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第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．命题p∧q，p∨q，?p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
?p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
?
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
?
3.全称命题和特称命题
名称形式　　
全称命题
特称命题
语言表示
对M中任意一个x，有p(x)成立
M中存在元素x0，使p(x0)成立
符号表示
?x∈M，p(x)
?x0∈M，p(x0)
否定
?x0∈M，?p(x0)
?x∈M，?p(x)
1．一种关系
逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．两类否定
(1)?(p∧q)?(?p)∨(?q).
(2)?(p∨q)?(?p)∧(?q).
3．三句口诀
p∧q全真为真，p∨q有真即真，?p与p真假相反．
1．(基础知识：复合命题真假)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题?p，?q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)
A．1　　
　　
B．2
C．3　　
　　
D．4
答案：B
2．(基础知识：特称命题的否定)设命题p：?n0∈N，n＞，则?p为(　　)
A．?n∈N，n2＞2n
B．?n0∈N，n≤
C．?n∈N，n2≤2n
D．?n0∈N，n＝
答案：C
3．(基本方法：判断命题真假)已知命题p：对任意x∈R，总有4x>0；命题q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q
B．(?p)∧(?q)
C．(?p)∧q
D．p∧(?q)
答案：D
4．(基本能力：含有量词命题的真假)给出下列命题：
①?x∈N，x3＞x2；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
③?x0∈R，x－x0＋1≤0；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直，
则以上命题的否定中，真命题的序号为________．
答案：①②③
5．(基本应用：求参数)已知命题p：x2－5x＋4≤0，q：＜1.若(?q)∧p是真命题，则x的取值范围是________．
答案：[2，3]
题型一　含有逻辑联结词的命题真假　
　　　　
　　　　　　　　　
1．(2021·太原模拟)已知命题p：?x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a＜b，则＞，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q
B．p∧(?q)
C．(?p)∧q
D．(?p)∧(?q)
解析：x2－x＋1＝＋≥＞0，所以?x0∈R，使x－x0＋1≥0成立，故p为真命题，?p为假命题．又易知命题q为假命题，所以?q为真命题，可知p∧(?q)为真命题．
答案：B
2．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则(　　)
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．?p是真命题
D．?q是真命题
解析：因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，
所以p是真命题；
因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题，
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，?p为假命题，?q为真命题．
答案：D
3．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是__________．(填序号)
①p为真命题；②?q为假命题；
③p∧q为假命题；④p∨q为真命题；
⑤(?p)∧(?q)为真命题；⑥?(p∨q)为真命题．
解析：p、q均为假命题，故?q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为假命题，(?p)∧(?q)为真命题，?(p∨q)为真命题．
答案：③⑤⑥
?方法总结?
复合命题的真假判断
方法
解读
适合题型
直接法
(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假
能够顺利分解为简单命题
转化法
根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性
原命题的真假性不易判断
　　
题型二　全称命题、特称命题　
　　　　
　　　　　　　　　
1．下列命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R，x2≥0
B．?x∈R，2x－1＞0
C．?x0∈R，lg
x0＜1
D．?x0∈R，sin
x0＋cos
x0＝2
解析：因为sin
x0＋cos
x0＝sin
≤＜2，
所以选项D为假命题．
答案：D
2．已知命题p：?x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A．p∧q
B．p∧(?q)
C．(?p)∧q
D．(?p)∧(?q)
解析：∵方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又对于二次函数y＝x2－x＋1，其图象开口向上，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题．对于命题q，取a＝2，b＝－3，22<(－3)2，而2>－3，∴q为假命题，?q为真命题．因此p∧(?q)为真命题．
答案：B
3．“?x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　)
A．?x∈R，x2－πx＜0
B．?x∈R，x2－πx≤0
C．?x0∈R，x－πx0≤0
D．?x0∈R，x－πx0＜0
解析：全称命题的否定是特称命题，所以“?x∈R，x2－πx≥0”的否定是“?x0∈R，x－πx0＜0”．
答案：D
4．命题“?x0∈N，使得ln
x0(x0＋1)＜1”的否定是(　　)
A．?x∈N，都有ln
x(x＋1)＜1
B．?x?N，都有ln
x(x＋1)≥1
C．?x0∈N，都有ln
x0(x0＋1)≥1
D．?x∈N，都有ln
x(x＋1)≥1
解析：原命题是特称命题，其否定为全称命题，所以原命题的否定是“?x∈N，ln
x(x＋1)≥1”．
答案：D
1．全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
方法总结?
特称命题,
真,存在一个对象使命题真,否定为假
假,所有对象使命题假,否定为真2.全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．　　
题型三　命题中参数的取值范围　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　复合命题中的参数问题
[例1]　(2021·武汉模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－≤3，即a≥－12.
因为p∨q是真命题，所以a∈R，
即a的取值范围是(－∞，＋∞).
答案：(－∞，＋∞)
方法总结?
1．已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．如本题中，当p为真时a的范围与当q为真时a的范围的并集．
2．含逻辑联结词命题真假的等价关系：
(1)p∨q真?p，q至少一个真?(?p)∧(?q)假．
(2)p∨q假?p，q均假?(?p)∧(?q)真．
(3)p∧q真?p，q均真?(?p)∨(?q)假．
(4)p∧q假?p，q至少一个假?(?p)∨(?q)真．
(5)?p真?p假；?p假?p真．　　
类型
2　含有量词命题中的参数问题
[例2]　(1)(任意恒成立)已知函数f(x)＝－mx(e为自然对数的底数)，若f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(－∞，e)
C．
D．
解析：∵f(x)＝－mx＞0在(0，＋∞)上恒成立，
∴m＜在(0，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，x＞0，
∴g′(x)＝＝，
当0＜x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x＞2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
则当x＝2时，g(x)取得最小值，且最小值为g(2)＝，
∴m＜，
则实数m的取值范围是.
答案：C
(2)(存在成立)若命题“?x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得Δ＝(a－1)2－4＞0，∴a＞3或a＜－1.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
方法总结?
1．?x0∈R，使b≤－x－2x0成立．
设y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，
∴ymax＝1.
只要b≤ymax即可，∴b≤1.
2．单变量对“任意”恒成立，“存在”成立问题：
(1)?x∈[m，n]，a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，
a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min.
(2)?x0∈[m，n]，使a＞f(x)成立?a＞f(x)min，
a＜f(x)成立?a＜f(x)max.　　?
[题组突破]
1．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C．(－2，2]
D．(－2，2)
解析：当a＝2时，有－4＜0，对?x∈R恒成立．
当a≠2时，
有
解得
∴－2＜a＜2.
综上可得－2＜a≤2.
答案：C
2．已知命题p：?x∈R，log2(x2＋x＋a)＞0恒成立，命题q：?x0∈[－2，2]，2a≤，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由题知，命题p：?x∈R
，log2(x2＋x＋a)＞0恒成立，即x2＋x＋a－1＞0恒成立，所以Δ＝1－4(a－1)＜0，解得a＞；命题q：?x0∈[－2，2]，使得2a≤，则a≤2.当p∧q为真命题时，须满足故实数a的取值范围为.
答案：
3．若“?x0∈，m≤tan
x0＋2”为真命题，则实数m的最大值为________．
解析：当x∈时，
1≤tan
x＋2≤2＋.
?x0∈，使m≤tan
x0＋2，则m≤2＋.
答案：2＋
4．(母题变式)若例1中p∧q为真命题，求实数a的取值范围．
解析：∵p∧q为真命题，
∴p和q均为真命题，
∴
∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞).
5．(母题变式)若例1中p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解析：由p∨q为真命题，p∧q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4).
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：?(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：?(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q；②?p∨q；③p∧?q；④?p∧?q.
这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
解析：法一：画出可行域如图中阴影部分所示．
目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2，4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8，
∴2x＋y∈[8，＋∞).由此得命题p：?(x，y)∈D，2x＋y≥9正确；
命题q：?(x，y)∈D，2x＋y≤12不正确，∴①③真，②④假．
法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假，
∴①③真，②④假．
答案：A
2．(2019·高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，则实数a的最大值是________．
解析：由题意，得f(t＋2)－f(t)
＝a(t＋2)3－(t＋2)－(at3－t)
＝a[(t＋2)3－t3]－2
＝a(t＋2－t)[(t＋2)2＋(t＋2)·t＋t2]－2
＝2a(3t2＋6t＋4)－2
＝2a[3(t＋1)2＋1]－2.
由|f(t＋2)－f(t)|≤，
得|2a[3(t＋1)2＋1]－2|≤，
即－≤2a[3(t＋1)2＋1]－2≤，
≤a[3(t＋1)2＋1]≤，
∴·≤a≤·.
设g(t)＝·，
则当t＝－1时，g(t)max＝，
∴当t＝－1时，a取得最大值，满足题意．
答案：
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(命题真假的判断))
已知命题p：?x＞2，2x＞x2；命题q：?x0∈R，x＝1－x，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q
B．(?p)∧q
C．p∧(?q)
D．(?p)∧(?q)
解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x与y＝x2的图象，如图①所示，结合图象可知当x∈(2，4)时，2x＜x2，可知p为假命题，所以?p为真命题．
在平面直角坐标系中作出y＝x3与y＝1－x2的图象，如图②所示，结合图象可知y＝x3与y＝1－x2的图象有交点，可知q为真命题，所以(?p)∧q为真命题．
答案：B
PAGE第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件
1．四种命题
(1)四种命题及其相互关系：
(2)互为逆否命题的真假判断：
互为逆否的两个命题同真或同假．
2．充分条件与必要条件的判断
若p
?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且q
p
1.区别两个说法
(1)“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论．
(2)“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．
2.充要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
1．(基础知识：命题关系)命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　)
A．若x＜y，则x2＜y2
B．若x≤y，则x2≤y2
C．若x＞y，则x2＞y2
D．若x≥y，则x2≥y2
答案：B
2．(基本方法：必要条件定义)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
3．(基本能力：转化能力)“x≠y”是“x2≠y2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
4．(基本方法：集合法)设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
5．(基本应用：用条件关系求参数)若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
答案：(2，＋∞)
题型一　四种命题及其关系　
1．(四种命题关系)给出下列命题：
①“若xy＝1，则lg
x＋lg
y＝0”的逆命题；
②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；
③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．
其中真命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：对于①，“若xy＝1，则lg
x＋lg
y＝0”的逆命题为“若lg
x＋lg
y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；
对于②，“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直于b－c”，由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，据此可得a不垂直于b－c，该命题为真命题；
对于③，若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的根的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题；
对于④，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．
答案：D
2．(四种命题关系)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
解析：易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，
设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．
答案：B
3．(命题的真假判定)关于函数f(x)＝sin
|x|＋|sin
x|有下述结论：
①f(x)是偶函数；②若x∈，则f(x)为增函数；
③f(x)在[0，2π]上有3个零点．
其中所有正确的结论是________．(填序号)
解析：①由f(－x)＝f(x)恒成立，①正确．
②当x∈时，f(x)＝2sin
x为增函数，②正确．
③当x∈(π，2π)时，|sin
x|＝－sin
x，
∴f(x)＝sin
x－sin
x＝0，有无数个零点，③错误．
答案：①②
方法总结?
1．四种命题真假性的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．
2．判断命题真假的方法
方法
解读
适合题型
直接法
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明
简单命题判断
反例法
说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可
简单命题判断
转化法
转化为等价的逆否命题
复杂命题
题型二　充分条件、必要条件的判断　
　　
[典例剖析]
类型
1　给出条件，判断条件
[例1]　(1)若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且m⊥α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当直线l在平面α内时，由“l⊥m”推不出“l∥α”，可知充分性不成立；
若“l∥α”，由线面平行的性质，可知在平面α内一定存在一条直线n与l平行，
又m⊥α，所以m⊥n，则m⊥l，可知必要性成立，
所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．
答案：B
(2)设p：关于x的方程4x－2x－a＝0有解；q：关于x的不等式log2(x＋a－2)＞0对于?x＞0恒成立，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若p成立，则a＝4x－2x＝－，所以a≥－，即a的取值范围为；
若q成立，则x＋a－2＞1，所以a＞3－x对?x＞0恒成立，则a≥3，即a的取值范围为[3，＋∞).
由于[3，＋∞)
?，所以p是q的必要不充分条件．
答案：B
(3)已知条件p：x＞1或x＜－3，条件q：5x－6＞x2，则?p是?q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由x2－5x＋6＜0得q为(2，3)，
∴q?p，
∴q是p的充分不必要条件，
∴?p是?q的充分不必要条件．
答案：A
?方法总结?
1．充分条件与必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
2．充分条件与必要条件的两种判断方法
条件
定义法
集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
p是q的充分条件
p?q
A?B
p是q的必要条件
q?p
A?B
p是q的充要条件
p?q且q?p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p?q且q?
/
p
A?B
p是q的必要不充分条件
p
q且q?p
A?B
p是q的既不充分也不必要条件
p?
/
q且q?
/
p
A?B且A?B
类型
2　寻找条件，进行判断
[例2]　(1)若x，y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件是(　　)
A．|x|>|y|
B．x2>y2
C．>
D．x3>y3
解析：由|x|>|y|，x2>y2未必能推出x>y，排除选项AB；由>可推出x>y，反之未必成立，选项C成立；而x3>y3是x>y的充要条件，排除选项D.
答案：C
(2)命题“?x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
解析：命题“?x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为“?x∈[1，2]，a≥x2”恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“?x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的是一个充分不必要条件，即为集合{a|a≥4}的真子集，可知选项C符合题意．
答案：C
方法总结?
将条件关系看作命题，借助原命题、逆命题的真假及推导关系寻找条件．　　?
[题组突破]
1．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|＞||等价于|＋|＞|－|，因为模为正，故不等号两边平方得2＋2＋2||·||cos
θ>2＋2－2||·||cos
θ(θ为与的夹角)，整理得4||||·cos
θ＞0，故cos
θ＞0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“
与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的充要条件．
答案：C
2．设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由＜得－＜x－＜，解得0＜x＜1.
由x3＜1得x＜1.当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立，所以“＜”是“x3＜1”的充分不必要条件．
答案：A
3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a＞b＋1
B．a＞b－1
C．a2＞b2
D．a3＞b3
解析：选项A中，a＞b＋1＞b，反之a＞b推不出a＞b＋1；选项B中，a＞b＞b－1，反之a＞b－1推不出a＞b，为必要不充分条件；选项C为既不充分也不必要条件；选项D为充要条件．
答案：A
题型三　充分条件、必要条件的应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(2021·南昌模拟)已知r＞0，x，y∈R，p：|x|＋≤1，q：x2＋y2≤r2.若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是(　　)
A．
B．(0，1]
C．
D．[2，＋∞)
审题互动：p、q的几何意义是什么？p、q的包含关系如何？
解析：画出|x|＋≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x＞0，y＞0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x＋＝1，即2x＋y－2＝0.由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心(0，0)到直线2x＋y－2＝0的距离d＝＝≥r，又r＞0，所以实数r的取值范围是.
答案：A
方法总结?
1．根据充分、必要条件求参数的取值范围的关键是合理转化条件，再结合有关性质和定理等得到关于参数的方程(组)或不等式(组)，然后通过解方程(组)或者不等式(组)得到参数的取值范围．　　?
2．要注意对区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
[对点训练]
　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．
解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则所以0≤m≤3，
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].
答案：[0，3]
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
　(2019·高考浙江卷)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：法一(通解)：因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b＞4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．
法二(创新解法)：在同一坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图所示，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．
答案：A
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(充要条件的判断))
(2021·安阳开学调研)已知函数f(x)＝(x2＋a2x＋1)·ex，则“a＝”是“函数f(x)在x＝－1处取得极小值”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
易知函数f(x)的定义域为R，对f(x)求导，得f′(x)＝(2x＋a2)ex＋(x2＋a2x＋1)ex＝[x2＋(a2＋2)x＋a2＋1]ex＝(x＋a2＋1)(x＋1)ex.
若a＝，则f(x)在x＝－1处取得极小值；若f(x)在x＝－1处取得极小值，只需a不为0，
所以“a＝”是“函数f(x)在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件．
答案：A
PAGE第一节　集
合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为?．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
　表示关系
　
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素相同
A?B且B?A?A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A?B或B?A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
A?B或B?A
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
??A??B(B≠?)
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
?UA＝{x|x∈U且x?A}
1.集合运算性质
(1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
(2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
(3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).
2．集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．
3．两个防范
(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．
1．(基础知识：元素与集合)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2
，则下面结论中正确的是(　　)
A．{a}?A
B．a?A
C．{a}∈A
D．a?A
答案：D
2．(基本能力：运算)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则?RA＝(　　)
A．{x|x≥±4}
B．{x|－4＜x＜4}
C．{x|－4≤x≤4}
D．{x|x≤－4或x≥4}
答案：D
3．(基本方法：定义、数形结合)设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6＜0}，则下图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|x＜3}
B．{x|－3＜x≤1}
C．{x|x＜2}
D．{x|－2＜x≤1}
答案：D
4．(基本应用：应用A∪B求集合)已知集合A＝{0，1，2}，集合B满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B有________个．
答案：8
5．(基本应用：应用集合相等求参数)设集合A＝{1，3}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A＝B，则m＝________．
答案：3
题型一　集合的概念　
1．(元素与集合)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9　　
　　
B．8
C．5　　
　　
D．4
解析：由题意可知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素．
答案：A
2．(集合的表示法)已知集合M＝，N＝，则M∩N＝(　　)
A．?
B．{(3，0)，(0，2)}
C．[－2，2]
D．[－3，3]
解析：因为集合M＝{x|－3≤x≤3}，N＝R，所以M∩N＝[－3，3].
答案：D
3．(元素与集合的表示法)设集合A＝，B＝{|a－2|，－2}，已知4∈A且4?B，则a的取值集合为________．
解析：因为4∈A，即4∈，所以
a2－3a＝4或a＋＋7＝4.
若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4；
若a＋＋7＝4，即a＋＋3＝0，a2＋3a＋2＝0，
则a＝－1或a＝－2.
由a2－3a与a＋＋7互异，得a≠－1，
故a＝－2或a＝4.
又4?B，即4?{|a－2|，－2}，
所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6.
综上所述，a的取值集合为{4}．
答案：{4}
4．(集合表示的意义)集合{x|x2＋ax＝0}有两个元素，分别为0和1，则a的值为________．
解析：∵0和1为方程x2＋ax＝0的两根，
∴0＋1＝－a，∴a＝－1.
答案：－1
方法总结
　与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)注意元素的三个特性，特别是互异性．　　?
题型二　集合间的基本关系　
　　　　
　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(1)(判断关系)已知集合A＝，B＝，集合A与B的关系描述为________．
答案：A?B
(2)(应用关系)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________．
审题互动：“B?A”在数轴上如何表示？A、B的端点有什么关系？
解析：因为B?A，所以①若B＝?，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.
②若B≠?，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3].
答案：(－∞，3]
方法总结
1．判定集合间的基本关系的方法：(1)化简集合，从解析式中寻找两集合的关系；(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．
提醒　在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．　　??
[对点训练]
1．已知集合A＝{x|y＝
，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　)
A．A?B　　　　　　　
B．B?A
C．A?B
D．B＝A
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，∴B＝{x|0≤x≤1}，故B?A.
答案：B
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N
}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．7
B．8
C．15
D．16
解析：A＝{x|(x－3)(x＋1)≤0，x∈N
}＝{1，2，3}，
真子集个数为23－1＝7.
答案：A
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∩B＝B，则实数m的取值集合是________．
解析：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，
由A∩B＝B，知B?A.
当B＝?时，m＝0，满足题意．
当B≠?，即m≠0时，B＝，
可得－＝2或－＝－3，所以m＝－或m＝.
综上，m的取值集合为.
答案：
4．(母题变式)将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，如何求解？
解析：因为B?A，
所以①当B＝?，即2m－1＜m＋1时，
m＜2，符合题意．
②当B≠?时，或
解得或即m＞4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞).
答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)
题型三　集合的运算　
　　
[典例剖析]
类型
1　基本能力
[例1]　(1)(数轴分析法)(2019·高考全国卷Ⅰ)
已知集合M＝{x|－4A．{x|－4B．{x|－4C．{x|－2D．{x|2解析：由x2－x－6＜0，得(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3，即N＝{x|－2＜x＜3}，画出数轴，
∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}．
答案：C
(2)(概念分析法)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A．{－1，1}
B．{0，1}
C．{－1，0，1}
D．{2，3，4}
解析：由题意得A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}，又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1，0，1}．
答案：C
(3)(Venn图分析法)设集合A＝{－1，0，1，2}，B＝，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)
A．{1}
B．{0}
C．{－1，0}
D．{－1，0，1}
解析：由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩(?RB).∵B＝{x|y＝}＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴?RB＝{x|－1＜x＜1}，∴A∩(?RB)＝{0}．
答案：B
类型
2　利用运算求参数
[例2]　(1)已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝(　　)
A．3
B．2
C．2或3
D．3或1
解析：∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意．综上，a＝3.
答案：A
(2)已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝(　　)
A．－2
B．0
C．1
D．2
解析：因为A＝{0，1，2，4，5}，B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0，2}，
所以或当x＝2时，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}(舍)；
当x＝0时，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}．
综上，x＝0.
答案：B
(3)已知集合A＝{4，a}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4≥0}，若A∩(?ZB)≠?，则实数a的值为(　　)
A．2
B．3
C．2或4
D．2或3
解析：因为B＝{x∈Z|x2－5x＋4≥0}，所以?ZB＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}＝{2，3}．又集合A＝{4，a}，若A∩(?ZB)≠?，则a＝2或a＝3.
答案：D
方法总结
1．一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点取舍的情况．
2．运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．　　??
[题组突破]
1．设集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2－2x＜0}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M∩N＝M
B.M∪(?RN)＝M
C．N∪(?RM)＝R
D．M∪N＝M
解析：由题意可得，N＝(0，2)，M＝(－∞，4)，N?M，所以M∪N＝M.
答案：D
2．已知集合M＝{x|x2－4x＜0}，N＝{x|m＜x＜5}．若M∩N＝{x|3＜x＜n}，则m＋n等于(　　)
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：由x2－4x＜0得0＜x＜4，所以M＝{x|0＜x＜4}．又因为N＝{x|m＜x＜5}，M∩N＝{x|3＜x＜n}，所以m＝3，n＝4，m＋n＝7.
答案：C
3．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M?(A∩B)的集合M的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由题意可知，集合A表示直线x＋y＝1上的点，集合B表示直线x－y＝3上的点，联立可得A∩B＝{(2，－1)}，M为A∩B的子集，可知M可能为{(2，－1)}，?，所以满足M?(A∩B)的集合M的个数是2.
答案：C
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》
《三国演义》
《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
解析：法一(求频数)：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.
法二(集合思维)：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图所示：
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.
答案：C
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(集合新定义))
1．(2021·中原名校联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为(　　)
A．{0，1}
B．{1，4}
C．{0，4}
D．{0，1，4}
解析：当a＝0时，B为空集，满足B?A，此时A与B构成“全食”；当a＞0时，B＝，由题意知＝1或＝，解得a＝1或a＝4.故a的取值集合为{0，1，4}．
答案：D
2．定义：设有限集合A＝{x|x＝ai，i≤n，i∈N
，n∈N
}，S＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，则S叫做集合A的模，记作|A|.若集合P＝{x|x＝2n－1，n∈N
，n≤5}，集合P含有四个元素的全体子集为P1，P2，…，Pk，k∈N
，则|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝________．
解析：依题意知，集合P＝{1，3，5，7，9}，则集合P含有四个元素的全体子集为{3，5，7，9}，{1，5，7，9}，{1，3，7，9}，{1，3，5，9}，{1，3，5，7}．
由条件中“模”的定义知，|P1|＋|P2|＋…＋|Pk|＝(3＋5＋7＋9)＋(1＋5＋7＋9)＋(1＋3＋7＋9)＋(1＋3＋5＋9)＋(1＋3＋5＋7)＝100.
答案：100
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