资源简介

3．向心加速度
知识结构导图
核心素养目标
物理观念：向心加速度的概念．
科学思维：用矢量图表示速度变化量与速度间的关系，向心加速度公式的理解及牛顿第二定律的应用．
科学探究：(1)结合加速度定义式，运用数学方法推导向心加速度公式．
(2)矢量方法的运用．
科学态度与责任：匀速圆周运动的性质在日常生活中的应用．
知识点一　匀速圆周运动的加速度方向
阅读教材第31页，第一、二自然段“匀速圆周运动的加速度方向”．
1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，把它叫作向心加速度(centripetal
acceleration)．
2．方向：向心加速度的方向沿半径指向圆心，即向心加速度的方向与速度方向垂直
牛顿第二定律不仅适用于直线运动，对曲线运动同样适用．
　
　
　
　
　知识点二　匀速圆周运动的加速度大小
阅读教材第31页“匀速圆周运动的加速度大小”部分．
1．an＝
2．an＝ω2r
【思考辨析】　判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若地球是标准的球形，则地球上的物体随地球自转产生的向心加速度必指向地心．
(2)汽车雨刷器转动时，杆上各点距离转轴越近，向心加速度越大．(　　)
(3)自行车链条连接的大小齿轮边缘的向心加速度大小与其齿轮半径成反比．(　　)
(4)做匀速圆周运动的物体，向心加速度越大，物体速度方向改变得就越快．(　　)
(5)物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小不能用a＝来计算．(　　)
(6)由向心加速度a＝和a＝ω2r可知，向心加速度既与轨道半径成反比，又与轨道半径成正比．(　　)
向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．
要点一　向心加速度的方向
情景1：如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动．
情景2：如图乙所示，在光滑的水平面上，小球在绳子拉力作用下做匀速圆周运动．
(1)图甲中地球受什么力的作用？这个力沿什么方向？
(2)图乙中的小球受几个力的作用？
(3)地球和小球的受力有什么共同之处？
(4)你能否从理论上论证做圆周运动的物体是否存在加速度？其方向如何？
(5)向心加速度改变线速度的大小吗？
图解：
点睛：不管是直线运动中还是曲线运动中，速度的变化量Δv都是从初速度矢量的末端指向末速度矢量的末端的有向线段.
1．向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变．
2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响．
3．圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动．
【例1】　下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度的方向不一定指向圆心
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
点睛：①向心加速度只描述线速度方向变化的快慢．
②向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，且方向在不断改变．
　
　
　
　
　
　
　
　
　练1　荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，当秋千荡到最高点时，小孩的加速度方向是图中的(　　)
A．a方向
B．b方向
C．c方向
D．d方向　　　　
要点二　向心加速度的表达式及其应用
1．an与r的关系图像
如图甲、乙所示，由an?
r图像可以看出：an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定．
2．向心加速度公式
(1)基本公式：
①an＝；
②an＝ω2r.
(2)拓展公式：
①an＝r;
②an＝4π2n2r.
题型一　向心加速度的分析和计算
点拨：飞机经过P点的速度是线速度，根据a＝计算向心加速度，分析飞机在P点的受力，找到向心力的来源，结合牛顿运动定律求飞行员对座椅的压力．
【例2】　飞机在做俯冲拉起运动时，可以看成是做圆周运动，如图所示，若在最低点附近做半径为R＝240
m的圆周运动，飞行员的质量m＝60
kg，飞机经过最低点P时的速度为v＝360
km/h，试计算：
(1)此时飞机的向心加速度a的大小；
(2)此时飞行员对座椅的压力FN是多大．(g取10
m/s2)
题型二　传动装置中的向心加速度
【例3】　如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A、B、C三点，这三点所在处半径关系为rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC之间的关系是(　　)
A．aA＝aB＝aC
B．aC>aA>aB
C．aCD．aC＝aB>aA
分析此类问题要“看”“找”“选”
练2　如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘的一点，则下列表示E、C、D三点向心加速度大小的关系式中正确的是(　　)
A．aC＝aD＝2aE
B．aC＝2aD＝2aE
C．aC＝＝2aE
D．aC＝＝aE
向心加速度公式的应用技巧
①先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同．
②在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比．
③向心加速度公式an＝和an＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动．
练3　如图所示，假设地球绕地轴自转时，在其表面上有A、B两物体(图中涂阴影的平面表示赤道平面)，图中θ1和θ2已知，则(　　)
A．角速度之比ωA:ωB＝sin
θ1:sin
θ2
B．线速度之比vA:vB＝sin
θ1:cos
θ2
C．周期之比TA:TB＝sin
θ1:sin
θ2
D．A、B两物体的向心加速度之比为sin2θ1:sin2θ2
　
　
　
　
　
　
　
　
练4　如图所示，在光滑水平面上，轻弹簧的一端固定在竖直转轴O上，另一端连接质量为m的小球，轻弹簧的劲度系数为k，原长为L，小球以角速度ω绕竖直转轴做匀速圆周运动(k>mω2)．则小球运动的向心加速度为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．ω2L
B.
C.
D.
思考与讨论　
自行车的大齿轮、小齿轮与后轮
(教材P32)从公式an＝看，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an＝ω2r看，角速度一定时，向心加速度与半径成正比．
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，如图所示．其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释．
提示：B、C两点是同轴转动，角速度相等，由an＝ω2r知两点向心加速度与半径成正比．A、B两点在同一链条上，线速度相等，由an＝知A、B两点向心加速度与半径成反比．
1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．由于a＝，所以线速度大的物体向心加速度大
B．匀速圆周运动中物体的周期保持不变
C．匀速圆周运动中物体的线速度保持不变
D．匀速圆周运动中物体的向心加速度保持不变
2．(多选)如图所示，一圆环以直径AB为轴匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点的向心加速度的方向相同
C．线速度vP>vQ>vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度的方向均不同
3．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4:3，运动方向改变的角度之比是3:2，则它们(　　)
A．线速度大小之比为4:3
B．角速度大小之比为3:4
C．圆周运动的半径之比为2:1
D．向心加速度大小之比为1:2
4．如图所示，以角速度ω匀速转动的圆锥斜面上放着两个物体a、b(视为质点)，转动过程中两个物体没有相对圆锥滑动，其中ha＝2hb，则下列说法正确的是(　　)
A．a、b两物体的线速度相等
B．a、b两物体的角速度之比是1:2
C．a、b两物体的周期之比是1:2
D．a、b两物体的向心加速度之比是2:1
5．滑板运动深受青少年的喜爱．如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2
m的四分之一圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10
m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)．
3．向心加速度
基础导学·研读教材
思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×
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要点一
　提示：(1)受太阳的引力作用．由地球指向太阳．
(2)小球受重力、支持力和绳子的拉力三个力作用．
(3)它们受到的合力都不为零，且方向都指向圆心．
(4)做匀速圆周运动的物体，线速度大小不变但方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变速运动．既然是变速运动，就一定会有加速度．由于做匀速圆周运动的物体所受合外力指向圆心，根据牛顿第二定律，物体的加速度也指向圆心．在理论上可以得出结论：任何做匀速圆周运动的物体一定存在加速度，且加速度方向都指向圆心．
(5)向心加速度是矢量，方向总指向圆心，始终与线速度方向垂直，故向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．
【例1】　【解析】　做匀速圆周运动的物体速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误；向心加速度的方向总是沿着圆周运动轨迹的半径指向圆心，B错误；匀速圆周运动中线速度的变化只表现为线速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，C正确；向心加速度的方向是变化的，D错误．
【答案】　C
练1　解析：当秋千荡到最高点时，小孩的速度为零，沿半径方向的向心加速度为零，加速度方向沿圆弧的切线方向，即图中的b方向，选项B正确．
答案：B
要点二
【例2】　【解析】　(1)v＝360
km/h＝100
m/s
则a＝＝
m/s2＝
m/s2.
(2)对飞行员进行受力分析，则飞行员在最低点受重力和座椅的支持力，向心力由二力的合力提供．
所以FN－mg＝ma
得FN＝mg＋ma
代入数据得FN＝3
100
N
根据牛顿第三定律可知，飞行员对座椅的压力大小也为3
100
N.
【答案】　(1)
m/s2　(2)3
100
N
【例3】　【解析】　A、B两点通过同一条皮带传动，线速度大小相等，即vA＝vB，由于rA>rB，根据a＝可知aArC，根据a＝ω2r可知aC【答案】　C
练2　解析：C、E两点为同轴转动，C、E两点的角速度相等，由an＝ω2r得＝2，即aC＝2aE；两轮边缘点C、D的线速度大小相等，由an＝得＝，即aC＝aD，故C正确．
答案：C
练3　解析：A、B两物体随地球一起转动，角速度相同，根据T＝可知，周期相同，故A、C错误；根据v＝rω可知，角速度相等时，线速度与轨道半径成正比，则vA:vB＝(Rsin
θ1):(Rcos
θ2)＝sin
θ1:cos
θ2，故B正确；根据an＝vω可知，角速度相等时，向心加速度与线速度成正比，则aA:aB＝vA:vB＝sin
θ1:cos
θ2，故D错误．
答案：B
练4　解析：设小球做匀速圆周运动时弹簧长度为L1，此时弹簧的伸长量为L1－L，根据牛顿第二定律得F＝mω2L1，其中F＝k(L1－L)，向心加速度为a＝ω2L1，联立解得a＝，选项B正确．
答案：B
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1．解析：当半径r相同时，线速度大的物体向心加速度大，A错误；做匀速圆周运动的物体周期不变，B正确；线速度和向心加速度都是矢量，在匀速圆周运动中，线速度和向心加速度的大小不变，但方向时刻在变，C、D错误．
答案：B
2．解析：A错，B、C对：R、Q、P三点的轨道圆心都在轴AB上且它们的轨道平面互相平行，因此三点的角速度相同，向心加速度方向也相同且指向轴AB，由a＝rω2可知aP>aQ>aR，又由v＝ωr可知vP>vQ>vR.D错：P、Q、R三点的线速度方向都沿轨迹的切线方向，故它们的线速度方向相同．
答案：BC
3．解析：因为相同时间内它们通过的路程之比为4:3，根据v＝，则A、B的线速度大小之比为4:3，故A正确；运动方向改变的角度之比为3:2，根据ω＝，则角速度大小之比为3:2，故B错误；根据v＝ωr可得圆周运动的半径之比＝·＝×＝，故C错误；根据a＝vω得，向心加速度大小之比＝·＝×＝，故D错误．
答案：A
4．解析：两个物体是同轴传动，角速度相等，所以角速度之比为1:1，根据v＝ωr，结合题图可知，a的线速度大于b的线速度，A、B错误；由T＝可知，a、b两物体的周期相等，故C错误；由于ha＝2hb，结合几何关系可知，ra＝2rb，根据an＝rω2可知，a、b两物体的向心加速度之比等于半径之比，即2:1，D正确．
答案：D
5．解析：运动员在圆弧轨道上做圆周运动，由公式a＝可得，运动员到达C点瞬间的加速度为a1＝
m/s2＝50
m/s2，方向竖直向上；运动员滑过C点后进入水平轨道，做匀速直线运动，加速度a2＝0.
答案：50
m/s2，方向竖直向上　0

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