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中小学教育资源及组卷应用平台
4.3
三角函数的图像与性质（1）－－－定义域与值域
※必备知识
1.
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；
[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－＋kπ，＋kπ)
(k∈Z)上递增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(＋kπ，0)
(k∈Z)
(，0)(k∈Z)
对称轴
方程
x＝＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
函数y＝sin
x，x∈[0，2π]，y＝cos
x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点?最值点?.
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
常用结论：
1.正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan
x无单调递减区间；y＝tan
x在整个定义域内不单调．
2.对称与周期的关系：正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
3．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ
(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋
(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
课堂突破：
考点一
三角函数的定义域（基础）
例1函数y＝
的定义域为________．
解析：由题可得所以有0＜sin
x≤，
解得2kπ＜x≤2kπ＋或2kπ＋≤x＜2kπ＋π，k∈Z，
所以所求函数的定义域为.
答案：
小结：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
可以按照一下步骤完成：
1.将需要式子化成（注意本身有界性）；
2.画出的草图及直线（注意直线与三角函数图像的交点）；
3.找出在一个周期上连续的范围；
4.再将两端加上周期的整数倍。
5.若题目有角的范围限制，相应的做出调整.
变式：1.
函数y＝－tan＋2的定义域为________________．
答案：
2．函数y＝lg(sin
2x)＋的定义域为______________．
解析：由得
∴－3≤x＜－或0＜x＜.
∴函数y＝lg(sin
2x)＋的定义域为∪.
答案：∪
考点二
三角函数的值域与最值（重点）
例2
(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A.　　　　　　　
　B.
C.
D.
解析：当x∈时，2x－∈，sin∈，
故3sin∈，所以函数f(x)的值域为.
(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________．
解析：依题意，f(x)＝sin2x＋cos
x－＝－cos2x＋cos
x＋＝－2＋1，
因为x∈，所以cos
x∈[0,1]，因此当cos
x＝时，f(x)max＝1.
小结：三角函数最值或值域的4种求法
(1)直接法：直接利用sin
x和cos
x的值域求解，利用三角函数图像及角的范围；
(2)转化法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)和积换元法：把sin
x、cos
x、sin
xcos
x或sin
x±cos
x换成t，转化为二次函数．
（4）直接换元法：题目中出现同角不同次数时，此时往往转化为二次函数求值问题，注意角的范围。
变式：1.已知f(x)＝3cos，则f(x)在区间上的值域为________．
解析：当x∈时，2x－∈，
cos∈，
故f(x)＝3cos∈.
2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－　　　B．0
C．－1
D．－1－
解析：选A　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin∈.
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.
3．(2018·浙北联考)函数f(x)＝2cos2x＋5sin
x－4的最小值为________，最大值为________．
解析：f(x)＝2cos2x＋5sin
x－4＝－2sin2x＋5sin
x－2＝－22＋.因为－1≤sin
x≤1，所以当sin
x＝－1时，f(x)有最小值－9；当sin
x＝1时，f(x)有最大值1.
4.已知函数f(x)＝sin
x＋cos
x＋sin
xcos
x，则f(x)的最大值为________．
解析：设t＝sin
x＋cos
x(－≤t≤)，
则sin
xcos
x＝，
y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，
当t＝时，y＝t＋t2－取最大值为＋.
故f(x)的最大值为.答案：
5．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
解析：由x∈，知x＋∈.
∵x＋∈时，f(x)的值域是，
∴由函数的图象知≤a＋≤，
∴≤a≤π.
答案：
课后巩固：
1．已知函数y＝2cos
x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　)
A．2
B．3
C.＋2
D．2－
解析：选B　因为x∈，所以cos
x∈，故y＝2cos
x的值域为[－2,1]，所以b－a＝3.
2.【2008海南宁夏文11】函数的最小值和最大值分别为（
）
A．
－3，1
B．
－2，2
C．
－3，
D．
－2，
【解析】∵，∴当时，，当时，；故选Ｃ；
3.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数的最大值为
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】由诱导公式可得，
则，函数的最大值为.
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
4.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】由，
得或，
，．
在的零点个数是3，
故选B．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
5.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数的最大值为
.
【答案】
【解析】.
【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值.
6.函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需sin
x－cos
x≥0，即sin
x≥cos
x，
由函数的图象得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
故原函数的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数f(x)＝cos
2x＋6cos的最大值为________．
解析：因为f(x)＝cos
2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin
x＝－22＋，而sin
x∈[－1,1]，所以当sin
x＝1时，f(x)取最大值5.
答案：5
8.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
9.求函数y＝cos2x＋sin
x的最大值与最小值．
解：令t＝sin
x，∵|x|≤，∴t∈.
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝时，ymax＝，
当t＝－时，ymin＝.
∴函数y＝cos2x＋sin
x的最大值为，最小值为.
10.【2018年高考北京卷文数】已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
，
所以的最小正周期为.
（2）由（1）知.
因为，
所以.
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.
（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求出函数的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质，求出m的范围，即可求出m的最小值.
11.【2017年高考北京卷文数】已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）
.
所以的最小正周期.
（2）因为，
所以.
所以.
所以当时，.
【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.
（1）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，最后根据公式求周期；
（2）先求的范围再求函数的最小值即可.
12.【2017年高考江苏卷】已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．
【解析】（1）因为，，a∥b，所以．
若，则，
与矛盾，故．
于是．
又，所以．
（2）．
因为，所以，
从而．
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
【名师点睛】解答本题时，（1）先由向量平行的坐标表示得，再根据同角三角函数的基本关系可得；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得，再根据的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．
熟记下列结论：（1）向量平行：，，；（2）向量垂直：；（3）向量加减乘：．
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4.3
三角函数的图像与性质（1）－－－定义域与值域
※必备知识
1.
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
值域
R
单调性
最值
x＝
(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝
(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝
(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝
(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
对称中心
(，0)(k∈Z)
(，0)
(k∈Z)
(，0)(k∈Z)
对称轴
方程
x＝
(k∈Z)
x＝
(k∈Z)
周期
2π
2π
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，
，(π，0)，
，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，
，，
.
函数y＝sin
x，x∈[0，2π]，y＝cos
x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点?最值点?.
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
常用结论：
1.正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan
x无单调递减区间；y＝tan
x在整个定义域内不单调．
2.对称与周期的关系：正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
3．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ
(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋
(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
课堂突破：
考点一
三角函数的定义域（基础）
例1函数y＝
的定义域为________．
小结：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
可以按照一下步骤完成：
1.将需要式子化成（注意本身有界性）；
2.画出的草图及直线（注意直线与三角函数图像的交点）；
3.找出在一个周期上连续的范围；
4.再将两端加上周期的整数倍；
5.若题目有角的范围限制，相应的做出调整.
变式：1.
函数y＝－tan＋2的定义域为________________．
2．函数y＝lg(sin
2x)＋的定义域为______________．
考点二
三角函数的值域与最值（重点）
例2
(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A.　　　　B.
C.
D.
(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________．
小结：三角函数最值或值域的4种求法
(1)直接法：直接利用sin
x和cos
x的值域求解，利用三角函数图像及角的范围；
(2)转化法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)和积换元法：把sin
x、cos
x、sin
xcos
x或sin
x±cos
x换成t，转化为二次函数．
（4）直接换元法：题目中出现同角不同次数时，此时往往转化为二次函数求值问题，注意角的范围。
变式：1.已知f(x)＝3cos，则f(x)在区间上的值域为________．
2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－　　　　B．0
C．－1
D．－1－
3．(2018·浙北联考)函数f(x)＝2cos2x＋5sin
x－4的最小值为________，最大值为________．
4.已知函数f(x)＝sin
x＋cos
x＋sin
xcos
x，则f(x)的最大值为________．
5.已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
课后巩固：
1．已知函数y＝2cos
x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　)
A．2
B．3
C.＋2
D．2－
2.【2008海南宁夏文11】函数的最小值和最大值分别为（
）
A．
－3，1
B．
－2，2
C．
－3，
D．
－2，
3.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数的最大值为
A．
B．1
C．
D．
4.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为
A．2
B．
3
C．
D．5
5.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数的最大值为
.
6.函数y＝的定义域为________．
7．函数f(x)＝cos
2x＋6cos的最大值为________．
8.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．
9.求函数y＝cos2x＋sin
x的最大值与最小值．
10.【2018年高考北京卷文数】已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
11.【2017年高考北京卷文数】已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求证：当时，．
12.【2017年高考江苏卷】已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
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