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4.6正余弦定理（2）－－－－面积及最值问题
※必备知识
三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin
A＝acsin
B＝absin
C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
注意：
课堂突破
考点一
三角形的面积求解
例1
(1)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos
B＝，则△ABC的面积等于(　　)
A．3　　　
　B.
C．9
D.
解析：(1)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，代入数据，得a＝3，又cos
B＝，B∈(0，π)，所以sin
B＝，所以S△ABC＝acsin
B＝.
法二：由cos
B＝，B∈(0，π)，得sin
B＝，由正弦定理＝及b＝，c＝4，可得sin
C＝1，所以C＝，所以sin
A＝cos
B＝，所以S△ABC＝bcsin
A＝.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则B＝________.
解析：由余弦定理得cos
B＝，
∴a2＋c2－b2＝2accos
B.
又∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin
B＝×2accos
B，
∴tan
B＝，∵B∈，∴B＝.
小结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
变式：1.本例(1)的条件变为：若c＝4，sin
C＝2sin
A，sin
B＝，则S△ABC＝________.
解析：因为sin
C＝2sin
A，所以c＝2a，所以a＝2，所以S△ABC＝acsin
B＝×2×4×＝.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos
C＝ccos
A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得(2sin
B－sin
A)cos
C＝sin
Ccos
A，　
即2sin
Bcos
C＝sin
Acos
C＋sin
Ccos
A＝sin(A＋C)＝sin
B，
∵B∈(0，π)，∴sin
B＞0，∴cos
C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由(1)知，C＝，故S＝absin
C＝absin＝，解得ab＝.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
又c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×＝25，得a＋b＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋3＝8.
考点二
三角形中的范围与最值问题
例2　(1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sin
C＋sin(B－A)＝sin
2A，则角A的取值范围为(　　)
A.　　　
　　B.
C.
D.
解析：法一：在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin
2A，即2sin
Bcos
A＝2sin
Acos
A，因为A≠，所以cos
A≠0，所以sin
B＝sin
A，由正弦定理得，b＝a，所以A为锐角．又因为sin
B＝sin
A∈(0,1]，所以sin
A∈，所以A∈.
法二：在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin
2A，即2sin
Bcos
A＝2sin
Acos
A，因为A≠，所以cos
A≠0，所以sin
B＝sin
A，由正弦定理得，b＝a，所以A为锐角．所以，当且仅当时，取“＝”，所以A∈.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos
2A＋cos
2B＝2cos
2C，则cos
C的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D．－
解析：因为cos
2A＋cos
2B＝2cos
2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos
C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.
小结：1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，
已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
变式：1．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos
A＝bsin
A，则sin
A＋sin
C的最大值为(　　)
A.
B.
C．1
D.
解析：∵acos
A＝bsin
A，由正弦定理可得，sin
Acos
A＝sin
Bsin
A，∵sin
A≠0，∴cos
A＝sin
B，又B为钝角，∴B＝A＋，sin
A＋sin
C＝sin
A＋sin(A＋B)＝sin
A＋cos
2A＝sin
A＋1－2sin2A＝－22＋，∴sin
A＋sin
C的最大值为.
2．在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin
Asin
B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．
解析：法一：∵sin2A＋sin2B－sin
Asin
B＝sin2C，∴a2＋b2－ab＝c2，∴cos
C＝＝，又∵C∈(0，π)，∴C＝.由正弦定理可得＝＝＝，∴a＝sin
A，b＝sin
B．又∵B＝－A，∴a＋b＝sin
A＋sin
B＝sin
A＋sin＝4sin.又∵A∈，∴A＋∈，∴sin∈，∴a＋b∈(2,4]．
法二：余弦定理
法三：数形结合法（外接圆）
此类型为典型的一角一对边的解答方式，三种解答策略，如上，法一为通性通法，法二有局限性，法三适合与选填题目，若改成的范围时，只能用法一了，本题还可以考查面积的最值问题，乘积如的最值问题等。
课堂巩固
1．的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】因为，所以．由正弦定理得，解得．
所以三角形的面积为．
因为，
所以，选B．
2．钝角的面积是，，，则(
)
A．
5
B．
C．2
D．1
【解析】∵，即，
∴，即或．
又∵，∴或5，
又∵为钝角三角形，∴，即：．
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos
A＝，3sin
B＝2sin
C，且△ABC的面积为2，则a＝(　　)
A．2
B．3
C．2
D．
解析：选B　因为cos
A＝，所以sin
A＝.因为3sin
B＝2sin
C，所以3b＝2c.所以S△ABC＝2＝bcsin
A＝b2×，解得b＝2，所以c＝3.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos
A＝4＋9－2×2×3×＝9，解得a＝3.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S＝2cos
C，a＝1，b＝2，则c＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　由题意得，S＝absin
C＝2cos
C，所以tan
C＝2，所以cos
C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝17，所以c＝.
5．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围是(　　)
A．(0,1)
B．(1，)
C．(，)
D．(0,2)
解析：选C　因为A＝2B，所以＜B＜.由正弦定理，得＝＝＝2cos
B∈(，)．
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin
A∶sin
B∶sin
C＝2∶3∶4，则cos
C＝________；当a＝1时，△ABC的面积S＝________.
解析：由正弦定理可知，a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2t，b＝3t，c＝4t，由余弦定理可得cos
C＝＝－，所以sin
C＝.因为a＝1，所以b＝，所以S＝absin
C＝.
7．在中，，，则的面积为
．
【解析】由余弦定理得,所以BC＝3，有面积公式得S＝
8．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．
【解析】由且
，即，由及正弦定理得：，∴，故，∴，∴，，∴，
9.在△ABC中，B＝60°，AC＝，则△ABC的周长的最大值为________．
解析：由正弦定理得＝＝＝，即＝＝2，则BC＝2sin
A，AB＝2sin
C，又△ABC的周长l＝BC＋AB＋AC＝2sin
A＋2sin
C＋＝2sin(120°－C)＋2sin
C＋＝2sin
120°cos
C－2cos
120°sin
C＋2sin
C＋＝
cos
C＋3sin
C＋＝2＋＝2sin＋，故△ABC的周长的最大值为3.
10．在中，，则的最大值为
．
【解析】，，
；
，故最大值是
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，C为钝角时，则的取值范围是________．
解析：∵B＝且C为钝角，∴C＝－A＞，∴0＜A＜.由正弦定理得＝＝＝＋·.
∵0＜tan
A＜，∴＞，
∴＞＋×＝2，即＞2.
答案：(2，＋∞)
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知B≠，sin
A＝sin(B－C)＋2sin
2B.
(1)求证：c＝2b；
(2)若△ABC的面积为S＝5b2－a2，求tan
A的值．
解：(1)证明：由sin
A＝sin(B－C)＋2sin
2B，
得sin(B＋C)＝sin(B－C)＋4sin
Bcos
B，
化简可得cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
B.
因为B≠，所以sin
C＝2sin
B.所以c＝2b.
(2)因为△ABC的面积为S＝5b2－a2，
所以bcsin
A＝5b2－a2.
因为c＝2b，所以b2sin
A＝5b2－a2.
因为a2＝b2＋c2－2bccos
A＝5b2－4b2cos
A，
所以b2sin
A＝4b2cos
A，解得tan
A＝4.
13．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝.
(1)求b的值；
(2)若cos
B＋sin
B＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意及正、余弦定理得＋＝，整理得＝，所以b＝.
法二：正弦定理更好理解
(2)由题意得cos
B＋sin
B＝2sin＝2，
所以sin＝1，
因为B∈(0，π)，所以B＋＝，所以B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B，
所以3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
即ac≤3，当且仅当a＝c＝时等号成立．
所以△ABC的面积S△ABC＝acsin
B＝ac≤，
当且仅当a＝c＝时等号成立．
故△ABC面积的最大值为.
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4.6正余弦定理（2）－－－－面积及最值问题
※必备知识
三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin
A＝acsin
B＝absin
C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
注意：
课堂突破
考点一
三角形的面积求解
例1
(1)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos
B＝，则△ABC的面积等于(　　)
A．3　　　
　B.
C．9
D.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，则B＝________.
小结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
变式：1.本例(1)的条件变为：若c＝4，sin
C＝2sin
A，sin
B＝，则S△ABC＝________.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos
C＝ccos
A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
考点二
三角形中的范围与最值问题
例2　(1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sin
C＋sin(B－A)＝sin
2A，则角A的取值范围为(　　)
A.　　　
　　B.
C.
D.
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos
2A＋cos
2B＝2cos
2C，则cos
C的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D．－
小结：1．三角形中的最值、范围问题的解题策略
解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．
2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点
(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，
已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
变式：1．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos
A＝bsin
A，则sin
A＋sin
C的最大值为(　　)
A.
B.
C．1
D.
2．在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin
Asin
B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．
课堂巩固
1．的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．钝角的面积是，，，则(
)
A．
5
B．
C．2
D．1
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos
A＝，3sin
B＝2sin
C，且△ABC的面积为2，则a＝(　　)
A．2
B．3
C．2
D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S＝2cos
C，a＝1，b＝2，则c＝(　　)
A.
B.
C.
D.
5．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则的取值范围是(　　)
A．(0,1)
B．(1，)
C．(，)
D．(0,2)
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin
A∶sin
B∶sin
C＝2∶3∶4，则cos
C＝________；当a＝1时，△ABC的面积S＝________.
7．在中，，，则的面积为
．
8．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．
9.在△ABC中，B＝60°，AC＝，则△ABC的周长的最大值为________．
10．在中，，则的最大值为
．
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，C为钝角时，则的取值范围是________．
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知B≠，sin
A＝sin(B－C)＋2sin
2B.
(1)求证：c＝2b；
(2)若△ABC的面积为S＝5b2－a2，求tan
A的值．
13．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝.
(1)求b的值；
(2)若cos
B＋sin
B＝2，求△ABC面积的最大值．
所以△ABC的面积S△ABC＝acsin
B＝ac≤，
当且仅当a＝c＝时等号成立．
故△ABC面积的最大值为.
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