA之间的距离为1.125
m
D．可以求得OB之间的距离为12.5
m
【训练26】某航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统。已知某型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5
m/s2，起飞的最小速度是50
m/s，弹射系统能够使战斗机具有的最大速度为30
m/s，则：
(1)战斗机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
专题：追及相遇问题（两个物体）
☆
一个关键点：两个物体在同一时刻在同一位置相遇
☆
两个重要关系：
①
两物体是否相遇取决于二者的位移关系
②
追及过程中，速度相等时，若两物体不相遇，两物体的间距最大或最小
☆
三个运动方式
①
匀速直线运动
②
匀加速直线运动：注意题干中是否有最大速度的限制
③
匀减速直线运动：注意物体速度何时减为0
1.追及相遇问题分析示例
①
匀加速追匀速
同一直线上有两个物体甲、乙，甲初速度为0，以加速度做匀加速直线运动，乙以做匀速直线运动，初始位置如图所示，甲、乙相距，均向右运动
分析：开始阶段，甲慢乙快，二者距离越来越大，甲做匀加速直线运动，直到甲、乙速度相等时，二者距离达到最大，此后，甲的速度大于乙的速度，二者距离越来越近，直至相遇，如图所示
甲、乙两物体的位移关系
其中，所用时间相同。
利用图象分析追及过程过程
根据分析可知时刻，甲、乙两物体相距最远
②
匀减速追匀速
同一直线上有甲、乙两个物体，甲以初速度、加速度做匀减速直线运动，乙以做匀速直线运动（），初始位置如图所示，甲、乙相距，均向右运动
分析：开始阶段，甲快乙慢，甲和乙的距离越来越近，速度相等时，甲、乙相距最近，此时甲、乙相距最近，此时若甲未追上乙，则之后永远追不上，若恰好相遇，如图
位移关系为
【例10】一辆货车以8
m/s的速度在平直铁路上匀速运行，由于调度失误，在后面600
m处有一辆客车以72
km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2
000
m才能停止．求：
(1)客车滑行的加速度是多少？
(2)计算后判断两车是否会相撞．
【训练27】（多选）近年来，雾霾天气频繁出现．某日早6时浓雾天气中道路能见度只有30
m，且路面湿滑．一辆小汽车以18
m/s的速度自中华路由南向北行驶，通过某路段时，突然发现正前方浓雾中有一辆卡车正以6
m/s的速度同向匀速行驶，于是，司机鸣笛示警同时紧急刹车，但路面湿滑，只能实现2
m/s2的加速度减速行驶．前车接到示警于2
s后以2
m/s2的加速度加速行驶．以下说法正确的是（　　）
A．前后车因都采取了必要的减加速运动，所以不会追尾
B．前后车虽采取了减加速运动，但加速度过小，仍会发生追尾碰撞
C．在前车开始加速时，两车相距仅有9
m的距离
D．两车距离最近只有2
m
【训练28】据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍，开车时打电话发生事故的概率是安全驾驶的2.8倍．一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2
s，相当于盲开50
m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离(从开始刹车到汽车停下来所行驶的距离)至少是25
m，根据以上提供的信息：
(1)求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小；
(2)若该车以108
km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100
m处道路塌方，该司机因用手机微信抢红包，2
s后才发现危险，司机的反应时间为0.5
s，刹车的加速度与(1)问中大小相等．试通过计算说明汽车是否会发生交通事故．
【训练29】国产自主品牌哈弗汽车近年来技术进步明显，深受用户喜爱．汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究，在一次汽车性能测试中，A、B两辆汽车相距s，在同一直线上同方向匀减速行驶，汽车速度减为零后保持静止不动．A车在前，初速度为v1，加速度大小为a1，B车在后，初速度为v2，加速度大小为a2且已知v1＜v2，但两车一直没有相遇，问A、B辆车在运动过程中相距的最小距离为多少？
【训练30】已知A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v1＝10
m/s，B车在后，速度v2＝30
m/s，B车在距A车x0＝75
m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过x＝180
m才能停下来。求：
(1)B车刹车过程的加速度大小；
(2)B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？
(3)若相撞，B车从开始刹车到两车相撞用多长时间？若不相撞，两车的最小距离是多少？
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