资源简介

第五节　推理与证明
1．合情推理
类型
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
1．类比推理的注意点
在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑．如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．
2．类比推理的几个角度
方法
解读
适合题型
类比定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来解
已知熟悉定义类比新定义
类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
平面几何与立体几何；等差数列与等比数列
续表
类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移
已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法
类比结构
有些是类比等式或不等式形式的推理，可以从结构特点上类比，如两项类比三项，长度类比面积，平方类比立方，面积类比体积，平面类比空间
几何问题的结论
3.直接证明
内容
综合法
分析法
定义
从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法
从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法
特点
从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件
从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件
4.间接证明——反证法
要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法．
5．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立．
(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．
1.(基本方法：归纳推理)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的解析式是(　　)
A．an＝3n－1
B．an＝4n－3
C．an＝n2
D．an＝3n－1
答案：C
2．(基础知识：三段论)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点，以上推理(　　)
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．结论正确
答案：A
3．(基本能力：类比推理)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为(　　)
A.1∶8
B．8∶1
C．4∶1
D．1∶4
答案：A
4．(基本能力：类比推理)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________．
答案：
5．(基本能力：归纳推理)观察下列不等式：
1＋＜，
1＋＋＜，
1＋＋＋＜，
……
照此规律，第五个不等式为________________．
答案：1＋＋＋＋＋＜
题型一　合情推理与演绎推理　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　归纳推理
[例1]　(1)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为(　　)
A．81
B．121
C．364
D．1
093
解析：由题图可知，每一个图形中去掉小三角形的个数等于前一个图形去掉小三角形个数的3倍加1，
所以n＝1时，a1＝1；
n＝2时，a2＝3＋1＝4；
n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；
n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；
n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；
n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.
答案：C
(2)(2021·湖北襄阳优质高中联考)将三项式(x2＋x＋1)n展开，当n＝0，1，2，3，…时，得到以下等式：
(x2＋x＋1)0＝1，
(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1，
(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1，
(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1，
……
观察多项式系数之间的关系，可以依照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有(2k＋1)个数，若(x2＋x＋1)5(1＋ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为________．
解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行的数为：
1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，
故(1＋ax)(x2＋x＋1)5的展开式中，x7项的系数为30＋45a＝75，得a＝1.
答案：1
类型
2　类比推理
[例2]　(1)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O?ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面△ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)
A．S2＝S＋S＋S
B．S2＝
eq
\f(1,S)
＋
eq
\f(1,S)
＋
eq
\f(1,S)
C．S＝S1＋S2＋S3
D．S＝＋＋
解析：如图所示，作OD⊥BC于点D，连接AD，则AD⊥BC，从而S2＝＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝＋＋＝S＋S＋S.
答案：A
(2)若点P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为______________．
解析：若点P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2(图略)，则切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.
答案：－＝1
类型
3　演绎推理
[例3]　(1)(2021·河南洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
解析：选项A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故选项A错误；选项CD都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以选项CD都不正确，只有选项B正确．
答案：B
(2)下面四个推理中，不属于演绎推理的是(　　)
A．因为函数y＝sin
x(x∈R)的值域为[－1，1]，2x－1∈R，所以y＝sin
(2x－1)(x∈R)的值域为[－1，1]
B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿
C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，将此结论放到空间中也是如此
D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论
解析：选项C中的推理属于合情推理中的类比推理，选项ABD中的推理都是演绎推理．
答案：C
方法总结?
1．归纳推理问题的常见类型及解题策略：
(1)与数字有关的等式的归纳推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．
(2)与式子有关的归纳推理：
①与不等式有关的归纳推理，观察每个不等式的特点，注意从纵向看，找到规律后可解．
②与数列有关的归纳推理，通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可求解．
(3)与图形变化有关的归纳推理，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
2．类比推理是由一类事物的特殊性推另一类事物的特殊性，首先要找出两类事物之间的联系与不同，然后找出“特殊性”是什么内容，定义方面、性质方面、方法方面、运算方面等，从而推导结论．
3．演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不便发现新结论．　　?
[题组突破]
1．(2021·福建泉州模拟)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝cos
θ，b＝sin
θ＋cos
θ，c＝cos
θ－sin
θ，对方的三个数及排序如表：
第一局
第二局
第三局
对方
tan
θ
sin
θ
当0＜θ
＜时，我方必胜的排序是(　　)
A．a，b，c
B．b，c，a
C．c，a，b
D．c，b，a
解析：因为当0＜θ＜时，cos
θ－sin
θ＜cos
θ＜sin
θ＋cos
θ，sin
θ＜tan
θ＜.由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c，b，a.
答案：D
2．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________________________________________________．
解析：因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
题型二　直接证明与间接证明　
　　　　
　　　　　　　　　[典例剖析]
类型
1　综合法
[例1]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
Asin
B＋sin
B
sin
C＋cos
2B＝1.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若C＝，求证：5a＝3b.
证明：(1)由已知得sin
A
sin
B＋sin
B
sin
C＝2sin2B，
因为sinB≠0，
所以sin
A＋sin
C＝2sin
B，
由正弦定理，得a＋c＝2b，
即a，b，c成等差数列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，
所以5a＝3b.
类型
2　分析法
[例2]　a＞0，证明
＋＜2
.
证明：因为a＞0，＋＞0，2
＞0，
所以要证
＋＜2
，
只需证(
＋)2＜(2
)2，
即证2a＋2＋2＜4(a＋1)，
只需证
＜a＋1，
即证a(a＋2)＜(a＋1)2，
即证0＜1，
而0＜1显然成立，所以原不等式成立．
类型
3　反证法
[例3]　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N
)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
所以d＝2，故an＝2n－1＋，
Sn＝n(n＋)(n∈N
).
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋，
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N
，且互不相等)成等比数列，
则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
因为p，q，r∈N
，所以
所以＝pr，(p－r)2＝0，
所以p＝r，与p≠r矛盾，
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
类型4　数学归纳法
[例4]　数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式·…·＞均成立．
证明：①当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.
∵左边＞右边，
∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，且k∈N
)时不等式成立，
即·…·＞，
则当n＝k＋1时，·…·
＞·＝
＝＞
＝
＝，
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②知对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
方法总结?
1．综合法的推理方式：
(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
2．分析法的思路：
“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等．
3．(1)反证法的适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证．
(2)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面．
4．数学归纳法主要是用来证明与自然数有关的等式、不等式、数列的归纳猜想等，常与数列结合起来，关键是第二步，归纳假设的应用．　　?
[题组突破]
1．已知a＞0，求证
－≥a＋－2.
证明：要证
－≥a＋－2，
只需证
≥－(2－).
因为a＞0，所以－(2－)＞0，
所以只需证≥，
即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.
因为a＞0，所以a＋≥2显然成立(当且仅当a＝＝1时等号成立)，所以原不等式成立．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
解析：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.
(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap，aq，ar(p＜q＜r，且p，q，r∈N
)，
则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(
)
又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N
.
所以(
)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．
所以假设不成立，原命题得证．
3．用数学归纳法证明＋＋…＋≥(n∈N
).
证明：①当n＝1时，左边＝＋＝≥，
∴当n＝1时，命题成立；
②假设当n＝k(k∈N
)时，命题成立，
则有＋＋…＋≥，
当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋＋－>＋×3－＝，
∴当n＝k＋1时，命题也成立．
综合①②可知原命题成立．
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(思维的灵魂——推理))
1.(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
cm，头顶至脖子下端的长度为26
cm，则其身高可能是(　　)
A．165
cm
B．175
cm
C．185
cm
D．190
cm
解析：设某人身高为m
cm，脖子下端至肚脐的长度为n
cm，则由腿长为105
cm，可得＞≈0.618，解得m＞169.890.
由头顶至脖子下端的长度为26
cm，
可得＞≈0.618，解得n＜42.071.
由已知可得＝≈0.618，解得m＜178.218.
综上，此人身高m满足169.890＜m＜178.218，所以其身高可能为175
cm.
答案：B
2．(2020·高考全国卷Ⅱ)0－1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…an…满足ai∈{0，1}(i＝1，2，…)，且存在正整数m，使得ai＋m＝ai(i＝1，2，…)成立，则称其为0－1周期序列，并称满足ai＋m＝ai(i＝1，2，…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0－1序列a1a2…an…，C(k)＝iai＋k(k＝1，2，…，m－1)是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0－1序列中，满足C(k)≤(k＝1，2，3，4)的序列是(　　)
A．11010…
B．11011…
C．10001…
D．11001…
解析：周期为5的0－1序列中，C(k)＝iai＋k(k＝1，2，3，4).
验证C(1)＝(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a6)
＝(a1a2＋a2a3＋a3a4＋a4a5＋a5a1)≤.
对于选项A，C(1)＝(1＋0＋0＋0＋0)＝，满足C(1)≤.
对于选项B，C(1)＝(1＋0＋0＋1＋1)＝＞，不满足，故排除B.
对于选项C，C(1)＝(0＋0＋0＋0＋1)＝，满足C(1)≤.
对于选项D，C(1)＝(1＋0＋0＋0＋1)＝＞，不满足，故排除选项D.
再对选项AC验证C(2)＝(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7)
＝(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a1＋a5a2)≤.
对于选项A，C(2)＝(0＋1＋0＋1＋0)＝＞，不满足，故排除选项A.
对于选项C，C(2)＝(0＋0＋0＋0＋0)＝0，满足C(2)≤.
答案：C
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(推理的应用))
如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i＜j＜k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为(　　)
A．5
B．8
C．10
D．15
解析：满足条件1≤i＜j＜k≤12，k－j＝3且j－i＝4的(i，j，k)有(1，5，8)，(2，6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共5个；满足条件1≤i＜j＜k≤12，k－j＝4且j－i＝3的(i，j，k)有(1，4，8)，(2，5，9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共5个，所以一共有10个．
答案：C
PAGE第四节　基本不等式
1．重要不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立).
2．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件是a>0，b>0．
(2)等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
1．基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号).
(2)a＋b≥2
(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号).
2．几个重要的结论
(1)≥.
(2)＋≥2(ab＞0).
(3)≤≤≤
(a＞0，b＞0).
1．(基础知识：求积的最值)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80
B．77
C．81
D．82
答案：C
2．(基础知识：不等式的应用条件)若x＜0，则x＋(　　)
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
答案：D
3．(基本方法：构造不等式的定值)已知x>1，则x＋的最小值为________．
答案：5
4．(基本能力：“1”的代换)若＋＝1(a>0，b>0)，则a＋b的最小值为__________．
答案：4
5．(基本应用：在实际问题中的应用)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案：30
题型一　利用基本不等式求最值　
　
[典例剖析]
类型
1　直接应用基本不等式求最值
[例1]　(1)当x>0时，函数f(x)＝有(　　)
A．最小值1
B．最大值1
C．最小值2
D．最大值2
解析：f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0，即x＝1时取等号，所以f(x)有最大值1.
答案：B
(2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A.
B．2
C．2
D．4
解析：法一：由已知得＋＝＝
，且a>0，b>0，∴ab
＝b＋2a≥2
，∴ab≥2
.
法二：由题设易知a＞0，b＞0，
∴＝＋≥2
，即ab≥2.
答案：C
类型
2　配凑法
[例2]　(1)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________．
解析：因为x＞，所以4x－5＞0，所以f(x)＝4x－2＋＝(4x－5)＋＋3≥2
＋3
＝2＋3＝5，
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号，所以f(x)的最小值为5.
答案：5
(2)函数y＝(x＞1)的最小值为________．
解析：y＝
＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2
＋2
＝2＋2(x＞1).
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
答案：2＋2
类型
3　“1”的代换
[例3]　(1)(2020·陕西西安模拟)已知x>0，y>0，lg
2x＋lg
8y＝lg
2，则＋的最小值是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．2
解析：由lg
2x＋lg
8y＝lg
2得，lg
2x＋3y＝lg
2，
∴x＋3y＝1，＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4.故选C.
答案：C
(2)(一题多解)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)
A．8
B．4
C．2
D．0
解析：法一(构造目标不等式法)：∵x＞0，y＞0，∴xy＝(x·2y)≤，又x＋2y＝xy，∴x＋2y≤·.由x＞0，y＞0知x＋2y＞0，∴x＋2y≥8，
∴x＋2y的最小值为8.
法二(常数代换法)：由x＋2y－xy＝0得x＋2y＝xy，即＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2
＝8，当且仅当x＝2y时取等号．
法三(消元法)：由x＋2y－xy＝0得y＝，又x＞0，y＞0，∴x＞2，于是x＋2y＝x＋＝x＋2＋＝x－2＋＋4≥8，当且仅当即x＝4时取等号．
答案：A
方法总结?
1．基本不等式应用的前提：
“一正”“二定”“三相等”．
2．要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
3．条件不等式最值的求解通常有三种方法：
一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
4．应用基本不等式的注意事项：
(1)利用基本不等式求最值时，一定要注意应用基本不等式的前提条件．
(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．　　?
[题组突破]
1．函数y＝(x>－1)的最小值为__________．
解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，
因为x>－1，
所以x＋1>0，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
答案：0
2．已知x＞0，y＞0且x＋3y＝3，求＋的最小值．
解析：由x＋3y＝3得(x＋3y)＝1，
∴＋＝(x＋3y)·＝·≥，
当且仅当＝时取“＝”．
∴＋的最小值是.
题型二　基本不等式的综合应用　
　　　　
　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　判断不等关系
[例1]　(2020·江西南昌调研)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　)
A．a＋b≥2
B．a2＋b2>2ab
C．＋≥2
D．≥2
解析：对于选项A，当a，b均为负数时，a＋b≥2
不成立；
对于选项B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立；
对于选项C，当a，b异号时，＋≥2不成立；
对于选项D，因为，同号，所以＝＋≥2
＝2(当且仅当|a|＝|b|时取等号)，即≥2恒成立．
答案：D
类型
2　求参数问题
[例2]　对任意m>0，n>0，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)
A．
B．2
C．4
D．
解析：∵对任意m>0，n>0，都有m2－amn＋2n2≥0，∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立．∵＋≥2
＝2，当且仅当＝时取等号，∴a≤2，故a的最大值为2.
答案：B
类型
3　与其他知识的综合应用
[例3]　设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，
Sn＝，
所以＝
＝
≥＝，
当且仅当n＝4时取等号，所以的最小值是.
答案：
类型4　基本不等式的实际应用
[例4]　要制作一个容积为4立方米，高为1米的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
解析：设底面相邻两边长分别为x米，y米，总造价为T元，则V＝xy·1＝4?xy＝4.
T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号).故该容器的最低总造价是160元．
答案：160
方法总结?
用基本不等式求解其他问题
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．　　?
[题组突破]
1．(2021·河北石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：因为圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.则t＝a＝·(2a)·≤××＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，当且仅当时等号成立，此时a＝，故选D.
答案：D
2．(2020·贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式＋＝2.
(1)求xy的最小值；
(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.
(2)3x＋y＝(3x＋y)＝≥＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.
3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900
m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1
m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1
m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3
m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解析：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8，450).
(2)因为8＜x＜450，
所以2x＋≥2＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60
m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676
m2.
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(通性通法求最值))
1．(2020·高考山东卷)(多选题)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥
B．2a－b＞
C．log2a＋log2b≥－2
D．＋≤
解析：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于选项A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故选项A正确；
对于选项B，2a－b＝22a－1＝·22a，
因为a＞0，所以22a＞1，即2a－b＞，故选项B正确；
对于选项C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故选项C错误；对于选项D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，得＋≤，故选项D正确．
综上可知，正确的选项为ABD.
答案：ABD
2．(2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
解析：法一：由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，
可得x2＝，
所以x2＋y2＝＋y2＝＝≥·2
＝，当且仅当＝4y2，即y＝±时取等号，
所以x2＋y2的最小值为.
法二：设x2＋y2＝t＞0，则x2＝t－y2.
因为5x2y2＋y4＝1，
所以5(t－y2)y2＋y4＝1，
所以4y4－5ty2＋1＝0.由Δ＝25t2－16≥0，
解得t≥，
故x2＋y2的最小值为.
答案：
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(基本不等式推广))
已知a＞0，b＞0，c＞0且abc＝1.
求证：(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，abc＝1，
∴(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥3×2×2×2＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时“＝”成立，
故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
PAGE第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.线性规划中的有关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法
确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
(1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内．
(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方).特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．
(3)对于Ax＋By＋C＞0的区域：
当B＞0时，化为y＞－x－，直线上方；
当B＜0时，化为y＜－x－，直线下方．
1．(基础知识：平面区域)不等式组表示的平面区域是(　　)
答案：C
2．(基本方法：线性目标函数求最值)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为(　　)
A．
B．6
C．
D．4
答案：C
3．(基本方法：线性目标函数求最值)x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
答案：6
4．(基本能力：平面区域面积)不等式组所表示的平面区域的面积等于________．
答案：
5．(基本应用：在实际问题中的应用)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1
400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为______________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
答案：
题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　确定区域形状或面积
[例1]　(1)(2020·山东济南模拟)不等式组
表示的平面区域的面积为(　　)
A．4
B．1
C．5
D．无穷大
解析：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(2，2)，(3，0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
答案：B
(2)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)
A．a≥
B．0＜a≤1
C．1≤a≤
D．0＜a≤1或a≥
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．且作l1：x＋y＝0，l2：x＋y＝1，l3：x＋y＝.
由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)，
即a的取值范围是0＜a≤1或a≥.
答案：D
类型
2　平面区域内的点存在问题
[例2]　设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围是(　　)
A．[1，3]
B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[2，5]
D．(－∞，2]∪[5，＋∞)
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为直线l：y＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，由图知，当直线l过点B(1，3)时，k取最大值＝5，当直线l过点C(2，2)时，k取最小值＝2，故实数k的取值范围是[2，5].
答案：C
方法总结?
1．求平面区域的面积：
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而作出平面区域．
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
2．利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．　　?
[题组突破]
1．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　)
A．2
B．4
C．3
D．6
解析：如图所示，△PQR为线性区域，区域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成了线段R′Q′，即AB，而R′Q′＝RQ，
由得Q(－1，1)，由得R(2，－2)，
|AB|＝|QR|＝
＝3.
答案：C
2．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A．
B．1
C．
D．2
解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由图可知，当m≤1时，
函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，
故m的最大值为1.
答案：B
题型二　线性规划中的最值问题　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　不含参数的线性目标函数最值
[例1]　(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________．
解析：
画出可行域如图所示．
平移直线l0：x＋7y＝0，当直线l0过点A时z最大．
由得
即A(1，0)，
∴zmax＝1＋7×0＝1.
答案：1
(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．
解析：作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．
由
解得
即C点坐标为(3，0)，
故zmax＝3×3－0＝9.
答案：9
类型
2　含参数的线性目标函数问题
[例2]　已知实数x，y满足若z＝x－ay只在点(4，3)处取得最大值，则实数a的取值范围是________．
解析：法一：由不等式组作出可行域如图所示，
联立
解得C(4，3).
当a＝0时，目标函数化为z＝x，由图可知，可行解(4，3)使z＝x－ay取得最大值，符合题意；
当a＞0时，由z＝x－ay，得y＝x－，此直线斜率大于0，当在y轴上的截距最小时，z最大，
要使可行解(4，3)为目标函数z＝x－ay取得最大值的唯一最优解，则＞1，即0＜a＜1，符合题意；
当a＜0时，由z＝x－ay，得y＝x－，此直线斜率为负值，当在y轴上的截距最大时，z最大，
要使可行解(4，3)为目标函数z＝x－ay取得最大值的唯一最优解，则＜0，即a＜0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，1).
法二：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A(1，0)，B，C(4，3)，当直线z＝x－ay过点A时得z1＝1；当直线z＝x－ay过点B时，z2＝－a；当直线z＝x－ay过点C(4，3)时，z3＝4－3a，由题可知解得a＜1，即实数a的取值范围为(－∞，1).
答案：(－∞，1)
类型
3　非线性目标函数的最值
[例3]　(2021·河南郑州模拟)已知变量x，y满足则k＝的取值范围是(　　)
A．k＞或k≤－5
B．－5≤k＜
C．－5≤k≤
D．k≥或k≤－5
解析：由约束条件
作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A(2，4)，k＝的几何意义为可行域内的动点(x，y)与定点P(3，－1)连线的斜率，由图可知，k≤kPA＝＝－5或k＞.
答案：A
方法总结?
1．求截距型目标函数z＝ax＋by的最值，常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值，一般步骤为：一画二移三求，其关键是求出最优解，从而得到目标函数的最值．
2．非线性目标函数最值问题的常见类型及求法：
距离平方型
目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解
斜率型
对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝·的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等
点到直线距离型
对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值
　　?
[题组突破]
1．变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：如图所示，当m≤0时，比如在①的位置，此时为开放区域无最大值，当m>2时，比如在②的位置，此时在原点取得最大值，不满足题意，当0答案：C
2．(2021·广东广州模拟)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)
A．
B．
C．－
D．－
解析：画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1，0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－.
答案：D
3．实数x，y满足不等式组
则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝|x＋2y－4|＝×，其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的
倍．
由得B点坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
答案：21
4．(母题变式)将例1(1)改为：若条件不变，求z＝x＋7y的最小值．
解析：由题意可得B(0，－1)，
作直线l0：x＋7y＝0，
当l0平移到过B点时，
zmin＝－7.
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(通性通法求最值))
1．(2020·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．z＝x＋2y可变形为y＝－x＋z，作直线l0：y＝－x，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．
由得A(2，3)，所以zmax＝2＋2×3＝8.
答案：8
2．(2020·高考全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
解析：作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z＝3x＋2y可化为y＝－x＋z，作直线y＝－x，并平移该直线，易知当直线经过点A(1，2)时，z最大，zmax＝7.
答案：7
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(线性规划的创新应用))
(从“整点”视角)已知则不等式组所表示的区域内整数点的个数为________．
解析：法一：画出约束条件所表示的平面区域如图所示，在平面区域中画网格线，由图可见，平面区域内有6个整数点．
法二：画出约束条件表示的平面区域如图所示，计算出交点A(3，3)，B(0，2)，C(1，0)，则0≤x≤3，x∈Z.
由得
当x＝0时，y＝2，此时整数点个数为1；
当x＝1时，由0≤y≤，y∈Z，得y取值为0，1，2，此时整数点个数为3；
当x＝2时，由≤y≤，y∈Z，得y取值为2，此时整数点个数为1；
当x＝3时，y＝3，整数点个数为1.
综上所述，平面区域内有6个整数点．
答案：6
PAGE第二节　一元二次不等式及其解法
　一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
1．一元二次不等式的解法技巧
求不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，先求出对应方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集．
2．分式不等式的转化
＞0?f(x)·g(x)＞0；
≥0?
≤0?
1．(基本方法：解不等式)不等式x(9－x)<0的解集为(　　)
A．(0，9)
B．(9，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(9，＋∞)
答案：D
2．(基本方法：解不等式)设集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝(　　)
A．
B．
C．
D．
答案：D
3．(基本能力：求参数取值范围)已知不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为________．
答案：(－∞，－)∪(，＋∞)
4．(基本应用：求函数定义域)函数y＝
的定义域是________．
答案：[－3，1]
题型一　一元二次不等式的解法　
　　　
[典例剖析]
类型
1　解简单的一元二次不等式
[例1]　(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4＜0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝(　　)
A．{－4，1}
B．{1，5}
C．{3，5}
D．{1，3}
解析：∵A＝{x|x2－3x－4＜0}＝{x|(x＋1)(x－4)＜0}＝{x|－1＜x＜4}，B＝{－4，1，3，5}，∴A∩B＝{1，3}．
答案：D
(2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
解析：－x2－3x＋4>0?(x＋4)(x－1)<0.
如图所示，作出函数y＝(x＋4)(x－1)的图象，
∴当－4答案：(－4，1)
类型
2　解含参数的不等式
[例2]　解不等式x2－4ax－5a2>0(a≠0).
解析：由x2－4ax－5a2>0，
知(x－5a)(x＋a)>0.
由于a≠0，故分a>0与a<0讨论．
当a<0时，x<5a或x>－a；
当a>0时，x<－a或x>5a.
综上，当a<0时，解集为{x|x<5a或x>－a}；
当a>0时，解集为{x|x>5a或x<－a}．
类型
3　已知不等式的解集求参数
[例3]　(1)(2020·河南濮阳模拟)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|α＜x＜β}(α＞0)，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集是(　　)
A．
B．∪
C．(α，β)
D．(－∞，α)∪(β，＋∞)
解析：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|α＜x＜β}(α＞0)，则α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，且a＜0，
∴α＋β＝－，α·β＝.不等式cx2＋bx＋a＜0化为x2＋x＋1＞0，
∴αβx2－(α＋β)x＋1＞0，化为(αx－1)(βx－1)＞0，又0＜α＜β，
∴＞＞0，
∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
答案：B
(2)(2020·广东梅州模拟)关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为(　　)
A．(5，6]
B．(5，6)
C．(2，3]
D．(2，3)
解析：关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0可化为(x－m)(x－2)＜0，
∵该不等式的解集中恰有3个正整数，
∴不等式的解集为{x|2＜x＜m}，且5＜m≤6，即实数m的取值范围是(5，6].
答案：A
方法总结?
1．一元二次不等式的解集可依据一元二次方程的根及一元二次函数图象求得，
当ax2＋bx＋c＝0有两根x1、x2时，
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是“两根之外”型，
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是“两根之内”型．　　?
2．对含参数的一元二次不等式，也要按此原理讨论：
方法
解读
适合题型
“二次关系数形结合”
化为“ax2＋bx＋c>0(a>0)”的形式，求方程ax2＋bx＋c＝0的根，结合图象，写出解集(大于取两边，小于取中间)
不含参数的一元二次不等式
讨论参数法
①二次项中的系数含参数，讨论等于0，小于0，大于0；②方程根个数不定，讨论Δ与0的关系；③根的大小不定时，讨论两根大小
含参数的不等式
[题组突破]
1．(母题变式)将例1(2)的不等式改为“－x2－3x＋4≤0”，其解集为________________．
解析：由－x2－3x＋4≤0得x2＋3x－4≥0，
即(x＋4)(x－1)≥0，∴x≥1或x≤－4.
答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞)
2．(母题变式)将例1(2)的不等式变为“x2－3x＋4>0”，其解集为________.
解析：令y＝x2－3x＋4，∵Δ＝(－3)2－4×4<0，y>0恒成立，∴x∈R.
答案：R
3．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为________________．
解析：由题意得x＝，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴b＝－a，c＝a(a＜0)，
∴cx2＋bx＋a＜0，即为3x2－7x＋2＞0，解得x＞2或x＜.
答案：∪(2，＋∞)
4．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0).
解析：原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以(x－1)＜0，
所以当a＞1时，解得＜x＜1；
当a＝1时，解集为?；
当0＜a＜1时，解得1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为?；
当a＞1时，不等式的解集为.
题型二　不等式恒成立问题　
　　　　
　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　在R上恒成立问题
[例1]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]
B．[－2，2]
C．(－2，2]
D．(－∞，－2)
解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2＜a＜2，
∴实数a的取值范围是(－2，2].
答案：C
类型
2　在给定x的区间上恒成立问题
[例2]　(2021·河南郑州调研)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈都成立，则a的最小值是________．
解析：法一：由于x>0，则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，而当x∈时，＝－，∴a≥－，故a的最小值为－.
法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则其对称轴为x＝－.
①若－≥，即a≤－1时，f(x)在上单调递减，此时应有f≥0，从而－≤a≤－1.
②若－<0，即a>0时，f(x)在上单调递增，此时应有f(0)＝1>0恒成立，故a>0.
③若0≤－<，即－1综上，a的最小值为－.
答案：－
类型
3　给定参数范围恒成立问题
[例3]　(1)对于任意a∈[－1，1]，f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，那么x的取值范围是________．
解析：令g(a)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，由题意知g(－1)>0且g(1)>0，解得x<1或x>3.
答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)
(2)若mx2－mx－1＜0对于m∈[1，2]恒成立，求实数x的取值范围．
解析：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当图象为一条线段m∈[1，2]时，
则即
解得＜x＜，
故x的取值范围为.
方法总结?
1．不等式恒成立常见题型：
(1)ax2＋bx＋c≥0(x∈R)恒成立，即或
(2)ax2＋bx＋c≤0(x∈R)恒成立，即或
(3)x2＋mx＋n≤0(x∈[a，b])恒成立，
即
(4)－x2＋mx＋n≥0(x∈[a，b])恒成立，即
2．给出参数范围解不等式，采用反解“主元法”，将参数视作“主元”，即将参数看作“自变量”的构造函数，建立不等式．　　?
[题组突破]
1．不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
答案：[－8，4]
2．已知f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：由mx2－mx－1＜－m＋5，
得m(x2－x＋1)＜6.
∵x2－x＋1＞0，
∴m＜在[1，3]上恒成立．
令y＝＝.
∵t＝＋在[1，3]上是增函数，
∴y＝在[1，3]上是减函数．
因此函数的最小值ymin＝，
∴m的取值范围是.
答案：
eq
\a\vs4\al(
重温经典\x(巧用三个“二次”讨论方程根))
设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a＞0)有两个实根x1，x2.
(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值；
(2)求证：x1＜－1且x2＜－1；
(3)如果∈，试求a的取值范围．
解析：(1)∵关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a＞0)有两个实根x1，x2，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，则(1＋x1)(1＋x2)＝1＋x1＋x2＋x1·x2＝1－＋＝1.
(2)证明：由Δ≥0，得0＜a≤.
设f(x)＝ax2＋x＋1，则f(x)的对称轴与x轴交点横坐标x＝－≤－2，
又由于f(－1)＝a＞0，
所以f(x)的图象与x轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，
故x1＜－1且x2＜－1.
(3)由?＝＋＋2＝，
∵∈，∴＝＋＋2∈?a∈.又?0＜a≤，
∴a的取值范围为.
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(不等式解法的创新应用问题))
1．已知g(x)是R上的奇函数，当x＜0时，g(x)＝－ln
(1－x)，且f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1，2)
D．(－2，1)
解析：若x＞0，则－x＜0，所以g(x)＝－g(－x)＝ln
(x＋1)，所以f(x)＝则函数f(x)是R上的增函数，所以当f(2－x2)＞f(x)时，2－x2＞x，解得－2＜x＜1.
答案：D
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－)
B．(－，0)
C．(－∞，0)∪[，＋∞)
D．(－∞，－)∪[，＋∞)
解析：∵f(x)在R上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在R上是增函数，结合题意得－4t＞2m＋mt2对任意实数t恒成立?mt2＋4t＋2m＜0对任意实数t恒成立??m∈(－∞，－).
答案：A
PAGE第一节　不等关系与不等式
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a＞b?b＜a
?
传递性
a＞b，b＞c?a＞c
?
可加性
a＞b?a＋c＞b＋c
?
可乘性
?ac＞bc
注意c的符号
?ac＜bc
同向可加性
?a＋c＞b＋d
?
同向同正可乘性
?ac＞bd
?
可乘方性
a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)
1．不等式的倒数性质
(1)a>b，ab>0?<.
(2)a<0(3)a>b>0，0.
2．有关分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则：
(1)真分数的性质：
＜；＞(b－m＞0).
(2)假分数的性质：
＞；＜(b－m＞0).
1．(基础知识：不等式性质)下列四个结论中正确的是(　　)
①a>b，cb－d；
②a>b>0，cbd；
③a>b>0?>；
④a>b>0?>.
A．①②
B．②③
C．①④
D．①③
答案：D
2．(基本方法：比较大小)设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．与x取值有关
答案：A
3．(基本方法：基本性质)若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
4．(基本能力：求代数式的取值范围)若－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是________．
答案：(－π，0)
5．(基本应用：在实际问题中的应用)完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2
000元，设请木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是________．
答案：
题型一　比较两个数(式)的大小　
　　　　
　　　
[典例剖析]
类型
1　作差(商)法比较大小
[例1]　若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．p＜q
B．p≤q
C．p＞q
D．p≥q
解析：p－q＝＋－a－b
＝＋
＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.
综上，p≤q.
答案：B
类型
2　利用不等式性质比较大小
[例2]　(1)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(　　)
A．xy>yz
B．xz>yz
C．xy>xz
D．x|y|>z|y|
解析：因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz.
答案：C
(2)(2020·福建厦门模拟)已知a＞b＞0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(　　)
A．x＜z＜y
B．z＜x＜y
C．z＜y＜x
D．y＜z＜x
解析：法一：由题意，令a＝2，b＝1，则x＝2＋e，y＝1＋2e2，z＝1＋2e，显然有1＋2e2＞1＋2e＞2＋e，即x＜z＜y.
法二：a＞b＞0时，ea＞eb，∴aea＞aeb＞beb，
∴b＋aea＞b＋aeb＞b＋beb，∴y＞z.∵z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)＞0，∴z＞x，∴x＜z＜y.
答案：A
类型
3　构造函数法比较大小
[例3]　(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A．a＞2b
B．a＜2b
C．a＞b2
D．a＜b2
解析：由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又∵22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，
∴2a＋log2a＜22b＋log22b，即f(a)＜f(2b)，∴a＜2b.
答案：B
(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
解析：法一：易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，
∴a＞b.
＝＝log6251
024＞1，
∴b＞c，即c＜b＜a.
法二：对于函数y＝f(x)＝，
y′＝，
易知当x＞e时，函数f(x)单调递减．
∵e＜3＜4＜5，
∴f(3)＞f(4)＞f(5)，
即c＜b＜a.
答案：B
方法总结?
1．作差法适用于四则运算形式的整式型代数式的比较大小问题，是解决比较大小问题的基本方法；作商法适用于幂指数形式的代数式以及整式的比较大小问题．破解此类题的关键点：
(1)作差(商)，即根据两数或两式的结构特征确定作差或作商．　　?
(2)变形，即把差式或商式进行等价变形，化简，以便于判断差或商的大小．
(3)定值，即判断差与0的大小，或商与1的大小．
(4)定号，即根据差与0的大小关系，或商与1的大小关系确定两数或两式的大小关系．
2．不等式的性质法就是根据已知不等关系，确定已知不等关系向所比较代数式转化的过程，然后利用不等式的性质判断代数式大小的一种方法．适用于基本初等函数代数式的比较大小问题．破解此类题的关键点：
(1)明已知，明确已知的不等关系．
(2)定变形，确定由已知不等关系变为要比较大小的代数式的过程．
(3)寻性质，确定变化过程所使用的不等式的性质．
(4)得结果，正确运用不等式的性质判断两者的大小关系．　　?
[题组突破]
1．已知a>0，且a≠1，m＝，n＝aa＋1，则(　　)
A．m≥n
B．m>n
C．mD．m≤n
解析：由题意知m>0，n>0，两式作商，得＝＝aa(a－1)，当a>1时，a(a－1)>0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n；当0a0＝1，即m>n.综上，对任意的a>0，且a≠1，都有m>n.
答案：B
2．已知a>0，b>0，且a≠b，则(　　)
A．ab＋1>a＋b
B．a3＋b3>a2b＋ab2
C．2a3b>3a2b
D．aabb解析：选项A(作差法)，ab＋1－(a＋b)＝ab－a＋(1－b)＝a(b－1)＋(1－b)＝(a－1)(b－1)，
显然当a，b中有一个等于1时，(a－1)(b－1)＝0，即ab＋1＝a＋b，故选项A不正确．
选项B(作差法)，a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a2－b2)(a－b)＝(a－b)2(a＋b).
因为a>0，b>0，a≠b，所以a＋b>0，(a－b)2>0，故(a－b)2(a＋b)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2，故选项B正确．
当a＝2，b＝1时可排除选项CD.
答案：B
3．若a＞0，且a≠7，则(　　)
A．77aa＜7aa7
B．77aa＝7aa7
C．77aa＞7aa7
D．77aa与7aa7的大小不确定
解析：＝77－aaa－7＝，
则当a＞7时，0＜＜1，7－a＜0，
则＞1，∴77aa＞7aa7；
当0＜a＜7时，＞1，7－a＞0，
则＞1，∴77aa＞7aa7.
综上，77aa＞7aa7.
答案：C
题型二　不等式的性质及应用　
　　　　
　
[典例剖析]
类型
1　判断不等式是否成立
[例1]　(1)(2021·山东枣庄期中检测)已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式为(　　)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
解析：由a＞b＞0可得a2＞b2，①成立；
由a＞b＞0可得a＞b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)＞f(b－1)，即2a＞2b－1，②成立；
∵a＞b＞0，∴＞，
∴()2－(－)2＝a－b－(a＋b－2)＝2－2b＝2－2＞0，
∴＞－，③成立；
若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35，2a2b＝36，
a3＋b3＜2a2b，④不成立．
答案：A
(2)若＜＜0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2＜b2
B．a＋b＜ab
C．a＋b＜0
D．|a|＋|b|＞|a＋b|
解析：因为＜＜0，
所以b＜a＜0，所以a2所以a＋b＜ab，故选项B正确；因为b因为b答案：D
类型
2　不等关系的充分必要条件
[例2]　(1)下面四个条件中，使a＞b成立的必要不充分条件是(　　)
A．a－1＞b
B．a＋1＞b
C．|a|＞|b|
D．a3＞b3
解析：“a＞b”不能推出“a－1＞b”，故选项A不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；由a＞b，得a＋1＞b＋1＞b，即“a＞b”能推出“a＋1＞b”，但“a＋1＞b”不能推出“a＞b”，故选项B满足题意；当a，b均为负数时，由“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；由不等式的性质可知，“a＞b”能推出“a3＞b3”，且“a3＞b3”能推出“a＞b”，故是充要条件，选项D不满足题意．
答案：B
(2)(2020·哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联合模拟)下列说法中正确的是(　　)
A．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则“b≥c”
B．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则“b≤c”
C．若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则“b＞c”
D．若“a＜b”是“a＞c”的必要条件，则“b＜c”
解析：令A＝{a|a＞b}，B＝{a|a＞c}，C＝{a|a＜b}．若“a＞b”是“a＞c”的充分条件，则有A?B，则b≥c，故选项A正确，选项B错误；若“a＞b”是“a＞c”的充要条件，则有A＝B，则b＝c，故选项C错误；若“a＜b”是“a＞c”的必要条件，则有B?C，这是不可能的，故选项D错误．
答案：A
方法总结?
判断不等式成立的方法
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明，常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数等性质．
提醒　在判断充分条件、必要条件、充要条件时，首先应弄清楚哪一个是“条件”，哪一个是“结论”，一般地，若p是q的……条件，则p是条件，q是结论；若p的……条件是q，则p是结论，q是条件．　　?
[题组突破]
1．设a，b，c，d，x为实数，且b＞a＞0，c＞d，则下列不等式正确的是(　　)
A．d－a＜c－b
B．≥
C．bc＜ad
D．≤
解析：取a＝2，b＝4，c＝3，d＝2，d－a＝0，c－b＝－1，此时d－a＞c－b，故选项A错误；取a＝2，b＝3，x＝－1，则＝，＝2，此时＜，故选项B错误；取b＝9，a＝，c＝1，d＝－3，ad＝8，则bc>ad，选项C错误；对于选项D，－＝≤0，故选项D正确．
答案：D
2．若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：＜?－<0?＜0?＞0?＞0?>0.
答案：C
题型三　利用不等式的变形求代数式的取值范围　
[典例剖析]
[典例]　已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．
解析：法一：第一步　利用不等式的可乘性．
∵－1＜x＜4，2＜y＜3，
∴－3＜－y＜－2，－3＜3x＜12，4＜2y＜6，
第二步　利用不等式的同向可加性．
∴－4＜x－y＜2，
∴1＜3x＋2y＜18.
法二：第一步　等价转化为线性规划，画出可行域．
已知－1＜x＜4，2＜y＜3等价于一个线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示．
第二步　根据线性规划求最值，求出范围．
可知线性目标函数z1＝x－y过点C(4，2)时取得最大值，最大值为2；过点D(－1，3)时取得最小值，最小值为－4.线性目标函数z2＝3x＋2y过点A(－1，2)时取得最小值，最小值为1；目标函数过点B(4，3)时取得最大值，最大值为18，即－4＜x－y＜2，1＜3x＋2y＜18.
答案：(－4，2)　(1，18)
方法总结?
求代数式的取值范围
一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，再由已知逐步变出所求形式．　　?
[对点训练]
(母题变式)若将本例条件改为－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，求3x＋2y的取值范围．
解析：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则∴
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y).
又∵－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，
∴－＜(x＋y)＜10，
1＜(x－y)＜，
∴－＜(x＋y)＋(x－y)＜，
即－＜3x＋2y＜，
∴3x＋2y的取值范围为.
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(多法并举比大小))
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若a>b，则(　　)
A．ln
(a－b)>0
B．3a<3b
C．a3－b3>0
D．|a|>|b|
解析：法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a＞b，可验证选项ABD错误，只有选项C正确．
法二：由a＞b，得a－b＞0.但a－b＞1不一定成立，则ln
(a－b)＞0不一定成立，故选项A不一定成立．
因为y＝3x在R上是增函数，当a＞b时，3a＞3b，故选项B不成立．
因为y＝x3在R上是增函数，当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故选项C成立．
因为当a＝3，b＝－6时，a＞b，但|a|＜|b|，
所以选项D不一定成立．
答案：C
2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log2
0.3，则(　　)
A．a＋b＜ab＜0
B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab
D．ab＜0＜a＋b
解析：∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，
∴ab＜0.
∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
又∵1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，
∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
答案：B
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(比较大小))
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
解析：∵3log32＝log38＜2，∴log32＜，即a＜c.
∵3log53＝log527＞2，∴log53＞，即b＞c.
∴a＜c＜b.
答案：A
2．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知55＜84，134＜85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
解析：∵log53－log85＝log53－＝＜＝＜＝0，
∴log53＜log85.∵55＜84，134＜85，∴5log85＜4，4＜5log138，∴log85＜log138，∴log53＜log85＜log138，即a＜b＜c.
答案：A
PAGE第四节　基本不等式
1．重要不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立).
2．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件是a>0，b>0．
(2)等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
1．基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号).
(2)a＋b≥2
(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号).
2．几个重要的结论
(1)≥.
(2)＋≥2(ab＞0).
(3)≤≤≤
(a＞0，b＞0).
1．(基础知识：求积的最值)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80
B．77
C．81
D．82
答案：C
2．(基础知识：不等式的应用条件)若x＜0，则x＋(　　)
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
答案：D
3．(基本方法：构造不等式的定值)已知x>1，则x＋的最小值为________．
答案：5
4．(基本能力：“1”的代换)若＋＝1(a>0，b>0)，则a＋b的最小值为__________．
答案：4
5．(基本应用：在实际问题中的应用)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案：30
题型一　利用基本不等式求最值　
　
[典例剖析]
类型
1　直接应用基本不等式求最值
[例1]　(1)当x>0时，函数f(x)＝有(　　)
A．最小值1
B．最大值1
C．最小值2
D．最大值2
解析：f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0，即x＝1时取等号，所以f(x)有最大值1.
答案：B
(2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A.
B．2
C．2
D．4
解析：法一：由已知得＋＝＝
，且a>0，b>0，∴ab
＝b＋2a≥2
，∴ab≥2
.
法二：由题设易知a＞0，b＞0，
∴＝＋≥2
，即ab≥2.
答案：C
类型
2　配凑法
[例2]　(1)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________．
解析：因为x＞，所以4x－5＞0，所以f(x)＝4x－2＋＝(4x－5)＋＋3≥2
＋3
＝2＋3＝5，
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号，所以f(x)的最小值为5.
答案：5
(2)函数y＝(x＞1)的最小值为________．
解析：y＝
＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2
＋2
＝2＋2(x＞1).
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
答案：2＋2
类型
3　“1”的代换
[例3]　(1)(2020·陕西西安模拟)已知x>0，y>0，lg
2x＋lg
8y＝lg
2，则＋的最小值是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．2
解析：由lg
2x＋lg
8y＝lg
2得，lg
2x＋3y＝lg
2，
∴x＋3y＝1，＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4.故选C.
答案：C
(2)(一题多解)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)
A．8
B．4
C．2
D．0
解析：法一(构造目标不等式法)：∵x＞0，y＞0，∴xy＝(x·2y)≤，又x＋2y＝xy，∴x＋2y≤·.由x＞0，y＞0知x＋2y＞0，∴x＋2y≥8，
∴x＋2y的最小值为8.
法二(常数代换法)：由x＋2y－xy＝0得x＋2y＝xy，即＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2
＝8，当且仅当x＝2y时取等号．
法三(消元法)：由x＋2y－xy＝0得y＝，又x＞0，y＞0，∴x＞2，于是x＋2y＝x＋＝x＋2＋＝x－2＋＋4≥8，当且仅当即x＝4时取等号．
答案：A
方法总结?
1．基本不等式应用的前提：
“一正”“二定”“三相等”．
2．要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
3．条件不等式最值的求解通常有三种方法：
一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
4．应用基本不等式的注意事项：
(1)利用基本不等式求最值时，一定要注意应用基本不等式的前提条件．
(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．　　?
[题组突破]
1．函数y＝(x>－1)的最小值为__________．
解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，
因为x>－1，
所以x＋1>0，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
答案：0
2．已知x＞0，y＞0且x＋3y＝3，求＋的最小值．
解析：由x＋3y＝3得(x＋3y)＝1，
∴＋＝(x＋3y)·＝·≥，
当且仅当＝时取“＝”．
∴＋的最小值是.
题型二　基本不等式的综合应用　
　　　　
　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　判断不等关系
[例1]　(2020·江西南昌调研)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是(　　)
A．a＋b≥2
B．a2＋b2>2ab
C．＋≥2
D．≥2
解析：对于选项A，当a，b均为负数时，a＋b≥2
不成立；
对于选项B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立；
对于选项C，当a，b异号时，＋≥2不成立；
对于选项D，因为，同号，所以＝＋≥2
＝2(当且仅当|a|＝|b|时取等号)，即≥2恒成立．
答案：D
类型
2　求参数问题
[例2]　对任意m>0，n>0，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)
A．
B．2
C．4
D．
解析：∵对任意m>0，n>0，都有m2－amn＋2n2≥0，∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立．∵＋≥2
＝2，当且仅当＝时取等号，∴a≤2，故a的最大值为2.
答案：B
类型
3　与其他知识的综合应用
[例3]　设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，
Sn＝，
所以＝
＝
≥＝，
当且仅当n＝4时取等号，所以的最小值是.
答案：
类型4　基本不等式的实际应用
[例4]　要制作一个容积为4立方米，高为1米的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
解析：设底面相邻两边长分别为x米，y米，总造价为T元，则V＝xy·1＝4?xy＝4.
T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号).故该容器的最低总造价是160元．
答案：160
方法总结?
用基本不等式求解其他问题
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．　　?
[题组突破]
1．(2021·河北石家庄模拟)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则t＝a取得最大值时a的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：因为圆心到直线的距离d＝，则直线被圆截得的弦长L＝2＝2＝2，所以4a2＋b2＝4.则t＝a＝·(2a)·≤××＝·[8a2＋1＋2(4－4a2)]＝，当且仅当时等号成立，此时a＝，故选D.
答案：D
2．(2020·贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式＋＝2.
(1)求xy的最小值；
(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.
(2)3x＋y＝(3x＋y)＝≥＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.
3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900
m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1
m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1
m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3
m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2).
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解析：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8，450).
(2)因为8＜x＜450，
所以2x＋≥2＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60
m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676
m2.
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(通性通法求最值))
1．(2020·高考山东卷)(多选题)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥
B．2a－b＞
C．log2a＋log2b≥－2
D．＋≤
解析：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于选项A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故选项A正确；
对于选项B，2a－b＝22a－1＝·22a，
因为a＞0，所以22a＞1，即2a－b＞，故选项B正确；
对于选项C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故选项C错误；对于选项D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，得＋≤，故选项D正确．
综上可知，正确的选项为ABD.
答案：ABD
2．(2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
解析：法一：由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，
可得x2＝，
所以x2＋y2＝＋y2＝＝≥·2
＝，当且仅当＝4y2，即y＝±时取等号，
所以x2＋y2的最小值为.
法二：设x2＋y2＝t＞0，则x2＝t－y2.
因为5x2y2＋y4＝1，
所以5(t－y2)y2＋y4＝1，
所以4y4－5ty2＋1＝0.由Δ＝25t2－16≥0，
解得t≥，
故x2＋y2的最小值为.
答案：
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(基本不等式推广))
已知a＞0，b＞0，c＞0且abc＝1.
求证：(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，abc＝1，
∴(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥3×2×2×2＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时“＝”成立，
故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
PAGE

展开更多......

收起↑