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4.2
同角间三角函数的基本关系式与诱导公式
※必须牢记公式
1．同角间三角函数的基本关系式：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；一般形式：sin2
f(α)＋cos2
f(α)＝1.
(2)商数关系：tan
α＝.
注意：①.上面两个式子只是适用于同角，异角不适合，如：sin2α＋cos21；
②.上面平方关系对任意角都成立，而商数关系中．
2.诱导公式：，口诀：奇变偶不变，符号看象限；
注意：（1）.奇偶指的是整数的奇偶性；象限指的是将看作锐角后所处的象限来确定符号；
（2）.对于的诱导公式仍然适合上面的结论，变名字指的是与的互换.
3.常用的结论：
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos
α)(1－cos
α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin
α)(1－sin
α)；
(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
(2)sin
α＝tan
αcos
α
课前小练：1．已知α是第二象限角，sin
α＝，则cos
α＝________.
2．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______.
3．若tan
＝，则的值为________
课堂突破：
考点一
三角函数的诱导公式化简求值（基础）
例1．（1）已知sin(π＋α)＝－，则cos的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
（2）sin＝________.
小结：利用诱导公式化简三角函数的要求
（1）熟练应用口诀（先去掉整数圈，然后再去其它解答）；
(2)化简过程是恒等变形；
(3)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
变式训练：tan＝________.
注意：正切函数的特殊性，周期，即.
考点二
同角间三角关系式应用（灵活应用）
例2
（1）已知cos＝，且|α|＜，则tan
α＝(　　)
A．－　　
　B．
C．－
D．
（2）已知tan
θ＝3，则sin2θ＋sin
θcos
θ＝________.
（3）已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin
α－cos
α＝________.
（4）设sin
α＋sin
β＝，则sin
α－cos2β的最大值为(　　)
A．－
B．－
C．－
D．
小结：
已知一个三角函数值求另一个时，注意三角函数定义的应用；
齐次式的应用，注意“1”的妙用；
表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ，常利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化，注意角的范围影响函数值的符号，有时求最值也可以利用换元法转化为二次函数问题；
当表达式中出现同角但不同次数时，此时往往转化为二次函数求值问题，注意角的范围。
变式：1.已知tan
φ＝，且角φ的终边落在第三象限，则cos
φ＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
2.若tan
α＝2，则＋cos2α＝(　　)
A.　　　　B．－
C.
D．－
3．已知sin
αcos
α＝，且＜α＜，则cos
α－sin
α的值为(　　)
A.
B．±
C．－
D．－
考点三
诱导公式＋同角关系式＋其它应用（有难度）
例3（1）已知，tan
α＝2，则＝
.
（2）若sin,则cos=　　　　　.?
（3）已知cos－θ＝a(|a|≤1),则cos＋θ＋sin－θ的值是　　　　　.?
（4）若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
小结：三角函数求值的三种类型：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，但式子中只有一个角时，用换元法更快捷．
①有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系或是倍半关系，常见的有，，等;
②处理有关三角函数问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，然后通过换元，进一步分析、解决问题.
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值（最好值唯一），再求角的范围，确定角．
变式：1.已知，则__________．
2.已知是第四象限角，且，则
．
课后巩固
1.an255°＝
A．?2?
B．?2＋
C．2?
D．2＋
2．sin
210°cos
120°的值为(　　)
A．　　　B．－
C．－
D．
3.已知cos＝，且|α|＜，则tan
α＝(　　)
A．－　　　B．
C．－
D．
4．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)
A．－
B．－
C．
D．
5．已知sin
α，cos
α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．
6.若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
7.若，是第三象限的角，则（　）
（A）
（B）
（C）
（D）
8.已知sin＝，则cos的值为(　　)
A．－
B.
C.
D．－
9.若＝，则tan
θ的值为(　　)
A．1
B．－1
C．3
D．－3
10．已知＝5，则sin2α－sin
αcos
α＝________.
11．已知－π＜α＜0，sin(π＋α)－cos
α＝－，则cos
α－sin
α的值为________．
12.
已知θ是第一象限角，若sin
θ－2cos
θ＝－，则sin
θ＋cos
θ＝________.
13．设f(α)＝，求f的值．
14．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
提高题组：
1.若倾斜角为α的直线l与曲线y=x4相切于点(1,1),则cos2α-sin
2α的值为(　　)
A.-
B.1
C.-
D.-
2.已知,则2cos
θ+=(　　)
A.sin
θ+cos
θ
B.sin
θ-cos
θ
C.cos
θ-sin
θ
D.3cos
θ-sin
θ
3.已知A=(k∈Z),则A的值构成的集合是(　　)
A.{1,-1,2,-2}
B.{-1,1}
C.{2,-2}
D.{1,-1,0,2,-2}
4.已知cos,则sin=.
5.已知tan(α-π)=-,则=　　　　　.?
6.已知α为第二象限角,则cos
+sin
=.
7.已知sin
α+cos
α=,sin
α>cos
α,则tan
α=.
8.已知sin
αcos
α=,且<α<,则cos
α-sin
α的值是　　　　　.?
9．已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．
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4.2
同角间三角函数的基本关系式与诱导公式
※必须牢记公式
1．同角间三角函数的基本关系式：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；一般形式：sin2
f(α)＋cos2
f(α)＝1.
(2)商数关系：tan
α＝.
注意：①.上面两个式子只是适用于同角，异角不适合，如：sin2α＋cos21；
②.上面平方关系对任意角都成立，而商数关系中．
2.诱导公式：，口诀：奇变偶不变，符号看象限；
注意：（1）奇偶指的是整数的奇偶性；象限指的是将看作锐角后所处的象限来确定符号；
（2）对于的诱导公式仍然适合上面的结论，变名字指的是与的互换.
3.常用的结论：
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos
α)(1－cos
α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin
α)(1－sin
α)；
(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
(2)sin
α＝tan
αcos
α
课前小练：
1．已知α是第二象限角，sin
α＝，则cos
α＝________.
答案：－
2．已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝______.
答案：－
3．若tan
＝，则的值为________．
答案：
课堂突破：
考点一
三角函数的诱导公式化简求值（基础）
例1．（1）已知sin(π＋α)＝－，则cos的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：选B　因为sin(π＋α)＝－＝－sin
α，所以cos＝－sin
α＝－.
（2）sin＝________.
答案：　
小结：利用诱导公式化简三角函数的要求
（1）熟练应用口诀（先去掉整数圈，然后再去其它解答）；
(2)化简过程是恒等变形；
(3)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
变式训练：tan＝________.
答案：
注意：正切函数的特殊性，周期，即.
考点二
同角间三角关系式应用（灵活应用）
例2
（1）已知cos＝，且|α|＜，则tan
α＝(　　)
A．－　　
　B．
C．－
D．
解析：选C　因为cos＝－sin
α＝，所以sin
α＝－.因为|α|＜，所以α＝－，所以tan
α＝tan＝－.
（2）已知tan
θ＝3，则sin2θ＋sin
θcos
θ＝________.
解析：sin2θ＋sin
θcos
θ＝＝＝＝.
答案：
（3）已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin
α－cos
α＝________.
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin
α＋cos
α＝，①
将①两边平方得1＋2sin
αcos
α＝，故2sin
αcos
α＝－.
∴(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝1－＝.
又∵＜α＜π，∴sin
α＞0，cos
α＜0.∴sin
α－cos
α＝.
答案：
（4）设sin
α＋sin
β＝，则sin
α－cos2β的最大值为(　　)
A．－
B．－
C．－
D．
解析：选D　因为sin
α＋sin
β＝，所以sin
α＝－sin
β.因为－1≤sin
α≤1，所以－≤sin
β
≤1.所以sin
α－cos2β＝－sin
β－1＋sin2β＝2－，当sin
β＝－时，sin
α－cos2β有最大值.
小结：
已知一个三角函数值求另一个时，注意三角函数定义的应用；
齐次式的应用，注意“1”的妙用；
表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ，常利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化，注意角的范围影响函数值的符号，有时求最值也可以利用换元法转化为二次函数问题；
当表达式中出现同角但不同次数时，此时往往转化为二次函数求值问题，注意角的范围。
变式：1.已知tan
φ＝，且角φ的终边落在第三象限，则cos
φ＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选D　因为角φ的终边落在第三象限，所以cos
φ＜0，因为tan
φ＝，
所以解得cos
φ＝－.
2.若tan
α＝2，则＋cos2α＝(　　)
A.　　　　B．－
C.
D．－
解析：＋cos2α＝＋
＝＋，
将tan
α＝2代入上式，则原式＝.
3．已知sin
αcos
α＝，且＜α＜，则cos
α－sin
α的值为(　　)
A.
B．±
C．－
D．－
解析：因为sin
αcos
α＝，所以(cos
α－sin
α)2＝cos2α－2sin
αcos
α＋sin2α＝1－2sin
αcos
α＝1－2×＝，因为＜α＜，所以cos
α＜sin
α，即cos
α－sin
α＜0，所以cos
α－sin
α＝－.
考点三
诱导公式＋同角关系式＋其它应用（有难度）
例3（1）已知，tan
α＝2，则＝
.
【答案】
【解析】由得，又，所以，
因为，所以，
因为，
所以.
（2）若sin,则cos=　　　　　.?
解析：令，则，，则.
（3）已知cos－θ＝a(|a|≤1),则cos＋θ＋sin－θ的值是　　　　　.?
解析：令，则，，则cos＋θ＋sin－θ.
（4）若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】解法一：因为，所以，两边平方得，．故选D．
解法二：
，且
，故选D．
解法三：换元法
小结：三角函数求值的三种类型：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，但式子中只有一个角时，用换元法更快捷．
①有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系或是倍半关系，常见的有，，等;
②处理有关三角函数问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，然后通过换元，进一步分析、解决问题.
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值（最好值唯一），再求角的范围，确定角．
变式：1.已知，则__________．
【答案】
【解析】，解方程得.
故答案为.
2.已知是第四象限角，且，则
．
【解析】由题意．
因为，所以，
从而，因此．故填．
评注：此处的角还可由缩小至，但没必要．
另外，还可利用来进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故，所以．
课后巩固
1.tan255°＝
A．?2?
B．?2＋
C．2?
D．2＋
【答案】D
【解析】＝
故选D.
2．sin
210°cos
120°的值为(　　)
A．　　　B．－
C．－
D．
解析：选A　sin
210°cos
120°＝－sin
30°(－cos
60°)＝×＝.
3.已知cos＝，且|α|＜，则tan
α＝(　　)
A．－　　　B．
C．－
D．
解析：选C　因为cos＝－sin
α＝，所以sin
α＝－.因为|α|＜，所以α＝－，所以tan
α＝tan＝－.
4．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)
A．－
B．－
C．
D．
解析：选D　∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin
θ＝－cos
θ，∴tan
θ＝.
∵|θ|＜，∴θ＝.
5．已知sin
α，cos
α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．
解析：选B　由题可得，sin
α＋cos
α＝，sin
αcos
α＝.所以sin2α＋cos2α＝(sin
α＋cos
α)2－2sin
αcos
α＝－＝1，解得a＝－.
6.若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
7.若，是第三象限的角，则（　）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】．故选A
8.已知sin＝，则cos的值为(　　)
A．－
B.
C.
D．－
解析：选A　∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.
9.若＝，则tan
θ的值为(　　)
A．1
B．－1
C．3
D．－3
解析：选D　因为＝＝，
所以2(sin
θ＋cos
θ)＝sin
θ－cos
θ，
所以sin
θ＝－3cos
θ，所以tan
θ＝－3.
10．已知＝5，则sin2α－sin
αcos
α＝________.
解析：由已知可得sin
α＋3cos
α＝5(3cos
α－sin
α)，
即sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝＝2，
从而sin2α－sin
αcos
α＝＝＝＝.
答案：
11．已知－π＜α＜0，sin(π＋α)－cos
α＝－，则cos
α－sin
α的值为________．
解析：由已知，得sin
α＋cos
α＝，
sin2α＋2sin
αcos
α＋cos2α＝，
整理得2sin
αcos
α＝－.
因为(cos
α－sin
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，
且－π＜α＜0，所以sin
α＜0，cos
α＞0，
所以cos
α－sin
α＞0，故cos
α－sin
α＝.
答案：
12.
已知θ是第一象限角，若sin
θ－2cos
θ＝－，则sin
θ＋cos
θ＝________.
解析：∵sin
θ－2cos
θ＝－，
∴sin
θ＝2cos
θ－，
∴2＋cos2θ＝1，
∴5cos2θ－cos
θ－＝0，
即＝0.
又∵θ为第一象限角，∴cos
θ＝，
∴sin
θ＝，∴sin
θ＋cos
θ＝.
答案：
13．设f(α)＝，求f的值．
解：∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝＝.
14．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos
α＝－，∴cos
α＝.
∴sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·＝sin
α·tan
＝sin
α·＝sin
α·＝cos
α＝.
提高题组：
1.若倾斜角为α的直线l与曲线y=x4相切于点(1,1),则cos2α-sin
2α的值为(　　)
A.-
B.1
C.-
D.-
答案D
解析y'=4x3,当x=1时,y'=4,
则tan
α=4,
∴cos2α-sin
2α==-,故选D.
2.已知,则2cos
θ+=(　　)
A.sin
θ+cos
θ
B.sin
θ-cos
θ
C.cos
θ-sin
θ
D.3cos
θ-sin
θ
答案A
解析因为,则sin
θ>cos
θ,用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式,可得2cos
θ+=2cos
θ+=2cos
θ+sin
θ-cos
θ=sin
θ+cos
θ.故选A.
3.已知A=(k∈Z),则A的值构成的集合是(　　)
A.{1,-1,2,-2}
B.{-1,1}
C.{2,-2}
D.{1,-1,0,2,-2}
答案C
解析当k为偶数时,A==2;当k为奇数时,A==-2.故选C.
4.已知cos,则sin=.
答案
解析sin=sin+α-=cos
5.已知tan(α-π)=-,则=　　　　　.?
答案
解析根据题意得tan
α=-,故
6.已知α为第二象限角,则cos
+sin
=.
答案0
解析原式=cos
+sin
=cos
+sin
因为α是第二象限角,所以sin
α>0,cos
α<0,
所以cos
+sin
=-1+1=0,即原式等于0.
7.已知sin
α+cos
α=,sin
α>cos
α,则tan
α=.
答案
解析∵sin
α+cos
α=,∴1+2sin
αcos
α=,
即2sin
αcos
α=
又sin2α+cos2α=1,且sin
α>cos
α,
∴sin
α=,cos
α=,tan
α=
8.已知sin
αcos
α=,且<α<,则cos
α-sin
α的值是　　　　　.?
答案-
解析1-2sin
αcos
α=(sin
α-cos
α)2=,
又<α<,sin
α>cos
α,所以cos
α-sin
α=-
9．已知sin(3π＋θ)＝，求＋的值．
解：∵sin(3π＋θ)＝－sin
θ＝，∴sin
θ＝－.
∴原式＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝18.
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