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第七节　函数图象
1．利用描点法作函数图象的基本步骤及流程
(1)基本步骤：列表、描点、连线．
(2)流程：
①确定函数的定义域；
②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；
④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
3．伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
4．对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
5．翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|．
1．一个原则
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则．
2．函数对称的重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(4)在函数y＝f(x)中，将x换为－x，解析式不变，则此函数图象关于y轴对称．
将y换成－y，解析式不变，则此函数图象关于x轴对称．
若将x换成－x，y换成－y，解析式不变，则此函数图象关于(0，0)对称．
若将x换成y，解析式不变，则函数图象关于y＝x对称．
1．(基本应用：用图象表示函数)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合的最好的图象是(　　)
答案：C
2．(基础知识：图象的作法)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)
答案：C
3．(基本能力：函数图象的特征)函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)
A．y轴对称
B．x轴对称
C．原点对称
D．直线y＝x对称
答案：C
4．(基本方法：函数值与自变量的对应关系)函数r＝f(p)的图象如图所示，若只有唯一的p值与r对应，则r的取值范围为________．
答案：(3，5]∪(0，2)
5．(基本能力：利用图象求范围)如图所示，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．
答案：(－1，1]
题型一　作函数的图象　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|·(x＋1)；
(2)y＝；
(3)y＝|log2(x＋1)|.
解析：(1)先化简，再作图．
y＝图象如图实线所示．
(2)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图所示．
(3)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．
方法总结?
1．作函数图象，首先确定函数的定义域，对应关系及值域．
2．作函数图象的方法：
方法
解读
适合题型
直接法
当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出图象
基本初等函数、“对号”函数
转化法
含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象
绝对值函数
图象变换法
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响
能够准确找到基本函数
[对点训练]
1．(2021·河北石家庄二中模拟)已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：对于A，f(x)＝为奇函数，排除A；对于C，f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减，排除C；对于D，f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减，排除D，选B.
答案：B
2．(2020·河南豫南九校质检)函数f(x)＝的图象大致为(　　)
解析：f(－x)＝＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除B、D；当x＞0且趋于原点时，f(x)＞0，又当x＞0且趋于无限大时，3x－趋于无穷大，sin
3x∈[－1，1]，则|f(x)|趋于0，故选A.
答案：A
题型二　函数图象的识别　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　由图象辨识图象
[例1]　已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)
解析：y＝f(x)y＝f(－x)y＝f(2－x)y＝－f(2－x).
答案：B
类型
2　由解析式辨识图象
[例2]　函数f(x)＝(2x＋2－x)ln
|x|的图象大致为(　　)
解析：∵f(x)定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(2－x＋2x)ln
|－x|＝(2x＋2－x)ln
|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，关于y轴对称，排除选项D；当x∈(0，1)时，2x＋2－x＞0，ln
|x|＜0，可知f(x)＜0，排除选项AC.
答案：B
类型
3　由图象辨识解析式
[例3]　已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
解析：法一：由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除选项BC.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除选项D.
法二：图象与x轴有交点，故排除选项B.
选项ACD的零点均为±1.
当x∈(0，1)时，y＜0.
当x∈(－1，0)时，y＞0，排除选项CD.
答案：A
方法总结?
1．曲线反映的是两个变量间的对应变化关系，要理清因变量随自变量如何变化．
2．合理选用多种方法：特殊点法、函数性质法、图象变换法等，找出各个图象的差异与破绽，进行检验排除而得答案．
(1)找特殊点，根据已知函数的解析式，找出函数图象所经过的定点坐标．
(2)看变换，将题设条件所给出的函数解析式通过适当的化简或变形，再与基本初等函数对应，得出此函数是由哪个基本初等函数通过怎样的变换而得到的．
(3)性质检验法就是根据函数解析式分析函数的相关性质(如定义域、值域、单调性、奇偶性等)排除干扰项，从而确定正确选项的方法，是破解此类题的关键点．　　?
[题组突破]
1．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数h(x)＝f(x)g(x)的图象可以是(　　)
解析：h(x)＝f(x)g(x)为偶函数，排除选项D.
设f(x)＝0的点为x1，当x∈(0，x1)(x1＞0)时，
h(x)＜0，排除选BC.
答案：A
2．函数y＝的部分图象大致为(　　)
解析：由题意，令函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B；因为f＝＝0，f＝＝<0，所以排除选项A；f(π)＝＝0，排除选项D.
答案：C
3．函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x＋sin
x
B．f(x)＝
C．f(x)＝x
D．f(x)＝x
cos
x
解析：图象与x轴有5个交点且x＝0有意义，
排除选项BC，又因当x＞0时，
x＋sin
x＞0，当x＜0时x＋sin
x＜0，
排除选项A.
答案：D
题型三　函数图象的应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　研究函数的性质
[例1]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
答案：C
方法总结?
破解此类问题的关键是化简函数的解析式，并能画出函数的草图，通过观察图象，即可得出正确的选项．　　?
类型
2　利用图象比较大小
[例2]　设x1，x2，x3均为实数，且＝log2(x1＋1)，＝log3x2，＝log2x3，则(　　)
A．x1＜x3＜x2
B．x3＜x2＜x1
C．x3＜x1＜x2
D．x2＜x1＜x3
解析：x1，x2，x3分别是函数y＝与y＝log2(x＋1)，y＝log3x，y＝log2x图象交点的横坐标，作出函数y＝，y＝log2(x＋1)，y＝log3x，y＝log2x的图象如图所示，由图可得x1＜x3＜x2.
答案：A
类型
3　求函数的零点(个数)或方程的根
[例3]　(2021·山东日照模拟)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
答案：5
方法总结?
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．　　?
[题组突破]
1．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0]　　　　　　
B．(－∞，1]
C．[－2，1]
D．[－2，0]
解析：由y＝|f(x)|的图象(如图所示)知，①当x＞0时，只有a≤0时才能满足|f(x)|≥ax.②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.当x＝0时，不等式为0≥0成立；
当x＜0时，不等式等价为x－2≤a.
∵x－2＜－2，∴a≥－2.综上可知，a∈[－2，0].
答案：D
2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3，4)时，f(x)＝.
其中所有正确命题的序号是________．
解析：由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝，函数y＝f(x)的部分图象如图所示：
由图象知②正确，③不正确；
当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f(x)＝f(x－4)＝，因此④正确，故正确命题的序号为①②④.
答案：①②④
3．若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是________．
解析：由y＝2－x＋1＋m，得y＝＋m，函数y＝的图象如图所示，
则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2.
答案：(－∞，－2]
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)
解析：?′(x)＝－4x3＋2x，则?′(x)＞0的解集为∪，?(x)单调递增；?′(x)＜0的解集为∪，?(x)单调递减．
答案：D
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)
解析：∵y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，
∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，排除选项C.
当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除选项AD.
答案：B
3．(2019·高考江苏卷)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0，2]时，f(x)＝，g(x)＝其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________．
解析：当x∈(0，2]时，y＝f(x)＝?(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0，9]上的图象如图所示．
∵当x∈(1，2]时，g(x)＝－，又g(x)的周期为2，
∴当x∈(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，g(x)＝－.
由图可知，当x∈(1，2]∪(3，4]∪(5，6]∪(7，8]时，
f(x)与g(x)的图象有2个交点，
∴当x∈(0，1]∪(2，3]∪(4，5]∪(6，7]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．
又当x∈(0，1]时，y＝g(x)＝k(x＋2)(k>0)恒过定点A(－2，0)，
由图可知，当x∈(2，3]∪(6，7]时，f(x)与g(x)的图象无交点，
∴当x∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．
由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0，1]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点．
当y＝k(x＋2)与圆弧(x－1)2＋y2＝1(0＜x≤1)相切时，
d＝＝1?k2＝(k>0)?k＝.
当y＝k(x＋2)过点A(－2，0)与B(1，1)时，k＝，
∴
≤k＜.
答案：
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(函数图象的辨识))
　(2021·黄冈质量检测)函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为(　　)
解析：由f(－x)＝＝－＝－f(x)，知f(x)为奇函数，可排除选项AB；
当x＝π时，f(π)＝＝＜0，
可排除选项D.
答案：C
PAGE第六节　对数函数
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1．
(2)对数恒等式
alogaN＝N(其中a＞0，且a≠1).
(3)对数的换底公式
logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N＞0).
(4)对数的运算法则
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
3．对数函数的定义、图象与性质
定义
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：(－∞，＋∞)
-
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
4．反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图所示，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
1．(基本能力：对数运算)lg
2＋lg
5＝(　　)
A．10
B．1
C．lg
7
D．lg
2
lg
5
答案：B
2．(基本方法：作对数函数的图象)y＝ln
|x|的图象为(　　)
答案：B
3．(基本应用：比较大小)a＝log23.4，b＝log82，c＝log0.32.7，由大到小的排列顺序为________．
答案：A＞b＞c
4．(基础知识：定义域)函数y＝lg
(x＋1)＋lg
(x－1)的定义域为________．
答案：(1，＋∞)
5．(基本能力：求单调区间)函数y＝2ln
(x＋1)的递增区间为________．
答案：(－1，＋∞)
题型一　对数式的化简与求值　
　　　　
　　　　　　　　　
1．计算的值为________．
解析：
＝＝－4.
答案：－4
2．已知lg
x＋lg
y＝2lg
(2x－3y)，则log＝________．
解析：因为lg
x＋lg
y＝2lg
(2x－3y)，
所以解得＝或＝1(舍).
所以log＝log＝2.
答案：2
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
解析：a＝log2m，b＝log5m.
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10，
∴logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝.
答案：
方法总结?
1．不同底的对数运算，利用换底公式化为同底，再结合对数运算性质求解．
此题的普遍规律：logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数的运算方法，主要有两种方法：
一是对数式转化为指数式；
二是利用对数运算法则，进行变形：
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并，正确使用幂的运算法则．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算，正确使用对数的运算法则．
(3)注意指数式与对数式的相互转化关系．　　?
题型二　对数函数的图象及应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　图象的辨认
[例1]　(2020·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)
解析：由f(x)在R上是减函数，知0＜a＜1.
又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
∴当x＞1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax向右平移一个单位得到．因此选项D正确．
答案：D
方法总结?
对数函数与绝对值相联系的函数的图象常见有：
(1)y＝|logax|(a>1)的图象如图①.
(2)y＝loga|x|(a>1)的图象如图②.
(3)y＝|loga|x||(a>1)的图象如图③.　　?
辨认时可通过特殊点、单调性、奇偶性等性质进行．
类型
2　图象的应用
[例2]　(一题多解)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(1，)
D．(，2)
解析：法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤时，4x＜loga
x，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可．当a＞1时不满足条件；当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知只需f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.
法二：因为0＜x≤，所以1＜4x≤2，所以logax＞4x＞1，所以0＜a＜1，排除选项CD；
取a＝，x＝，则4＝2，log＝1，显然4x＜logax不成立，排除选项A.
答案：B
方法总结?
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．求参数时往往使其中一个函数图象“动起来”，找变化的边界位置，得参数范围．
(3)与绝对值相联系的函数图象．　　?
[题组突破]
1．(2021·湖南张家界模拟)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象大致为(　　)
解析：由题意，知函数f(x)＝2－ax(a＞0，且a≠1)为单调递减函数，当0＜a＜1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝＞2，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，选项CD均不满足；当a＞1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝＜2，且x＝＞0，又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除选项B，综上只有选项A满足．
答案：A
2．若不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．
解析：显然0＜a＜1，
当y＝loga
x过点时，
即loga＝，∴a＝，如图所示，显然满足x2－logax＜0，令y＝logax绕(1，0)顺时针转动时，满足x2－logax＜0，∴≤a＜1.
题型三　对数函数的性质及其应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　比较大小
[例1]　(1)(2021·河南洛阳联考)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．a＞c＞b
D．a＞b＞c
解析：因为a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c.
答案：D
(2)(2020·江西吉安模拟)如果logx＜logy＜0，那么(　　)
A．y＜x＜1
B．x＜y＜1
C．1＜x＜y
D．1＜y＜x
解析：因为y＝logx在(0，＋∞)上为减函数，所以x＞y＞1.
答案：D
方法总结?
比较对数式大小的类型及相应的方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．
(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．
(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．　　?
类型
2　与对数有关的不等式
[例2]　(1)解不等式2loga(x－4)＞loga(x－2).
解析：当a＞1时，原不等式等价于
解得x＞6.
当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得4＜x＜6，
所以当a＞1时，不等式的解集为(6，＋∞)；
当0＜a＜1时，不等式的解集为(4，6).
(2)已知当0＜x≤时，不等式logax＜－2恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(，2)
B．(1，)
C．
D．(0，)
解析：当0＜x≤时，不等式logax＜－2恒成立，所以logax＜0.又0＜x≤，所以a＞1，因此y＝loga
x是增函数，故x＜a－2恒成立，所以＜a－2，得1＜a＜.
答案：B
方法总结?
解对数不等式的类型及方法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．　　?
类型
3　对数性质的综合应用
[例3]　(1)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1).若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)＞1，解得1＜a＜.若0＜a＜1时，f(x)在x∈[1，2]上是增函数，
由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，
∴0＜8－a＜a，∴4＜a＜8，无解．
综上，a的取值范围为.
答案：
(2)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3).
①若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
②是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解析：①因为f(1)＝1，
所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3).
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
函数f(x)的定义域为(－1，3).
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3).
②假设存在实数a使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.
方法总结?
1．(1)形如函数y＝logaf(x)求定义域，要在a＞0，a≠1的前提下，使f(x)＞0；
(2)判断y＝logaf(x)型的奇偶性要结合对数的运算：logaf(x)＋logaf(－x)及logaf(x)－logaf(－x)，其单调性利用复合函数y＝logan，n＝f(x)的单调性的法则．
2．求形如y＝logaf(x)的单调区间，首先求定义域：f(x)＞0，同时结合复合函数“同增异减”的法则．　　?
[题组突破]
1．(2021·四川雅安模拟)已知奇函数f(x)在R上是增函数，若a＝－f，b＝f(log2
4.1)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
解析：依题意a＝f＝f(log25)且log25＞log24.1＞20.8，结合函数的单调性有f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)，即a＞b＞c.
答案：C
2．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
解析：由题意可得
或
解得a＞1或－1＜a＜0.
答案：C
3．(2020·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4)
B．(－4，4]
C．(－∞，4)∪[2，＋∞)
D．[－4，4)
解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4，4).
答案：D
4．(母题变式)将例2(1)改为：若2loga(a－4)＞loga(a－2)，求a的取值范围．
解析：原不等式等价为或
得a＞6或?，
故a的取值范围是(6，＋∞).
　　　　　　　　　
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln
x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln
(1－x)
B．y＝ln
(2－x)
C．y＝ln
(1＋x)
D．y＝ln
(2＋x)
解析：函数y＝?(x)的图象与函数y＝?(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln
x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln
(2－x)的图象．
答案：B
2．(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数
y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)
解析：当0于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递减．
因此选项D中的两个图象符合．
当a>1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，
于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，
函数y＝loga的图象过定点，在上单调递增．
显然选项ABC都不符合．
答案：D
3．(2019·高考天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
解析：a＝log52＜log5＝，而c＝0.50.2＞0.51＝，故a＜c；b＝log0.50.2＞log0.50.25＝2，而c＝0.50.2＜0.50＝1，故c＜b.所以a＜c＜b.
答案：A
4．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝________．
解析：设x＞0，则－x＜0.
∵当x＜0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.
∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝e－ax，
∴f(ln
2)＝e－a
ln
2＝(eln
2)－a＝2－a.
又∵f(ln
2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.
答案：－3
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(对数函数与平面几何相结合))
设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________．
解析：由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋)，即m＝2n－1－，所以2n＝4，所以m＝，所以m·2n＝×4＝12.
答案：12
PAGE第五节　指数函数
1．根式
(1)根式的概念：
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N
.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a?x＝
(2)根式的性质：
①()n＝a(n∈N
).
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)；
②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N
，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).
3．指数函数的图象及性质
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
图象
0＜a＜1
a＞1
图象特征
在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减
增
函数值变化规律
当x＝0时，y＝1
当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1
1．一个关注点
开方化简，要看n的奇偶性．
2．指数函数图象和性质的注意点
(1)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)
的图象和性质与a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究．
(2)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
3．指数函数的图象与底数大小的比较
下图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
4．指数函数图象的对称规律
函数y＝ax的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称，y＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称，y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称．
1．(基本能力：有理数指数幂运算)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)
A．－9
B．7
C．－10
D．9
答案：B
2．(基本方法：作指数函数图象)函数f(x)＝1－ex的图象大致是(　　)
答案：A
3．(基本能力：研究函数性质)函数y＝(ax＋1)ex过定点________．
答案：(0，1)
4．(基本应用：比较大小)设a＝2，b＝4，c＝8，则a，b，c的大小关系为________．
答案：A＞c＞b
5．(基本应用：求值域)函数f(x)＝的值域为________．
答案：(1，＋∞)
题型一　指数幂的化简与求值　
1．化简(x＜0，y＜0)的结果为(　　)
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
解析：＝(16x8y4)＝[24(－x)8·(－y)4]＝24··(－x)8··(－y)4·＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
答案：D
2．若＋＝3，则x2＋x－2＝________．
解析：x＋x－＝3，∴(x＋x－)2＝9，
∴x＋x－1＝7，∴(x＋x－1)2＝49，
∴x2＋x－2＝47.
答案：47
3.＋2－2·－(0.01)0.5＝________．
解析：原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
答案：
方法总结?
1．这种循环根式型的化简，一般由里向外，将根式化为分数指数幂进行运算．
2．指数幂运算的一般原则：
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算性质来解答．　　?
题型二　指数函数的图象及应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(1)(2021·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是(　　)
解析：当x＝1时，y＝1，排除选项CD.
当x＞1时，y＝e－(x－1)为减函数，排除选项A.
答案：B
(2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0解析：由题图可知，y随x的增大而减小，所以函数f(x)＝ax－b是单调递减的，则0答案：D
(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．
解析：曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可知，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是(0，1).
答案：(0，1)
方法总结?
1．对于y＝ax(a＞0，且a≠1)
当a∈(0，1)且a逐渐变大时，图象右端(第一象限逐渐变“高”)，图象逐渐接近y＝1，当a＝1时，图象就是直线y＝1.
当a∈(1，＋∞)时，a逐渐变大，在第一象限内图象逐渐接近于y轴．
总之，图象过定点(0，1)，在第一象限内，逆时针方向看，底数逐渐变大．
2．与指数函数有关图象问题的求解方法
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．　　?
[对点训练]
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)
解析：f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，
又e|x|≥1，
所以f(x)的值域为(－∞，0]，
因此排除选项BCD，只有选项A满足．
答案：A
2．已知实数a，b满足＝.下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：作出函数y1＝与y2＝的图象如图所示．
由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
答案：B
3．(母题变式)(1)将本例(3)变为：y＝|3x－1|与y＝m有且只有一个公共点，则m的范围为________．
答案：{0}∪[1，＋∞)
(2)若本例(3)条件变为：函数y＝|3x－1|在(－∞，m]上单调递减，则实数m的取值范围是________．
解析：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以m的取值范围是(－∞，0].
答案：(－∞，0]
题型三　指数函数的性质及应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　指数型函数的定义域、值域
[例1]　(1)函数y＝的值域是(　　)
A．(－∞，4)
B．(0，＋∞)
C．(0，4]
D．[4，＋∞)
解析：设t＝＋2x－1，则y＝.
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝为关于t的减函数，
所以0＜y＝≤＝4，
故所求函数的值域为(0，4].
答案：C
(2)函数y＝－＋1在x∈[－3，2]上的值域是________．
解析：因为x∈[－3，2]，若令t＝，
则t∈.
则y＝t2－t＋1＝＋.
当t＝时，ymin＝；
当t＝8时，ymax＝57，
所以所求函数值域为.
答案：
方法总结?
对于函数y＝af(x)和复合函数y＝f(ax)的定义域、值域常利用换元法，其关键点：
(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．
f(ax)的定义域：使ax在f(x)的定义域内，解指数不等式．
(2)y＝af(x)的值域：先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝af(x)的值域．
(3)y＝f(ax)的值域：先确定ax的值域、再利用f(x)的性质确定y＝f(ax)的值域．　　?
类型
2　比较指数幂的大小
[例2]　(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
解析：因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知b＜a.又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知a＜c，综上得b＜a＜c.
答案：A
(2)已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(b)B．f(c)C．f(c)D．f(b)解析：易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝＝>＝b>0，c＝log2<0，则a>b>c，所以f(c)答案：B
方法总结?
对于幂值的大小比较，若可化为同底数(指数不同)则借用指数函数单调性比较大小．
若可化为同指数(底数不同)，则借用幂函数单调性比较大小．
若不可化为同底(或同指)，可引入常数0，1，2等值进行比较．　　?
类型
3　指数不等式
[例3]　(1)不等式2x2－x＜4的解集为________.
解析：不等式2x2－x＜4可转化为2x2－x＜22，利用指数函数y＝2x的性质可得，x2－x＜2，解得－1＜x＜2，故所求解集为{x|－1＜x＜2}．
答案：{x|－1＜x＜2}
(2)设f(x)＝32x－3x.若f(x)＞6，则x的取值范围是________．
解析：由f(x)＞6得32x－3x＞6，
即(3x)2－3x－6＞0，∴(3x－3)(3x＋2)＞0，
∵3x＞0，∴3x＞3，∴x＞1.
答案：(1，＋∞)
方法总结?
1．形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
3．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．　　?
类型4　指数型函数单调性判断
[例4]　(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数).若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
解析：设n＝|2x－m|＝2，
在上为减函数，在上为增函数．
而y＝2n在R上为增函数，
∴f(x)＝2|2x－m|在上为增函数，
∴?，
∴≤2，∴m≤4.
答案：(－∞，4]
(2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．
解析：f(x)＝(2x)2－2·2x＝(2x－1)2－1，
设t＝2x在R上为增函数，
y＝(t－1)2－1在[1，＋∞)上为增函数，
∴2x≥1，∴x≥0.
答案：[0，＋∞)
方法总结?
利用复合函数判断形如y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关．　　?
类型5　指数函数性质综合应用
[例5]　已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)当x＜0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－.
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－.
因为2x＞0，所以2x＝2，所以x＝1.
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0，
所以m≥－(22t＋1).
因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞).
方法总结?
有关指数函数与其他函数复合之后的性质，要综合考虑函数的性质及研究方法．　　?
[题组突破]
1．若函数f(x)＝，其定义域为(－∞，1]，则a的取值范围是(　　)
A．a＝－
B．a≥－
C．a≤－
D．－≤a＜0
解析：由题意得1＋3x＋a·9x≥0，即a≥.当x≤1时，＝－－≤－－＝－.因为函数f(x)＝的定义域为(－∞，1]，所以a＝－.
答案：A
2．(2020·黑龙江七台河质检)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　)
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解析：由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象(图略)可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
答案：A
3．(母题变式)将例1(1)变为：函数y＝ax2＋2x－1，其值域为________．
答案：当0＜a＜1时，值域为；
当a＞1时，值域为
4．函数f(x)＝
若f(x)＞2，则x的范围是________．
解析：当x＜1时，f(x)＝3x－2＜1与f(x)＞2矛盾，
∴只有x≥1，∴2x＞2，即2x＞2，∴x＞.
答案：
5．(2021·湖南长沙一中模拟)已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明．
解析：(1)∵函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，
∴f(0)＝＝0，
∴a＝－1，
∴f(x)＝，
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，满足题意．
(2)此函数为增函数，证明如下：
f(x)＝＝1－，
设x1＜x2，则3x1＜3x2，
故有＞，
则f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)为增函数．
　　　　
　　　　　　　　　
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A．aB．aC．cD．b解析：因为a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，0＜c＝0.20.3＜1，
所以b＞c＞a.
答案：B
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(函数零点))
　(2021·华师一附中模拟)若函数f(x)＝4x－m·2x＋m＋3有两个不同的零点x1，x2，且x1∈(0，1)，x2∈(2，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C．(7，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：设2x＝t，由x1∈(0，1)，x2∈(2，＋∞)可知t1＝2x1∈(1，2)，t2＝2x2∈(4，＋∞)，则函数g(t)＝t2－mt＋m＋3在(1，2)，(4，＋∞)上各有一个零点，
所以即解得m＞7.
答案：C
PAGE第四节　幂函数、二次函数
1．幂函数
(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较：
(3)常见的五种幂函数的图象和性质比较：
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在[0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1，1)
2.二次函数
(1)解析式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)图象与性质：
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
续表
值域
单调性
在x∈上单调递增；在x∈上单调递减
在x∈上单调递增；在x∈上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数
顶点
对称性
图象关于直线x＝－成轴对称图形
1．一个易混点
函数y＝ax2＋bx＋c不能盲目认为是二次函数，要注意对a的讨论，a＞0，a＝0，a＜0.
2．两个条件：一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是
3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征
(1)α＞1时，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如y＝x3；
(2)0＜α＜1时，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如y＝x；
(3)α＜0时，图象过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y＝x－1.
4．巧记幂函数的图象
五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图象是横卧抛物线型)，α＜0时的图象是双曲线型．
1．(基础知识：幂函数定义)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)
A．
B．1
C．
D．2
答案：C
2．(基础知识：幂函数的单调性)幂函数f(x)＝xα(α是有理数)的图象过点，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A.[0，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0]
D．(－∞，0)
答案：B
3．(基本应用：二次函数的单调性)若f(x)＝x2＋bx＋c的递增区间为[－1，＋∞)，则b＝________．
答案：2
4．(基本能力：幂式不等式)若x＞1，xa－1＜1，则a的取值范围是________．
解析：因为x＞1，xa－1＜1，所以a－1＜0，解得a＜1.
答案：(－∞，1)
5．(基本方法：数形结合法)设函数f(x)＝则f(x)＞f(1)的x的取值范围为________．
答案：(－∞，0)
题型一　幂函数的图象和性质　
　　　　
　　　　　　　　　
1．(2021·河南濮阳模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m＝(　　)
A．－1
B．2
C．3
D．2或－1
解析：∵函数f(x)＝(m2－m－1)
是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x5，其图象与两坐标轴有交点，不合题意；当m＝－1时，f(x)＝，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m＝－1.
答案：A
2．(2021·湖北荆门模拟)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．定义域内的减函数
D．定义域内的增函数
解析：设幂函数y＝f(x)＝xα，把代入函数解析式中，得2α＝，解得α＝－1，∴幂函数f(x)＝x－1，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(x)是定义域上的奇函数，且在定义域的每个区间内是单调递减函数．
答案：A
3．若(a＋1)－＜(3－2a)－，则实数a的取值范围是________．
解析：函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，
原不等式等价为
或或
解得＜a＜或a＜－1.
答案：(－∞，－1)∪
方法总结?
1．待定系数法求解析式，主要待定y＝xα中的“α”值．
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数．　　?
题型二　二次函数的图象与性质　
　　　　
　　　　　　　　[典例剖析]
类型
1　二次函数图象
[例1]　二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是(　　)
A．②④　
　B．①④
C．②③　
　D．①③
解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确．
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误．
结合图象，当x＝－1时，y＞0，
即a－b＋c＞0，③错误．
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．
答案：B
方法总结?
二次函数的图象要抓住解析式中a，b，c之间的关系，开口方向、对称轴及与x轴、y轴交点．　　?
类型
2　二次函数的单调性
[例2]　函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，0)
B．(－∞，－3]
C．[－2，0]
D．[－3，0]
解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3，0].
答案：D
方法总结?
二次函数的单调性主要依据开口方向和对称轴位置，要结合图象注意定义域．　　?
类型
3　二次函数的最值
[例3]　已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]上有最大值2，则a的值为________．
解析：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
所以1－a＝2，所以a＝－1.
当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝(舍去).
当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
答案：－1或2
方法总结?
二次函数在[m，n]上的最值的讨论主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值有如下的分布情况：　　?
m＜n＜－
m≤－≤n，即－∈[m，n]
－＜m＜n
图象
最值
f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)
f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f
f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)
类型4　二次函数不等式恒成立
[例4]　已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．
解析：作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，
则有
即解得－＜m＜0.
答案：
方法总结?
对于f(x)＝ax2＋bx＋c，若当x∈[m，n]，某不等式恒成立，可参考分离参数或讨论区间求其最值．
若是对于某参数的范围下不等式恒成立求x，可采用转换主元法求解．　　?
[题组突破]
1．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
解析：选项A，因为a＜0，－＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，由图象知f(0)＝c＜0，故选项A不可能；选项B，因为a＜0，－＞0，所以b>0.又因为abc>0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故选项B不可能；选项C，因为a＞0，－＜0，所以b＞0，又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故选项C不可能；选项D，因为a＞0，－＞0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＜0，由图象知f(0)＝c＜0.
答案：D
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)对于一切实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则(　　)
A．f(2)＜f(1)＜f(4)
B．f(1)＜f(2)＜f(4)
C．f(2)＜f(4)＜f(1)
D．f(4)＜f(2)＜f(1)
解析：因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)成立，
所以函数图象关于x＝2对称．又a＞0，所以f(2)最小，
由2－1＜4－2，得f(1)＝f(3)＜f(4)，
所以f(2)＜f(1)＜f(4).
答案：A
3．(2020·山西太原模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为________．
解析：法一：当a＞0时，f(x)＝a＋2－，
由f(x)＞0，x∈(1，4)得或或
所以或或
所以a≥1或＜a＜1或?，
即a＞；
当a＜0时，解得?；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，
所以不合题意．
综上可得，实数a的取值范围是.
法二：由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1，4)，
得a＞－＋在(1，4)上恒成立．
令g(x)＝－＋＝－2＋，
∈，g(x)max＝，
所以要f(x)＞0在(1，4)上恒成立，
只要a＞即可．
答案：
4．(母题变式)若将例2函数改为：f(x)的递减区间为[－1，＋∞)，则实数a如何取值？
解析：提示：
∴a＝－3.
5．(母题变式)若将例3改为：“已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1－a在[0，a]上的最大值记为g(a)”，求g(a)并求其最大值．
解析：∵f(x)＝－(x－1)2＋2－a，关于x＝1对称，
又∵x∈[0，a]，
∴当a≤1时，f(x)在[0，a]上为增函数，
f(x)max＝g(a)＝－a2＋2a＋1－a＝－a2＋a＋1，
当a＞1时，则
f(x)max＝f(1)＝g(a)＝2－a，
∴g(a)＝
当
a≤1时，g(a)＝－＋≤，
当a＞1时，g(a)＝2－a＜1，
∴g(a)的最大值为.
　　　
　　　　　　　　　
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
　(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　)
A．
B．
C．∪{1}
D．∪{1}
解析：
法一：如图所示，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图象．
①先研究当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝2的图象只有一个交点的情况．
当直线y＝－x＋a过点B(1，2)时，
2＝－＋a，解得a＝，
所以0≤a≤.
②再研究当x＞1时，直线y＝－x＋a与y＝的图象只有一个交点的情况．
(ⅰ)相切时，由y′＝－＝－，得x＝2，此时切点为，则a＝1.
(ⅱ)相交时，由图象可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图象只有一个交点，过点A(1，1)时，1＝－＋a，解得a＝，所以a≥.
结合图象可得，所求实数a的取值范围为∪{1}．
法二：当a＝1时，f(x)＝－x＋1，
即2＝－x＋1，
设y1＝2，y2＝－x＋1，在(0，＋∞)单调性相反，
设g(x)＝2＋x－1，由于g(0)＝－1＜0，g(1)＞0，
∴y1与y2的交点在(0，1)，符合题意．
令＝－x＋1，得x＝2，符合题意，排除选项AB.
当a＝时，
令2＝－x＋，
设h(x)＝2＋x－，∴h(0)＜0，h(1)＞0，
∴方程的根在(0，1)，符合题意．
令＝－x＋，得x＝4或x＝1(舍)，符合题意．
故排除选项C.
答案：D
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(由单调性求参数))
已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－a.?x1∈[1，5)时，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是(　　)
A．?　　　　　　　　　　
B．a≥7或a≤1
C．a>7或a<1
D．1≤a≤7
解析：由已知得(m－1)2＝1，得m＝0或m＝2.当m＝0时，y＝x2，当m＝2时，y＝x－2.又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x2.∴f(x)在[1，5)上的值域为[1，25)，g(x)在[1，5)上的值域为[2－a，32－a)，
∴∴即1≤a≤7.
答案：D
PAGE第三节　函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
条件
图象特点
偶函数
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)
关于y轴对称
奇函数
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．奇、偶函数的一个必要不充分条件：
奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．奇偶性的两个等价定义在定义域内恒有若f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)－f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)，则f(x)为偶函数．
3．奇偶性的六个重要结论：
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|).
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
(6)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
4．函数周期性常用的结论：
对f(x)定义域内任一自变量的值x，
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0).
5．函数对称性问题的结论：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
1．(基础知识：函数奇偶性判断)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝
D．y＝x|x|
答案：D
2．(基础知识：奇函数定义)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(－1)＝________．
答案：1－e
3．(基本应用：奇偶性应用)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，则a＝________．
答案：1
4．(基本应用：利用周期求函数值)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
解析：由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1
5．(基本能力：研究函数对称性)函数f(x)＝的对称中心为________．
答案：(0，0)
题型一　函数奇偶性的判断　
　　　　
　　　　　　　　　
1．函数f(x)＝＋，则f(x)为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：由得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1，1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，故f(x)既是奇函数，又是偶函数．
答案：C
2．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
解析：x∈R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，f(x)为奇函数，又y1＝3x为增函数，y2＝－为增函数，故y＝3x－为增函数．
答案：B
3．已知函数f(x)＝ln
(x＋)，则f(x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：x∈R，f(－x)＝ln
(－x＋)，
∴f(x)＋f(－x)＝ln
(x＋)＋ln
(－x＋)＝ln
1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．
答案：A
4．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)·g(x)是奇函数，故选项A错误；对于选项B，|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|·g(x)是偶函数，故选项B错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)·|g(x)|是奇函数，故选项C正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故选项D错误．
答案：C
方法总结?
1．函数y＝f(x)具有奇偶性，首先其定义域必须关于原点对称，这样f(x)与f(－x)才有意义．
2．对一个函数而言，其奇偶性结果为：是偶函数，是奇函数，既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数，必居其一．
3．判定奇偶性的方法：
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：利用奇偶性的运算关系．　　?
题型二　函数的周期性及应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(2021·四川南充模拟)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　)
A．－
B．－
C．
D．
审题互动：①能否直接把x＝－代入f(x)＝x(1＋x)?
②－?[0，1]，如何利用周期将f转化？
解析：∵f(x)是周期为4的奇函数，
∴f＝－f＝－f.
又0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，
故f＝－f＝－×＝－.
答案：A
方法总结?
1．若函数的最小正周期为T，在图象上表现为每隔T单位，图象相同，只是位置不同，在函数值上表现为f(x＋T)＝f(x).
当x不属于所给定区间时，利用f(x＋T)＝f(x)将f(x)转化，故首先确定f(x)的周期T.　　?2．求函数周期的方法：
方法
解读
适合题型
定义法
具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期
非零常数T容易确定的函数
递推法
采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期
含有f(x＋a)与f(x)的关系式
换元法
通过换元思路将解析式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式
[对点训练]
1．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．
解析：依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，
所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)＋f(0)
＝2－1＋21－1＋20－1＝.
答案：
2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．
解析：因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．
答案：7
3．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．
解析：因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，结合f(x)在[0，2]上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图所示，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.
答案：－8
题型三　函数性质的综合应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　求函数解析式
[例1]　设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1，2]上的解析式是________________．
解析：令x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，
令x∈[1，2]，则x－2∈[－1，0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)，
故函数f(x)在[1，2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x).
答案：f(x)＝log2(3－x)
方法总结?
在哪个区间上求解析式，就设x在哪个区间上，利用奇偶性或周期性关系，将x变到已知区间上，再代入解析式进行转化．　　?
类型
2　求函数值
[例2]　(1)对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1).若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2
019)＋f(2
020)＝(　　)
A．0
B．2
C．3
D．4
解析：y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，∴函数f(x)是偶函数，对于f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，则f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期是2，又f(0)＝2，则f(2
019)＋f(2
020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.
答案：B
(2)(2020·湖北武汉重点中学11月联考)若函数f(x)是R上的单调函数，且对任意的实数x都有f＝，则f(log22
020)＝(　　)
A．1
B．2
020
C．
D．
解析：令t＝f(x)＋，则f(t)＝，且f(x)＝t－，
从而f(t)＝t－＝，
当且仅当t＝1时，f(t)＝.
因为函数f(x)是R上的单调函数，所以f(x)＝1－.
所以f(log22
020)＝1－＝.
答案：D
方法总结?
挖掘函数性质，综合应用，将所求函数值转化：
根据周期性，将f(x)转化为f(x＋T)；
根据奇偶性，将f(x)转化为±f(－x)；
根据关于直线x＝a对称，将f(x)转化为f(2a－x)；
根据关于(a，b)对称，将f(x)转化为2b－f(2a－x)；
对于f(f(x))型采用换元法，设t＝f(x).　　?
类型
3　求参数
[例3]　(1)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，∴(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，∴a＝－1.
答案：－1
(2)若函数f(x)＝x
ln
(x＋)为偶函数，则a＝__________．
解析：由题意得f(x)＝x
ln
(x＋)＝f(－x)＝－x
ln
(
－x)，所以
＋x＝，解得a＝1.
答案：1
方法总结?
利用奇偶性求参数，一般利用奇偶性定义：f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)恒成立建立所有参数的方程，也可采用特殊值法，如奇函数(x∈R)时，f(0)＝0.　　?
类型4　解不等式、比较大小
[例4]　(1)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，不等式f(1－2x)＋f(3)＞0的解集为(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
解析：∵f(－x)＝|－x|(10－x－10x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
当x＞0时，f(x)＝x(10x－10－x)为增函数，
∴f(x)在R上是递增函数，故f(1－2x)＋f(3)＞0?f(1－2x)＞－f(3)＝f(－3)，所以1－2x＞－3，
解得x＜2.
答案：A
(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x＋4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：∵f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)，
∴f(x＋8)＝f(x)，
∴f(x)的周期为8，
∴f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，
f(11)＝f(3)＝f(－1＋4)＝－f(－1)＝f(1).
又∵奇函数f(x)在区间[0，2]上是增函数，
∴f(x)在区间[－2，2]上是增函数，
∴f(－25)＜f(80)＜f(11).
答案：D
方法总结?
此类问题是先利用性质将原问题转化为形如“f(x)＞f(y)”型，再根据单调性去“f”，得到x与y的大小关系，同时考虑函数的定义域．　　?
[题组突破]
1．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln
(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝(　　)
A．－x3－ln
(1－x)
B．x3＋ln
(1－x)
C．x3－ln
(1－x)
D．－x3＋ln
(1－x)
解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)3＋ln
(1－x).
∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln
(1－x)]＝x3－ln
(1－x).
答案：C
2．已知函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)
A．3
B．0
C．－1
D．－2
解析：设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin
x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，所以f(－a)＝0.
答案：B
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)且f(x)＝其中a∈R.若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)
A．0.5
B．1.5
C．2.5
D．3.5
解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f(x)，
∴T＝2.
又f(－5)＝f(4.5)，∴f(－1)＝f(0.5)，
∴－1＋a＝1.5，
∴a＝2.5.
答案：C
4．(2020·河北邯郸模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝(　　)
A．－3
B．－
C．
D．3
解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
答案：A
5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
解析：f(－x)＝＝，由f(－x)＝－f(x)得＝－，即1－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝.由f(x)>3得0答案：C
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2
017)＋f(2
019)的值为________．
解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期，
∴f(－2
017)＝f(2
017)＝f(1)＝log22＝1，
f(2
019)＝f(3)＝－＝－1，
∴f(－2
017)＋f(2
019)＝0.
答案：0
7．(母题变式)将例4(1)的函数变为f(x)＝10x＋10－x，求不等式f(1－2x)－f(3)＞0的解集．
解析：f(x)＝10x＋10－x，
f(x)为偶函数，
当x∈(0，＋∞)时，f(x)为增函数，
原不等式可化为f(1－2x)＞f(3)，
得|1－2x|＞3，得1－2x＞3或1－2x＜－3，
∴x＞2或x＜－1.
∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>2}．
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
解析：当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
答案：D
2．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知?(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足?(1－x)＝?(1＋x).若?(1)＝2，则?(1)＋?(2)＋?(3)＋…＋?(50)＝(　　)
A．－50
B．0
C．2
D．50
解析：∵?(x)是奇函数，∴?(－x)＝－?(x)，
∴?(1－x)＝－?(x－1).由?(1－x)＝?(1＋x)，
∴－?(x－1)＝?(x＋1)，
∴?(x＋2)＝－?(x)，
∴?(x＋4)＝－?(x＋2)＝－[－?(x)]＝?(x)，
∴函数?(x)是周期为4的周期函数．
由?(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数得?(0)＝0.
又∵?(1－x)＝?(1＋x)，
∴?(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴?(2)＝?(0)＝0，∴?(－2)＝0.
又?(1)＝2，∴?(－1)＝－2，
∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋?(4)＝?(1)＋?(2)＋?(－1)＋?(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴?(1)＋?(2)＋?(3)＋?(4)＋…＋?(49)＋?(50)＝0×12＋?(49)＋?(50)＝?(1)＋?(2)＝2＋0＝2.
答案：C
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(函数性质))
(2020·四川绵阳南山中学10月模拟)已知函数f(x)为定义在[－3，t－2]上的偶函数，且在[－3，0]上单调递减，则满足f(－x2＋2x－3)＜f的实数x的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(0，1]
C．(1，]
D．[0，]
解析：因为f(x)为定义在[－3，t－2]上的偶函数，所以－3＋t－2＝0，解得t＝5，
即f(x)为定义在[－3，3]上的偶函数，所以f(－x2＋2x－3)＜f等价于f(－x2＋2x－3)＜f(－x2－1)，
又－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2≤－2，－x2－1≤－1，f(x)在[－3，0]上单调递减，
所以－3≤－x2－1＜－x2＋2x－3≤0，
解得1＜x≤.
答案：C
PAGE第二节　函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义：
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的,
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义：
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
1．两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
2．单调性的两种等价形式
(1)设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；＜0?f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是减函数．
3．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
注意：f(x)的最大值记为f(x)max，f(x)的最小值记为f(x)min.
1．(基础知识：一次函数的单调性)函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　)
A．m＞
B．m＜
C．m＞－
D．m＜－
答案：B
2．(基本方法：判断单调区间)函数y＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)和(1，＋∞)
答案：D
3．(基本能力：判断单调性)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－
D．f(x)＝－|x|
解析：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
答案：C
4．(基本应用：利用单调性求参数)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3，满足．
当a≠0时，若f(x)在(－∞，4)上单调递增，则解得－≤a<0.综上得－≤a≤0.
答案：D
5．(基本方法：求最值)函数f(x)＝在[2，6]上的最大值和最小值分别是________．
答案：4，
题型一　判断简单函数的单调性、求单调区间　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例1]　(1)(2021·山东济宁模拟)已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1).若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1]
B．[－1，＋∞)
C．[－1，1)
D．(－3，－1]
(2)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递减区间为________．
解析：(1)审题互动：①f(x)是什么类型的函数？
②f(0)＜0的作用是什么？
令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}．根据f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1，又g(x)在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f(x)的单调递增区间为[－1，1).
答案：C
(2)f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞).
答案：[－1，0]和[1，＋∞)
方法总结?
1．研究函数的单调性，求单调区间，必须先求定义域，单调区间是定义域的子集．
2．对于单调区间间断的，不能用“∪”连接起来．
3．函数单调性的判断方法：
方法
解读
适合题型指引
定义法
具体的方法步骤为：取值、作差、变形、定号、下结论
适用于所有函数，特别是抽象函数
复合法
“同增异减”
形如y＝f(g(x))的复合函数
导数法
解不等式f′(x)>0，函数f(x)在此不等式对应的区间上为增函数；解不等式f′(x)<0，函数f(x)在此不等式对应的区间上为减函数
适用于可求导的函数
图象法
在定义域内作出相应的图象，根据图形中的单调性写出相应的单调区间
适用于初等函数，易于作出图象的函数
性质法
运用函数单调性的有关结论直接判断函数的单调性
适合初等函数简单运算后得到的函数
[典例2]　已知函数f(x)＝(a≠0)，讨论f(x)的单调性．
审题互动：①函数f(x)的定义域是什么？
②参数a对函数f(x)有什么影响？
解析：由f(x)＝＝
＝a＋.
定义域为{x|x≠1}，设x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝a＋－＝.
若a＞0，当x1＜x2＜1时，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，f(x1)－f(x2)＞0.
当1＜x1＜x2时，x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为减函数．
若a＜0时，当x1＜x2＜1时，f(x1)－f(x2)＜0，
当1＜x1＜x2时，f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．
综上所述，当a>0时，f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为减函数；
当a<0时，f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．
方法总结?
判断含有参数的函数的单调性时，若参数对单调性有影响，则结合定义法或导数法进行分类讨论．　　?
[对点训练]
1．函数f(x)＝ln
x＋x，其单调递增区间为__________．
解析：法一：定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ln
x＋x，得f′(x)＝＋1>0恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，增区间为(0，＋∞).
法二：设y1＝ln
x，y2＝x，在定义域(0，＋∞)上都为增函数，∴f(x)＝y1＋y2在(0，＋∞)上为增函数．
答案：(0，＋∞)
2．(母题变式)若例1(1)中函数改为：f(x)＝|－x2＋2x＋1|，则函数f(x)的单调递减区间为________．
解析：作出函数y＝|－x2＋2x＋1|
＝的图象如图所示．由图象可知，单调递减区间为(－∞，1－)和(1，1＋).
答案：(－∞，1－)和(1，1＋)
3．(母题变式)若例1(2)改为：函数f(x)＝lg
x2的单调递减区间是__________．
解析：法一：设t＝x2，∴y＝lg
t.
当x＞0时，t＝x2在(0，＋∞)上为增函数，y＝lg
t为增函数，
∴f(x)＝lg
x2在(0，＋∞)上为增函数；
当x<0时，t＝x2在(－∞，0)上为减函数，y＝lg
t为增函数．
∴f(x)＝lg
x2在(－∞，0)上为减函数．
法二：f(x)＝lg
x2为偶函数．
当x＞0时，f(x)＝2lg
x在(0，＋∞)上为增函数，
∴当x＜0时，f(x)为减函数．
答案：(－∞，0)
4．判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1，2]上的单调性．
解析：当a∈(1，3)时，函数f(x)＝ax2＋在[1，2]上单调递增．
证明：设1≤x1＜x2≤2，则
f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－
＝(x2－x1)，
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，2＜x1＋x2＜4，
1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.
又因为1＜a＜3，
所以2＜a(x1＋x2)＜12，
得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，
即f(x2)＞f(x1)，
故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．
题型二　函数单调性的应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　比较大小
[例1]　已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞c＞b
D．b＞a＞c
解析：由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以a＝f＝f.
当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c.
答案：D
方法总结?
比较f(a)与f(b)大小的关键点
(1)确定函数y＝f(x)在区间上的单调性；
(2)将a与b转化到该单调区间上；
(3)确定a与b的大小；
(4)利用单调性，比较f(a)与f(b)的大小．　　?
类型
2　利用单调性解不等式
[例2]　(2021·河北石家庄模拟)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3]
B．[－2，4]
C．[－1，5]
D．[0，6]
解析：因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数，故f(x－1)≥f(3)?f(|x－1|)≥f(3)?|x－1|≤3，故－2≤x≤4.
答案：B
方法总结?
利用单调性解不等式
根据单调性求解形如F(f(x))>F(g(x))型的不等式其实质就是利用单调性脱去“F”符号，其关键点为：
(1)判断，判断f(x)、g(x)是否在F(x)的同一个单调区间内；
(2)脱“F”，利用单调性脱去“F”：若F(x)为增，则得到f(x)>g(x)，若F(x)为减，则得到f(x)(3)解“x”，解不等式f(x)>g(x)(f(x)(4)结论，解得的x与定义域求交集．　　?
类型
3　利用单调性求参数
[例3]　已知函数f(x)＝x＋(x≠0，a∈R).若函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
解析：设x1因为x1－x2<0，x1x2>0，所以要使Δy＝<0恒成立，只需使x1x2－a>0恒成立，即a因为x14，所以a≤4，故函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增时，实数a的取值范围是(－∞，4].
答案：(－∞，4]
方法总结?
利用单调性求参数
(1)依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
(3)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．　　?
[题组突破]
1．已知函数f(x)＝log2x＋.若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
解析：因为函数y＝log2x与函数y＝＝－的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)＜f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.
答案：B
2．已知函数f(x)为定义在[0，1]上的单调递减函数．若f(x＋2)≤f，则x的取值范围是(　　)
A．[1－，1＋]
B．[1－，－1]
C．[－2，1＋]
D．[－，－1]
解析：因为函数f(x)为定义在[0，1]上的单调递减函数且f(x＋2)≤f，
所以1≥x＋2≥x2≥0，所以
所以1－≤x≤－1.
答案：B
3．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(2，3)
D．
解析：由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，可得化简得0＜a≤.
答案：A
题型三　求函数的最值　
　　　　
　　　　　　　　　
1．(2021·江西上饶模拟)函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A．　　　
　B．－
C．－2　　　
　D．2
解析：法一：易知y＝－x，y＝在上单调递减，∴函数f(x)在上单调递减，∴f(x)max＝f(－2)＝.
法二：∵f(x)＝－x＋，∴f′(x)＝－1－＝－＜0，
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)max＝f(－2)＝.
答案：A
2．(2021·河南郑州测试)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)
A．
B．(0，2]
C．{0，1，2}
D．{0，1，2，3}
解析：因为f(x)＝＝＝＋，因为2x＋1＞0，所以0＜＜1，
所以＜＋＜3，即＜f(x)＜3，所以y＝[f(x)]的值域为{0，1，2}．
答案：C
3．(2020·湖南怀化质检)定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是(　　)
A．2　　　
　B．3
C．4　　　
　D．6
解析：画出函数M＝{2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22＝6－2＝4，
故M的最小值为4.
答案：C
4．设函数f(x)＝的最小值为－1，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－2，＋∞)
B．(－2，＋∞)
C．
D．
解析：当x≥时，f(x)＝4x－3≥2－3＝－1，
当x＝时，f(x)取得最小值－1；
当x＜时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，
即有f(x)在上单调递减，
则有f(x)＞f＝a－，
由题意可得a－≥－1，解得a≥－.
答案：C
方法总结?
求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．　　?
　
　　　　　　　　　
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)
A．f>f(2－)>f(2－)
B．f>f(2－)>f(2－)
C．f(2－)>f(2－)>f
D．f(2－)>f(2－)>f
解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34).
又因为log34＞1＞2－＞2－＞0，
且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，
所以f(log34)＜f(2－)＜f(2－).
答案：C
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin
－3cos
x的最小值为________．
解析：∵f(x)＝sin
－3cos
x
＝－cos
2x－3cos
x
＝－2cos2x－3cosx＋1，
令t＝cos
x，则t∈[－1，1]，
∴f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.
答案：－4
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(函数新定义))
(2021·山东潍坊期中测试)在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a，b)，若函数y＝f(x)满足“?x∈[a－1，a＋1]，都有y∈[b－1，b＋1]”，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点B(m，n)在函数y＝－x2的图象上．若函数y＝－x2是点B的“界函数”，则m的取值范围是________．
解析：函数y＝－x2的图象开口向下，对称轴为y轴．
由于点B在函数y＝－x2的图象上，所以n＝－m2.
依题意知?x∈[m－1，m＋1]，都有y∈[n－1，n＋1]，
即?x∈[m－1，m＋1]，
都有y∈[－m2－1，－m2＋1].
当m＋1≤0，即m≤－1时，函数y＝－x2在[m－1，m＋1]上单调递增，最小值为－(m－1)2，最大值为－·(m＋1)2，所以－m2－1≤－(m－1)2＜－(m＋1)2≤－m2＋1，此不等式在m≤－1时无解；
当m－1＜0＜m＋1，即－1＜m＜1时，函数y＝－x2在[m－1，m＋1]上的最大值为0，最小值在区间[m－1，m＋1]的端点处取得，
故
解得－≤m≤；
当m－1≥0，即m≥1时，函数y＝－x2在[m－1，m＋1]上单调递减，最小值为－(m＋1)2，最大值为－(m－1)2，所以－m2－1≤－(m＋1)2＜－(m－1)2≤－m2＋1，此不等式在m≥1时无解．
综上所述，m的取值范围是.
答案：
PAGE第一节　函数及其表示
1．函数的概念
(1)设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素：
函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中
①定义域：自变量x的取值范围；
②值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析式法、列表法、图象法．
3．分段函数
若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
1．两种对应关系
f：A→B表示从A到B的一个函数，即从A到B的元素是一对一或多对一，值域为B的子集．
2．两个关注点
(1)分段函数是一个函数．
(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．
3．函数的三要素与相等函数
函数的三要素为定义域、对应关系和值域，而值域是由定义域和对应关系确定的，故如果两个函数的定义域、对应关系分别相同，则这两个函数为相等函数．
1．(基础知识：函数的定义域)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[0，2)
B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案：C
2．(基本方法：待定系数法求解析式)若f(x)＝x2＋bx＋c且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________．
答案：x2－4x＋3
3．(基本应用：利用函数值求参数)已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________．
解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1，∴1＝log2(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.
答案：－7
4．(基本能力：分段函数求值)已知函数f(x)＝则f＝________．
答案：
5．(基本应用：根据值域求参数)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数f(x)＝的值域为R，
∴当x＜1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则解得0≤a＜.
答案：
题型一　求函数的定义域　
　　　
　　　　　　　　　
1．(2021·江西九江七校联考)函数y＝的定义域是(　　)
A．(－1，3)
B．(－1，3]
C．(－1，0)∪(0，3)
D．(－1，0)∪(0，3]
解析：由题意得?－1＜x≤3且x≠0.
答案：D
2．设函数f(x)＝lg
(1－x)，则函数f(f(x))的定义域为________.
解析：f(f(x))＝f(lg
(1－x))＝lg
[1－lg
(1－x)].
由?－9＜x＜1，所以函数的定义域为(－9，1).
答案：(－9，1)
3．若函数y＝f(x)的定义域是[1，2
020]，则函数g(x)＝的定义域是________．
解析：因为y＝f(x)的定义域为[1，2
020]，
所以要使g(x)有意义，
应满足
所以0≤x≤2
019，且x≠1.
因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2
019，且x≠1}．
答案：{x|0≤x≤2
019，且x≠1}
4．将上边3题改为：若函数y＝f(x＋1)的定义域为[1，2
020]，则f(x)的定义域为________．
解析：y＝f(x＋1)的定义域为[1，2
020]，
即x∈[1，2
020]，
∴x＋1∈[2，2
021]，
∴f(x)的定义域为[2，2
021].
答案：[2，2
021]
方法总结?
1．函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，其定义域就是指使这个式子有意义的实数的集合．
2．一般地：
(1)y＝，是求f(x)≠0的x的集合；
(2)y＝，是求f(x)≥0的x的集合；
(3)y＝logaf(x)，是求f(x)＞0的x的集合．
3．求抽象函数定义域的方法：
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．　　?
题型二　求函数的解析式　
　　　　
　　　　　　　　　[典例剖析]
[典例]　(1)(配凑、换元法)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________．
(2)(待定系数法)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
解析：(1)审题互动：①x＋2能否构造出“＋1”的形式．
②x＋2是哪个变量在“f”下对应的结果．
法一：设t＝＋1(t≥1)，
则x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1).
法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
∴f(＋1)＝(＋1)2－1，
∴f(x)＝x2－1(x≥1).
答案：f(x)＝x2－1(x≥1)
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，
则f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝，
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
方法总结?
1．由实际问题求解析式，要明确自变量及其范围，根据题意中y与x的实际关系求解．　　?
2．如果已知对应关系：
方法
解读
适合题型
配凑法
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式
形如y＝f(g(x))的函数解析式
换元法
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，可令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入解析式求出f(t)，得到关于t的解析式，再将t换成x，得到f(x)的解析式，此时自变量x的定义域就是t＝g(x)的值域
形如y＝f(g(x))的函数解析式
待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式
已知所求曲线的种类和函数解析式的具体形式
解方程组法
已知f(x)与f(g(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用g(x)代替两边的所有x，得到关于f(x)及f(g(x))的方程组，解之即可得出f(x)
已知关于f(x)与f或f(x)与f(－x)的解析式
[对点训练]
1．若f＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于(　　)
A．
B．
C．
D．－1
解析：设＝t(t≠0，t≠1)，∴x＝，
∴f(t)＝＝，∴f(x)＝.
答案：B
2．定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg
(x＋1)，则f(x)＝________．
解析：当x∈(－1，1)时，2f(x)－f(－x)＝lg
(x＋1)，①
∴－x∈(－1，1)，∴2f(－x)－f(x)＝lg
(－x＋1)，②
①×2＋②得3f(x)＝2lg
(x＋1)＋lg
(－x＋1)，
∴f(x)＝lg
(x＋1)＋lg
(－x＋1).
答案：lg
(x＋1)＋lg
(－x＋1)
3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________．
解析：在f(x)＝2f－1中，用代替x，
得f＝2f(x)－1，
将f＝－1代入f(x)＝2f－1中，
可求得f(x)＝＋.
答案：＋
4．(母题变式)将本例(2)变为：已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．
解析：法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R).
法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5
＝(2x＋1)2－10x＋4
＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，
所以f(x)＝x2－5x＋9.
法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，
所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c
＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9.
答案：x2－5x＋9
题型三　简单函数的值域　
　　　　
　　　　　　　　　
1．(配方法)若函数y＝3x2－x＋2，x∈[1，3]，则y的取值范围为________．
解析：y＝3＋.
∵x∈[1，3]，∴当x＝1时，ymin＝3－1＋2＝4，
当x＝3时，ymax＝3×32－3＋2＝26，
∴y的取值范围为[4，26].
答案：[4，26]
2．(分离常数法)若函数y＝，则函数的值域为________．
解析：y＝＝＝3＋，
由于≠0，∴y≠3，
故函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞).
答案：(－∞，3)∪(3，＋∞)
3．(换元法)函数f(x)＝x＋
的值域为________．
解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1，可设x＝cos
α，α∈[0，π]，则＝＝sinα，
所以y＝cos
α＋sin
α＝sin
.
由α∈[0，π]，知α＋∈，
则sin
∈，
则sin
∈[－1，]，所以函数f(x)的值域为[－1，].
答案：[－1，]
方法总结?
求简单函数的值域常有：(1)单调性法；(2)配方法；(3)分离常数法；(4)换元法；(5)图象法等．要根据解析式的特点，寻求合适的方法．　　?
题型四　分段函数及应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　已知变量求函数值
[例1]　(2021·安徽合肥模拟)已知函数f(x)＝则f
(f(1))＝(　　)
A．－
B．2
C．4
D．11
解析：∵函数f(x)＝∴f(1)＝12＋2＝3，∴f
(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.
答案：C
类型
2　给定函数值求自变量
[例2]　已知f(x)＝若f(a)＝，则a＝__________．
解析：若a≥0，由f(a)＝得，a＝，
解得a＝.
若a<0，则|sin
a|＝，
a∈，
解得a＝－.综上可知，
a＝或－.
答案：或－
方法总结?
分段函数的求解问题
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.　　?类型
3　分段函数与不等式问题
[例3]　设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是________．
解析：当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x－＋1＞1，
∴x＞－，∴－＜x≤0；
当0＜x≤时，f(x)＋f＝2x＋x－＋1＞1恒成立；
当x＞时，f(x)＋f＝2x＋2x－＞1恒成立．
综上，x的取值范围为.
答案：
方法总结?
为了化简f(x)＋f＞1，根据f(x)的定义域为R，故0，将R分为三段，x∈(－∞，0]，x∈，x∈来讨论．　　?
类型
4　分段函数与方程问题、函数零点问题
[例4]　函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：法一：由f(x)＝0得
或解得x＝－3或x＝e2.
因此函数f(x)共有两个零点．
法二：函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)共有两个零点．
答案：B
方法总结?
研究分段函数的零点，可以利用分段解方程，也可以结合图象求交点，要注意图象的分段处是实点还是虚点．　　?
类型
5　分段函数的值域问题
[例5]　若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(1，2]
D．(，2]
解析：当x≤2时，f(x)＝8－2x∈[4，8)，
当x＞2时，f(x)＝3＋logax，
∵函数f(x)的值域是[4，＋∞)，
∴当x＞2时的值域是[4，＋∞)的子集，
若0＜a＜1，则函数f(x)为减函数，不满足条件．
∴a＞1.当x＞2时，f(x)＝3＋logax是增函数，且f(x)＞3＋loga2，
此时只需4≤3＋loga2＜8，
即1≤loga2＜5，
也即1≤＜5，
则＜log2a≤1，
解得＜a≤2，
即实数a的取值范围是(，2].
答案：D
方法总结?
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．要分段研究，利用集合的并集求参数．　　?
[题组突破]
1．设f(x)＝f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：当0＜a＜1时，a＋1＞1，
∴f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得
＝2a，∴a＝.
此时f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1＞1，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
答案：C
2．(母题变式)将例3已知条件改为：f(x)＝则f(x)＋f＞1的x的取值范围为________．
解析：当x≤1时，f(x)＝x＋1，f＝x－＋1，
原不等式化为x＋1＋x－＋1＞1得x＞－，
∴－＜x≤1.
当1＜x≤时，f(x)＝2x，f＝x－＋1，
∴原不等式化为2x＋x－＋1＞1恒成立．
当原不等式2x＋2x－＞1恒成立．
综上，x的取值范围为.
答案：
3．已知函数f(x)＝有3个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝有3个零点，
∴a＞0且函数y＝ax2＋2x＋1在(－2，0)上有2个零点，如图所示，
∴
解得＜a＜1.
答案：
4．设函数f(x)＝若f(x0)＞1，则x0的取值范围是________．
解析：依题意得或解得0＜x0＜2或x0＞3.
答案：(0，2)∪(3，＋∞)
　　　　
　　　　　　　　　
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1，0)
D．(－∞，0)
解析：法一(讨论法)：①当即x≤－1时，?(x＋1)＜?(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1，
因此不等式的解集为(－∞，－1].
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，?(x＋1)＜?(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0).
④当即x＞0时，
?(x＋1)＝1，?(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式?(x＋1)＜?(2x)的解集为(－∞，0).
法二(创新思维：数形结合)：
∵?(x)＝
∴函数?(x)的图象如图所示．
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数?(x)为减函数，故?(x＋1)＜?(2x)转化为x＋1＞2x.
此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，?(2x)＞1，?(x＋1)＝1，
满足?(x＋1)＜?(2x).
此时－1＜x＜0.
综上，不等式?(x＋1)＜?(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).
答案：D
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]
时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，]
B．(－∞，]
C．(－∞，]
D．(－∞，]
解析：当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)，∴当x∈(0，1]时，f(x)∈.
∵f(x＋1)＝2f(x)，
∴当x∈(－1，0]时，
x＋1∈(0，1]，f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x，f(x)∈；
当x∈(－2，－1]时，
x＋1∈(－1，0]，f(x)＝f(x＋1)＝f(x＋2)＝(x＋2)(x＋1)，f(x)∈；
…；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)，f(x)∈；
当x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，f(x)＝2f(x－1)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，f(x)∈[－1，0]；
….
f(x)的图象如图所示．
若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则有2＜m≤3.
设f(m)＝－，则4(m－2)(m－3)＝－，
∴m＝或m＝.结合图象可知，当m≤时，符合题意．
答案：B
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(分段函数))
　设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1，2]
B．[0，2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
解析：依分段函数可知：若x≤1，则由f(x)≤2，得21－x≤2，即1－x≤1，解得x≥0，此时0≤x≤1；
若x＞1，则由f(x)≤2，得1－log2x≤2，即log2x≥－1，解得x≥，此时x＞1.
综上可知，满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞).
答案：D
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