资源简介

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4.5
三角恒等变换（1）－－和、差、倍、半
※必备公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sin_αcos_α；
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan
2α＝.
3．公式的常用变形
(1)tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
αtan
β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2，
1－sin
2α＝(sin
α－cos
α)2，
sin
α±cos
α＝sin.
4.常用结论
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos
2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
αtan
β)．
(4)辅助角公式：asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ).
（5）万能公式：sin
α＝;cos
α＝;tan
α＝.
课堂突破
考点一
三角公式的直接应用
例1
(1)已知sin
α＝，α∈，tan
β＝－，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－　　
　　　B.
C.
D．－
(2)若sin＝，且≤α≤π，则sin
2α的值为(　　)
A．－
B．－
C.
D.
小结：应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
（4）特别注意角的范围在隐藏条件中的应用.
变式：1．已知sin
α＝＋cos
α，且α∈，则的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
2．已知sin
α＝，且α∈，则sin的值为________．
考点二
三角函数公式的逆用与变形用
例2
（1）已知θ∈，且sin
θ－cos
θ＝－，则＝(　　)
A.　　　
　　B.
C.
D.
（2）计算：的值为(　　)
A．－
B．
C．
D．－
（3）计算：tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°＝________.
小结：1．三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan
αtan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
变式：
1．sin
5°cos
55°－cos
175°sin
55°的值是(　　)
A．－
B．
C．－
D．
2.计算：tan
25°＋tan
35°＋tan
25°tan
35°＝________.
考点三
角的变换与名的变换
例3
（1）若sin＝，则cos＝(　　)
A．－
B．－
C．
D．
（2）
已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)．
（3）已知α，β为锐角，tan
α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos
2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
小结：1.利用角的变换求三角函数值的策略
(1)
当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”或是直接用换元法求解最快；
(2)
当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（3）注意题目条件中给出范围时必用角的范围，若条件中没有给出角的范围，有可能不用角的范围，但要注意隐藏的条件影响三角函数值.
2.三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
变式：已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan的值为(　　)
A．　　　
　B．
C．
D．
课后巩固：
1．若，则
A．
B．
C．
D．
2．
(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
3．若，是第三象限的角，则（　）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．已知，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．已知，则＝（
）
A．
B．
C．
D．
9．若，则的值为(
　
)
Ａ．
Ｂ．
　Ｃ．
Ｄ．
10．(
　
)
A．
B．
C．
D．
11．若，是第三象限的角，则(
)
（A）
（B）
（C）
2
（D）
12．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则＝（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
13.已知a∈（0，），2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝（
）
A．
B．
C．
D．
14．设且则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
15．已知是第四象限角，且，则
．
16.已知，，则＝__________．
17．函数的最大值是
。
18.已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________.
19．已知，则的值是
.
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4.5
三角恒等变换（1）－－和、差、倍、半
※必备公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sin_αcos_α；
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan
2α＝.
3.常用结论
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos
2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
αtan
β)．
(4)辅助角公式：asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ).
（5）万能公式：sin
α＝;cos
α＝;tan
α＝.
课堂突破
考点一
三角公式的直接应用
例1
(1)已知sin
α＝，α∈，tan
β＝－，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－　　
　　　B.
C.
D．－
解析：因为sin
α＝，α∈，所以cos
α＝－＝－，所以tan
α＝＝－.
所以tan(α－β)＝＝－.
(2)若sin＝，且≤α≤π，则sin
2α的值为(　　)
A．－
B．－
C.
D.
解析：因为sin(π－α)＝sin
α＝，≤α≤π，
所以cos
α＝－＝－，
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－.
小结：应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
（4）特别注意角的范围在隐藏条件中的应用.
变式：已知sin
α＝，且α∈，则sin的值为________．
解析：因为sin
α＝，且α∈，所以α∈，
所以cos
α＝－＝－
＝－.
因为sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，cos
2α＝2cos2α－1＝－.
所以sin＝sin
2αcos＋cos
2αsin＝－.
考点二
三角函数公式的逆用与变形用
例2
（1）计算：的值为(　　)
A．－
B．
C．
D．－
解析：选B　＝＝＝＝.
（2）计算：tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°＝________.
解析：∵tan(20°＋40°)＝，
∴－tan
20°tan
40°＝tan
20°＋tan
40°，
即tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°＝.
答案：
（3）已知θ∈，且sin
θ－cos
θ＝－，则＝(　　)
A.　　　
　　B.
C.
D.
解析：选D　由sin
θ－cos
θ＝－得sin＝，
∵θ∈，∴0＜－θ＜，∴cos＝.
＝＝＝＝2cos＝.
小结：1．三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan
αtan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
变式：
1．sin
5°cos
55°－cos
175°sin
55°的值是(　　)
A．－
B．
C．－
D．
解析：选D　sin
5°cos
55°－cos
175°sin
55°＝sin
5°cos
55°＋cos
5°sin
55°＝sin
60°＝.
2.计算：tan
25°＋tan
35°＋tan
25°tan
35°＝________.
解析：原式＝tan(25°＋35°)(1－tan
25°tan
35°)＋tan
25°·tan
35°＝(1－tan
25°tan
35°)＋tan
25°tan
35°＝.
3．已知sin
α＝＋cos
α，且α∈，则的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A　因为sin
α＝＋cos
α，所以sin
α－cos
α＝，
所以＝＝＝＝－.
考点三
角的变换与名的变换
例3
（1）若sin＝，则cos＝(　　)
A．－
B．－
C．
D．
解析：选A　cos＝cos＝－cos＝－＝－.
（2）
已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)．
解：∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝
＝，
sin＝
＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
（3）已知α，β为锐角，tan
α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos
2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解析：　(1)因为tan
α＝，tan
α＝，所以sin
α＝cos
α
.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
所以cos
2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β
为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈.
所以sin(α＋β)＝＝，所以tan(α＋β)＝－2.
因为tan
α＝，所以
tan
2α＝＝－.
所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
小结：1.利用角的变换求三角函数值的策略
(1)
当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”或是直接用换元法求解最快；
(2)
当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（3）注意题目条件中给出范围时必用角的范围，若条件中没有给出角的范围，有可能不用角的范围，但要注意隐藏的条件影响三角函数值.
2.三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
变式：1.已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan的值为(　　)
A．　　　
　B．
C．
D．
解析：选B　tan＝tan
＝＝＝.
2.
设sin
α＝2cos
α，则tan
2α的值为________．
解析：由题可知，tan
α＝＝2，∴tan
2α＝＝－.
课后巩固：
1．若，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】.故选B.
2．
(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】，选D．
3．若，是第三象限的角，则（　）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】．故选A
4．已知，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】，故选A．
5．若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】因为，所以，两边平方得，．故选D．
解法二：
，且
，故选D．
6．若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】．故选D．
7．若，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】故选A．
8．已知，则＝（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】．所以选A．
9．若，则的值为(
　
)
Ａ．
Ｂ．
　Ｃ．
Ｄ．
【解析】选C
10．(
　
)
A．
B．
C．
D．
【解析】，选C
11．若，是第三象限的角，则(
)
（A）
（B）
（C）
2
（D）
【解析】由已知得，所以，又属于第二或第四象限，故由解得，从而．选A
解法二：．选A
12．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则＝（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】由题知，，选B
13.已知a∈（0，），2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
14．设且则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】∵，∴
，
∴，即，选B
15．已知是第四象限角，且，则
．
【解析】由题意．
因为，所以，
从而，因此．故填．
评注：此处的角还可由缩小至，但没必要．
另外，还可利用来进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故，所以．
16.已知，，则＝__________．
【解析】，又，解得，．
【解法2】，，角的终边过，故，，其中，．
17．函数的最大值是
。
【解析】∵
，，
∴
，设，∴
，函数对称轴为，∴
．
18.已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin
α＋cos
β＝1，①
cos
α＋sin
β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＋1＝1，
∴sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
19．已知，则的值是
▲
.
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.
，
当时，上式
当时，上式＝
综上，
【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
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