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4.5三角恒等变换（2）－－－化简求值
例1　(1)
等于(　　)
A．－sin
α　　　　B．－cos
α
C．sin
α
D．cos
α
解析：原式＝＝＝cos
α.
(2)化简：
－2cos(α＋β)．
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
小结：1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
变式：1．化简：＝________.
解析：原式＝＝2cos
α.
答案：2cos
α
2．（选做）化简：(0＜θ＜π)．
解：原式＝
＝cos·＝.
∵0＜θ＜π，∴0＜＜，∴cos＞0，∴原式＝－cos
θ.
考法(一)　给角求值
例2　的值是________．
解析：原式＝＝＝＝2.
小结：三角函数给角求值问题的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
变式：1.化简：sin
50°(1＋tan
10°)＝________.
解析：sin
50°(1＋tan
10°)
＝sin
50°
＝sin
50°×
＝sin
50°×
＝＝＝＝1.
2．求值：＝(　　)
A．1　　　　B．2
C.
D.
解析：选C　原式＝
＝＝
＝
＝＝＝.答案比较麻烦，用下面的策略会更加单。
根号的处理策略：
对于出现正弦的:
对于出现余弦的:，
正余弦可以互换，未必采用题目的形式。
考法(二)　给值求值
例3　已知sin＝，α∈，求sin的值．
解析：∵α∈，cos
α＝－，∴sin
α＝，
∴cos
2α＝1－2sin2α＝－，sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，
∴sin＝sin
2αcos－cos
2αsin＝－.
小结：三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
变式：(2018·宁波十校联考)已知tan＝3，则sin
2α的值为(　　)
A．－　　　　B．
C．－
D．
解析：选B　因为tan＝＝3，所以tan
α＝.所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝＝＝＝.
考法(三)　给值求角
例4
若sin
2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A.　　　　　　B.
C.或
D.或
解析：　∵α∈，∴2α∈，
∵sin
2α＝，∴2α∈.
∴α∈且cos
2α＝－.
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos
2α－sin(β－α)sin
2α
＝×－×＝，
又∵α＋β∈，∴α＋β＝.
[答案]　A
小结：三角函数给值求角问题的解题策略
(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是，选正弦函数较好．
(2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围．
变式：已知锐角α，β满足sin
α＝，cos
β＝，则α＋β等于(　　)
A.
B.或
C.
D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选C　由sin
α＝，cos
β＝，且α，β为锐角，
可知cos
α＝，sin
β＝，
故cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝，
又0＜α＋β＜π，故α＋β＝.
例5
(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解析：(1)因为f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x
＝－cos
2x＋sin
2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1，
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
小结：三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)利用诱导公式将f(x)化为asin
x＋bcos
x的形式；
(2)构造f(x)＝；
(3)和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
（4）利用倍半角公式将f(x)化成asin
x＋bcos
x的形式；
(4)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质.
变式：
1．已知ω＞0，函数f(x)＝sin
ωxcos
ωx＋cos2ωx－的最小正周期为π，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)＝cos
2x的图象
D．当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－
解析：选D　因为f(x)＝sin
ωxcos
ωx＋cos2ωx－＝sin
2ωx＋cos
2ωx＝sin，所以T＝＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝sin.对于A，因为f＝0，所以不正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故不正确；对于C，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数y＝f＝sin＝sin
2x，所以不正确；对于D，当x∈时，2x＋∈，所以f(x)∈，故正确．故选D.
2．已知函数f(x)＝4sin
xcos－.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
解：(1)f(x)＝4sin
xcos－
＝4sin
x－
＝2sin
xcos
x＋2sin2x－
＝sin
2x＋(1－cos
2x)－
＝sin
2x－cos
2x
＝2sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．
课后巩固：
1．已知sin
2α＝，则cos2＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
解析：选D　依题意得cos2＝(cos
α＋sin
α)2＝(1＋sin
2α)＝.
2．已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于(　　
)
A．－
B．
C．－
D．
解析：选D　∵cos
α＝，2α∈，
∴cos
2α＝2cos2α－1＝－，
sin
2α＝＝，
又∵cos(α＋β)＝－，α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos
2αcos(α＋β)＋sin
2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
3．化简：＝(　　)
A．1
B.
C.
D．2
解析：选C　原式＝＝＝＝
.
4．若α∈，且3cos
2α＝sin，则sin
2α的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
解析：选C　由3cos
2α＝sin，可得3(cos2α－sin2α)＝(cos
α－sin
α)，又由α∈，可知cos
α－sin
α≠0，于是3(cos
α＋sin
α)＝，所以1＋2sin
αcos
α＝，故sin
2α＝－.
5．若α∈，β∈，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选C　∵0＜α＜，∴＜＋α＜，
∴sin＝.
又－＜β＜0，则＜－＜，
∴sin＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
6．设sin
α＝2cos
α，则tan
2α的值为________．
解析：由题可知，tan
α＝＝2，∴tan
2α＝＝－.
答案：－
7．(2019·衢州模拟)已知tan＝2，则的值为________．
解析：由tan＝＝2，解得tan
x＝，所以＝＝.
答案：
8．若锐角α，β满足tan
α＋tan
β＝－tan
αtan
β，则α＋β＝________.
解析：由已知可得＝，
即tan(α＋β)＝.
又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：
9．已知cos＝－，则cos
x＋cos＝________.
解析：cos
x＋cos＝cos
x＋cos
x＋sin
x＝cos
x＋sin
x＝cos＝×＝－1.
答案：－1
10．(2019·杭州七校联考)已知α，β∈(0，π)，且tan
α＝2，cos
β＝－.
(1)求cos
2α的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)cos
2α＝cos2α－sin2α＝＝.
因为tan
α＝2，所以cos
2α＝＝－.
(2)因为α∈(0，π)，tan
α＝2，
所以α∈.
因为cos
2α＝－，所以2α∈，sin
2α＝.
因为β∈(0，π)，cos
β＝－，
所以sin
β＝且β∈.
所以sin(2α－β)＝sin
2αcos
β－cos
2αsin
β＝×－×＝－.
因为2α－β∈，所以2α－β＝－.
11．已知函数f(x)＝2sin
xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＝2sin
x＝×＋sin
2x＝sin＋，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，2x－∈，
sin∈，f(x)∈.
故f(x)的值域为.
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4.5三角恒等变换（2）－－－化简求值
例1　(1)
等于(　　)
A．－sin
α　　　　B．－cos
α
C．sin
α
D．cos
α
(2)化简：
－2cos(α＋β)．
小结：1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
变式：1．化简：＝________.
2．（选做）化简：(0＜θ＜π)．
考法(一)　给角求值
例2　的值是________．
小结：三角函数给角求值问题的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
变式：1.化简：sin
50°(1＋tan
10°)＝________.
2．求值：＝(　　)
A．1　　　　B．2
C.
D.
考法(二)　给值求值
例3　已知sin＝，α∈，求sin的值．
小结：三角函数给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或已知条件；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
变式：(2018·宁波十校联考)已知tan＝3，则sin
2α的值为(　　)
A．－　　　　B．
C．－
D．
考法(三)　给值求角
例4
若sin
2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A.　　　　　　B.
C.或
D.或
小结：三角函数给值求角问题的解题策略
(1)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是，选正弦函数较好．
(2)注意讨论所求角的范围，及解题过程中角的范围．
变式：已知锐角α，β满足sin
α＝，cos
β＝，则α＋β等于(　　)
A.
B.或
C.
D．2kπ＋(k∈Z)
例5
(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
小结：三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)利用诱导公式将f(x)化为asin
x＋bcos
x的形式；
(2)构造f(x)＝；
(3)和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
（4）利用倍半角公式将f(x)化成asin
x＋bcos
x的形式；
(4)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质.
变式：
1．已知ω＞0，函数f(x)＝sin
ωxcos
ωx＋cos2ωx－的最小正周期为π，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)＝cos
2x的图象
D．当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－
2．已知函数f(x)＝4sin
xcos－.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
课后巩固：
1．已知sin
2α＝，则cos2＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
2．已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于(　　
)
A．－
B．
C．－
D．
3．化简：＝(　　)
A．1
B.
C.
D．2
4．若α∈，且3cos
2α＝sin，则sin
2α的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
5．若α∈，β∈，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
6．设sin
α＝2cos
α，则tan
2α的值为________．
7．(2019·衢州模拟)已知tan＝2，则的值为________．
8．若锐角α，β满足tan
α＋tan
β＝－tan
αtan
β，则α＋β＝________.
9．已知cos＝－，则cos
x＋cos＝________.
10．(2019·杭州七校联考)已知α，β∈(0，π)，且tan
α＝2，cos
β＝－.
(1)求cos
2α的值；
(2)求2α－β的值．
11．已知函数f(x)＝2sin
xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
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