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第三节　选修4－5　不等式选讲
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解集
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a?
?
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
3．基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
定理3：如果a，b，c全为正实数，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
4．柯西不等式
设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
1．一组重要关系
|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：
(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a＞－b＞0时，等号成立．
(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．
2．两个等价关系
(1)|x|＜a?－a＜x＜a(a＞0).
(2)|x|＞a?x＜－a或x＞a(a＞0).
3.一个关键
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．
4．一个口诀
解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．
1．(基本方法：解绝对值不等式)不等式|x－1|<1的解集为(　　)
A．(1，2)　　　　
B．(0，2)
C．(－1，1)
D．(0，1)
答案：B
2．(基本方法：解绝对值不等式)|2x－1|>3的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C．(－2，1)
D．(－1，2)
答案：B
3．(基本能力：绝对值不等式的等价转化)不等式|x＋1|>|x－1|的解集为________．
答案：(0，＋∞)
4．(基本应用：绝对值不等式的意义)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________．
答案：－3
5．(基本方法：反证法求不等式)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为________．
答案：a，b，c不全是正数
题型一　解绝对值不等式　
1．(2020·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝2时，f(x)＝
因此不等式f(x)≥4的解集为.
(2)因为f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，
故当(a－1)2≥4，即|a－1|≥2时，f(x)≥4.
所以当a≥3或a≤－1时，f(x)≥4.
当－1＜a＜3时，f(a2)＝|a2－2a＋1|＝(a－1)2＜4.
所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).
2．设函数?(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)当a＝1时，求不等式?(x)≥0的解集；
(2)若?(x)≤1，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，?(x)＝
可得?(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．
(2)?(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，
故?(x)≤1等价于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2，
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
3．(2020·河南豫南联考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|.
(1)若关于x的不等式f(x)＜a有解，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)＜a的解集为，求a＋b的值．
解析：(1)不等式等价于a＞f(x)min，f(x)＝绘制函数f(x)的图象如图所示，观察函数的图象，可得实数a的取值范围是(4，＋∞).
(2)由题意可得x＝是方程|x＋1|＋|x－3|＝a的解，据此有a＝＋＝5，求解绝对值不等式|x＋1|＋|x－3|＜5可得，－＜x＜.
故b＝－，a＋b＝5－＝.
方法总结?
含绝对值不等式的解法
方法
解读
适合题型
公式法
利用公式|x|0)和|x|>a?x>a或x<－a(a>0)直接求解不等式
|f(x)|>g(x)或|f(x)|　　?续表
方法
解读
适合题型
平方法
利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负
|f(x)|≥|g(x)|?f2(x)≥g2(x)
零点分段法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解
|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a
图象法
在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数
如|f(x)|＋|g(x)|≥a可构造y＝|f(x)|＋|g(x)|－a或y＝|f(x)|＋|g(x)|与y＝a
几何意义法
|x－a|＋|x－b|>m(a>0，b>0，m>0)表示数轴上点x到a的距离与到b的距离之和大于m
形如|x－a|±|x－b|>m的形式
题型二　绝对值不等式的性质　
　　　　
　　　　　　　　　[典例剖析]
类型
1　绝对值函数的性质
[例1]　(2020·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．
解析：(1)由题设知f(x)＝
y＝f(x)的图象如图①所示．
①
(2)函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到y＝f(x＋1)的图象，如图②所示．
②
y＝f(x)的图象与y＝f(x＋1)的图象的交点坐标为.
由图象可知当且仅当x＜－时，
y＝f(x)的图象在y＝f(x＋1)的图象上方，
故不等式f(x)＞f(x＋1)的解集为.
类型
2　绝对值不等式的性质
[例2]　(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．
解析：(1)∵x，y∈R，
∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
当且仅当0≤x≤1时等号成立，
∵|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)|－|(y＋1)|＝2，
当且仅当－1≤y≤1时等号成立，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，
当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
方法总结?
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种
(1)利用绝对值的几何意义．
(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.
(3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值．　　?
[题组突破]
1．不等式|x－1|－|x－5|解析：∵|x－1|－|x－5|≤|(x－1)－(x－5)|＝4，
∴a>4.
2．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x＋2|，a∈R.
(1)若a＝－1，求不等式f(x)≥x＋5的解集；
(2)若a<2，当x∈(－5，－3)时都有f(x)>x2＋2x－5，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＝
当x<－2时，f(x)≥x＋5，即－2x－1≥x＋5，解得x<－2；
当－2≤x≤1时，f(x)≥x＋5，即3≥x＋5，解得x＝－2；
当x>1时，f(x)≥x＋5，即2x＋1≥x＋5，解得x≥4，
所以原不等式的解集为{x|x≤－2或x≥4}．
(2)若a<2，当x∈(－5，－3)时，f(x)＝－2x－a－2.
因为当x∈(－5，－3)时，f(x)>x2＋2x－5恒成立，
所以－2x－a－2>x2＋2x－5，
即a<－x2－4x＋3在x∈(－5，－3)上恒成立，
令g(x)＝－x2－4x＋3，x∈(－5，－3)，
所以g(x)∈(－2，6)，所以a≤－2，即a的取值范围为(－∞，－2].
题型三　不等式的证明　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；
(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.
证明：(1)因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3(当且仅当x－y＝1时，等号成立)，
所以2x＋≥2y＋3.
(2)因为a，b，c>0，
所以要证a＋b＋c≥，
只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，
即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)，
所以原不等式成立．
方法总结?
证明不等式的方法与技巧
(1)当已知与所求之间的关系较明显，从已知或不等式性质入手进行转换，可得到所求式，利用综合法．
(2)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．
(3)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的求解或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略．绝对值三角不等式，则往往作为不等式放缩的依据．　　?
[对点训练]
1．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.
证明：＋＋≤a2＋b2＋c2.
证明：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，
故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
2．已知a>0，b>0，2c>a＋b，求证：c－证明：要证c－只需证－只需证|a－c|<，
即证(a－c)2即证a2－2ac<－ab.
∵a>0，只需证a－2c<－b，
即证a＋b<2c，由已知得成立，
故原不等式成立．
　　　　　　　　　
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(不等式的证明与绝对值不等式的求解))
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.
(1)证明：ab＋bc＋ca＜0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.
证明：(1)由题设可知a，b，c均不为零，
所以ab＋bc＋ca＝[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]＝－(a2＋b2＋c2)＜0.
(2)不妨设max{a，b，c}＝a.
因为abc＝1，a＝－(b＋c)，所以a＞0，b＜0，c＜0.
由bc≤，可得abc≤，
当且仅当b＝c＝－时取等号，故a≥，
所以max{a，b，c}≥.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a).
(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；
(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1).
当x＜1时，f(x)＝－2(x－1)2＜0；
当x≥1时，f(x)≥0.
所以不等式f(x)＜0的解集为(－∞，1).
(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.
当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)＜0，所以a的取值范围是[1，＋∞).
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(绝对值不等式的创新应用问题))
　(2021·江西上饶模拟)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式g(x)≥4；
(2)若对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)由|x－1|＋2≥4，得|x－1|≥2，
解得x≤－1或x≥3.
故不等式g(x)≥4的解集为{x|x≤－1或x≥3}．
(2)因为对任意x2∈R，都有x1∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝g(x)}?{y|y＝f(x)}．
又因为g(x)＝|x－1|＋2≥2，f(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|≥|(2x＋a)－(2x－1)|＝|a＋1|，
所以|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，所以实数a的取值范围为[－3，1].
　　　　　　　　　　　
[A组　基础对点练]
1．(2021·黑龙江大庆模拟)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋4|.
(1)解不等式：f(x)>0；
(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．
解析：(1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|>0，
当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋4>0，解得x<5，
即不等式组的解集是{x|x≤－4}．
当－40，解得x<－1，即不等式组的解集是{x|－4当x≥时，不等式化为2x－1－x－4>0，解得x>5，
即不等式组的解集是{x|x>5}．
综上，原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．
(2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9，
∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，
故所求a的取值范围是{a|－8≤a≤10}．
2．设函数f(x)＝|x＋1|.
(1)若f(x)＋2x＞2，求实数x的取值范围；
(2)设g(x)＝f(x)＋f(ax)(a＞1).若g(x)的最小值为，求a的值．
解析：(1)∵f(x)＋2x＞2，即|x＋1|＞2－2x?或?x＞，
∴实数x的取值范围是.
(2)∵a＞1，∴－1＜－＜0，
∴g(x)＝
易知函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴g(x)min＝g＝1－，
∴1－＝，解得a＝2.
3．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.
(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；
(2)证明：＋＋≤＋＋.
证明：(1)1＋a≥2，1＋b≥2，1＋c≥2，
相乘得(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8＝8.
(2)＋＋＝ab＋bc＋ac，
ab＋bc≥2＝2，
ab＋ac≥2＝2，
bc＋ac≥2＝2，
相加得＋＋≤＋＋.
4．解不等式：|x＋1|＋|x－1|≤2.
解析：当x＜－1时，
原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，
解得x≥－1，又因为x＜－1，故无解；
当－1≤x≤1时，
原不等式可化为x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；
当x＞1时，
原不等式可化为x＋1＋x－1≤2，
解得x≤1，又因为x＞1，故无解．
综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为[－1，1].
5．若x∈[－1，1]，|y|≤，|z|≤，求证：|x＋2y－3z|≤.
证明：因为x∈[－1，1]，|y|≤，|z|≤，
所以|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2×＋3×＝，
所以|x＋2y－3z|≤成立．
[B组　素养提升练]
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.
(1)求证：a2＋b2≥2；
(2)求证：
≥1＋.
证明：(1)a2＋b2≥(a＋b)2＝2.
(2)因为＋＝·＝＋＋≥＋＝，当且仅当a＝4－2，b＝2－2时取等号，所以
≥1＋.
2．已知函数f(x)＝|2x－1|.
(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；
(2)若关于x的不等式f(x)＜m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范围．
解析：(1)f(x)－f(x＋1)≤1?|2x－1|－|2x＋1|≤1，
则或
或
解得x≥或－≤x＜，即x≥－，
所以原不等式的解集为.
(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|＜m有解，
则m＞(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．
由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈时等号成立，故m＞2.所以m的取值范围是(2，＋∞).
3．已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|.
(1)若不等式f(x)≤|a＋1|恒成立，求a的取值范围；
(2)求不等式|f(x)－|x＋2||＞3的解集．
解析：(1)f(x)＝|x－1|－|x＋2|≤|(x－1)－(x＋2)|＝3，
由f(x)≤|a＋1|恒成立得|a＋1|≥3，即a＋1≥3或a＋1≤－3，解得a≥2或a≤－4，
∴a的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞).
(2)不等式|f(x)－|x＋2||＝||x－1|－2|x＋2||＞3等价于|x－1|－2|x＋2|＞3或|x－1|－2|x＋2|＜－3，
令g(x)＝|x－1|－2|x＋2|＝.
由x＋5＝－3得x＝－8，
由－3x－3＝－3得x＝0，
作出g(x)的图象如图所示，
由图象可得原不等式的解集为{x|x＜－8或x＞0}．
PAGE第二课时　参数方程
　　
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．
(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程
3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程
轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan
α(x－x0)
(t为参数)
圆
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
1.参数方程化普通方程
(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等．
(2)常用公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝.
2．直线参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是
若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)|M1M2|＝|t1－t2|.
(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
1．(基础知识：直线的参数方程)已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为(　　)
A.1
B．－1
C．
D．－
答案：B
2．(基本能力：直线与圆的参数方程)直线y＝x与曲线(α为参数)的交点个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
3．(基本能力：直线的参数方程)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．
答案：－3
4．(基本方法：参数方程和普通方程的互化)曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)
5．(基本应用：椭圆的参数方程)椭圆(θ为参数)的离心率为________．
答案：
题型一　参数方程与普通方程的互化　
　　　　
　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(1)将曲线C的参数方程(t为参数)化成普通方程为________________．
解析：由x＝1＋t，得t＝2x－2，
∴y＝2＋(2x－2)，
∴x－y＋2－＝0.
答案：x－y＋2－＝0
(2)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点的直角坐标为________．
解析：由题意可得(0≤θ<π)的普通方程为＋y2＝1(y≥0)，(t∈R)的普通方程为y2＝x.联立得方程x2＋4x－5＝0，
∴x＝1或x＝－5(舍去).又交点在第一象限，∴将x＝1代入＋y2＝1(y≥0)，
得y＝，∴交点的直角坐标为.
答案：
方法总结?
将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2θ＋cos2θ＝1等).
提醒　将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．　　?
[对点训练]
已知直线l的参数方程为?x＝a－2t，
y＝－4t?(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解析：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2，
即实数a的取值范围为[－2，2].
题型二　参数方程的应用　
[典例剖析]
类型
1　直线参数方程的应用
[例1]　(2021·广东揭阳模拟)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos
2θ＝a2(a∈R，a为常数)，过点P(2，1)，倾斜角为30°的直线l的参数方程满足x＝2＋t(t为参数).
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点(点P在A，B之间)，且|PA|·|PB|＝2，求a和||PA|－|PB||的值．
解析：(1)由ρ2cos
2θ＝a2得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝a2，
又x＝ρcosθ，y＝ρsin
θ，得x2－y2＝a2，
∴曲线C的普通方程为x2－y2＝a2.
∵过点(2，1)，倾斜角为30°的直线l的普通方程为y＝(x－2)＋1，
由x＝2＋t得y＝1＋t，
∴直线l的参数方程为(t为参数).
(2)将代入x2－y2＝a2，得t2＋2(2－1)t＋2(3－a2)＝0，①
依题意知Δ＝[2(2－1)]2－8(3－a2)＞0，
则方程①的根t1，t2就是交点A，B对应的参数，
t1·t2＝2(3－a2)，
由参数t的几何意义知|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|，
得|t1·t2|＝2.
∵点P在A，B之间，∴t1·t2＜0，
∴t1·t2＝－2，即2(3－a2)＝－2，
解得a2＝4(满足Δ＞0)，
∴a＝±2.
∵||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|，
又t1＋t2＝－2(2－1)，
∴||PA|－|PB||＝4－2.
类型
2　圆或圆锥曲线的参数方程的应用
[例2]　(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos
θ＋ρsin
θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
解析：(1)因为－1＜≤1，
且x2＋＝＋＝1，
所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π).
C上的点到l的距离为
＝.
当α＝－时，4cos
＋11取得最小值7，
故C上的点到l距离的最小值为.
方法总结?
1．应用直线参数方程的注意点
在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．
2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．　　?
[题组突破]
1．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ(cos
θ－2sin
θ)＝7距离的最小值．
解析：(1)曲线C1：(t为参数)，化为(x＋4)2＋(y－3)2＝1，
所以C1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆．
C2：(θ为参数)，化为＋＝1.
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4，4)，Q(8cos
θ，3sin
θ)，
故M，
直线C3：ρ(cos
θ－2sin
θ)＝7化为x－2y＝7，
M到C3的距离d＝·|4cos
θ－3sin
θ－13|＝·|5sin
(θ＋φ)＋13|，
从而当cos
θ＝，sin
θ＝－时，d取得最小值.
2．已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数).
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C2，设P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．
解析：(1)直线l的普通方程为y＝(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，
由解得l与C1的交点坐标分别为(1，0)，，
故|AB|＝＝1.
(2)由题意得，曲线C2的参数方程为(θ为参数)，则点P的坐标是，
所以点P到直线l的距离d＝＝，
故当sin
＝－1时，d取得最小值，最小值为.
题型三　极坐标方程与参数方程的综合应用　
　　　　
　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(2020·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?x＝coskt，
y＝sinkt?(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos
θ－16ρsin
θ＋3＝0.
(1)当k＝1时，C1是什么曲线？
(2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
解析：(1)当k＝1时，C1：消去参数t得x2＋y2＝1，
故曲线C1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．
(2)当k＝4时，C1：?x＝cos4t，
y＝sin4t，?消去参数t得C1的直角坐标方程为＋＝1.
C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.
由
解得
故C1与C2的公共点的直角坐标为.
方法总结?
参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　　?
[对点训练]
　在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin
θ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求α的值．
解析：(1)由(φ为参数)消去参数φ可得C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.
∵ρ＝4sin
θ，∴ρ2＝4ρsin
θ，
由得曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
(2)由(1)得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cos
θ，
由题意设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，
则|AB|＝|ρ1－ρ2|＝4|sin
α－cos
α|＝4·＝4，
∴sin
＝±1，
∴α－＝＋kπ(k∈Z).
∵0＜α＜π，∴α＝.
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(参数方程))
(2020·高考全国卷Ⅱ)已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：?x＝4cos2θ，
y＝4sin2θ?(θ为参数)，C2：(t为参数).
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．
解析：(1)C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4).
由C2的参数方程得x2＝t2＋＋2，y2＝t2＋－2，
所以x2－y2＝4，
故C2的普通方程为x2－y2＝4.
(2)由得
所以点P的直角坐标为.
设所求圆的圆心的直角坐标为(x0，0)，由题意得
x＝＋，解得x0＝.
因此所求圆的极坐标方程为ρ＝cos
θ.
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(参数方程求斜率问题))
　(2020·鞍山模拟)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.
(1)若α＝，求线段AB的中点M的直角坐标；
(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率．
解析：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是＋y2＝1.
当α＝时，直线l的方程为(t为参数)，
代入曲线C的普通方程＋y2＝1，
得13t2＋56t＋48＝0，
设直线l上的点A，B，M对应的参数分别为t1，t2，t0.
则t0＝＝－，
所以点M的直角坐标为.
(2)设直线l上的点A，B对应的参数分别为t1，t2.
将代入曲线C的普通方程＋y2＝1得t2＋(8sinα＋4cos
α)t＋12＝0.
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，
所以＝7，得tan2α＝.
结合Δ＝32cosα(2sin
α－cos
α)＞0可知tan
α＝.
所以直线l的斜率为.
PAGE第二节　选修4—4　坐标系与参数方程
第一课时　坐标系
1．坐标系
(1)坐标变换：
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系：
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ).
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴非负半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
3．常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r，0)，半径为r的圆
ρ＝2r
cos
θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2r
sin
θ(0≤θ<π)
续表
曲线
图形
极坐标方程
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a，0)，与极轴垂直的直线
ρcos
θ＝a
过点(a>0)，且与极轴平行的直线
ρsin
θ＝a(0<θ<π)
1.明辨两个坐标
伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．
2．极坐标方程与直角坐标方程互化
(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcos
θ及y＝ρsin
θ直接代入并化简．
(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos
θ，ρsin
θ，ρ2的形式，进行整体代换．
1．(基本方法：点的直角坐标化为极坐标)点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为______．
答案：
2．(基础知识：极坐标方程与直角坐标方程的互化)极坐标方程分别为ρ＝cos
θ和ρ＝sin
θ的两个圆的圆心距是(　　)
A．2
B．
C．1
D．
答案：D
3．(基本能力：圆的极坐标方程)在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos
θ的切线，则切线长为(　　)
A．2
B．6
C．2
D．2
答案：C
4．(基本能力：圆的极坐标方程)在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为________．
答案：ρ＝－2
cos
θ
5．(基本能力：圆的极坐标方程的圆心和半径)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin
－4＝0，则圆C的半径为________．
答案：
题型一　伸缩变换　
　1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，求曲线C的方程．
解析：把代入曲线2x′2＋8y′2＝1，可得2(5x)2＋8(3y)2＝1，化为50x2＋72y2＝1，即为曲线C的方程．
2．在同一直角坐标系中，求满足下列图形的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.
解析：法一：设变换为φ：可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1.
将4x2＋9y2＝36变形为＋＝1，
比较系数得λ＝，μ＝，
所以
故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1.
法二：利用配凑法将4x2＋9y2＝36化为＋＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比较即可得
故将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1.
3．(2021·安徽池州模拟)求曲线x2＋y2＝1经过φ：变换后得到的新曲线的方程．
解析：曲线x2＋y2＝1经过φ：变换后，即将代入圆的方程，
可得＋＝1，
即所求新曲线方程为＋＝1.
方法总结??
1．平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
2．应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′).　
　
题型二　求曲线的极坐标方程　
[典例剖析]
[典例]　(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1，0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
解析：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos
θ，ρ＝2sin
θ，ρ＝－2cos
θ.
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos
θ.
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ≤，则2cos
θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，则2sin
θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，则－2cos
θ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或或.
方法总结?
求曲线的极坐标方程的步骤
(1)将已知条件转化到直角坐标系中．
(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程．
(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程．　　?
[对点训练]
圆心C的极坐标为，且圆C经过极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．
解析：(1)圆心C的直角坐标为(，)，
则设圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝r2，
依题意可知r2＝(0－)2＋(0－)2＝4，
故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝4，即x2＋y2－2(x＋y)＝0，
化为极坐标方程为ρ2－2ρ(sin
θ＋cos
θ)＝0，即ρ＝2(sin
θ＋cos
θ).
(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2(x＋y)＝0中，
令y＝0，得x2－2x＝0，
解得x＝0或2.
于是得到圆C与x轴的交点坐标(0，0)，(2，0)，
由于直线过圆心C(，)和点(2，0)，
则该直线的直角坐标方程为
y－0＝(x－2)，
即x＋y－2＝0.
化为极坐标方程为ρcos
θ＋ρsin
θ－2＝0.
题型三　极坐标与直角坐标的互化　
　　　　
　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　直角坐标方程化为极坐标方程
[例1]　以直角坐标系原点为极点，Ox轴为极轴建立极坐标系，将下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)x2＋y2－2x－1＝0；
(2)3x＋4y－5＝0；
(3)x2＋y2＝2.
解析：将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入直角坐标方程得
(1)ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρcosθ－1＝0，
即ρ2－2ρcos
θ－1＝0.
(2)3ρcos
θ＋4ρsin
θ－5＝0.
(3)ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝2，∴ρ＝.
类型2　极坐标方程化为直角坐标方程
[例2]　在极坐标系中，直线l的方程为ρsin
＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos
θ，求直线l被曲线C截得的弦长．
解析：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为ρsin
＝2，
化成直角坐标方程为y＝(x－4)，
则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB＝.
如图所示，连接OB.
因为OA为直径，从而∠OBA＝，
所以AB＝4cos
＝2，
所以直线l被曲线C截得的弦长为2.
方法总结?
极坐标方程与普通方程的互化技巧
(1)将极坐标方程两边同乘ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos
θ，ρsin
θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．
(2)巧借两角和差公式，转化成ρsin
(θ±α)或ρcos
(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．
(3)将直角坐标方程中的x换成ρcos
θ，将y换成ρsin
θ，即可得到其极坐标方程．　　?
[题组突破]
1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C.ρ＝cos
θ＋sin
θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos
θ＋sin
θ，0≤θ≤
答案：A
2．(2021·河南郑州质检)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos
θ＋sin
θ和直线l：ρsin
＝(ρ≥0，0≤θ＜2π).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解析：(1)圆O：ρ＝cos
θ＋sin
θ，即ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，
故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin
＝，即ρsin
θ－ρcos
θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)将两直角坐标方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为.
题型四　极坐标方程的应用　
　　　　
　　
[典例剖析]
[典例]　在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos
θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解析：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos
θ(ρ>0)，
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos
α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin
∠AOB
＝4cos
α·
＝2≤2＋，
当α＝－时，S取得最大值2＋，
所以△OAB面积的最大值为2＋.
方法总结?
极坐标应用中的注意事项
(1)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
(2)在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝
eq
\r(ρ＋ρ－2ρ1ρ2cos
（θ1－θ2）)
.
两种特殊情况：①当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；
②当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.　　?
[对点训练]
　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos
θ＋ρsin
θ－2＝0.
(1)写出圆C的普通方程与直线l的直角坐标方程，及圆心C到直线l的距离；
(2)设点A(ρ1，0)是直线l上的点，B是圆C上的点，求S△AOB.
解析：(1)将(α为参数)消去参数α，得圆C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入直线l的极坐标方程，得直线l的直角坐标方程为2x＋y－2＝0.
设圆心C到直线l的距离为d，
则d＝＝.
(2)因为点A(ρ1，0)是直线l上的点，
所以2ρ1cos
0＋ρ1sin
0－2＝0?ρ1＝1，
又圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2的极坐标方程为ρ＝2cos
θ＋2sin
θ，
所以由B是圆C上的点，
得ρ2＝2cos
＋2sin
＝＋1.
所以S△AOB＝|ρ1||ρ2|sin
∠AOB＝×1×(＋1)×sin
＝.
　　　　　　　　　
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(极坐标方程))
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin
θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
解析：(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin
＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos
＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．
在Rt△OPQ中，ρcos
＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos
＝2上，
所以l的极坐标方程为ρcos
＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos
θ＝4cos
θ，即ρ＝4cos
θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是，
所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，
θ∈.
2．(2020·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点．
(1)求|AB|；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
解析：(1)因为t≠1，由2－t－t2＝0得t＝－2，所以C与y轴的交点为(0，12).由2－3t＋t2＝0得t＝2，所以C与x轴的交点为(－4，0).故|AB|＝4.
(2)由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为＋＝1，将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入，得直线AB的极坐标方程为3ρcos
θ－ρsin
θ＋12＝0.
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(极坐标方程的综合应用))
　在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＋＝4cos
θ＋4sin
θ.
(1)当α＝时，直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的直角坐标方程；
(2)已知点P，且曲线C1和C2交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
解析：(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，
∴消去参数t，得C1的普通方程为x
sin
α－y
cos
α＋cos
α＝0.
∵α＝，∴C1的普通方程为x＝0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρcos
θ＝0.
∵曲线C2的极坐标方程是ρ＋＝4cos
θ＋4sin
θ，
即ρ2＋7＝4ρcos
θ＋4ρsin
θ，
∴C2的直角坐标方程为x2＋y2＋7＝4x＋4y，
即(x－2)2＋(y－2)2＝1.
(2)将(t为参数)代入(x－2)2＋(y－2)2＝1中，
化简得t2－2(sin
α＋2cos
α)t＋4＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1·t2＝4，
∴|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝4.
PAGE第十一章
基本算法语句及选考
第一节　算法与程序框图、基本算法语句
1．算法
算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
2．程序框图
(1)程序框图的定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带有方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连接起来．
(2)程序框图中图形符号的意义：
图形符号
名称
功能
终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框(执行框)
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
流程线
连接程序框
○
连接点
连接程序框图的两部分
3.三种基本逻辑结构及相应语句
汈汈汈汈汈
名称
示意图
相应语句
顺序结构
①输入语句：INPUT　“提示内容”；变量②输出语句：PRINT　“提示内容”；解析式③赋值语句：变量＝解析式
条件结构
　IF　条件　THEN　语句体　END　IF
　IF　条件　THEN语句体1　ELSE语句体2　END
IF
循环结构
当型循环结构
　WHILE　条件　循环体　WEND
直到型循环结构
　DO循环体　LOOP
UNTIL　条件
1.三种基本逻辑结构的适用情境
(1)顺序结构：要解决的问题不需要分类讨论．
(2)条件结构：要解决的问题需要分类讨论．
(3)循环结构：要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间有相同的规律．
2．循环结构的两个形式的区别
(1)当型循环结构：先判断是否满足条件．若满足条件，则执行循环体．
(2)直到型循环结构：先执行循环体，再判断是否满足条件，直到满足条件时结束循环．
3．理解赋值语句要注意的三点
(1)赋值语句中的“＝”称为赋值号，与等号的意义不同．
(2)赋值语句的左边只能是变量的名字，而不能是解析式．
(3)对于同一个变量可以多次赋值，变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将会被替换．
1．(基本应用：条件结构)某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费，每月收费方法是：4人和4人以下的住户，每户收取6元；超过4人的住户，每超出1人加收1.1元，相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填(　　)
A．y＝6＋1.1x
B．y＝15＋1.1x
C．y＝6＋1.1(x－4)
D．y＝15＋1.1(x－4)
答案：C
2．(基础知识：顺序结构)下图中程序框图的运行结果是(　　)
A．2
B．2.5
C．3.5
D．4
答案：B
3．(基础知识：循环结构)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：C
4．(基本应用：循环结构)一位古代数学家的一个算法的程序框图如图所示，其输出的结果S表示(　　)
A．a0＋a1＋a2＋a3的值
B．a3＋a2x0＋a1x＋a0x的值
C．a0＋a1x0＋a2x＋a3x的值
D．以上都不对
答案：C
5．(基本能力：条件及处理框的补充)已知函数y＝lg
|x－3|，如图，程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值y的算法，请将该程序框图补充完整，其中①处应填________，②处应填________．
答案：x＜3？　y＝lg
(x－3)
题型一　顺序结构与条件结构　
　　　　
　　　　　　　　　
1．(2021·辽宁沈阳质检)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x的值为(　　)
A．－3
B．－3或9
C．3或－9
D．－3或－9
解析：当x≤0时，y＝－8＝0，x＝－3；当x＞0时，y＝2－log3x＝0，x＝9，故x＝－3或x＝9.
答案：B
2．定义某种运算?：S＝m?n的运算原理如程序框图所示，则6?5－4?7＝(　　)
A.3
B．1
C．4
D．0
解析：6>5，4<7，由流程图得6?5＝6×(5－1)＝24，4?7＝7×(4－1)＝21，
∴6?5－4?7＝24－21＝3.
答案：A
3．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为(　　)
A．f(x)＝且x≠0)
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝x2ln
(x2＋1)
解析：由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数，选项AC中的函数虽然是奇函数，但在给定区间上不存在零点，故排除选项AC.选项D中的函数是偶函数，故排除选项D.
答案：B
方法总结?
顺序结构和条件结构的运算方法
(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．
(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．
(3)对于条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．　　?
题型二　循环结构　
[典例剖析]
类型
1　计算输出结果
[例1]　(2021·河南安阳模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S的值为(　　)
A．2　　　　　　
B．－1
C．0
D．1
解析：第一次循环，S＝1＋＝－1，i＝2；第二次循环，S＝－1＋＝1，i＝3；第三次循环，S＝1＋＝－1，i＝4；第四次循环，S＝－1＋＝1，i＝5…，可知S随i变化的周期为2.当i＝2
021时退出循环，输出的是S＝1.
答案：D
类型
2　求输入的值
[例2]　(2021·河北保定模拟)如图所示，在程序框图中，如果输出p＝120，则输入的N＝(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：第一次，p＝1，k＜N成立，k＝2；第二次，p＝2，k＜N成立，k＝3；第三次，p＝6，k＜N成立，k＝4；第四次，p＝24，k＜N成立，k＝5；第五次，p＝120，k＜N不成立，输出p＝120，故N＝5.
答案：C
类型
3　完善程序框图
[例3]　为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入(　　)
A．i＝i＋1
B．i＝i＋2
C．i＝i＋3
D．i＝i＋4
解析：把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下．
循环次数
①
②
③
…
N
0＋
0＋＋
0＋＋＋
…
0＋＋＋＋…＋
T
0＋
0＋＋
0＋＋＋
…
0＋＋＋＋…＋
S
1－
1－＋－
1－＋－＋－
…
1－＋－＋…＋－
因为N＝N＋，由上表知i是1→3→5，…，所以i＝i＋2.
答案：B
类型
4　辨析程序框图功能
[例4]　(2021·河北唐山模拟)已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是(　　)
A．求1＋＋＋的值
B．求1＋＋＋＋的值
C．求1－＋－的值
D．求1－＋－＋的值
解析：执行如题图所示的程序框图可知，
开始：a＝1，n＝1，S＝0，
第一次循环：S＝1，a＝－1，n＝3；
第二次循环：S＝1－，a＝1，n＝5；
第三次循环：S＝1－＋，a＝－1，n＝7；
第四次循环：S＝1－＋－，a＝1，n＝9，
此时终止循环，输出结果，∴该程序框图的功能是计算S＝1－＋－的值．
答案：C
方法总结?
解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：
(1)要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；
(2)要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；
(3)要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．　　?
[题组突破]
1．执行如图所示的程序框图，输出的T＝(　　)
A．29
B．44
C．52
D．62
解析：执行程序框图，有
S＝3，n＝1，T＝2，
不满足条件T>2S，S＝6，n＝2，T＝8；
不满足条件T>2S，S＝9，n＝3，T＝17；
不满足条件T>2S，S＝12，n＝4，T＝29；
满足条件T>2S，退出循环，输出T的值为29.
答案：A
2．(2021·湖南郴州模拟)秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示，程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值可为(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1，不满足条件k＞n；执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2，不满足条件k＞n；执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3，不满足条件k＞n；执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4，不满足条件k＞n；执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5，由题意，此时应该满足条件k＞n，退出循环，输出s的值为484，可得5＞n≥4，所以输入n的值可为4.
答案：C
3．(2021·河南许昌调研)如图，给出的是计算＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是(　　)
A．i>100，n＝n＋1
B．i>100，n＝n＋2
C．i>50，n＝n＋2
D．i≤50，n＝n＋2
解析：因为，，…，共50个数，所以算法框图应运行50次，所以变量i应满足i>50.因为是求偶数的和，所以执行框图n满足n＝n＋2.
答案：C
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(程序框图的运算))
1.(2019·高考全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于(　　)
A．2－
B．2－
C．2－
D．2－
解析：ε＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋＋，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋＋＋，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋＋＋＋，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋，x＝，x＜ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋＋，x＝，x＜ε成立，此时输出s＝2－.
答案：C
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)下图是求的程序框图，图中空白框中应填入(　　)
A．A＝
B．A＝2＋
C．A＝
D．A＝1＋
解析：对于选项A，A＝.
当k＝1时，A＝，
当k＝2时，A＝，故选项A正确；
经验证选项BCD均不符合题意．
答案：A
3．(2020·高考全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，则输出的n＝(　　)
A．17
B．19
C．21
D．23
解析：由程序框图可知S＝1＋3＋5＋…＋(2m－1)＝m2(m∈N
)，由S＞100，得m＞10(m∈N
)，故当m＝11时循环结束，输出的值为n＝2m－1＝21.
答案：C
4．(2020·高考全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：程序框图运行如下：
a＝2×0＋1＝1＜10，k＝1；a＝2×1＋1＝3＜10，k＝2；
a＝2×3＋1＝7＜10，k＝3；a＝2×7＋1＝15＞10，k＝4.
此时输出k＝4，程序结束．
答案：C
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(算法与数学文化交汇应用问题))
1．我国古代数学著作《周髀算经》有如下问题：“今有器中米，不知其数．前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝1.5(单位：升)，则输入k的值为(　　)
A．4.5　　　　　　　　
B．6
C．7.5
D．9
解析：由程序框图知S＝k－－－＝1.5，解得k＝6.
答案：B
2．(2021·开封定位考试)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“aMODb”表示a除以b的余数)，若输入的a，b分别为675，125，则输出的a＝(　　)
A．0　　　B．25　　　C．50　　　D．75
解析：初始值：a＝675，b＝125；第一次循环：c＝50，a＝125，b＝50；第二次循环：c＝25，a＝50，b＝25；第三次循环：c＝0，a＝25，b＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a的值为25.
答案：B
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