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4.6
正余弦定理（3）－－平面图形中的计算问题及综合应用
课堂突破
考点一
平面图形中的计算问题
例1
　如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
小结：与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
注意：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
变式：1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C的值为________．
2.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
考点二
综合应用
例2
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin
A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
变式：(2018·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin
C＝asin
A，求△ABC的面积．
课后巩固
1．在中，，边上的高等于，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
3.在中，为边上一点，，，，若的面积为，则_______．
4．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得
点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________．
已知分别为三个内角的对边，，
（1）求;（2）若，的面积为，求．
6．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)
求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
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4.6
正余弦定理（3）－－平面图形中的计算问题及综合应用
课堂突破
考点一
平面图形中的计算问题
例1
　如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
解析：
(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，
①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，
由正弦定理得＝，即＝，②
①②两式相除，得＝，即4＝sin
θ，
整理得sin
θ＝2cos
θ.
又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin
θ＝，即sin∠CAD＝.
小结：与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
注意：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
变式：1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C的值为________．
解析：设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，
∴AD＝a，BD＝，BC＝.
在△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.
在△BDC中，＝，
∴sin
C＝＝.
2.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．
解：设∠CED＝α.
因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，
所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，
又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.
(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，
即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，
解得CD＝2(CD＝－3舍去)．
在△CDE中，由正弦定理得＝，
于是sin
α＝＝＝，即sin∠CED＝.
(2)由题设知0＜α＜，由(1)知cos
α＝＝＝，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，
所以cos∠AEB＝cos＝coscos
α＋sinsin
α＝－×＋×＝.
在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.
考点二
综合应用
例2
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin
A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解析：　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin
A＝asin
B.
又因为bsin
A＝acos，所以asin
B＝acos，
即sin
B＝cos
B＋sin
B，所以tan
B＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos
B＝7，故b＝.
由bsin
A＝acos，可得sin
A＝.
因为a＜c，所以cos
A＝.
所以sin
2A＝2sin
Acos
A＝，cos
2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin
2Acos
B－cos
2Asin
B
＝×－×＝.
变式：已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin
C＝asin
A，求△ABC的面积．
解析：(1)f(x)＝cos2x－sin
xcos
x－＝－sin
2x－＝－sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又∵x∈[0，π]，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
(2)由(1)知f(x)＝－sin，∴f(A)＝－sin＝－1，
∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜，
∴－＜2A－＜，∴2A－＝，即A＝.
又∵bsin
C＝asin
A，∴bc＝a2＝4，∴S△ABC＝bcsin
A＝.
课后巩固
1．在中，，边上的高等于，则（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【解析】解法一：，，所以，，
，所以．故选D．
解法二：由，知．由，则，．由正弦定理知，则．故选D．
2．在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.
【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.
3.在中，为边上一点，，，，若的面积为，则_______．
【解析】设，则，由已知条件有
，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以．
4．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得
点的仰角，点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________．
【解析】在RtΔABC中，由条件可得，在ΔMAC中，∠MAC＝45°；由正弦定理可得，故，在直角RtΔMAN中，MN＝AMsin60°＝150．
5.已知分别为三个内角的对边，，
（1）求;（2）若，的面积为，求．
【解析】（1）
（2）
解得
6．中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)
求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
【解析】（Ⅰ），，因为，，所以，由正弦定理可得．
（Ⅱ）因为，，所以，在和中，
由余弦定理知，，，
故，由（Ⅰ）知，所以．
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