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4.3
三角函数的图像与性质（2）－－－单调性
※必备知识
1.
的单增区间为：，单减区间为：；
2.
的单增区间为：，单减区间为：；
3.
的单增区间为：，无单减区间.
注意：正切函数只有单增区间没有单减区间，且端点取不到，特别小心弦与切的周期不同.
课堂突破：
考点一
求三角函数型函数的单调区间
例1
已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin
xcos
x(x∈R)．
(1)
求f(x)的单调递增区间；
(2)
求f(x)在上的单调递增区间．
解析　(1)由题意，f(x)＝－cos
2x－sin
2x＝－2＝－2sin，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)的单调递增区间是(k∈Z)
当时，时，时，
所以f(x)
在上的单调递增区间为，．
变式：1.
已知函数f(x)＝sin，(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
2.函数y＝3sin
x＋cos
x的单调递增区间是________．
解析：化简可得y＝2sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，又x∈，∴函数的单调递增区间是.
小结：求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解，注意，如果出现负数，做出相应的改变．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
考点二
根据三角函数的单调性确定参数
例2
(1)
若f(x)＝2sin
ωx(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
[解析]　法一：因为x∈(ω>0)，
所以ωx∈，
因为f(x)＝2sin
ωx在上是增函数，
所以故0<ω≤.
法二：画出函数f(x)＝2sin
ωx(ω>0)的图象如图所示．
要使f(x)在上是增函数，
需即0<ω≤.
(2)
若f(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.　　　　　　B.
C.
D．π
解析：
f(x)＝cos
x－sin
x＝－sin，
当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，
则f(x)＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]?，∴0小结：已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法
(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解．
变式：
1．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f＝________.
解析：由题意知＝－＝，故T＝π，所以ω＝＝2，
又因为f＝1，所以sin＝1.
因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin.
故f＝sin＝cos＝.
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：由由题意知?，
所以解得≤ω≤.
答案：
课后巩固：
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．
2．y＝|cos
x|的一个单调递增区间是(　　)
A.　　　B．[0，π]
C.
D.
解析：选D　将y＝cos
x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的部分不变，即得y＝|cos
x|的图象(如图)．故选D.
3．已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　因为0<θ<π，所以<＋θ<，又因为f(x)＝cos(x＋θ)在x＝时取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos.由0≤x≤π，得≤x＋≤.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是.
4．若在是减函数，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】.当x∈时，∈，
所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是·
故选C.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y=Asin(x+φ)(>0)，y=Acos(x+φ)(>0)，y=Atan(x+φ)(>0)的三角函数间是的关键.具体间题中，首先将“x+φ”看作一个整体，然后活用相关三角函的图象与性质求解.
5.设函数的最小正周期为，且，则(
)
（A）在单调递减
（B）在单调递减
（C）在单调递增
（D）在单调递增
【解析】，所以，又为偶函数，，，选A
6．已知，函数在上单调递减．则的取值范围是（
）
7．若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析：法一：由于函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数
的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二：由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.
答案：
8．已知函数f(x)＝sin
2x－cos
2x－，讨论函数f(x)在上的单调性．
解：函数f(x)＝sin
2x－cos
2x－＝sin－，
当x∈时，0≤2x－≤π，
从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
9．已知函数
为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为(
)
（A）11????（B）9?????
（C）7??????（D）5
【解析】由题意知：则，其中，在单调，，接下来用排除法：
若，此时，在递增，在递减，不满足在单调；若，此时，满足在单调递减．故选B．
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4.3
三角函数的图像与性质（2）－－－单调性
※必备知识
1.
的单增区间为：，单减区间为：；
2.
的单增区间为：，单减区间为：；
3.
的单增区间为：，无单减区间.
注意：正切函数只有单增区间没有单减区间，且端点取不到，特别小心弦与切的周期不同.
课堂突破：
考点一
求三角函数型函数的单调区间
例1
已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin
xcos
x(x∈R)．
(1)
求f(x)的单调递增区间；
(2)
求f(x)在上的单调递增区间．
变式：1.
已知函数f(x)＝sin，(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
2.函数y＝3sin
x＋cos
x的单调递增区间是________．
小结：求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解，注意，如果出现负数，做出相应的改变．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
考点二
根据三角函数的单调性确定参数
例2
(1)若f(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.　　　　　　B.
C.
D．π
(2)若f(x)＝2sin
ωx(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
小结：已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法
(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．
(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解．
变式：
1．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f＝________.
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是________．
课后巩固：
1．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
2．y＝|cos
x|的一个单调递增区间是(　　)
A.　　　B．[0，π]
C.
D.
3．已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
4．若在是减函数，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
5.设函数的最小正周期为，且，则(
)
（A）在单调递减
（B）在单调递减
（C）在单调递增
（D）在单调递增
6．已知，函数在上单调递减．则的取值范围是（
）
7．若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
8．已知函数f(x)＝sin
2x－cos
2x－，讨论函数f(x)在上的单调性．
9．已知函数
为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为(
)
（A）11????（B）9?????
（C）7??????（D）5
【解析】由题意知：则，其中，在单调，，接下来用排除法：
若，此时，在递增，在递减，不满足在单调；若，此时，满足在单调递减．故选B．
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