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4.3三角函数的图像与性质（3）－－－奇偶性、对称性及周期性
※必备结论
1.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝
2.
函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则；为偶函数，则；
函数y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，则；为偶函数，则；
函数y＝Atan(ωx＋φ)
为奇函数，则；不可能为偶函数.
3.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为解出即可，对称中心为（
，B）；
函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为解出即可，对称中心为（
，B）；；
函数y＝Atan(ωx＋φ)
的对称中心为（
，B），无对称轴.
课堂突破：
考点一
三角函数的周期性
例1（1）函数y＝5sin的最小正周期为(　　)
A．6　　　　B．－6
C．
D．
（2）已知函数，则
A．的最小正周期为π，最大值为3
B．
的最小正周期为π，最大值为4
C．
的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
（3）在函数①，②
，③，
④中，最小正周期为的所有函数为（
）
A．①②③
B．
①③④
C．
②④
D．
①③
小结：三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法：比较少用，一般都是用于抽象函数中的周期性；
(2)公式法：转化为函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝（特别注意指的是前面的系数），其实对于正余弦同角一次时为T＝，同角二次时；
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
有关周期的2个结论
(1)函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝.
(2)函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝.
变式：
1.函数的最小正周期为
A．
B．
C．
D．
2．已知函数，（则f(x)的最小正周期为
.
3.函数f(x)＝的最小正周期是(　　)
A
B
C.π
D.2π
考点二
三角函数的奇偶性
例2
函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　)
A.　　　　　　B.
C.
D.
小结：判断三角函数奇偶性的方法
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin
ωx或y＝Atan
ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos
ωx＋b的形式．
变式：
1．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　)
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝cos
D．y＝sin
2．若函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan
θ等于________．
考点三
三角函数的对称性
例3（1）函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程可以是(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
（2）已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
小结：1.通性通法：求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再把(ωx＋φ)整体看成一个变量，若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
2.特值法：选填题代入检验是否满足即可.
变式：
1．若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.
2．函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(φ)＝2
B.是f(x)图象的一个对称中心
C．φ＝
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
课后巩固：
1.已知函数f(x)＝sin2ωx－的最小正周期为π,＝(　　)
A
B
C.2
D
2．设函数f（x）＝cosx＋bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3.设函数，则下列结论错误的是(
)
A．的一个周期为
B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为
D．在单调递减
4.设函数f(x)＝sin|θ|＜的图象关于y轴对称,则θ＝(　　)
A.－
B
C.－
D
5．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为”的一个函数是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
6．函数的最小正周期为
A．
B．
C．
D．
7．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.
8.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．
9．若函数f(x)＝(ω＞0)的最小正周期为π，则f＝________.
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4.3三角函数的图像与性质（3）－－－奇偶性、对称性及周期性
※必备结论
1.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝
2.
函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则；为偶函数，则；
函数y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，则；为偶函数，则；
函数y＝Atan(ωx＋φ)
为奇函数，则；不可能为偶函数.
3.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为解出即可，对称中心为（
，B）；
函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为解出即可，对称中心为（
，B）；
函数y＝Atan(ωx＋φ)
的对称中心为（
，B），无对称轴.
课堂突破：
考点一
三角函数的周期性
例1（1）函数y＝5sin的最小正周期为(　　)
A．6　　　　B．－6
C．
D．
解析：选A　函数的最小正周期为T＝＝6.
（2）已知函数，则
A．的最小正周期为π，最大值为3
B．
的最小正周期为π，最大值为4
C．
的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
【答案】B
【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
（3）在函数①，②
，③，
④中，最小正周期为的所有函数为（
）
A．①②③
B．
①③④
C．
②④
D．
①③
【解析】由是偶函数可知①，最小正周期为；②的最小正周期也是；③中函数最小正周期也是；正确答案为①②③，故选A
小结：三角函数最小正周期的求解方法
(1)定义法：比较少用，一般都是用于抽象函数中的周期性；
(2)公式法：转化为函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝（特别注意指的是前面的系数），其实对于正余弦同角一次时为T＝，同角二次时；
(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
有关周期的2个结论
(1)函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝.
(2)函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝.
变式：
1.函数的最小正周期为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以其最小正周期，故选C.
【名师点睛】求三角函数周期的方法：
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
③对于形如的函数，一般先把其化为的形式再利用公式求周期.
2．已知函数，（则f(x)的最小正周期为
.
解析：.
所以的最小正周期.
3.函数f(x)＝的最小正周期是(　　)
A
B
C.π
D.2π
答案C
解析由已知得f(x)＝,故f(x)的最小正周期为π.
考点二
三角函数的奇偶性
例2
函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　)
A.　　　　　　B.
C.
D.
[解析]　因为f(|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝3sin是偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，
又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
[答案]　C
小结：判断三角函数奇偶性的方法
三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin
ωx或y＝Atan
ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos
ωx＋b的形式．
变式：
1．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　)
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝cos
D．y＝sin
解析：选C　y＝sin＝－cos
2x为偶函数，排除A；y＝cos＝sin
2x在上为减函数，排除B；y＝cos＝－sin
2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，符合题意；y＝sin＝cos
x为偶函数，排除D.故选C.
2．若函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan
θ等于________．
解析：f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2sin＝－2sin，
因为函数f(x)为奇函数，所以－－θ＝kπ，k∈Z，
即θ＝－kπ－，k∈Z，故tan
θ＝tan＝－.
答案：－
考点三
三角函数的对称性
例3（1）函数f(x)＝sin的图象的对称轴方程可以是(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
解析：选A　由题可得，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.所以当k＝0时，函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝.
（2）已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．
解析：由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．
∵φ∈，∴φ＝－.
小结：1.通性通法：求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再把(ωx＋φ)整体看成一个变量，若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
2.特值法：选填题代入检验是否满足即可.
变式：
1．若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.
取k＝0，得|φ|的最小值为.
2．函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(φ)＝2
B.是f(x)图象的一个对称中心
C．φ＝
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
解析：选A　由f(0)＝1且0＜φ＜，可得φ＝，故选项C错误；可得f(x)＝2sin，把x＝代入f(x)＝2sin，得f(φ)＝2，选项A正确；f＝2，f(x)取得最大值，选项B错误；而f＝－1，非最值，选项D错误，故选A.
课后巩固：
1.已知函数f(x)＝sin2ωx－的最小正周期为π,＝(　　)
A
B
C.2
D
答案B
解析函数f(x)＝sin2ωx－的最小正周期为＝π,则ω＝1.
2．设函数f（x）＝cosx＋bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】时，，为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R的函数为偶函数等价于恒成立进行判断.
3.设函数，则下列结论错误的是(
)
A．的一个周期为
B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为
D．在单调递减
【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，所以选项正确；
因为，所以选项正确；因为所以选项正确；当时，，函数在该区间不单调，所以选项错误，故选.
4.设函数f(x)＝sin|θ|＜的图象关于y轴对称,则θ＝(　　)
A.－
B
C.－
D
答案A
解析f(x)＝sincosx＋θ＝2sinx＋θ－,由题意可得f(0)＝2sin＝±2,
即sin＝±1,∴θ－＋kπ(k∈Z),
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|＜,∴k＝－1时,θ＝－
5．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为”的一个函数是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：选C　因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A选项；当x＝时，对于B，y＝sin＝0，对于D，y＝sin＝，因为图象关于直线x＝对称，所以排除B、D选项，对于C，sin＝1，sin＝0，且在上是增函数，故C满足条件．
6．函数的最小正周期为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，
故所求的最小正周期为，故选C.
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间.
7．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.
解析：由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋(k∈Z)．
答案：kπ＋(k∈Z)
8.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．
解析：∵f＝f，∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴，∴f＝±2.答案：2或－2
9．若函数f(x)＝(ω＞0)的最小正周期为π，则f＝________.
解析：由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝，所以f＝＝.
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