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数学新课程高考考什么、怎么考
罗增儒 陕西师范大学数学系 710062
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E-mail :zrluo@snnu．edu．cn
笔者曾承担陕西师范大学基础教育课程研究中心项目：《新课程实施与数学高考命题改革的研究》（2007-2009），探讨过“数学新课程高考考什么、怎么考”的问题，趁此机会就教于一线同行．
本文是基于这个研究的个人思考，内容涉及数学新课程理念的认识，“课程标准、现行教材、考试大纲”的关系，以及高考考什么、怎么考等问题．为着“便于交流”的目的，我们采用题目问答的形式（参见文【1】）．
问题1 如何认识数学新课程理念？
问题2 如何认识课程标准、现行教材、考试大纲的关系？
问题3 数学新课程高考考什么？
问题4 如何认识高考命题的“能力立意”？
问题5 如何认识数学思想方法？
问题6 宏观上数学新课程高考怎么考？
问题7 微观上数学新课程高考怎么考？
问题8 数学高考解题教学有何宏观建议？
问题9 数学高考解题教学有何微观建议？
问题10 数学新课程高考如何考创新？
问题11 如何认识数学高考与平时教学的关系？
问题12 由教材编拟训练题有何建议？
问题13 高考试题是怎样命制的？
问题14 如何把握新课程高考的难度？
问题15 如何认识部分试题中的“高等背景”？
问题16 如何认识陕西自主命题的学术风格？
问题1 如何认识数学新课程理念？
我们从教育和数学两个维度谈些初步的看法．
（1）教育维度．
现代学校教育制度实际上是工业经济时代的产物，工业经济时代学校教育模式的功能或价值可以概括为：把受教育者培养成为生产者和劳动者，成为生产和消费的工具．然而，在当前的知识经济时代，这种教育模式的弊端引起了越来越多的有识之士的关注，越来越多的人认识到，如果不着手对基础教育课程进行改革，将严重影响国家的经济和社会发展．新世纪开始的新课程强调以学生为本，探究性学习，多元化评价；提出“知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观”三维目标；强调情景、过程、探索、发现；倡导：
①教学目标应是多元的；
②课程内容应是整合的；
③知识学习应是建构的；
④学生个体应是发展的；
⑤教师应是反思型的；
⑥教学过程应是互动的；
⑦学生学习应是主动的；
⑧教学手段应是多媒体的；
⑨教学评价应是综合的．
（2）数学维度．
对于数学，新课程强调数学教学是数学活动的教学（而不仅仅是数学活动结果的教学）；强调观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动；强调动手实践、自主探索和合作交流；强调学习内容应当是现实的、有意义的、富于挑战性的；强调师生之间、学生之间交往互动与共同发展．在高中新课标中明确提出了10条基本理念：
①构建共同基础，提供发展平台；
②提供多样课程，适应个性选择；
③有利于形成积极主动、勇于探索的学习方式；
④有利于提高学生的数学思维能力；
⑤发展学生的数学应用意识；
⑥用发展的眼光认识“双基”；
⑦返璞归真，注意适度的形式化；
⑧体现数学的文化价值；
⑨注重信息技术与数学课程的整合；
⑩建立合理、科学的评价机制．
这些教学理念正在得到贯彻，数学教学的活动化取向、生活化取向、个性化取向正在热情地展开（体现人本主义、大众数学、建构主义），同时，出现的问题与争议也不少了，主要涉及：
●关注过程和关注结果的关系；（过程与结果，预设与生成）
●学生自主学习和教师讲授的关系；（教师与学生，讲授与探究）
●合情推理和演绎推理的关系；（归纳与演绎）
●生活情境和知识系统性的关系；（生活经验与知识体系）
●改革与继承的关系．（传统与创新）
（3）这两个纬度上的理念都对高考有宏观指导的作用，但数学维度的指导会更加直接．目前的现实是，理念转变为操作还存在困难，大家都在努力探索．
问题2 如何认识课程标准、现行教材、考试大纲的关系？
教育部课程编制的程序是这样的：
●基础教育课程改革纲要（试行）．
●普通高中课程方案（实验）．
●普通高中数学课程标准（实验）
●高中数学教科书．
●普通高等学校招生全国统一考试大纲．
由此可见，课标、教材、考纲有明显的时间顺序和上下位关系，仅从高考的角度指出3点．
●以课程标准为准绳．
●以现行教材为根本．
●以考试大纲为依据．
（1）以课程标准为准绳．（参见文【2】）
新课改对高考的指导意见主要有两点．
①《纲要》第7条中指出：国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据．就是说，课程标准具有法定的性质，是教材编写、教与学、课程管理与评价的法定依据，当然，高考命题也要以课程标准为准绳！
②《纲要》第15条中指出：高等院校招生考试制度改革，应与基础教育课程改革相衔接．要按照有助于高等学校选拔人才、有助于中学实施素质教育、有助于扩大高等学校办学自主权的原则，加强对学生能力和素质的考查，改革高等学校招生考试内容，探索提供多次机会、双向选择、综合评价的考试、选拔方式．这指出了高考改革的方向和高考命题的原则．
有一句话是这样说的：课程改革改到哪里，高考改革就改到哪里．
（2）以现行教材为根本．
教材是课程的载体，是课程标准所规定的课程目标、课程内容的具体化．因此高考命题“以课程标准为准绳”必然落实到“以现行教材为根本”．在具体实践中可以看到：
①教材是考试内容的具体化；
②教材是中、低档试题的直接来源；
③体现高校选拔需要的高档题也是根据教材的基本内容、基本方法编拟的，只不过是在综合性和灵活性上提出了较高要求．
④教材是学生解题能力的基本生长点．试想，离开了课堂和课本学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？
离开了教材就离开了高考，问题在“怎样抓”，这个问题看似简单，实则复杂．高考复习的难度，在于如何用好教材；高考复习的成功，在于真正用好教材．
（3）以考试大纲为依据．（参见文【3】）
①考试大纲是对考试性质、考试内容、考试形式的规定与说明．可以说，考试大纲把“考什么、怎么考”都回答了．
●考试性质．普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试，高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体、全面衡量，择优录取，因此，高考应有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．
●考试内容．考试内容分为必考内容和选考内容．
文科必考内容：共20个知识块，约260课时、180个知识点．
理科必考内容：共21个知识块，约290课时、210个知识点．（附表1）
●考试形式．
考试采用闭卷、笔试形式．全卷满分为150分，考试时间为120分钟．
全试卷包括Ⅰ卷和Ⅱ卷．Ⅰ卷为选择题（江苏不用选择题）；Ⅱ卷为非选择题．　　 试卷一般包括选择题（江苏除外）、填空题和解答题等题型．选择题是四选一型
的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题
包括计算题、证明题和应用题等，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
　　试卷由容易题、中等难度题和难题组成，总体难度要求适当，并以中等难度题为主．
②全国统一考试大纲是在课程标准的指导下编写的，“依钢不靠本”；各省的考试大纲说明既会考虑本省的学生实际，又会考虑本省的教材实际，常常是“依钢靠本”．
③考试大纲的制定有利于克服考试工作中的盲目性，实现考试的科学化、标准化（包括限制命题的随意性）；也有利于考生复习备考，克服盲目性，减轻不必要的负担．可以说，考试大纲把“专家怎样命题”、“学生怎样应试”都回答了．
问题3 数学新课程高考考什么？
新课程实施不仅带来了考试内容的变化，而且教育理念、课程目标、人才规格等也都发生了变化，这对命题提出新的挑战，特别是三维目标中的“过程与方法”如何考查？“情感、态度与价值观”如何考查？选考内容的平衡性如何保证等都是全新的课题．情况表明，各地基本上是：以“知识与技能”为主干，兼顾“过程与方法”，努力体现“情感态度与价值观”．数学新课程高考“考什么”重点体现在以下的四个方面：
（1）考知识模块．
①文科必考内容：共20个知识块，约260课时、180个知识点．
●数学1：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）．
●数学2：立体几何初步、平面解析几何初步．
●数学3：算法初步、统计、概率．
●数学4：基本初等函数Ⅱ（三角函数）、平面向量、三角恒等变换．
●数学5：解三角形、数列、不等式．
●选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用．
●选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图．
②理科必考内容：共21个知识块，约290课时、210个知识点．
●数学1：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）．
●数学2：立体几何初步、平面解析几何初步．
●数学3：算法初步、统计、概率．
●数学4：基本初等函数Ⅱ（三角函数）、平面向量、三角恒等变换．
●数学5：解三角形、数列、不等式．
●选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何．
●选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入．
●选修2-3：计数原理、统计与概率．
③选考内容主要有：
●选修4-1：几何证明选讲．
●选修4-4：坐标系与参数方程．
●选修4-5：不等式选讲．
●也有考矩阵与变换的．
陕西考试说明加了一句话，“注意：涉及上述考试范围的我省现行教材中，除标*号者外，所有内容均在考试范围内．” （参见文【3】）
通常，一套试卷每一知识块都会考到，一二百个知识点有不低于60%的覆盖面．
教师在复习中，常常将理科考试内容合并为15块（参见双向细目表）：集合，函数，立体几何，数列，解析几何，概率统计，算法初步，三角，逻辑与推理，向量，不等式，导数与定积分，复数，计数原理，选修．（文科略有区别）
（2）考数学能力
高考以能力立意，全面考查体现数学学科特点的七个能力．（“能力立意”见问题4）
①空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．
②抽象概括能力：对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能用其解决问题或作出新的判断．
③推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．通常是运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明．
④运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算．
⑤数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题．
⑥应用意识（生活中简单的数学问题）；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明．应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决．
⑦创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现．对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也越强．
（3）考思想方法． 试题关注对数学思想方法的考查．主要考查七个基本数学思想和七个常用解题方法：①基本数学思想．（数学思想的内涵见问题5）
●函数与方程的基本数学思想．（通过函数题）
●数形结合的基本数学思想．（通过函数题，解析几何综合题，构造图形等）
●分类与整合的基本数学思想．（通过综合题，排列组合题，参数讨论题）
●化归与转化的基本数学思想．（通过综合题）
●特殊与一般的基本数学思想．（通过综合题）
●有限与无限的基本数学思想．（通过极限、微积分函数题）
●或然与必然的基本数学思想．（通过概率、统计题）
其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得最为突出．近年，或然与必然的基本数学思想逐渐加强．
②常用解题方法．
●待定系数法．
●换元法．
●配方法．
●反证法．
●代入法．
●消元法．
●数学归纳法．
（4）考个性品质．
如何考查个性品质有难度，需要探索，但不会回避．有三个方面可供努力：
①体现数学视野．
②体现数学价值．（科学价值、人文价值、理性思维、数学美）
③体现人文关怀．
问题4 如何认识高考命题的“能力立意”？
恢复高考以来，高考命题由“考知识”，经历“出活题，考能力”，到“能力立意”，体现了由经验型命题向科研型命题的方式转变．（参见文【4】）
（1）能力立意的含义．试题包括立意、情境、设问三个方面，立意是试题的考查目的，情境是实现立意的材料和介质，设问是试题的呈现形式．
①以能力立意命题首先要确定试题的能力考查目标．根据能力考查的要求，选择适宜的学科内容．根据能力要求和知识内容选定试题表述形式．情境与设问服务于能力考查的立意．
②以能力立意命题首先在命题理念上要体现从学习能力测试评价学生．
③在试卷框架结构上要突出全面的能力因素、多元化的能力层次结构和合理的难度分布．
④在命题构思上要坚持用数学基本方法解决数学问题，强化能力点的设计，淡化烦琐的运算和冗长的逻辑推理．
⑤在试卷设计上要突出创新题型，开发、拓展已有题型的功能，发挥各种题型的组合功能．（参见文【5】）
（2）在新课程背景能力立意命题的新举措．
①以数学内容为基点，以基本的推理能力和思维能力要求为立足点，突出考查学生一蹦能力的表现，测量学生的学习能力．
②以多元化、多途径、开放式的设问背景，比较客观、全面地测量学生观测、实验、联想、猜测、归纳、类比、推广等思维活动的水平，激发学生探索精神、求异创新思维．
③以源于社会、源于生活的问题考查学生，有效地测量学生抽象、概括以及建立数学模型的能力，对学生认识世界、把握问题本质、灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力提出了要求．（参见文【5】）
能力立意注重在知识交汇处设计试题．
问题5 如何认识数学思想方法？
（1）数学思想方法的内涵．
在中学界，数学思想方法是指对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识，它蕴涵于具体的内容与方法之中，又经过了提炼与概括，成为理性认识．数学概念的掌握、数学理论的建立、解题方法的运用、具体问题的解决，无一不是数学思想方法的体现和应用．
在中学阶段，往往不对“数学思想方法”与“数学思想”、“数学方法”作严格的理论区分，思想是其相应内容方法的精神实质，方法则是实现有关思想的策略方式(有数学方法是数学思想的程序化之说)．同一个数学成就，当人们用于解决问题时，称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，又称之为思想；当人们用这种思想去观察和思考问题时，则又成为观点．一般说来，当用“数学思想”这个词时，更多的是从知识内容的角度上说的，它体现为数学的理论；当用“数学方法”这个词时，更多的是从实施策略的角度上说的，它联系着数学的行为．
从中学数学教材的结构和数学学习的一般过程上看，中学数学中，除了包含有观察、实验、比较、分析、归纳、类比等一般科学方法外，还包含有符号化、公理化、模型化、结构化、化归、数形结合等数学特有的思想方法(第一层次)，包含有分布在各数学分支中具体的数学思想方法(第二层次)，如用字母表示数的数学思想方法、集合与对应的数学思想方法、函数与方程的思想方法、数形结合的数学思想方法、分类与整合的数学思想方法、数学模型的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法、特殊与一般的数学思想方法、有限与无限的数学思想方法、或然与必然的数学思想方法等．在这些具体的数学思想方法下面还涵盖有具体进行解题的方法(第三层次)．包括:适应面较广的求解方法（如消元法、换元法、代入法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法及递推法、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法等) ，适应面较窄的求解技巧（如因式分解法以及因式分解中的“裂项法”，函数作图中的“描点法”以及三角函数作图中的“五点法”，几何证明中的“截长补短”法、“补形法”，数列求和中的“拆项相消法”，不等式证明中的比较法、放缩法等）．
（2）中学数学中的基本数学思想方法．
中学数学中到底体现有哪些数学思想方法，认识是不一致的，但认为比较基本、比较重要的数学思想方法通常都包括如下10个（比高考明确要求多说3个）：
①用字母表示数的数学思想方法．
这是用字母来代替数字或式子，并形成符号结构的一种思想．
它是发展符号意识，进行量化刻划的基础，也是从常量研究过渡到变量研究的基础．从“用字母表示数”到用字母表示未知元、表示待定系数、表示函数、表示字母变换等，是一整套的代数方法．代数思维的突出特征(凝聚)——从过程到对象，离不开用字母表示数的思想方法．具体解题中引进辅助元法、待定系数法、换元法等都体现了“用字母表示数”的作用．
②集合与对应的数学思想方法．
这是把对象的全体概括为集合，把对象的关系理解为对应的一种思想．
集合论是现代数学的基础，它为数学的公理化、结构化、形式化、统一化提供了语言基础与组织方式，中学数学中，集合是一种基本的数学语言和一种基本的数学工具，数学名词的描述，数学关系的表达，都已经或都可以借助集合而获得清晰、准确与一致的刻划．比如，一个概念可以看做一个集合，其中为其内涵，为其外延；又如用集合表示数系或代数式，用集合表示空间的线面及其关系，用集合表示平面轨迹及其关系，用集合表示方程(组)或不等式(组)的解，用集合表示排列组合并进行组合计数，用集合表示基本逻辑关系与推理格式等．具体解题中的分类讨论法、容斥原理等都与集合的分拆或交并运算有关．
集合之间的对应，为研究相依关系、运动变化提供了工具，使得能方便地由一种状态确定地刻划另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程．数轴与坐标系的建立，函数概念的描述，原理的精神实质等，都体现着集合之间的对应．具体解题中的抽屉原理无非是说，两个有限集合之间如果元素不相等，就不能构成一一对应，必然存在一对多或多对一；函数是一种特殊的对应，用函数法分析和处理问题，都离不开集合思想的指导；分类讨论法实质上是集合的分类；变换法的实质是将集合中的问题，转换为集合中的问题，其中对应着．
用字母表示数的思想方法、集合与对应的思想方法是中学数学的两大基石，函数与方程的思想方法则是这两大基石的衍生．
③函数与方程的数学思想方法．
这是将问题归结为方程或函数来解决的一种思想．
方程是初中数学的一项主体内容，并在高中数学中延续；函数从初中就开始研究，并成为高中数学的主体内容(基本初等函数)．可以说，方程与函数是中学数学中最重要的组成部分．
方程，可以表示两个不同事物具有相同的数量关系，也可以表示同一事物具有不同的表达方式．方程的本质是含有未知量等式所提出的问题，在这个问题中，依等式而取值，问题依的取值而决定是否成为等式．解方程就是确定取值，使代入的位置时能使等式为真．这里有两个最基本的矛盾统一关系，其一是，间形式与内容的矛盾统一，其二是客观上已知与主观上未知的矛盾统一，从这一意义上说，解方程就是改变，间形式的差异以取得内容上的统一，并使从主观上的未知转化为已知，运用方程观点可以解决大量的应用问题(建模)、求值问题、曲线方程的确定及其位置关系的讨论等问题，函数的许多性质也可以通过方程来研究．方程直接与用字母表示数、数学模型、化归与转换等数学思想方法相联系．
函数概念是客观事物运动变化和相依关系在数学上的反映，本质上是集合间的对应(一种特殊的对应)．它是中学数学从常量到变量的一个认识上的飞跃．教材中关于式、方程、不等式、排列组合、数列等重要内容都可以通过函数来表达、沟通与研究．具体解题中的构造函数法是构造法的重要内容．
理解并掌握方程与函数的思想方法是学好中学数学的一个关键．
④数形结合的数学思想方法．
这是从数与形两个方面来认识和处理数学问题的一种思想．
数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，数与形是中学数学中被研究得最多的两个侧面，数形结合是一种极富数学特点的信息转换．它把代数方法与几何方法中的精华都集中了起来，既发挥代数方法的一般性、解题过程的程序化、机械化优势，又发挥几何方法的形象直观特征，形成一柄双刃的解题利剑，数轴和坐标系，函数及其图象，曲线及其方程，复数及其复平面，向量、以及坐标法、三角法、构造图形法等都是数形结合的辉煌成果．具体解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法、或几何问题用代数方法，这两方面都只是单流向的信息沟通，惟双流向的信息沟通才是完整的数形结合．
⑤分类与整合的数学思想方法．
这是从分与合两个方面来认识和处理数学问题的一种思想．
分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，是研究数学问题时经常使用的数学思想方法．要正确地对事物进行分类，通常应从所研究的具体问题出发，选取恰当的分类标准，然后根据对象的属性，把它们不重不漏地划分为若干个类别．科学的分类，一个是标准的统一，一个是不重不漏．虽然分类研究基本方向是“分”，但“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必然有“合”，当分类解决完这个问题之后，还必须把它们整合到一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体．这样，有“分”有“合”，先“分”后“合”，不仅是分类与整合思想解决数学问题的主要过程，也是分类与整合思想的本质属性．
分与合是一种辩证关系，在解题中以分求合，以合制分，分合并用体现了转化统一、相反相成的辩证思想．比如二次方程是否有实根的讨论，绝对值符号的讨论，分段定义函数，等比数列求和时对公比是否为1的讨论，使用点斜式写直线方程时对斜率是否存在的讨论，求三棱锥体积公式的推导等等，都是这一数学思想的具体应用．求曲边梯形面积的定积分方法更是一与多，分与合，直与曲，有限与无限，离散与连续等辩证关系的综合应用．
数学解题中的区分种种情况可以化整为零、化大为小，降低问题的难度．
数学解题中整体考虑是一种以合制分、着眼于全局的思考，可以摆脱局部细节上的纠缠，直达目标．
⑥数学模型的数学思想方法
这是通过建立数学模型上来解决数学问题的一种思想．
所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的主要特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构，数、式、方程、空间等都可以作为数学模型．中学数学中的数学模型按功能可分为概念型和方法型两类，前者指客观事物或现象直接抽象成概念；后者则指客观事物或现象间的关系抽象成数学中的公式、运算法则等．
如今，数学这个领域已被称作模式的科学，数学所揭示的是人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的数学结构．各种数学概念和各个数学命题都具有超越特殊对象的普遍意义，它们都是一种模式．并且数学的问题和方法也是一种模式，数学思维方法，就是一些思维模式．欧拉将“哥尼斯堡七桥问题”抽象为“一笔画”的讨论，清晰地展示了数学模型思想方法的应用过程：
●选择有意义的实际问题；
●把实际问题“构建”成数学模型(建模是关键)；
●寻找适当的数学工具解决问题；
●把数学上的结论拿到实际中去应用、检验．
在具体解题中，构造“数学模型”的途径是非常宽广的，可以构造函数、构造方程、构造恒等式、构造图形、构造算法等等．
⑦化归与转换的数学思想方法．
这是将所面临的问题转化为已解决（或比较容易解决）问题的一种思想．
由于数学结论呈现的公理化结构，使得数学上任何一个正确的结论都可以按照需要与可能而成为推断其他结论的依据，于是任何一个待解决的问题只须通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，即可获得原问题的解决，这是一种极具数学特征的思想方法．它表现为由未知转化为已知、由复杂转化为简单、由困难转化为容易、由陌生转化为熟悉．模式识别、分类讨论、消元、降次等策略或方法，都明显体现了将所面临的问题化归为已解决问题的想法；原理则是化归思想的理论提炼；各种解题策略的运用，如分合并用、进退互化、动静转换、数形结合等，都强调了通过“对立面”(简与繁、进与退、数与形、生与熟、正与反、倒与顺、分与合、美与真)的综合与相互转化来达到解决问题的目的．
⑧特殊与一般的数学思想方法．
这是从特殊化与一般化两个方面来认识和处理数学问题的一种思想．
　　人们对一类新事物的认识往往是从这类事物的个体开始的，通过对某些个体的认识与研究，积累对这类事物的了解，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，由实践到理论，逐渐形成对这类事物总体的认识，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程．但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程．于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一．数学研究也不例外，这种由特殊到一般的研究数学问题的基本认识过程，就是我们数学研究中的特殊与一般的思想．
在数学教学过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，证明后，又使用它们来解决相关的数学问题．在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现．此外，通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等．都有特殊与一般的思想．
⑨有限与无限的思想．
这是一种通过无限化有限、有限化无限来解决数学问题的思想．
把对无限的研究化成对有限的研究，是解决无限问题的有效途径，反之，当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决，这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想．
在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想；立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用；极限和定积分是有限与无限思想的典型应用．
⑩或然与必然的思想．
随机现象有两个最基本的特征：结果的随机性，频率的稳定性．在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题就是或然与必然的思想．
随着新教材的实施，高考中对概率内容的考查已经放在了重要的位置，通过对等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，次独立重复试验发生了次的概率，随机事件的分布列与数学期望等重点内容的测试，一方面可以考查学生基本概念和基本方法，另一方面可以考查学生在解决实际问题中能否运用或然与必然的辩证关系，从而体现了或然与必然的思想．
问题6 宏观上数学新课程高考怎么考？
数学新课程高考“怎么考”主要体现在七条命题原则上．
（1）依纲靠本．
命题严格依据国家课程标准和《普通高等学校招生全国统一考试大纲》的要求，高考命题的依据是《考试说明》，而《考试说明》的依据是《课程标准》，教材是课程的载体．因此高考命题最具体、最方便的依据是教材．一般说来，本省命题以本省教材为主，多版本教材并存的地方常说“依钢不靠本”、不要“以本代纲”，但这并不是说高考命题要远离教材与教学，而是为了公平，要平等地对待各个版本，不刻意向某一版本倾斜．
（2）两个有利．
既有利于高等学校选拔人才．又有利于中学推进素质教育．
（3）体现三维目标．
体现普通高中课程改革的十个理念，试题的解答能反映出学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观．
（4）突出基础性、灵活性、开放性、探究性、应用性和创新性．
试题设计力求突出基础性和创新性，密切联系学生的生活经验和社会实际，既注重考查学生的基础知识、基本能力，基本方法、基本经验，又注重考查学生分析问题和解决问题的能力，体现出灵活性、开放性、探究性；既全面覆盖又重点突出（重点知识重点考察）．
（5）体现公平性．
试题素材和解答要求对所有考生公平，避免需要特殊背景知识和特殊解答方式的题目．
（6）注重科学性．
注重试卷整体设计，力求题型结构、内容比例、知识覆盖面等构成科学、合理，试题有适当的难度、区分度，试卷有
良好的信度和效度．
（7）注重考试的可操作性．命题要有利于考试的组织和评卷的实施．（考试管理的需要）
问题7 微观上数学新课程高考怎么考？
微观上，数学高考采用闭卷、笔试、解题的形式来考．试卷结构主要包括
（1）内容结构．
通常，一套试卷每一知识块都会考到，一二百个知识点有不低于60%的覆盖面．知识、能力、方法等要求会列成双向细目表．（附录2）
（2）题型结构．
试卷一般包括选择题（江苏除外）、填空题和解答题三类题型．陕西的分值依次为50分，25分，75分，数量依次为10道，5道，6道． 解答题突出学科的主干内容．与课程结构相一致，有选做题．
（3）难度结构．
①所有题目的难度系数都在0．20～0．90之间，多数题在0．30~0．70之间；区分度都在0．20以上．
②题目难度的易、中、难比例约为3：5：2（或4：4：2），整套试卷以中低档题为主体，以前试卷难度多在0．50～0．55之间，现在多在0．55～0．60之间．
（4）层次结构．
试卷的三类题型呈现两种从易到难的三个小高潮，一方面是三类题型之间从易到难，选择题难度约为0．70～0．75，填空题难度约为0．55～0．60，解答题难度约为0．45～0．50；另一方面每类题型内部也有从易到难分布，选择题可为4：5：1或5：5：0，填空题可为2：2：1或2：3：0，解答题可为1：3：2或0：4：2．
表1：难度与区分度的技术指标
难度系数（） 区分度（）
1 容易题0．70 优秀0．40
2 中档题0．400．70 良好0．300．40
3 难题0．40 及格0．200．30
4 低（无）效题0．20 不及格0．20
（5）试卷长度．
●全卷21题，约28～30问．
●试卷控制在2000个印刷符号，考生书写控制在3000个印刷符号以内．
问题8 数学高考解题教学有何宏观建议？
有4条建议：（参见文【6】）
●明确解题概念．
●明确高考解题教学的指导思想．
●明确高考解题与平时解题的区别．
●要解决好“会而不对、对而不全”．
（1）明确解题概念．
①什么叫数学题？数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾，称为数学题．
对数学家而言，重在第二句话：“需要研究或解决的矛盾”．
在数学教学中，重在第一句话：“要求回答或解释的事情”．内容包括一个待进行的运算、一个待推理的证明、一个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、一个待解决的实际问题等．（特别提醒：如何构建概念、如何发现定理、如何论证定理等也是题！比如：什么叫圆？什么叫椭圆？叙述并证明余弦定理等都是题）
数学题的标准形式包括两个最基本的要素：条件，结论．“未知的结论”一方面像空着的位置，需要加以填充，另一方面又由“已知的条件”客观决定着，构成“已隐蔽地确定”与“未明显地给出”的统一．这就是教学中的数学题．
②什么叫数学解题？解题就是求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，这个“解”的重要特征是“沟通条件与结论之间的联系”，自动包括“沟通联系”中每一步的数学依据，所以解题有四个要素：条件、结论、解和解题依据．
“寻找条件与结论之间的联系”永远是数学解题的思考中心，这是一个“将已有知识用于新情境”的探索过程、发现过程．通常是从模仿开始、经过练习、学会发现．
③什么叫数学试题？为了实现诊断、预测、甄别、选拔等特定目的，而组织化、系统化、标准化的数学问题组织形式，叫做数学试题．
④什么叫高考解题？高考解题就是将课堂上获得的数学知识、数学方法和数学经验用于解决高等学校招生考试的新试题．这是一个从记忆模仿到探索发现的过程，关键在探索发现，核心是通过推理、论证得出一个符合数学事实的结论．一个重要的建议是化归为课堂上已经解过的题，化归为往年的高考题（或其变形）．
（2）明确高考解题教学的指导思想．
高考选拔的特点是以解题能力的高低为标准，一次性闭卷来决定胜负的，因此，高考复习要以解题训练为中心，并最终表现为学生解题能力的提高．
①以解题训练为中心，
②以中档综合题为重点，
③以近年高考试题为基本素材．
（3）明确高考解题与平时解题的区别．
①平时解题是一种认识活动，是对概念、定理的继续学习，是对方法的继续熟练，是在发生数学和掌握数学；而高考解题则是“通过解题水平来看数学思维水平”，是一种评估活动，是以解题能力的高低为考核标准、一次性笔试决定胜负的．如果说平时作业要求“全做全对”的话，那么高考是加总分录取，不需要“全做全对”．一道数学题成为高考题后，就成了一把“诊断、预测、甄别、选拔”的尺子，已具有不同于平时作业题的诸多特性，如
●能力的代表性；（评价性质而非学习本身）
●分数的选拔性；（是考试就只能由成绩来说话）
●时间的限定性；（有速度要求，不要求全做全对）
●评分的阶段性．（分段给分、分段扣分，做对的题会存在“潜在丢分”或“隐含失分”，而不会做的题又可以得分不少．）
②高考解题需要我们迅速解决“从何处下手、向何方前进”这两个基本问题，临场的思维策略主要有模式识别，差异分析，数形结合，层次解决，当然，最重要的还是学会分析．
③高考既是数学知识的较量又是心理素质的较量．
（4）要解决好“会而不对、对而不全”．
高考阅卷启示我们，许多中上水平的考生常常在“会而不对、对而不全”上产生分野，拉开录取与落榜的距离．这是一个“老大难”问题．
①会而不对．有的考生并不缺乏基本功，拿到一道题目也不是束手无策，而是在正确的思路上或考虑不周，或推理不严，或书写不准，最后答案却是错的或是不完全的，这叫“会而不对”．
②对而不全．另有一些考生，思路大体正确，最终结论也出来了，但丢三落四，或缺少重大步骤、中间某一逻辑点过不去，或遗漏某一极端细节，讨论不够完备，或是潜在假设、或是以偏概全，这叫做“对而不全”．
问题9 数学高考解题教学有何微观建议．
我们对高考解题教学的基本建议是（6条）：（参见文【6】）
（1）明确解题过程；（四步程序）
●弄清问题
●拟定计划
●实现计划
●回顾，
（2）夯实解题基础；（四个基础）
●知识因素
●能力因素
●经验因素
●情感因素
（3）防止解题错误；（四种类型）
●知识性错误
●逻辑性错误
●策略性错误
●心理性错误．
（4）掌握解题策略；（四个策略）（参见文【7】）
●模式识别
●差异分析
●数形结合
●层次解决
（5）精通三类题型；
●选择题
●填空题
●解答题
（6）运用答题技术． （参见文【7】）
●提前进入角色
●迅速摸清“题情”
●执行“三个循环”
●做到“四先四后”（先易后难、先熟后生、先高后低、先同后异）
●答题“一慢一快”
●立足中下题目，力争高上水平
●立足一次成功，重视复查环节
●运用解题策略于分段得分（分解分步—缺步解答、引理思想—跳步解答、以退求进—退步解答、正难则反—倒步解答、扫清外围—辅助解答）．
解题练习（思路与反思）
例1-1 若的角满足
，
则 ．
（2011年高中数学联赛一试B卷第5题）
例1-2 若的角满足
，
则 ．
例1-3 若的内角满足
，
则 ．
例1-4 若的内角满足
，
则 ．
（形同而质异，怎样找思路？反思出错题没有？）
例2　（2011上海市理科卷第13题） 设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 ．
点评 ：本题考查了一次函数、周期函数、函数定义域、值域的概念，突出了基础．同时，题目十分灵活，要求学生对这些基础知识有深刻的理解，有较强的分析问题能力．遇到这样的试题，该如何分析？如何找到突破口？我们要从涉及到的基本概念出发：由已知，对整数，有
，
就是说，自变量增加（减少）个周期时，函数值也增加（减少）个周期，从到最小值点减少了13个周期，最小值为；最大值点增加了6个周期，最大值为．所以，在区间上的值域为．这样的小题目能激发创新意识． （参见文【8】）
例3 （2010年北京理科第20题、13分）已知集合
对于HYPERLINK "http://www./"，，定义与的差为
HYPERLINK "http://www./"
与之间的距离为．
（Ⅰ）证明：HYPERLINK "http://www./"，且；
（Ⅱ）证明：HYPERLINK "http://www./"三个数中至少有一个是偶数；
(Ⅲ) 设，中有个元素，记中所有两元素间距离的平均值为．证明：．（信息迁移题）
分析 题目给出了三个相继的定义：集合，集合上两元素间的差，两元素间的距离（新信息）．要理解：
（1）是向量，如，可以有个元素；
（2）因，故差还是向量；
（3）因，所以中至少有两个相等的，，，中也至少有两个相等的．
（Ⅰ）要证，只需证
（Ⅱ）要证三个数中至少有一个是偶数，只需三个数的和是偶数.
(Ⅲ)因为，故要证，只需证
．
又因为中每个元素都是由个数组成的，所以只需证明中所有元素的同一个位置上的数字两两之差的绝对值之和小于或等于．
设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0，由乘法原理可知：中所有元素的第个位置上的数字两两之差的绝对值之和为．再由均值不等式可得
．
从而问题得证．
证明 （I）设，，
因为，所以中至少有两个相等的．
当 时，有
．
当 时，有
．
当 时，有
．
求和得．
(II)因为，所以当中至少有两个数相等，这就有且只有两种情况：
①三个数相等（同时为0，或同时为1），则
，为偶数．
②恰有两个数相等（同时为0，或同时为1），第三个数不等，则
，为偶数．
因为恒为偶数，所以
，为偶数，
则，，三个数中至少有一个是偶数．
（III）设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0，则
=，
得 ．
问题10 数学新课程高考如何考创新？
主要通过创新试题来考创新意识．数学创新试题是指在试题背景、试题形式、试题内容或解答方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题，其基本目的在于培养或诊断考生的数学创新意识与创新能力．主要形式有
（1）开放探索题：高考中的开放探索题是指条件完备，但结论不确定、需要探索的数学问题．有时候结论是开放的，但为了阅卷方便，只要求考生写出一二个，不同的考生答案会不一样；有时候叙述为“是否存在…？请说明理由”，需要考生自己去探索出结论并加以证明．把开放性与探索性结合起来是这类题目的显著特点．
（2）信息迁移题：高考中的信息迁移题是在题目中即时提供一个新的数学情景（或给出一个名词概念，或规定一种规则运算等），让考生学习陌生信息后立即解答相关问题（迁移）．这类题目背景公平，能有效考查学生的真实水平．由于高考的选拔性质，即时提供的新信息常常有一定的高等数学背景，但不是考高等数学知识．即时接收信息、并立即加以迁移是两个相关的要点．
（3）情景应用题：这是一类有现实情境、重视应用的题目．要求考生通过文字语言、符号语言、图形语言、表格语言等的转换，揭示题目的本质属性，构建解决问题的数学模型．函数、方程、数列、不等式、概率统计等主体内容是高考应用题建模的主要载体．阅读理解和数学建模是解题的两个关键．
（4）过程操作题：这是一类通过具体操作过程， 从中获得有关数学结论的题目，可以用来考查三维目标中的“过程与方法”．由于高考条件的限制，“经历过程”无法“动手实践”，只能是一些“语言描述的操作过程”，但有的描述和操作会有现实情境、而不完全是数学内部的过程与操作．
（5）归纳（类比）猜想题：这是在观察相关数学情境的基础上，通过归纳或类比作出数学猜想的一类题目．本来，由归纳或类比作出的猜想可能对也可能错，但考试总是要求写出正确的猜想（学生中“有一定道理”的猜想可能会被判错）．应该说，这是一类探索中的题型．
例4-1 （2010年宁夏理科第14题、5分）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）（三视图对应的几何体是否唯一？）
点评：这是开放题，为考生搭建了一个自主探究的活动平台，使考生的才能得到充分发挥，使不同基础、不同水平、不同志向的考生都得到成功的体验，创新意识得到发展．体现新课程关于评价的新理念． （参见文【5】）
例4-2 （2011年陕西理科第21题、14分）设函数定义在上，，导函数
（Ⅰ）求的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论与的大小关系；（探索题）
（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．（探索题）
点评：第（Ⅱ）、（Ⅲ）问都需要考生自己去探索出结论并加以证明．
例5-1 （2010年四川理科第16题）函数定义域为，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：
①函数是单函数；
②若为单函数，且则；
③若为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；
④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）（信息迁移）
例5-2 （2011江苏省数学卷第19题）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数的取值范围；
（2）设且，若函数和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．（信息迁移题）
点评：本题在考生理解了函数的单调性的基础上，新定义了“单调性一致”的概念，考生需要把新的定义与自己已有的知识融合，这种解决新问题的能力是考生在今后学习中非常重要的．试题的第（2）问，实际是讨论不等式在区间上恒成立问题，需要分类讨论，运用函数性质及实数运算的符号法则分析结果．解决问题的过程中所用到的知识和方法并不深奥，但分析问题、解决问题的能力要求很高，属于对高层次数学思维和数学素质的考查．
学生进人高校或社会后能否继续发展，在很大程度上取决于他们的学习能力．具有良好的阅读理解力是继续学习的前提．近年的高考试卷对阅读理解能力，特别是对数学语言，包括文字语言、图形语言、符号语言、图表语言的阅读理解能力的考查加大了力度，教师在日常教学中应多加关注．（参见文【8】）
例6-1 （2010年高考安徽卷理科（21）题） 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
现设，分别以表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
，
则是对两次排序的偏离程度的一种描述．
(Ⅰ)写出的可能值集合；
(Ⅱ)假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
（情景应用题）
解 列表，计算1，2，3，4的全排列及相应的值
1，2，3，4 0 0 0 0 0
1，2，4，3 0 0 1 1 2
1，3，2，4 0 1 1 0 2
1，3，4，2 0 1 1 2 4
1，4，2，3 0 2 1 1 4
1，4，3，2 0 2 0 2 4
2，1，3，4 1 1 0 0 2
2，1，4，3 1 1 1 1 4
2，3，1，4 1 1 2 0 4
2，3，4，1 1 1 1 3 6
2，4，1，3 1 2 2 1 6
2，4，3，1 1 2 0 3 6
3，1，2，4 2 1 1 0 4
3，1，4，2 2 1 1 2 6
3，2，1，4 2 0 2 0 4
3，2，4，1 2 1 1 2 6
3，4，1，2 2 2 2 2 8
3，4，2，1 2 2 1 3 8
4，1，2，3 3 1 1 1 6
4，1，3，2 3 1 0 2 6
4，2，1，3 3 0 2 1 6
4，2，3， 1 3 0 0 3 6
4，3，1，2 3 1 2 2 8
4，3，2，1 3 1 1 3 8
合 计 1 3 7 9 4
　　
（I）由表可见，的可能值集合为．
　 理论说明：在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数个数等于中的偶数个数，因此与的奇偶性相同，从而
．
必为偶数．
的值非负，且易知其值不大于8．
所以X的值等于0，2，4，6，8．
（II）由列表的值，在等可能的假定下，得到
0 2 4 6 8
（III）（i）由（II）有，，将三轮测试都有的概率记作，由上述结果和独立性假设，得．
（ii）由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．（概率统计作压轴题）
例6-2 （2011年湖北理科第17题、文科第19题）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式;
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．（情景应用题）
讲解 （Ⅰ）由题意：当；当时，可设
．
再由已知得
解得 ，
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立．
因为，所以，当在区间[20，200]上取得最大值约为．
．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
例6-3 （2011年湖南理科第20题）如图1，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为．移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：
（1）或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；
（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积时． 图1
（Ⅰ）写出的表达式
（Ⅱ）设，，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少．
解 （I）由题意知，移动时单位时间内的淋雨量为，故
．
（II）由(I)知，当时，
当时，
合并得
(1)当时，是关于的减函数．故当时，．
(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，．
点评：《普通高中数学课程标准（实验稿）》强调“发展学生的数学应用意识”，“高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强”，这种理念在近年高考试题中体现得日渐鲜明．2011年数学高考卷中又出了不少联系现实、联系生活的应用试题．除例6-3、例6-3外，还有江苏的包装盒的面（体）积与正方形纸板裁剪方式的函数关系的应用题、福建的商品销售量与销售价格函数关系的应用题、山东的容器的建造费与容器两端半球形半径函数关系的应用题、安徽的以进入核电站完成某项具有高辐射危险任务为背景的概率应用题等．这些试题的背景考生都了解，所用的知识方法又是考生应知应会的，考生能否解决问题，能体现他们关注生活、关注数学应用、运用数学知识分析和解决问题的能力；同时试题充分体现了数学的文化价值与应用价值，能使学生感觉到数学有用，数学很亲切，数学就在我们身边．（参见文【8】）
例7-1 （2010年宁夏理科第13题、5分）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 ．（过程操作题）
例7-2 （2011年高考数学陕西理科第19题、12分）如图2，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交与点．再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，记点的坐标为（）．
（Ⅰ）试求与的关系（）； 图2
（ Ⅱ）求． （过程操作题）
点评：本例通过指数函数的导数产生切线，由切线产生点列，由点列的横坐标产生等差数列、纵坐标产生等比数列．并且第（Ⅱ）问既是等比数列的前项和，也是小矩形的面积和，它正是定积分的近似值.同时，本题有牛顿切线法的背景，一般地，过曲线上一点作曲线的切线交轴于点，有，可得递推公式．所以，这道题也能体现数学视野．
例8-1 （2011年高考数学陕西理科第13题）观察下列等式
照此规律，第个等式为 ．（归纳（类比）猜想题）
解法1 由特殊到一般，分别找等式左右两边的规律．
（1）等式左边的首项：由已知等式首项分别为1，2，3，4，可猜想第个等式的首项为．
（2）等式左边的末项：由已知等式分别为1，3，5，7项之和，可猜想第个等式的为项之和，据等差数列通项公式，得等式左边的末项为
．
（3）等式的右边：由已知等式右边均为项数的平方（），可猜想第个等式的右边为．得第个等式为
．
验证知（等差数列部分和），这确实是恒等式．
解法2 由特殊到一般，分别找等式左右两边的规律．
（1）等式左边的首项：由已知等式首项分别为1，2，3，4，可猜想第个等式的首项为．
（2）等式的右边：由已知等式右边均为项数的平方：，可猜想第个等式的右边为．
（3）等式左边的末项：由等差数列求和公式，得等式左边的末项为．得第个等式为
　　　　．
可见，本题以等差数列求和为载体，考查归纳猜想．等差数列的通项公式或求和公式都是实质考到的．
例8-2 （2011年高考数学山东理科第15题）设函数，观察:
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， ．
（归纳（类比）猜想题）
答案：
思路1
思路2
思路3 .
问题11 如何认识数学高考与平时教学的关系？
三点看法：
（1）高考内容与教学内容（教材）是一致的，教学内容决定高考内容．
“是教什么就考什么，而不是考什么就教什么”，所以有高考命题“以现行教材为根本”的提法．如上所说，高考命题的依据是《考试大纲》，而《考试大纲》的依据是《课程标准》，教材是课程的载体和具体化，因此高考命题最具体、最方便的依据是教材．
（2）教学与考试是教育的两个不同过程，选拔需要决定高考重点．
平时教学是学生从不知到知（或从知之较少到知之较多）、从能力较低到能力较高的一个学习过程，而高考只检验学生学习的结果，是对结果的一个评估过程．这是性质不同的两件事情，选拔的需要决定高考的重点．
（3）平时教学要面对全体学生，按教学规律进行，如果平常教学按高考水平来要求“考什么就教什么、怎么考就怎么教”，那是应试教育，不对的；而高考的基本任务是为高校选拔新生，必须在全体考生的成绩中“拉开距离”，高考试题的难度是由成绩前50%左右考生的水平决定的，所以高考复习要按考试规律进行，“考什么就练什么、怎么考就怎么练”没错．
做个比喻，如图3，课本是整个瓶子，其结构易、中、难（由下而上）大致为6：3：1或7：2：1；高考试题内容就是瓶内的装物（空白部分），其结构易、中、难（由下而上）大致为5：3：2．不抓 图3
瓶子就抓不住高考，但抓住瓶子却倒不出里面的装物，就是没有驾驭教材的能力，就是拿着书看不出里面的数学实质，就是“睁眼瞎”．因此，
●高考研讨的中心，应是如何用好教材；
●高考复习的难度，在于如何用好教材；
●高考复习的成功，在于真正用好教材．
问题12 由教材编拟训练题有何建议？
（1）编拟基本题的途径．
①选编课本原题．考试用成题存在公平性的问题，通常是要避免的，但课本成题却是一个小小的例外．因为它对每个考生是公平的，问题是要有典型性、数量适度、并尽量减少“导致死记硬背”的负面影响．
课本中有很多体现核心知识、基本方法或典型模式的例题、习题（重要定理的内容、证法及应用，自然构成典型模式）．不仅基本题可以用，综合题也可以用，用好了还能提供“踏踏实实钻研教材”的导向，抵制“资料泛滥”或“题海战术”的歪风．
②仿制课本类题．根据课本的题目类型与编拟思想，或变换数据、或变更情境，编成试题．
③生成课本变题．直接由定义、定理、公式、法则、以及基本运算、基本推理、基本作图、基本方法、基本经验、基本思想等编拟理解题，相当于日常教学的变式练习．
（2）由教材编拟综合题的途径．
综合题更注重知识的整体性结构，更注重概念的实质性理解，更注重能力的综合性与灵活性应用（高、中档题）．高考综合题多集中在集合与函数、不等式、数列、概率统计、立体几何、解析几何、导数的应用等重点内容．由教材编拟综合题可考虑如下７个技术措施：
①多个公式、多道习题、多个方法的串联、并联与综合．
②习题的延伸或推广．
③增加习题的层次．（如给条件增加充分条件、给结论增加必要条件．又如换元、把字母换成代数式等）
④改变设问的方向．（如改变知识的形态、从新形态的视角设问．又如交换条件与结论的位置产生逆向问题）
⑤引进讨论的参数．（如把已知数据换成要讨论的字母．又如隐去条件、反过来问当什么情况下时有结论成立）
⑥设置隐含的条件．
⑦创设新情景．（如分散条件、或引进应用情景等）
具体实施时．常常是多项措施的同时使用．
问题13 高考试题是怎样命制的？
高考试题的命制包括命制单题和组拼试卷两项工作（参见文【9】）．具体的工作步骤是：确定试卷结构，编制命题双向细目表，单题命制，拼题组卷和卷面设计，参考答案和评分标准的设计．具体流程可分为10步：
（1）熟悉大纲、教材、确定学科命题指导思想和命题原则；
（2）设计命题双向细目表；（参见附录：双向细目表）
（3）分配编题任务；
（4）编制试题；（基本参考是课本背景、高等背景，还会有竞赛背景；往年背景；名题背景；生活背景）
（5）反复研磨试题；（包括查重）
（6）组卷；
（7）反复研磨试卷；（题型、知识点覆盖、难度估计、能力要求、分值、作答时间）
（8）确定评分参考；
（9）预估试题、试卷的难度；
（10）定稿完成；
问题14 如何把握新课程高考的难度？
我们认为新课程高考会减轻份量，降低难度，理科达到0．55～0．60（0．6只不过是及格而已，为什么理科大学新生还要数学不及格呢？），文科达到0．50～0．55．主要有5条理由
（1）高考一年复习必须改变；（提供素质教育的导向）
（2）“减负等于加压”必须改变；（提供素质教育的导向）
（3）新教材体现了从“窄而深”到“宽而浅”的转变；
（4）高考录取率已提高到60%，高等教育已经大众化；
（5）高考对社会的影响．（稳定是第一位的、高考命题宁易莫难）
题目难度可以通过试做，参照往年同类题，和绝对难度分析（知识点的个数、运算步骤数、推理转折点个数、情景的新鲜度、陷阱个数、赋分方式）得出．
降低难度不是鼓励平庸，而是腾出更多的空间来搞创新．
问题15 如何认识部分试题中的“高等背景”？
由于高考的首要任务是为高等院校选拔新生的，由于高考命题是以高校教师为主体的，为了给创新试题提供新鲜情景，为了考查学生继续深造的潜能，“试题在主体上考查中学数学的同时，体现进一步学习高等数学的需要”是很自然的．如递推数列，函数方程，函数不动点，微分中值定理，泰勒展开式，伯恩斯坦多项式，矩阵，数论同余，曲线相切，牛顿切线法等背景都出现过．但是，这些高等背景只是“考能力的载体”（考知识应是超纲的），其解答只用到中学的知识与方法，所以，重要的是教学生“化归为课堂上已经解决的问题”、“化归为往年的高考题”．我们不赞成去做“高等数学补课”，那是“盲目提高教学要求”，加重学生负担，而且，永远也补不完．
问题16 如何认识陕西自主命题的学术风格．
个人认为，陕西自主命题的学术风格是两句话：在深刻背景下立意、在贴近教材中提高．（参见文【10】、【11】、【12】）
（1）在贴近教材中提高，主要指以教材为依据编拟中低档综合题、并以中低档综合题为试卷的主体，以中低档综合题为创新的基本载体．如2011年理科卷第1题、第9题直接考课本概念，第18题直接考课本定理，第14题、第17题都有课本题的背景．这样做可以为中学教学实施素质教育创造宽松的环境，为高考复习提供“依纲靠本”的导向．
（2）在深刻背景下立意，主要指思想方法背景，知识交汇背景和高等数学背景．如2011年理科卷广泛涉及七个基本数学思想，其中，较突出的是函数与方程的数学思想（如理科第3，6，7，11，12，14，19，21等题），数形结合的数学思想（如理科第2、3、5、6、7、8、9、12、15、16、17、18、19共13道题都不同程度涉及数形结合，其中有9道题目配了图形），化归与转化的数学思想方法（如理科第4，6，10，12，14，16，17，18，19，21等题），或然与必然的基本数学思想（如理科第8，9，10，20题）．这样做有助于考查进入高等学校学习的潜能，有利于高等学校选拔人才．
参考资料
【1】罗增儒．数学新课程高考考什么、怎么考．中学数学教育，2012，1～2
【2】中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）．人民教育出版社，2003，4
【3】陕西省招生委员会办公室编．普通高等学校招生全国统一考试陕西卷（数学　英语）考试说明课程标准实验版2011．西北大学出版社，2011，1
【4】任子朝． 能力立意命题的理论与实践．数学通报，2008，1
【5】任子朝、陈昂．实施《课程标准》后高考数学能力考查研究．数学通报，2012，1
【6】罗增儒．高考复习20问．《中学数学教学参考（上旬）》，2010，5
【7】罗增儒．高考临场20招．《中学数学教学参考（上旬）》，2010，3～4
【8】本刊特约数学试题评阅组．2011年高考数学试题“红黑榜”．基础教育课程，2011，9
【9】张奠宙、宋乃庆主编．数学教育概论．高等教育出版社．2004．10
【10】罗衾、罗增儒．数学高考改革与陕西自主命题——高考数学陕西自主命题研究之一．中学数学教学参考（上旬），2009，5
【11】罗衾、罗增儒．稳定：高考数学陕西卷的一个关键词——高考数学陕西自主命题研究之二．中学数学教学参考（上旬），2009，6
【12】罗衾、罗增儒．高考数学陕西卷的高等背景——高考数学陕西自主命题研究之三．中学数学教学参考（上旬），2009，7
附件1：数学理科知识点统计表
模块 知识点 个数
集合（4课时） 集合的概念，集合的表示法，子集与包含关系，集合的交并补运算 4
函数（30课时） 函数的概念，函数的表示，函数的定义域，函数的值域，映射，函数的单调性，函数的奇偶性，分段函数，二次函数，幂函数，指数幂，幂的运算性质，指数函数的图像，指数函数的性质，对数的概念，对数的运算，换底公式，对数函数的图像，对数函数的性质，函数与方程，二分法求方程的近似解，函数模型，函数模型的应用 23
立体几何（24课时） 简单几何体，简单几何体的直观图，三视图，空间图形的公理，空间两条直线的位置关系，直线与平面平行关系的判定，直线与平面平行关系的性质，直线与平面垂直关系的判定，直线与平面垂直关系的性质，平面与平面平行关系的判定，平面与平面平行关系的性质，平面与平面垂直关系的判定，平面与平面垂直关系的性质，简单几何体的表面积，简单几何体的体积，用向量讨论平行关系，用向量讨论垂直关系，用向量计算夹角，用向量计算距离 19
数列（12课时） 数列的概念，数列的表示，数列的单调性，等差数列，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等比数列，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，等差等比数列的应用 10
解析几何（32课时） 直线的方程，直线的倾斜角与斜率，两条直线的位置关系，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆，圆的标准方程，圆的一般方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，空间直角坐标系，空间直角坐标系中点的坐标，空间两点间的距离公式，椭圆，椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，抛物线，抛物线的标准方程，抛物线的简单几何性质，双曲线，双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，曲线与方程，直线与圆锥曲线的交点，圆锥曲线的简单应用 25
概率统计（46课时） 随机抽样，简单随机抽样方法，分层抽样，系统抽样，样本与总体，样本数据的数字特征，频率分布直方图，统计图表，用样本估计总体，两个变量的相关性，散点图，最小二乘法，随机事件，频率，概率，互斥事件，概率加法公式，古典概型，古典概型的计算公式，随机事件的概率，随机数的意义，用模拟方法估计概率，几何概型，离散型随机变量，分布列，超几何分布，超几何分布的应用，条件概率，两个事件相互独立的概念，独立重复试验，二项分布，离散型随机变量的均值，离散型随机变量的方差，回归分析，独立性检验 35
算法初步（12课时） 算法的基本思想，程序框图的基本逻辑结构，基本算法语句 3
　三角（32课时） 任意角的概念，弧度制，正弦函数的定义、余弦函数的定义、正切函数的定义，正弦函数的图像与性质，余弦函数的图像与性质，正切函数的图像与性质，诱导公式，同角三角函数的基本关系式，函数的图像和性质，三角函数的简单应用，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算，解三角形应用举例 18
向量（18课时） 平面向量的概念，两个向量相等的含义，向量的几何表示，向量的加法和减法，向量加法和减法的几何意义，两个向量共线的含义，向量的线性运算，平面向量基本定理，平面向量的坐标表示，平面向量运算的坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的数量积的坐标表示，平面向量的简单应用，空间向量的概念，空间向量的线性运算，空间向量基本定理，空间向量的坐标表示，空间向量运算的坐标表示，空间向量的数量积，空间向量的数量积的坐标表示，空间向量的简单应用 21
逻辑与推理（16课时） 合情推理的含义，归纳推理，类比推理，演绎推理的含义，综合法，分析法，反证法，数学归纳法，命题的概念，四种命题，充分条件和必要条件，逻辑联结词，全称量词和存在量词的意义，全称命题和特称命题的否定 14
不等式（12课时） 不等关系，一元二次不等式的解法，一元二次不等式的应用，基本不等式，用基本不等式解决最大值最小值问题，平面区域，简单线性规划，简单线性规划的应用 8
导数与定积分（22课时） 导数概念的实际背景，导数的概念，导数的几何意义，基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数的导数，用导数研究函数的单调性，函数的极值，闭区间上函数的最大值与最小值，定积分的实际背景，定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理，定积分的简单应用 14
计数原理（12课时） 分类加法计数原理，分步乘法计数原理，排列的概念，排列数公式，组合的概念，组合数公式，简单计数问题，二项式定理，二项展开式的有关简单问题 9
复数（4课时） 复数的概念，复数相等的充要条件，复数的加法和减法，复数的乘法和除法，复数及其运算的几何意义 5
几何证明选讲（18课时） 相似三角形的定义与性质，平行截割定理，直角三角形射影定理，圆周角定理，圆的切线判定定理与性质定理，相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理，切割线定理 　　6
坐标系与参数方程（18课时） 平面直角坐标系的伸缩变换，极坐标的概念，极坐标系中点的极坐标表示，极坐标与直角坐标互化，简单图形的极坐标方程，参数方程中参数的意义，简单曲线的参数方程
不等式选讲（18课时） 绝对值不等式，绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，不等式的证明方法
合计 　　　　　　　　294课时 214个
说明1：知识点的统计标准不唯一，仅供参考．每个把关教师都应有自己的统计．
说明2：知识点之间有的是递进关系、有的是并列关系．如数列的概念，数列的表示，等差数列，等比数列一共4个知识点，前2个到后2个是递进关系，而后2个本身是并列关系．
附表2：双向细目表
知识模块/知识点/课时 题号/分值 难度/得分 解题步骤 考查内容 总分 百分比
知识点 能力 思想方法
1集合知识点/课时
2函数知识点/课时
3立体几何知识点/课时
4数列知识点/课时
5解析几何知识点/课时
6概率与统计知识点/课时
7算法初步知识点/课时
8三角知识点/课时
9向量知识点/课时
10逻辑与推理知识点/课时
11不等式知识点/课时
12导数与定积分知识点/课时
13计数原理知识点/课时
14复数知识点/课时
15A不等式选讲知识点/课时
15B几何证明选讲知识点/课时
15C坐标系与参数方程知识点/课时
合 计知识点/课时
附表3：2011年新课程卷题型、题量、分值、自选模块统计表（13套）
时间 地区 解答题 填空题 选择题 自选模块的处理方式
2007 广东 6题80分 5+（2选1）题30分 8题40分 填空题2选1（几何证明选讲，坐标系与参数方程），5分
2007 山东 6题74分 4题16分 12题60分
2007 海南宁夏 5+（3选1）题70分 4题20分 12题60分 解答题3选1（22，23，24）（几何证明选讲，坐标系与参数方程，不等式选讲），10分
2008 江苏 8+（4选1）9题90分 14题70分 无 附加题21，22，23，解答21题4选2（几何证明选讲，矩阵与变换，坐标系与参数方程，不等式选讲），20分
2009 天津 6题80分 6题30分 8题40分 填空题必做（几何证明选讲），5分
2009 辽宁 5+（3选1）题70分 4题20分 12题60分 解答题3选1（几何证明选讲，坐标系与参数方程，不等式选讲），10分
2009 浙江 5题72分 7题28分 10题50分 选修另考，每题10分，可选可不选（坐标系与参数方程，不等式选讲），
2009 福建 6题80分 5题20分 10题50分 解答（21）题3选2（矩阵与变换，坐标系与参数方程，不等式选讲），14分
2009 安徽 6题75分 5题25分 10题50分
2009 上海 5题74分 14题56分 4题20分
2010 北京 6题80分 6题30分 8题40分 选择题（坐标系与参数方程，几何证明选讲）10分，必做
2010 陕西 6题80分 4+（3选1）题25分 10题50分 填空题3选1（几何证明选讲，坐标系与参数方程，不等式选讲），5分
2010 湖南 6题75分 5+（3选2）题35分 8题40分 填空题3选2（坐标系与参数方程、不等式选讲、几何证明选讲）10分
2010 黑龙江 同宁夏、海南（全国新课标卷）
2010 吉林
2011 山西
2011 新疆
2011 河南
2011 江西 6题75分 4+（2选1）题25分 10题50分 填空题2选1（坐标系与参数方程、不等式选讲）5分
注：2012年还将有河北、云南、湖北、内蒙进入新课程高考．

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