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4．4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
※必备知识
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3．由函数y＝sin
x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
课堂突破：
考点一
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换
例1
某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)
说明函数f(x)的图象可由y＝sin
x的图象经过怎样的变换而得到的；
(3)
将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
小结：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变换法
由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
注意：平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
变式：1．若函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则满足此条件的φ值为(　　)
A.　　　　　　　B.
C.
D.
2．把函数y＝cos
2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)
例2
（1）
要得到函数的图像，只需要将函数的图像
A．向左平移个单位??
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位???
D．向右平移个单位
（2）已知曲线C1：y＝cos
x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
小结：三角函数图象变换中的4个注意点
1．要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
3．要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin
x到y＝Asin(x＋φ)的变换
4.在选填题目中前后函数已知且名字相同时，可由知道左右平移多少，正数时向左平移，正数时向右平移即可。
变式：1．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象表示的函数解析式为y＝sin
x，则ω＝________，φ＝________.
2.为了得到函数y＝cos
2x的图象，可以将函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
考点二
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例3
（1）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________________.
小结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的方法
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有以下2种:
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
第一点
图象上升时与x轴的交点
ωx＋φ＝0
第二点
图象的“峰点”　　　　　
ωx＋φ＝
第三点
图象下降时与x轴的交点
ωx＋φ＝π
第四点
图象的“谷点”　　　　　
ωx＋φ＝
第五点
ωx＋φ＝2π
变式：
1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)
A．－　　　B．－
C．－
D．－1
2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
考点三
三角函数的图像与性质的综合应用
例4
已知函数f(x)＝sin
x·(cos
x＋sin
x)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
小结：
1．三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
2．三角函数的零点、不等式问题的求解思路
(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)；
(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；
(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．
变式：已知＝(sin
x，－cos
x)，＝(cos
x,
cos
x)，函数f(x)＝＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
例5
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．则实验室这一天的最大温差为________℃.
小结：三角函数模型在实际应用中体现的2个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
变式：如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5　　　　　　B．6
C．8
D．10
课后巩固：
1．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后函数图象的对称轴为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2.若将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．函数的部分图像如图所示，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
4.已知f(x)＝sin
2x＋cos
2x，在直角坐标系下利用“五点法”作f(x)在区间上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是(　　)
A．0，，π，，2π
B．－，0，，，π
C．－，－，，，，
D．－，0，，π，，
5.函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于点对称
7．函数y＝sin
2x－cos
2x的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
8.已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则
A．?2
B．
C．
D．2
9.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
10、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
11．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)
的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安
B．5安
C．5安
D．10安
12.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．
[解析]　作出函数f(x)的简图如图所示，
三角函数模型为：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2
000，B＝7
000，T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3，9
000)看成函数图象的第二个特殊点，
则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2
000sinx＋7
000(1≤x≤12，x∈N
)．
∴f(7)＝2
000×sin＋7
000＝6
000.
故7月份的出厂价格为6
000元．
[答案]　6
000
13.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
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4．4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
※必备知识
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3．由函数y＝sin
x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
课堂突破：
考点一
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换
例1
某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)
说明函数f(x)的图象可由y＝sin
x的图象经过怎样的变换而得到的；
(3)
将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)
把y＝sin
x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y＝5sin的图象．
(3)
由(1)知f(x)＝5sin，则g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin
x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
小结：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变换法
由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
注意：平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
变式：
1．若函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则满足此条件的φ值为(　　)
A.　　　　　　　B.
C.
D.
解析：选C　由题意知，函数y＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)关于直线x＝－对称，
∴2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z)，又∵0＜φ＜π，∴φ＝.
2．把函数y＝cos
2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)
解析：选A　变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A选项正确．
例2
（1）
要得到函数的图像，只需要将函数的图像
A．向左平移个单位??
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位???
D．向右平移个单位
（2）已知曲线C1：y＝cos
x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析]　易知C1：y＝cos
x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
小结：三角函数图象变换中的4个注意点
1．要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
3．要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin
x到y＝Asin(x＋φ)的变换
4.在选填题目中前后函数已知且名字相同时，可由知道左右平移多少，正数时向左平移，正数时向右平移即可。
变式：
1．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象表示的函数解析式为y＝sin
x，则ω＝________，φ＝________.
解析：把y＝sin
x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，所得的图象表示的函数解析式为y＝sin
2x，再将此函数图象向右平移个单位长度可得y＝sin
的图象，即y＝sin，所以ω＝2，φ＝－.
答案：2　－
2.为了得到函数y＝cos
2x的图象，可以将函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选D　因为y＝cos
2x＝sin＝sin
2，所以为了得到函数y＝cos
2x的图象，只需将函数y＝sin＝sin
2的图象向左平移个单位长度即可．
考点二
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例3
（1）已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
解析：法一
由题图可知A＝2，T＝2×＝4π，故＝4π，解得ω＝.
所以f(x)＝2sin.把点代入可得2sin＝2，
即sin＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又0＜φ＜π，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.
法二
五点对应法
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________________.
解析：依题意得
＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin
φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin.
小结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的方法
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有以下2种
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
第一点
图象上升时与x轴的交点
ωx＋φ＝0
第二点
图象的“峰点”　　　　　
ωx＋φ＝
第三点
图象下降时与x轴的交点
ωx＋φ＝π
第四点
图象的“谷点”　　　　　
ωx＋φ＝
第五点
ωx＋φ＝2π
变式：
1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值为(　　)
A．－　　　B．－
C．－
D．－1
解析：选D　由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.由f＝sin＝－，|φ|＜，得φ＝，则f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝－1.
2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
解析：选D　由图象可得，A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝＝＝.
所以f(x)＝2sin.由函数的对称性得f(2)＝－2，
即f(2)＝2sin＝－2，即sin＝－1，
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．
因为|φ|＜π，所以k＝0，φ＝－.故函数的解析式为f(x)＝2sin.
考点三
三角函数的图像与性质的综合应用
例4
已知函数f(x)＝sin
x·(cos
x＋sin
x)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin
2x－cos
2x＋＝sin＋，
故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)关于x的方程f(x)＝t在区间内有两个不相等的实数解，等价于y＝f(x)与y＝t的图象在区间内有两个不同的交点．
因为x∈，所以2x－∈.
因为y＝sin
x在上是增函数，在上是减函数，
所以f(x)在上是增函数，在上是减函数．
又因为f(0)＝0，f＝1＋，f＝，
结合图象可知，≤t＜1＋，故实数t的取值范围为.
小结：
1．三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
2．三角函数的零点、不等式问题的求解思路
(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)；
(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；
(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．
变式：已知＝(sin
x，－cos
x)，＝(cos
x,
cos
x)，函数f(x)＝＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
解：(1)∵f(x)＝sin
xcos
x－cos2x＋
＝sin
2x－(cos
2x＋1)＋
＝sin
2x－cos
2x
＝sin，
∴f(x)的最小正周期为π，令sin＝0，
得2x－＝kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，
故所求对称中心的坐标为，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，故f(x)的值域为.
例5
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．则实验室这一天的最大温差为________℃.
解析：因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t＜24，所以≤t＋＜，所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12
℃，最低温度为8
℃，最大温差为4
℃.
小结：三角函数模型在实际应用中体现的2个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
变式：如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5　　　　　　B．6
C．8
D．10
解析：选C　由题图可知－3＋k＝2，即k＝5，y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.
课后巩固：
1．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后函数图象的对称轴为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B．
2.若将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】将函数的图像向右平移个周期，即向右平移个单位，故所得图像对应的函数为．故选D．
3．函数的部分图像如图所示，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】由图知，，周期，所以，所以，
因为图象过点，所以，所以，所以，令得，，所以，故选A．
4.已知f(x)＝sin
2x＋cos
2x，在直角坐标系下利用“五点法”作f(x)在区间上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是(　　)
A．0，，π，，2π
B．－，0，，，π
C．－，－，，，，
D．－，0，，π，，
解析：选C　由题意知f(x)＝2sin，当x∈时，2x＋∈，当2x＋＝－，0，，π，，时，x的值分别为－，－，，，，.
5.函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
解析：选A　令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.
6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于点对称
解析：选B　∵f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，ω＝2，
∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，
又g(x)的图象关于原点对称，∴－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|＜，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
当x＝时，2x－＝－，∴A，C错误；
当x＝时，2x－＝，∴B正确，D错误．
7．函数y＝sin
2x－cos
2x的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　由题意知y＝sin
2x－cos
2x＝2sin，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又因为φ∈，所以φ＝.
8.已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则
A．?2
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
∵的最小正周期为π，∴，
∴
又，∴，∴，故选C.
9.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，
则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.故选A.
10、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
11．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)
的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安
B．5安
C．5安
D．10安
解析：选A　由图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．
又为五点中的第二个点，∴100π×＋φ＝.∴φ＝.
∴I＝10sin，当t＝秒时，I＝－5安．
12.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．
[解析]　作出函数f(x)的简图如图所示，
三角函数模型为：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2
000，B＝7
000，T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3，9
000)看成函数图象的第二个特殊点，
则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2
000sinx＋7
000(1≤x≤12，x∈N
)．
∴f(7)＝2
000×sin＋7
000＝6
000.
故7月份的出厂价格为6
000元．
[答案]　6
000
13.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
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