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第六节　正弦定理和余弦定理及解三角形
1．正弦定理
＝＝＝2R，其中R是△ABC的外接圆半径．
正弦定理的常用变形：
(1)a＝2R
sin
A，b＝2R
sin
B，c＝2R
sin
C.
(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
(3)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc_cos_A，cos
A＝；
b2＝a2＋c2－2ac_cos_B，cos
B＝；
c2＝a2＋b2－2ab_cos_C，cos
C＝．
3．勾股定理
在△ABC中，∠C＝90°?a2＋b2＝c2．
4．三角形的面积公式
S△ABC＝aha＝bhb＝chc
＝ab_sin_C＝bc_sin__A＝ac_sin_B．
5．实际问题中的常用术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的范围是0°≤α<360°
续表
术语名称
术语意义
图形表示
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度
①北偏东m°②南偏西n°
坡角
坡面与水平面的夹角
设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan
α
坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比
1．射影定理
b
cos
C＋c
cos
B＝a，
b
cos
A＋a
cos
B＝c，
a
cos
C＋c
cos
A＝b.
2．三个角A，B，C与诱导公式的“消角”关系
sin
(A＋B)＝sin
C，
cos
(A＋B)＝－cos
C，
sin
＝cos
，
cos
＝sin
.
3．特殊的面积公式
(1)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
(2)S＝，P＝(a＋b＋c).
(3)S＝＝2R2sin
A·sin
B·sin
C(R为△ABC外接圆半径).
1．(基本方法：正弦定理)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)
A．4
B．2
C．
D．
答案：B
2．(基础知识：正、余弦定理)在△ABC中，若sin2A＋sin2BA．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
答案：C
3．(基础知识：三角形的面积公式)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为________．
答案：2
4．(基本能力：正弦定理)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b
sinA＋a
cos
B＝0，则B＝________．
答案：
5．(基本应用：实际问题中的常用术语)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的北偏西________，西偏北________．
答案：10°　80°
题型一　正、余弦定理的基本应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　正弦定理及其应用
[例1]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c＝1，B＝45°，cos
A＝，则b等于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：因为cos
A＝，所以sin
A＝＝＝，所以sin
C＝sin
[π－(A＋B)]＝sin
(A＋B)＝sin
A
cos
B＋cos
A
sin
B＝cos
45°＋sin
45°＝.
由正弦定理＝，得b＝×sin
45°＝.
答案：C
类型
2　余弦定理及其应用
[例2]　已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝(　　)
A．2
B．4＋2
C．4－2
D．－
解析：在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac
cos
30°＝4，
∴b＝2.
答案：A
类型
3　正、余弦定理混合应用
[例3]　已知△ABC满足sin2A＋sinA
sin
B＋sin2B＝sin2C，则C的大小是________．
解析：因为sin2A＋sinA
sin
B＋sin2B＝sin2C，所以a2＋ab＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝－ab，故cosC＝＝－(0＜C＜π)，所以C＝.
答案：
方法总结?
1．求解三角形的一般方法：
方法
解读
题型
正弦定理法
直接利用正弦定理(变式)求边、角
(1)已知两角及一边；(2)已知两边及一边对角
余弦定理法
直接利用余弦定理(变式)求边、角
(1)已知两边及夹角；(2)已知三边
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝b
sin
A
b
sin
A＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的个数
1
2
1
1
0
[题组突破]
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a
sin
B
cos
C＋c
sin
B
cos
A＝b，且a＞b，则B＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：∵a
sin
B
cos
C＋c
sin
B
cos
A＝b，
∴由正弦定理得sin
A
sin
B
cos
C＋sin
C
sin
B
cos
A＝sin
B，
即sin
B(sin
A
cos
C＋sin
C
cos
A)＝sin
B.
∵sin
B≠0，∴sin
(A＋C)＝，
即sin
B＝.
∵a＞b，∴A＞B，即B为锐角，∴B＝.
答案：A
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则C的大小是(　　)
A．或
B．
C．
D．
解析：∵b2＋c2－bc＝a2，∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos
A＝＝＝.又∵A∈(0，π)，∴A＝.由b2＋c2－a2＝bc及bc＝a2得b2＋c2－bc＝bc，即b2－4bc＋c2＝0.∴(b－c)·(b－c)＝0，解得c＝b或b＝c.①当c＝b时，由bc＝a2得a＝b，∴△ABC为等腰三角形，且A＝B＝，∴C＝；②当b＝c时，由bc＝a2得a＝c，∴△ABC是以B为顶点的等腰三角形，A＝C，∴C＝.综上，C的大小为或.
答案：A
3．(2021·安庆模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b
sin
2A＝a
sin
B，且c＝2b，则等于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：由正弦定理及b
sin
2A＝a
sin
B，得2sin
B
sin
A·cos
A＝sin
A
sin
B，又sin
A≠0，sin
B≠0，则cos
A＝.又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc
cos
A＝b2＋4b2－4b2·＝3b2，得＝.
答案：D
题型二　正、余弦定理的综合应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　判断三角形的形状
[例1]　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b
cos
C＋c
cos
B＝a
sin
A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：法一：因为b
cos
C＋c
cos
B＝b·＋c·＝＝a，所以a
sin
A＝a，即sin
A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为b
cos
C＋c
cos
B＝a
sin
A，
所以sin
B
cos
C＋sin
C
cos
B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，
故sinA＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法三：由射影定理可得b
cos
C＋c
cos
B＝a，
所以a＝a
sin
A，
所以sin
A＝1，即A＝，所以△ABC为直角三角形．
答案：B
(2)在△ABC中，若2sin
A
cos
B＝sin
C，那么△ABC的形状为________．
解析：法一：由已知得2sin
A
cos
B＝sin
C＝sin
(A＋B)
＝sin
A
cos
B＋cos
A
sin
B，即sin
(A－B)＝0，
因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，
所以△ABC为等腰三角形．
法二：由正弦定理得2a
cos
B＝c，
再由余弦定理得2a·＝c?a2＝b2?a＝b，
所以△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
类型
2　有关三角形的周长与面积
[例2]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos
A＝a
cos
C.
(1)求A；
(2)若a＝，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．
解析：(1)由(2b－c)cos
A＝a
cos
C知2×2R
sin
B
cos
A－2R
sin
C
cos
A＝2R
cos
C
sin
A，
由A＋B＋C＝π，得2sin
B
cos
A＝sin
B，
因为sin
B≠0，所以cos
A＝.
因为
0＜A＜π，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc
cos
A，
得13＝b2＋c2－2bc·，
即(b＋c)2－3bc＝13，
因为S△ABC＝bc·sin
A＝bc＝3，
所以bc＝12，
所以(b＋c)2－36＝13，即b＋c＝7，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋.
类型
3　有关三角形的边长与角度
[例3]　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a
sin
A＋b
sin
B＋b
sin
A＝c
sin
C.
(1)求C；
(2)若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．
解析：(1)因为a
sin
A＋b
sin
B＋b
sin
A＝c
sin
C，
所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.
由余弦定理得cos
C＝＝－，
又0＜C＜π，所以C＝.
(2)由(1)知C＝，
根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab
cos
C＝22＋(2)2－2×2×2×＝20，
所以c＝2.
由正弦定理＝，得＝，
解得sin
B＝，从而cos
B＝.
设BC的垂直平分线交BC于点E，
因为在Rt△BDE中，cos
B＝，所以BD＝＝＝.
因为点D在线段BC的垂直平分线上，所以CD＝BD＝.
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．　　?方法总结?
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
提醒　正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．
3．判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
边角互化法
边化角：用角的三角函数表示边
等式两边是边的齐次形式
角化边：将解析式中的角用边的形式表示
等式两边是角的齐次形式或a2＋b2－c2＝λab
[题组突破]
1．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
解析：因为＝＝＝，所以AB＝2sin
C，BC＝2sin
A，因此AB＋2BC＝2sin
C＋4sin
A
＝2sin
＋4sin
A
＝5sin
A＋cos
A＝2sin
(A＋φ).
因为φ∈，A∈，所以AB＋2BC的最大值为2.
答案：2
2．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________，的取值范围是________．
解析：由余弦定理得cos
B＝，
∴a2＋c2－b2＝2ac
cos
B．又∵S＝(a2＋c2－b2)，
∴ac
sin
B＝×2ac
cos
B，∴tan
B＝，∴B＝.
又∵C为钝角，∴C＝－A＞，∴0＜A＜.
由正弦定理得＝
＝＝＋·.
∵0＜tan
A＜，∴
＞，
∴＞＋×＝2，即＞2.
答案：　(2，＋∞)
题型三　解三角形的应用举例　
　　　　
　　　　　　　[典例剖析]
类型
1　解决测量问题
[例1]　(1)(可视两点)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为10
m，则树的高度h为(　　)
A．(5＋5)m
B．(30＋15)m
C．(15＋30)m
D．(15＋3)m
解析：在△PAB中，由正弦定理，得＝，因为sin
(45°－30°)＝sin
45°cos
30°－cos
45°sin
30°＝，所以PB＝5(＋)(m)，所以该树的高度h＝PB
sin
45°＝(5＋5)(m).
答案：A
(2)(河对岸或不可视两点)如图所示，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C.并测量得到一些数据：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________.(其中cos
48.19°取近似值)
解析：依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝＝2.在△BCE中，∠CBE＝45°，
由正弦定理得BC＝＝3.连接AB(图略)，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC
cos
∠ACB＝10，
∴AB＝.
答案：
类型
2　三角形在平面几何中的应用
[例2]　如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin
∠CAD.
解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
∠ABC，即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin
∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，
由正弦定理得＝，
即＝，②
①②两式相除，得＝，
即4＝sin
θ，整理得sin
θ＝2cos
θ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，故sinθ＝，即sin
∠CAD＝.
方法总结?
1．测量距离问题的解法：
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．
提醒　解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
2．测量角度问题的基本思路：
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
提醒　方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
3．把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．
4．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来．　　?
[题组突破]
1．(2020·郑州模拟)如图，一栋建筑物AB的高为(30－10)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米．
解析：在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20，过点A作AN⊥CD于点N(图略)，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以＝＝，所以AC＝60＋20，所以CN＝
30＋10，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－10＋30＋10＝60.
答案：60
2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12
n
mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10
n
mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14
n
mile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x
cos
120°，
解得x＝2(负值舍去)，
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin
α＝＝，
所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为.
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a
sin
＝b
sin
A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解析：(1)由题设及正弦定理得sin
A
sin
＝sin
B·sin
A.
因为sin
A≠0，所以sin
＝sin
B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin
＝cos
，
故cos
＝2sin
cos
.
因为cos
≠0，所以sin
＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，
所以＜a＜2，从而＜S△ABC＜.
因此，△ABC面积的取值范围是.
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(边角互化))
(2021·广西南宁模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a
sin
A
sin
B＋b
cos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
解析：(1)由正弦定理得a
sinB＝b
sin
A，
因为a
sin
A
sin
B＋b
cos2A＝a，所以b
sin2A＋b
cos2A＝a，所以＝.
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac
cosB，
因为c2＝b2＋a2，所以cos
B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2，
所以cos2B＝，易知cosB＞0，所以cos
B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
PAGE第五节　函数y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象性质及应用
1．五点法画函数y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象
(1)列表：
X＝ω·x＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
sin
X
0
1
0
－1
0
y
0
A
0
－A
0
(2)描点：，，，，．
(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝A
sin
(ωx＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．
2．由函数y＝sin
x的图象变换得到y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象的步骤
12个小环节构成6条路线：
(以③⑨?线路为例)
③把y＝sin
x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到y＝sin
(x＋φ)的图象；
⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到y＝sin
(ωx＋φ)；
?最后把所有点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，横坐标不变，就得到y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象．
3．y＝A
sin
(ωx＋φ)的物理意义
y＝A
sin
(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
1．平移变换的两种单位长度
由y＝sin
x的图象变换到y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
2．y＝A
sin
(ωx＋φ)＋b与最值的关系
A＝，b＝.
1．(基本应用：三角函数模型)电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i＝5sin
，t∈[0，＋∞)，则电流i变化的初相、周期分别是(　　)
A.，
B．，
C．，
D．，
答案：A
2．(基础知识：平移变换)若将函数y＝2sin
2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z)
B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z)
D．x＝＋(k∈Z)
答案：B
3．(基本方法：由变换得解析式)把函数y＝sin
x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是(　　)
A．y＝cos
2x
B．y＝－sin
2x
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：A
4．(基础知识：求变换单位)曲线C1：y＝cos
x，向左平移__________个单位长度，再将横坐标缩小到原来的__________，得到曲线C2：y＝cos
.
答案：　
5．(基本应用：求解析式)如图所示，某地一天从6～14
h的温度变化曲线近似满足函数y＝A
sin
(ωx＋φ)＋b，0＜φ＜π，则这段曲线的函数解析式为__________________．
答案：y＝10sin
＋20，x∈[6，14]
题型一　函数y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象及变换　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　图象变换
[例1]　已知函数f(x)＝sin
(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos
ωx的图象，只需将y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：因为T＝π，故ω＝＝2，因此g(x)＝cos
2x＝sin
，f(x)＝sin
y＝sin
＝sin
.
答案：A
类型
2　作y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象
[例2]　设函数f(x)＝cos
(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(3)由y＝sin
x经过怎样的变换得到f(x)＝cos
(ωx＋φ)的图象(x∈R).
解析：(1)∵最小正周期T＝＝π，
∴ω＝2.
∵f＝cos
＝cos
＝－sin
φ＝，
∴sin
φ＝－.
∵－<φ<0，
∴φ＝－.
(2)由(1)得f(x)＝cos
，列表：
x
0
π
2x－
－
0
π
f(x)
1
0
－1
0
图象如图所示．
(3)f(x)＝cos
＝sin
＝sin
，
∴由y＝sin
x向左平移个单位长度，得到y＝sin
的图象，再将图象的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin
的图象，即f(x)＝cos
的图象．
方法总结
函数y＝A
sin
(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的作法
(1)五点法：用“五点法”作y＝A
sin
(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，令z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象．
(2)图象变换法：由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
提醒　三角函数图象左右平移时应注意的问题
(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
(3)由y＝A
sin
ωx的图象得到y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为||，而不是|φ|.
[题组突破]
1．将函数y＝2sin
的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为________．
解析：把y＝2sin
图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝2sin
的图象，此图象关于y轴对称，则2m＋＝kπ＋(k∈Z)，m＝kπ＋(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值为.
答案：
2．已知函数f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到？
解析：(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－＜φ＜，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin
.
(2)因为x∈[0，π]，
所以2x＋∈.
列表如下：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)
1
2
0
－2
0
1
描点、连线得图象：
(3)将y＝sin
x的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象，再将y＝sin
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin
的图象，再将y＝sin
上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin
的图象．
题型二　由函数图象求解析式　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(1)函数f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象的解析式为(　　)
A．y＝sin
2x
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝cos
2x
解析：由题图知，A＝1，
T＝－＝＝，
所以T＝π＝，所以ω＝2，
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|＜，所以φ＝，
所以f(x)＝sin
，
所以把f(x)的图象向右平移个单位长度得
g(x)＝sin
＝sin
.
答案：B
(2)已知函数y＝f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为________．
解析：由题图可知＝－＝，A＝2，
即T＝π，A＝2，故ω＝＝2.
又f＝2，所以2×＋φ＝，故φ＝，
所以f(x)＝2sin
，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得
－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
答案：(k∈Z)
方法总结?
确定y＝A
sin
(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.　　?
[对点训练]
　已知函数f(x)＝sin
(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．
解析：法一：根据题干所给图象，周期T＝4×＝π，
故π＝，∴ω＝2，
因此f(x)＝sin
(2x＋φ)，
另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
再由|φ|＜，得φ＝－，
∴f(x)＝sin
，
∴f＝sin
，
当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．
法二：同法一知，T＝π，
又由图象可知当x＝－＝－时，f(x)取最小值．
∴y＝f(x)取得最小值时x的集合为
，
∴y＝f取得最小值时x的集合为.
答案：
题型三　函数y＝A
sin
(ωx＋φ)的图象性质的综合应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　三角函数零点问题
[例1]　(1)已知函数f(x)＝2sin
ωx－cos
ωx(ω＞0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为(　　)
A．
B．－
C．2
D．－2
解析：依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，则ω＝，所以f(1)＝2sin
－cos
＝2.
答案：C
(2)已知函数f(x)＝sin
ωx－cos
ωx(ω＞0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有4个实数根，则实数ω的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：因为f(x)＝sin
ωx－cos
ωx＝2sin
，
作出函数y＝f(x)的大致图象与直线y＝－1，如图所示．
令2sin
＝－1，得ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ，k∈Z，
所以x＝＋或x＝＋，k∈Z.
设直线y＝－1与曲线y＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，
易知xA＝＋，xB＝＋.
因为方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有4个实数根，
所以xA＜π≤xB，即＋＜π≤＋，解得＜ω≤.
答案：B
类型
2　三角函数模型问题
[例2]　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A
cos
ωt＋b(A＞0，ω＞0)的图象．根据以上数据，
(1)求函数f(t)的解析式；
(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．
解析：(1)由表格得解得
又因为T＝12，所以ω＝＝，
故y＝f(t)＝cos
t＋1.
(2)由题意，令cos
t＋1＞1.25，
即cos
t＞，
又因为t∈[0，24]，所以t∈[0，4π]，
故0≤t＜或＜t≤2π.
或2π＜t＜2π＋或2π＋＜t≤2π＋2π，
即0≤t＜2或10＜t≤12或12＜t＜14或22＜t≤24，
所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．
方法总结?
1．研究y＝A
sin
(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
2．方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
3．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．　　?
[题组突破]
1．若函数f(x)＝sin
(ω＞0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)
的最小正周期为________．
解析：∵f(0)＝f，
∴x＝是f(x)图象的一条对称轴，
∴f＝±1，
∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，
∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z).
又f(x)在上有且只有一个零点，
∴＜≤－，∴＜T≤，
∴＜≤(T＞0)，∴－≤k＜.
又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π.
答案：π
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|
＜)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格约为________元．
解析：作出函数简图如图所示：
三角函数模型为y＝A
sin
(ωx＋φ)＋B，
由题意知A＝×(9
000－5
000)＝2
000，
B＝7
000，周期T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3，9
000)看成“五点法”作函数图象时的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，
∴φ＝0，故f(x)＝2
000sin
x＋7
000(1≤x≤12，x∈N
)，
∴f(7)＝2
000×sin
＋7
000＝6
000(元)，
故7月份的出厂价格约为6
000元．
答案：6
000
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2
B．
C．1
D．
解析：由题意及函数y＝sin
ωx的图象(图略)与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
答案：A
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin
x＋sin
2x，则f(x)的最小值是________．
解析：法一：∵f(x)的周期为2π，在[0，2π)内考虑最值．
f′(x)＝2cos
x＋2cos
2x＝4cos2x＋2cosx－2＝2(2cos
x－1)(cos
x＋1)，
令f′(x)＝0，则cos
x＝或cos
x＝－1，∴x＝、π或，
∴f(x)min＝min＝f＝－.
法二：运用万能公式：sin
x＝，cos
x＝，
∴f(x)＝2sin
x＋sin
2x＝＋·＝.
设g(t)＝，∴g′(t)＝，令g′(t)＝0，t＝±，
当t＝－时g(t)min＝－.
法三：均值不等式：当x∈时，f(x)＝2sin
x＋sin
2x＝2sin
x(1＋cos
x)
＝2sin
·＝8sin
cos3
＝
＝
≤＝，
当且仅当x＝时，等号成立，
∴f(x)max＝，f(x)min＝－.
答案：－
eq
\a\vs4\al(素养升华\x(三角函数性质的整合与辨析))
　若函数f(x)＝sin
(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)在区间上的图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C.f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
解析：记f(x)的最小正周期为T.
由题图知，＝－，所以T＝π，所以ω＝＝2.
由题图知，当x＝，
即x＝－时，f(x)＝－1，
所以－×2＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－＋2kπ(k∈Z).
又|φ|＜π，
所以φ＝－，所以f(x)的解析式为f(x)＝sin
.
答案：A
PAGE第四节　三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
余弦函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，，，，(2π，1).
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
续表
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
为增；为减
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增
为增
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
3.周期函数
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．一个易混点
正切函数y＝tan
x的单调性只能说：在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上为增函数，不能说是：在定义域上为增函数．
2．一个易错点
求函数y＝A
sin
(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin
t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
3．三角函数的对称与周期的关系
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
4．关于周期的两个结论
函数y＝|sin
x|，y＝|cos
x|，y＝|tan
x|的周期为π，函数y＝sin
|x|不是周期函数，y＝tan
|x|不是周期函数．
1．(基础知识：正弦函数单调性)函数y＝sin
x，x∈[－π，π]的单调性是(　　)
A.在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
答案：B
2．(基础知识：正切函数定义域)函数y＝tan
2x的定义域是(　　)
A.
B．
C．
D．
答案：D
3．(基本方法：三角函数的最大值)f(x)＝cos
2x－3cos
x的最大值为________．
答案：4
4．(基本应用：三角函数的值域)y＝2cos
在区间上的值域是________．
答案：[－2，]
5．(基本能力：三角函数比较大小)cos
23°，sin
68°，cos
97°按从小到大的顺序排列是_________________．
答案：cos
97°＜cos
23°＜sin
68°
题型一　有关三角函数的定义域、值域、最值问题　
　　　　
　　　　　　　　　[典例剖析]
类型
1　有关三角函数的定义域
[例1]　函数f(x)＝的定义域为________．
解析：要使f(x)有意义，则有
kπ－＜x＋＜kπ或kπ＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，
所以kπ－＜x＜kπ－或kπ－答案：{x|kπ－＜x＜kπ－或kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z}
类型
2　利用单调性求最值
[例2]　已知函数f(x)＝sin2x＋sinx
cos
x.
若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解析：f(x)＝sin2x＋sinx
cos
x
＝－cos
2x＋sin
2x
＝sin
＋，由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin
在区间上的最大值为1，
所以2m－≥，即m≥，
即m的最小值为.
类型
3　利用三角函数换元求最值
[例3]　函数f(x)＝cos
2x＋6cos
的最大值为(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：∵f(x)＝cos
2x＋6cos
＝cos
2x＋6sin
x＝1－2sin2x＋6sinx＝－2＋，又sin
x∈[－1，1]，∴当sin
x＝1时，f(x)取得最大值5.
答案：B
方法总结?
1．形如y＝A
sin
(ωx＋φ)或y＝A
cos
(ωx＋φ)(A＞0)(x∈R)，其最值都是当sin
(ωx＋φ)＝±1或cos
(ωx＋φ)＝±1时取得的±A.
2．求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：
(1)形如y＝a
sin
x＋b
cos
x＋c的三角函数化为y＝A
sin
(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝a
sin2x＋b
sinx＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝a
sin
x
cos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c的三角函数，可先设t＝sin
x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
对于(2)(3)类型，主要采用换元法．
令t＝sin
x或t＝cos
x，进而将三角函数转化为关于t的函数．形如y＝a
sin2x＋b
sinx＋c，可设t＝sin
x，将其转化为二次函数y＝at2＋bt＋c(t∈[－1，1])；形如y＝a
sin
x
cos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c，可设t＝sin
x±cos
x，则t2＝1±2sin
x
cos
x，即sin
x
cos
x＝±(t2－1)，将其转化为二次函数y＝±a(t2－1)＋bt＋c(t∈[－，]).换元时一定要注意新元的取值范围．　　?
[题组突破]
1．函数f(x)＝3sin
在区间上的值域为(　　)
A.
B．
C．
D．
解析：当x∈时，
2x－∈，sin
∈，
故3sin
∈，即此时函数f(x)的值域为.
答案：B
2．函数y＝lg
sin
x＋
的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则有
即
解得(k∈Z)，
所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z，
所以函数的定义域为.
答案：
3．函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．
解析：f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－＋1，因为x∈，所以cos
x∈
[0，1]，所以当cos
x＝时，函数取得最大值1.
答案：1
题型二　三角函数的单调性　
　　　　
　　　　　　　　　[典例剖析]
类型
1　求三角函数的单调区间
[例1]　(1)函数f(x)＝sin
的单调递减区间为________．
解析：f(x)＝sin
＝sin
＝－sin
，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).
答案：(k∈Z)
(2)函数f(x)＝tan
的单调递增区间是________．
解析：由kπ－＜2x＋＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan
的单调递增区间为(k∈Z).
答案：(k∈Z)
类型
2　利用单调性比较大小
[例2]　已知函数f(x)＝2sin
，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜c＜b
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
解析：a＝f＝2sin
，
b＝f＝2sin
，
c＝f＝2sin
＝2sin
，
因为y＝sin
x在上单调递增，＜＜，所以c＜a＜b.
答案：B
类型
3　利用单调性求参数
[例3]　若函数f(x)＝sin
ωx(ω＞0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．
解析：法一：由于函数f(x)＝sin
ωx(ω＞0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二：由题意，得
f(x)max＝f＝sin
ω＝1.
由已知并结合正弦函数图象(图略)可知，ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋6k(k∈Z)，所以当k＝0时，ω＝.
答案：
方法总结?
1．求三角函数单调区间的方法：
代换法
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解
图象法
画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间
2．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：
子集法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离列不等式(组)求解
[题组突破]
1．已知ω＞0，函数f(x)＝cos
在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：函数y＝cos
x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，得k＝1，
所以ω∈.
答案：D
2．函数y＝sin4x＋2sinx
cos
x－cos4x，x∈[0，π]的单调递增区间为________．
解析：y＝sin4x＋2sinx
cos
x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＋sin2x＝－cos
2x＋sin
2x＝2sin
，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得－≤x≤.又0≤x≤π，所以0≤x≤.
令k＝1，得≤x≤.又0≤x≤π，所以≤x≤π，
所以函数y＝sin4x＋2sinx
cos
x－cos4x在[0，π]上的单调递增区间为，.
答案：，
3．若f(x)＝2sinωx＋1(ω＞0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
解析：法一：第一步　求出f(x)＝2sin
ωx＋1(ω＞0)的单调递增区间．
由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，
得f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
第二步　转化为集合之间的关系，即是函数f(x)单调递增区间的子区间．
∵f(x)在上是增函数，
∴?.
第三步　利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．
∴－≥－且≤，∴ω∈.
法二：第一步　由x的取值范围求出ωx(ω＞0)的取值区间．
∵x∈，ω＞0.
∴ωx∈.
第二步　由f(x)在区间上是增函数得ωx(ω＞0)的取值区间是的子区间．
又f(x)在区间上是增函数，
∴?.
第三步　利用数轴(图略)，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．
则
又ω＞0，得0＜ω≤.
法三：第一步　由f(x)在区间上是增函数得原点到区间端点的距离不超过.
∵f(x)在区间上是增函数，
∴原点到区间端点的距离不超过.
第二步　列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．
∴得T≥，即≥.
又ω＞0，得0＜ω≤.
答案：
题型三　三角函数的奇偶性、对称性、周期性　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　三角函数的周期性、奇偶性
[例1]　(1)(2021·宁夏银川模拟)函数f(x)＝3sin
，φ∈(0，π)，满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：因为f(|x|)＝f(x)，
所以函数f(x)＝3sin
是偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ＝kπ＋，k∈Z.又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
答案：C
(2)若函数f(x)＝2tan
的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．
解析：由题意得1＜＜2，k∈N，
∴＜k＜π，k∈N，
∴k＝2或3.
答案：2或3
类型
2　三角函数的对称性
[例2]　已知函数f(x)＝2sin
(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
解析：函数f(x)＝2sin
(ω＞0)的最小正周期是4π，
而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin
.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝＋2kπ(k∈Z)；
函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－.
对称中心为，当k＝1时为.
答案：B
方法总结?
1．(1)周期大小与x的系数有关：
利用函数y＝A
sin
(ωx＋φ)，y＝A
cos
(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝A
tan
(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解．
(2)对称性求周期：
①两条对称轴距离的最小值等于；
②两个对称中心距离的最小值等于；
③对称中心到对称轴距离的最小值等于.
(3)特征点法求周期：
①两个最大值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T；
②两个最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T；
③最大值点与最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于.
由于最值点与函数图象的对称轴相对应，则特征点法求周期实质上就是由对称性求解周期．
2．三角函数的奇偶性问题：
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A
sin
ωx或y＝A
tan
ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A
cos
ωx＋b的形式，
故形如y＝A
sin
(ωx＋φ)成为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；成为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z).
y＝A
cos
(ωx＋φ)成为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；成为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z).
(2)对于函数y＝A
sin
(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．　　?
[题组突破]
1．已知f(x)＝cos
x
sin
2x，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)既是偶函数又是周期函数
B．f(x)的最大值小于1
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)的图象关于直线x＝π对称
解析：对于选项A，由f(x)＝cos
x
sin
2x，得f(－x)＝cos
(－x)sin
2(－x)＝－cos
x
sin
2x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
又f(x＋2π)＝cos
(x＋2π)sin
2(x＋2π)＝cos
x
sin
2x＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，
所以f(x)既是奇函数又是周期函数，故选项A不正确．
对于选项B，因为|cos
x|≤1，|sin
2x|≤1，且等号不能同时成立，
所以无论x取什么值，f(x)＝cos
x
sin
2x的函数值均小于1，故选项B正确．
对于选项C，因为f(x)＋f(π－x)＝cos
x
sin
2x＋cos
(π－x)sin
2(π－x)＝cos
x
sin
2x＋cos
x
sin
2x＝2cos
x
sin
2x，
不能推出函数f(x)的图象关于点对称．故选项C不正确．
对于选项D，因为f(2π－x)＝cos
(2π－x)sin
2(2π－x)＝－cos
x
sin
2x＝－f(x)，
所以f(x)的图象不关于直线x＝π对称，故选项D不正确．
综上可得正确的结论是选项B.
答案：B
2．若函数y＝cos
(ω∈N
)的图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：依题意得cos
＝0，
则＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，又ω∈N
，
所以ω的最小值为2.
答案：B
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin
|x|＋|sin
x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
解析：法一：①中，f(－x)＝sin
|－x|＋|sin
(－x)|＝
sin
|x|＋|sin
x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确．
②中，当x∈时，f(x)＝sin
x＋sin
x＝2sin
x，函数单调递减，②错误．
③中，当x＝0时，f(x)＝0，
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin
x，令f(x)＝0，得x＝π.
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．
④中，∵sin
|x|≤|sin
x|，∴f(x)≤2|sin
x|≤2，
当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故④正确．
综上，①④正确．
法二：∵f(－x)＝sin
|－x|＋|sin
(－x)|＝sin
|x|＋|sin
x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除选项B；当＜x＜π时，f(x)＝sin
x＋sin
x＝2sin
x，∴f(x)在单调递减，故②不正确，排除选项A；∵y＝sin
|x|与y＝|sin
x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．
答案：C
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos
2x|
B．f(x)＝|sin
2x|
C．f(x)＝cos
|x|
D．f(x)＝sin
|x|
解析：作出函数f(x)＝|cos
2x|的图象，如图所示：
由图象可知f(x)＝|cos
2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin
2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos
|x|的周期为2π.f(x)＝sin
|x|不是周期函数，排除选项BCD.
答案：A
3．(2019·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin
(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；
②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；
③f(x)在单调递增；
④
ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
解析：已知f(x)＝sin
(ω＞0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋＜6π，得ω的取值范围是，所以④正确；当x∈时，＜ωx＋＜＋＜＜，所以f(x)在单调递增，所以③正确．
答案：D
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(三角函数的图象与性质))
1．函数f(x)＝sin
的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则f(x)在上的单调递增区间为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：因为f(x)＝sin
，
所以f(x)＝cos
(2x＋φ)，
函数f(x)＝cos
(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数的解析式为f1(x)＝
cos
＝cos
.
因为所得图象关于原点对称，
所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋(k∈Z).
因为|φ|＜，所以k＝－1，φ＝－，
则原函数为f(x)＝cos
.
由2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
又x∈，
所以－≤x≤，
即f(x)在上的单调递增区间为.
答案：A
2．已知函数f(x)＝sin
(3π－ωx－φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则函数f(x)的最小正周期为________，ω＝________．
解析：因为f(x)＝sin
(3π－ωx－φ)，
所以f(x)＝sin
(ωx＋φ).
因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，
所以函数f(x)的最小正周期为4π，
所以ω＝＝.
答案：4π　
PAGE第三节　和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式及恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)S(α＋β)：sin
(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β．
(2)S(α－β)：sin
(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β．
(3)C(α＋β)：cos
(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β．
(4)C(α－β)：cos
(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β．
(5)T(α＋β)：tan
(α＋β)＝．
(6)T(α－β)：tan
(α－β)＝．
2．倍角公式
(1)S2α：sin
2α＝2sin_αcos_α．
(2)C2α：cos
2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1
＝1－2sin2α．
(3)T2α：tan2α＝．
1．和、差、倍角公式的转化
2．公式的重要变形
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)半角公式(不要求记忆)：
①sin
＝±.
②cos
＝±.
③tan
＝±＝＝.
(3)升幂公式：1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
(4)公式变形：tanα±tan
β＝tan
(α±β)(1?tan
αtan
β).
(5)辅助角公式：a
sin
x＋b
cos
x＝sin
(x＋φ).
1．(基础知识：逆用公式)化简cos
15°cos
45°－cos
75°sin
45°的值为(　　)
A．　　　　　　　　
B．
C．－
D．－
答案：A
2．(基本方法：构造和角公式)已知sin
＝，α∈，则sin
α的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案：D
3．(基础知识：半角公式)已知cos
θ＝－，<θ<3π，那么sin
＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
答案：D
4．(基本能力：正切倍角公式)若α是第二象限角，且sin
(π－α)＝，则tan
2α＝________．
答案：－
5．(基本应用：辅助角公式)f(x)＝sin
(x＋3π)－3cos
x的最小值为________．
答案：－
题型一　两角和、差及倍角公式的直接应用　
　　　
[典例剖析]
类型
1　给值(角)求值
[例1]　(1)化简
的结果是(　　)
A．－cos1
B．cos
1
C．cos
1
D．－cos
1
解析：原式＝
＝
＝＝cos1.
答案：C
(2)若0＜α＜，－＜β＜0，cos
＝，sin
＝，则cos
＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：因为0＜α＜，所以＜α＋＜.
又cos
＝，
所以sin
＝
＝＝.
因为－＜β＜0，所以＜－＜.
又sin
＝，
所以cos
＝
＝＝，
所以cos
＝cos
＝cos
cos
＋sin
sin
＝×＋×＝.
答案：C
类型
2　给值求角
[例2]　(1)(2021·河南六市联考)已知cos
α＝，cos
(α－β)＝.若0＜β＜α＜，则β＝________．
解析：由cos
α＝，0＜α＜，
得sin
α＝
＝＝，
又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，
∴sin
(α－β)＝
＝＝.
由β＝α－(α－β)得cos
β＝cos
[α－(α－β)]
＝cos
αcos
(α－β)＋sin
αsin
(α－β)
＝×＋×＝，
∵β∈，∴β＝.
答案：
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan
(α－β)＝，tan
β＝－，则2α－β的值为________．
解析：∵tan
α＝tan
[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，
∵α∈(0，π)，∴0＜α＜.
又∵tan
2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝1.
∵tan
β＝－＜0，
∴＜β＜π，
∴－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－.
答案：－
方法总结?
1．应用三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等．　　?
2．“给值求角”
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
[题组突破]
1．设α∈，β∈，且tan
β＝，则(　　)
A．α－3β＝－
B．α－2β＝－
C．α＋3β＝
D．α＋2β＝
解析：法一(化切为弦)：因为tan
β＝，
所以＝，
即sin
βcos
α＝cos
β＋cos
βsin
α，
整理得sin
(β－α)＝cos
β，
即sin
(β－α)＝sin
.
因为α∈，β∈，
所以β－α∈，－β∈.
因为函数y＝sin
x在上单调递增，所以β－α＝－β，
整理得α－2β＝－.
法二(化弦为切)：因为＝＝＝，
所以tan
β＝＝tan
＝tan
.
因为α∈，β∈，＋∈，
又函数y＝tan
x在上单调递增，所以β＝＋，
即α－2β＝－.
答案：B
2．计算的值为(　　)
A．－
B．
C．
D．－
解析：原式＝＝
＝×＝.
答案：B
3．已知sin
＝，则sin
2α＝________．
解析：sin
2α＝－cos
＝2sin2－1＝2×－1＝－.
答案：－
题型二　两角和、差及倍角公式的逆用和变形运用　
　　　　　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(1)＝________．(用数字作答)
解析：原式＝＝＝＝＝－4.
答案：－4
(2)计算：tan
25°＋tan
35°＋tan
25°·tan
35°＝________．
解析：原式＝tan
(25°＋35°)(1－tan
25°tan
35°)＋tan
25°tan
35°＝(1－tan
25°tan
35°)＋tan
25°tan
35°＝.
答案：
(3)已知：①tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°＝1，②tan
5°
tan
10°＋tan
10°tan
75°＋tan
75°·tan
5°＝1，③tan
20°tan
30°＋tan
30°·tan
40°＋tan
40°·tan
20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．
解析：观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tan
αtan
β＋tan
βtan
γ＋tan
γtan
α＝1.
证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，
所以β＝90°－(α＋γ)，
故tan
β＝tan
[90°－(α＋γ)]＝＝＝＝，
所以tan
αtan
β＋tan
βtan
γ＝1－tan
αtan
γ，
即tan
αtan
β＋tan
βtan
γ＋tan
αtan
γ＝1.
方法总结?
1．将tan
(α＋β)＝整理变形为tan
α＋tan
β＝tan
(α＋β)－tan
α·tan
β·tan
(α＋β).
2．(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形：
sin
αsin
β＋cos
(α＋β)＝cos
αcos
β，
cos
αsin
β＋sin
(α－β)＝sin
αcos
β，
tan
α±tan
β＝tan
(α±β)·(1?tan
α·tan
β).
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[拓展]　1±sin
α＝，1＋cos
α＝2cos2，1－cos
α＝2sin2.
提醒　tanαtan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan
(α＋β)(或tan
(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　　?
[对点训练]
1．已知m＝，若sin
2(α＋γ)＝3sin
2β，则m＝(　　)
A.
B．
C．
D．2
解析：设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，
则2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B，
因为sin
2(α＋γ)＝3sin
2β，
所以sin
(A＋B)＝3sin
(A－B)，
即sin
A
cos
B＋cos
A
sin
B＝3(sin
A
cos
B－cos
A
sin
B)，
即2cos
A·sin
B＝sin
A
cos
B，
所以tan
A＝2tan
B，
所以m＝＝2.
答案：D
2.－＝________．
解析：－＝
＝＝＝4.
答案：4
题型三　三角恒等变换的综合应用　
　　　　
　　　　　　　　　[典例剖析]
[典例]　已知函数f(x)＝2sin
cos
ωx(0＜ω＜2)，且f(x)的图象过点.
(1)求ω的值及函数f(x)的最小正周期；
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，已知g＝，求cos
的值．
解析：(1)函数f(x)＝2sin
·cos
ωx＝·cos
ωx＝
sin
2ωx＋·＝sin
＋.
∵f(x)的图象过点，
∴sin
＋＝，
∴2ω·＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝，k∈Z.
又0＜ω＜2，∴ω＝1，
∴f(x)＝sin
＋，故它的最小正周期为＝π.
(2)将y＝f(x)＝sin
＋的图象向右平移个单位，
得到函数y＝g(x)＝sin
＋的图象．
已知g＝＝sin
＋，
∴sin
＝，
∴cos
＝1－2sin2＝.
方法总结?
三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题：先根据和角公式、倍角公式把函数解析式变为正弦型函数y＝A
sin(ωx＋φ)＋b或余弦型函数y＝A
cos
(ωx＋φ)＋b的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题：求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝A
sin
(ωx＋φ)＋b或y＝A
cos
(ωx＋φ)＋b的形式；
②利用公式T＝(ω＞0)求周期；
③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝A
sin
(ωx＋φ)＋b或y＝A
cos
(ωx＋φ)＋b的单调区间．　　?
[对点训练]
已知函数f(x)＝(sin
ωx－cos
ωx)cos
ωx＋(ω＞0)的图象的一条对称轴为x＝.
(1)求ω的最小值；
(2)当ω取最小值时，若f＝，－＜α＜0，求sin
的值．
解析：(1)f(x)＝(sin
ωx－cos
ωx)cos
ωx＋＝sin
ωx
cos
ωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－cos
2ωx＝sin
.
因为函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝，
所以ω－＝＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝1＋k(k∈Z).
又ω＞0，所以ω的最小值为1.
(2)由(1)知f(x)＝sin
.
则f＝sin
＝sin
＝.
因为－＜α＜0，所以－＜α＋＜，
所以cos
＞0，则cos
＝.
所以sin
＝sin
＝－sin
－cos
＝－2××－2×＋1＝－.
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2019·高考全国卷
Ⅱ)已知α∈，2sin
2α＝cos
2α＋1，则sin
α＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：法一：由2sin
2α＝cos
2α＋1，得4sin
α·cos
α＝2cos2α.
∵α∈，∴2sinα＝cos
α.
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝.
又α∈，∴sinα＝.
法二：设tan
α＝t，t∈(0，＋∞)，由已知得＝＋1，解得t＝.∴t＝＝，∴sin2α＝，∴sinα＝.
答案：B
2．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数?(x)＝的最小正周期为(　　)
A．
B．
C．π
D．2π
解析：由万能公式可知f(x)＝sin2x，故T＝＝π.
答案：C
3．(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin
的值是________．
解析：由＝＝＝－，解得tan
α＝2或－.
sin
＝(sin
2α＋cos
2α)
＝(2sin
αcos
α＋2cos2α－1)
＝(sinαcos
α＋cos2α)－
＝·－
＝·－，
将tanα＝2和－分别代入得sin
＝.
∵
＝＝－，
∴
sin
αcos
＝－cos
αsin
.①
又sin
＝sin
＝sin
cos
α－cos
sin
α＝，②
由①②，解得sin
αcos
＝－，
cos
αsin
＝.
∴
sin
＝sin
＝sin
αcos
＋cos
αsin
＝.
令tan
α＝t(t≠±1)，则t＝－·，得t＝2或t＝－，
故sin
＝(sin
2α＋cos
2α)
＝＝.
答案：
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(角的灵活变换))
已知sin
(α＋2β)＝，cos
β＝，α，β为锐角，则sin
(α＋β)的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：因为cos
β＝，β为锐角，
所以sin
β＝
＝，cos
2β＝2cos2β－1＝－＜0，
又β为锐角，所以＜2β＜π，
因为α为锐角，所以α＋2β∈，
又sin(α＋2β)＝，
所以cos
(α＋2β)＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝sin
[(α＋2β)－β]
＝sin
(α＋2β)cos
β－cos
(α＋2β)sin
β
＝×－×
＝.
答案：D
PAGE第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
　　
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．
(2)商数关系：＝tan_x.
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos
α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan
α
tan_α
－tan_α
－tan_α
1．“一个口诀”
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限.
2．两个注意
(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．
(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论．
3．两个推广
tan
＝，tan
＝－.
1．(基础知识：同角关系)已知sin
α＝，≤α≤π，则tan
α＝(　　)
A．－2
B．2
C．
D．－
答案：D
2．(基本方法：诱导公式)sin
210°cos
120°的值为(　　)
A．
B．－
C．－
D．
答案：A
3．(基本能力：运算)已知tan
α＝2，则的值为________．
答案：3
4．(基本应用：诱导公式)化简·sin
(α－π)·cos
(2π－α)
的结果为________．
答案：－sin2α
5．(基本能力：诱导公式)已知<α<π，3sin2α＝2cos
α，则sin
＝________．
答案：
题型一　同角三角函数关系的应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　公式的直接应用
[例1]　若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：cos
α＝＝，∴tan
α＝＝－.
答案：D
类型
2　关于sin
α、cos
α的齐次式问题
[例2]　已知tan
α＝－，求：(1)；
(2)；(3)sin2α＋sinαcos
α＋2.
解析：(1)＝＝＝.
∵tanα＝－，
∴＝＝＝－.
(2)＝＝＝.
(3)原式＝
＝＝＝.
类型3　“sin
α±cos
α”“sin
αcos
α”及“1”之间的转化
[例3]　(1)已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈，则sin
θ－cos
θ的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．－
解析：因为(sin
θ＋cos
θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cos
θ＝1＋2sin
θcos
θ＝，所以2sin
θcos
θ＝，则(sin
θ－cos
θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθ·cos
θ＝1－2sin
θcos
θ＝.
又因为θ∈，所以sin
θθ，即sin
θ－cos
θ<0，
所以sin
θ－cos
θ＝－.
答案：B
(2)若1＋cos
α＝3sin
α，则tan
α＝________．
解析：∵3sin
α－cos
α＝1，
∴9sin2α－6sinαcos
α＋cos2α＝1，
∴4sin2α－3sinαcos
α＝0，
∴sin
α(4sin
α－3cos
α)＝0，
∴sin
α＝0，此时cos
α＝－1，∴tan
α＝0，
或者4sin
α－3cos
α＝0，∴tan
α＝.
答案：0或
方法总结?
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan
θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan
θ化成正切
解析式中含有sin
θ，cos
θ与tan
θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin
θ±cos
θ)2?2sin
θcos
θ
解析式中需要利用“1”转化
和积转换
利用(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θ·cos
θ的关系进行变形、转化
解析式中含有sin
θ±cos
θ或sin
θcos
θ
次幂升降
(1)对于含有根号的，即形如(其中A是可以转化为形如a2的三角函数式)的式子，常把根号下的式子化为完全平方式，根据二次根式的性质化简或求值．(2)对于含有高次的三角函数式，一般借助于因式分解、约分、构造sin2θ＋cos2θ＝1来降低次数
出现根号或高次幂的结构形式
　　?
[题组突破]
1．(2021·平顶山联考)已知＝5，则cos2α＋sin2α＝(　　)
A．
B．－
C．－3
D．3
解析：由＝5知tan
α＝2，
∴cos2α＋sin2α＝＝＝.
答案：A
2．已知α是三角形的内角，且tanα＝－，则sin
α＋cos
α的值为________．
解析：
∵α∈(0，π)，tan
α＝－，∴α∈.
∴cos
α＝－3sin
α，∴9sin2α＋sin2α＝1，∴sinα＝，
∴sin
α＋cos
α＝－2sin
α＝－.
答案：－
3．(母题变式)在例3(1)中，如何求tan
θ.
解析：由得
sin
θ＝，cos
θ＝，∴tan
θ＝＝＝.
题型二　诱导公式的应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(1)已知θ是第四象限角，且sin
＝，则tan
＝________．
解析：因为θ是第四象限角，
且sin
＝，
所以θ＋为第一象限角，
所以cos
＝，
所以tan
＝
＝
＝－＝－.
答案：－
(2)设f(α)＝(1＋2sinα≠0).
①化简f(α)；
②若α＝－，求f(α)的值．
解析：①f(α)＝
＝＝
＝＝.
②当α＝－时，f(α)＝f＝＝＝＝＝.
方法总结?
1.诱导公式的作用是异角化同角
2．应用诱导公式时，注意
(1)明确函数名是变，还是不变；
(2)明确函数值符号是正还是负；
(3)明确是否直接用公式；
(4)明确各公式的应用顺序．
3．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中，可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．　　?
[对点训练]
1．已知tan
＝，则tan
＝________．
解析：tan
＝tan
＝tan
＝－tan
＝－.
答案：－
2．(母题变式)若本例(1)条件不变，求cos
＋cos
的值．
解析：cos
＝cos
＝cos
＝
，cos
＝cos
＝－sin
＝－，
∴cos
＋cos
＝－＝.
题型三　同角三角函数关系的诱导公式的综合应用　
　　　　
　　　　　　　　　[典例剖析]
类型
1　以化为“同名”函数为主线
[例1]　已知α∈，sin
cos
＝－，求tan
α的值．
解析：∵sin
cos
＝cos
α·(－sin
α)＝＝＝－，∴tan
α＝或tan
α＝2.又α∈，∴tan
α＝.
类型
2　以化为“同角”函数为主线
[例2]　已知cos
＝，则cos
＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
解析：由cos
＝cos
＝
－sin
＝，
所以sin
＝－，所以cos
＝
cos
＝sin
＝－.
答案：C
类型
3　以“变式”为主线
[例3]　(1)已知函数f(x)＝a
sin
(πx＋α)＋b
cos
(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2
021)的值为(　　)
A．－1
B．1
C．3
D．－3
解析：因为f(4)＝3，所以a
sin
α＋b
cos
β＝3，故f(2
021)＝a
sin
(2
021π＋α)＋b
cos
(2
021π＋β)
＝－a
sin
α－b
cos
β＝－(a
sin
α＋b
cos
β)＝－3.
答案：D
(2)已知sin
α和cos
α是方程4x2＋2x＋m＝0的两根，则cos3＋cos3＝________．
解析：由根与系数的关系，得sinα＋cos
α＝－，
sin
αcos
α＝，
∵(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
α·cos
α，∴＝1＋，解得m＝1，
∴sin
αcos
α＝，∴sin
α＜0，cos
α＜0，则α为第三象限角．
原式＝sin3α－cos3α＝(sinα－cos
α)·(sin2α＋sinα·cos
α＋cos2α)＝(sinα－cos
α)·(1＋sin
α·cos
α)＝(sin
α－cos
α).
而(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
α·cos
α＝1－＝，当sin
α＞cos
α，
即2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)时，sin
α－cos
α＝，此时，sin3α－cos3α＝；
当sinα＜cos
α，即2kπ＋＜α＜2kπ＋(k∈Z)时，sin
α－cos
α＝－，此时，sin3α－cos3α＝－.
综上，sin3α－cos3α＝±.
答案：±
方法总结?
1．先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系求解，用诱导公式时务必先使其符合公式形式：变其角，合其形，求其值．
2．诱导公式与同角关系式结合起来，进行“三变”，变角、变名、变式．
变名：主要是沟通已知与所求函数名之间的联系，进行转化，正弦?余弦，切?弦．
变角：主要沟通已知角与所求角之间的联系，用已知角表示所求角．　　?
[题组突破]
1．已知tanα＝2，则cos
(π＋α)·cos
的值为________．
解析：依题意得cos
(π＋α)cos
＝cos
αsin
α＝＝＝.
答案：
2．sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．
解析：因为sin1°＝cos
89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝.
答案：
3．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos
＋5＝0，tan
(π＋α)＋6sin
(π＋β)－1＝0，则sin
α＝________．
解析：由已知得－2tan
α＋3sin
β＋5＝0，①
tan
α－6sin
β－1＝0，②
∴tan
α＝3，即＝3.又sin2α＋cos2α＝1，
α为锐角，∴sinα＝.
答案：
　　　　
　　　　　　　　　
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(“1”的代换技术)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin
(α＋β)＝________．
解析：∵sin
α＋cos
β＝1，①
cos
α＋sin
β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＋1＝1.
∴sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝－，
∴sin
(α＋β)＝－.
答案：－
2．(角的“变换术”)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan
＝，则tan
α＝________．
解析：法一：因为tan
＝，所以＝，即＝，解得tan
α＝.
法二：因为tan
＝，
所以tan
α＝tan
＝＝＝.
答案：
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(同角三角函数基本关系的应用))
已知cos
α＝k，k∈R，α∈，则sin
α＝(　　)
A．－
B.
C．±
D.
解析：由cos
α＝k，k∈R，α∈，可知k＜0，设角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，OP＝1，所以＝1，得y＝
，由三角函数定义可知sin
α＝
.
答案：B
PAGE第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．任意角的概念
(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．
①正角：按逆时针方向旋转形成的角；
②负角：按顺时针方向旋转形成的角；
③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度与角度的互化
(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．
(2)角α的弧度数公式：|α|＝．
(3)角度与弧度的换算：
360°＝2π
rad，1°＝
rad，1
rad＝°≈57°18′.
(4)扇形的弧长及面积公式：
弧长公式：l＝α·r．
面积公式：S＝l·r＝α·r2.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
4．终边相同的角的三角函数
sin
(α＋k·2π)＝sin_α，
cos
(α＋k·2π)＝cos_α，
tan
(α＋k·2π)＝tan_α(其中k∈Z)，
即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
1．一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．两个关注点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．
3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
4．四种角的终边关系
(1)β，α终边相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.
(2)β，α终边关于x轴对称?β＝－α＋2kπ，k∈Z.
(3)β，α终边关于y轴对称?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
(4)β，α终边关于原点对称?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
1．(基础知识：弧长公式)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)
A．10π
B．9π
C．
D．
答案：D
2．(基本能力：终边相同的角的概念)下列与的终边相同的角的解析式中正确的是(　　)
A．2kπ－45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
答案：C
3．(基本方法：角的范围)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案：C
4．(基础知识：三角函数定义)已知角α的终边过点(－4，3)，则cos
α＋sin
α＝________．
答案：－
5．(基本应用：函数定义域)函数y＝的定义域为________________．
答案：
题型一　终边相同的角及象限角　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　终边相同的角
[例1]　(1)与－2
010°终边相同的最小正角是________．
解析：因为－2
010°＝(－6)×360°＋150°，
所以150°与－2
010°终边相同．又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2
010°终边相同，故与－2
010°终边相同的最小正角是150°.
答案：150°
(2)用角的集合表示下面各区域角(阴影部分).
解析：①射线y＝x表示α＝的终边，y轴上半轴表示β＝的终边，其区域角为.
②x轴正半轴表示α＝0的终边，其区域角为
{α|kπ≤α≤kπ＋，k∈Z}．
③{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}．
④{α|－＋kπ≤α≤kπ＋，k∈Z}．
类型
2　象限角
[例2]　已知sin
α＞0，cos
α＜0，则
α所在的象限是(　　)
A.第一象限
B．第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
解析：因为sin
α＞0，cos
α＜0，所以α为第二象限角，即＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ＜α＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α为第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角．
答案：C
方法总结?
1．象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[拓展]　求或nθ(n∈N
)所在象限的方法
(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示．
(2)两边同除以n或乘n.
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N
)所在的象限．
2．表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．
(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
提醒　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．　　?
[题组突破]
1．设θ是第三象限角，且＝－cos
，则是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，
∵＝－cos
，∴cos
＜0.
综上知，为第二象限角．
答案：B
2．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π]内的角α的集合为________．
解析：如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π]内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为{－，－，，}．
答案：
题型二　扇形弧长、面积公式的应用　
　　
[典例剖析]
[典例]　(1)(2021·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2
B．sin
2
C．
D．2
sin
1
解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D，则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1，
在Rt△AOC中，AO＝＝，
即r＝，从而弧AB的长为l＝α·r＝.
答案：C
(2)(2021·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析：设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为R，因此该圆心角的弧度数是α＝＝＝.
答案：
(3)若扇形的周长为20，当扇形所在圆的半径为________时，
扇形面积最大，最大值为________．
解析：由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，
故S扇＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25.
答案：5　25
方法总结?
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．　　?
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
[对点训练]
1．(2021·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为(　　)
A．120平方步
B．240平方步
C．360平方步
D．480平方步
解析：由题意可得S＝×8×30＝120(平方步).
答案：A
2．某广告公司制作一块扇环形的广告牌(如图)，测得该扇环的长为6米，的长为2米，AD与BC的长均为2米．若每平方米制作费用为200元，则此广告牌的制作费用是(　　)
A．800元
B．1
600元
C．2
400元
D．3
200元
解析：设扇环的圆心角为θ，小扇形的半径为r，
则大扇形的半径为r＋2，
则解得
∴扇环的面积S＝×32×2－×12×2＝8(平方米).
∴广告牌的制作费用是8×200＝1
600(元).
答案：B
题型三　三角函数的定义　
　　　　
　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　用三角函数的定义求值
[例1]　(1)(2021·山西大同模拟)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos
α＝－，则x的值为________．
解析：∵cos
α＝＝＝－，
∴解得x＝.
答案：
(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin
α＋的值为________．
解析：设α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝
＝|k|.
当k＞0时，r＝k，
∴sin
α＝＝－，
＝＝，
∴10sin
α＋＝－3＋3＝0；
当k＜0时，r＝－k，
∴sin
α＝＝，
＝＝－，
∴10sin
α＋＝3－3＝0.
答案：0
类型
2　三角函数值符号的判断
[例2]　(1)sin
2·cos
3·tan
4的值(　　)
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
解析：∵<2<3<π<4<，
∴sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0.
∴sin
2·cos
3·tan
4<0.
答案：A
(2)已知sin
2θ＜0，且|cos
θ|＝－cos
θ，则点P(tan
θ，cos
θ)在第________象限．
解析：法一：由sin
2θ＜0，得2kπ＋π＜2θ＜2kπ＋2π(k∈Z)，kπ＋＜θ＜kπ＋π(k∈Z).
当k为奇数时，θ的终边在第四象限；
当k为偶数时，θ的终边在第二象限．
又cos
θ≤0，∴θ的终边在左半坐标平面(包括y轴)上，
∴θ的终边在第二象限，
∴tan
θ＜0，cos
θ＜0，点P在第三象限．
法二：由|cos
θ|＝－cos
θ知cos
θ≤0，　①
又sin
2θ＜0，即2sin
θcos
θ＜0.　②
由①②可推出
因此θ的终边在第二象限，点P(tan
θ，cos
θ)在第三象限．
答案：三
类型
3　三角函数线的应用
[例3]　(1)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin
α，cos
α，tan
α的大小是(　　)
A．sin
ααα
B．cos
ααα
C．sin
ααα
D．tan
ααα
解析：如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT>OM>MP，故有sin
ααα.
答案：C
(2)y＝
的定义域为________．
解析：∵sin
x≥，作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为.
答案：
方法总结?
1．已知角α的终边求三角函数值的关键点
(1)已知角α终边上点P的坐标
①求点P到原点的距离．
②利用三角函数定义求解．
(2)已知角α终边所在的直线方程
①根据象限位置，设出α的终边上点P的坐标．
②利用三角函数定义求解．
2．判断三角函数值符号的关键点
(1)确定α的终边所在的象限位置．
(2)根据α终边上点P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横纵坐标同号，正切值为正，异号正切值为负．
3．利用函数线解决三角不等式，比较三角函数值，其关键是正确作出三角函数线
(1)找出角α的终边与单位圆的交点P.
(2)作x轴的垂线，过单位圆与x轴的正半轴的交点作圆的切线．
(3)找出所用的三角函数线．(注意方向)
?
[题组突破]
1．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin
α·tan
α等于(　　)
A．－
B．±
C．－
D．±
解析：由OP2＝＋y2＝1，
得y2＝，y＝±.
当y＝时，sin
α＝，tan
α＝－，
此时，sin
α·tan
α＝－.
当y＝－时，sin
α＝－，tan
α＝，
此时，sin
α·tan
α＝－，
所以sin
α·tan
α＝－.
答案：C
2．已知点P(cos
α，tan
α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：由题意可得则所以角α的终边在第二象限．
答案：B
3．函数y＝lg
(2sin
x－1)＋的定义域为________．
解析：要使原函数有意义，必须有
即
如图所示，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(k∈Z).
答案：(k∈Z)
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan
α＜cos
α＜sin
α，则P所在的圆弧是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，
在上，tan
α＞sin
α，不满足；
在上，tan
α＞sin
α，不满足；
在上，sin
α＞0，cos
α＜0，tan
α＜0，且cos
α＞tan
α，满足；
在上，tan
α＞0，sin
α＜0，cos
α＜0，不满足．
答案：C
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(三角函数定义的应用))
　(2020·福建高考模拟)我国古代数学家僧一行应用“九服晷(guǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角函数知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝h
tan
θ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.现测得午中晷影长度l≈0.42，则天顶距θ约为(　　)
(参考数据：tan
1°≈0.017
5，tan
2°≈0.034
9，tan
3°≈0.052
4，tan
22.8°≈0.420
4)
A．2°
B．3°
C．11°
D．22.8°
解析：由题意，可得晷影长l＝h
tan
θ，且顶距θ＝1°时，晷影长l≈0.14.
所以h＝≈＝8，
当晷影长度l≈0.42时，则tan
θ＝≈＝0.052
5，
所以θ
≈3°.
答案：B
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