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第二课时　导数与函数的零点问题
题型一　利用导数判断函数的零点个数或区间　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(2021·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718
28…是自然对数的底数).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)讨论g(x)＝f(x)在区间[0，1]上零点的个数．
解析：(1)因为f(x)＝ex－ax－1，
所以f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a＞0时，令f′(x)＜0，得x＜ln
a，
令f′(x)＞0，得x＞ln
a，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln
a)，单调递增区间为(ln
a，＋∞).
(2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝，
先考虑f(x)在区间[0，1]上的零点个数，
①当a≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增且f(0)＝0，
所以f(x)在[0，1]上有一个零点；
②当a≥e时，f(x)在[0，1]上单调递减且f(0)＝0，
所以f(x)在[0，1]上有一个零点；
③当1＜a＜e时，f(x)在[0，ln
a)上单调递减，在(ln
a，1]上单调递增，而f(1)＝e－a－1，当e－a－1≥0，即1＜a≤e－1时，
f(x)在[0，1]上有两个零点，
当e－a－1＜0，即e－1＜a＜e时，
f(x)在[0，1]上有一个零点．
当x＝时，由f＝0得a＝2(－1).
综上知，当a≤1或a＞e－1或a＝2(－1)时，
g(x)在[0，1]上有两个零点；
当1＜a≤e－1且a≠2(－1)时，
g(x)在[0，1]上有三个零点．
方法总结?
判断函数零点个数的方法
(1)直接解方程法，令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；
(2)利用零点的存在性定理，定理的使用前提不仅要求函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还要注意结合函数的图象与性质才能确定函数有多少个零点；
(3)数形结合法，将原问题转化为两个函数图象的交点个数问题．　　?
[对点训练]
设函数f(x)＝ln
x＋，m∈R.
讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
解析：由题设，g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0).
设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．所以x＝1是φ(x)的极大值点，也是φ(x)的最大值点，所以φ(x)的最大值为φ(1)＝.由φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，
可知①当m＞时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．
题型二　由函数零点或方程的根求参数问题　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　已知函数f(x)＝x
ln
x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数).若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
解析：由g(x)＝2f(x)，
可得2x
ln
x＝－x2＋ax－3，
a＝x＋2ln
x＋，
设h(x)＝x＋2ln
x＋(x＞0)，
所以h′(x)＝1＋－＝，
所以当x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
1
(1，e)
h′(x)
－
0
＋
h(x)
?
极小值
?
又h＝＋3e－2，h(1)＝4，
h(e)＝＋e＋2.
且h(e)－h＝4－2e＋＜0.
所以在上，h(x)min＝h(1)＝4，
h(x)max＝h＝＋3e－2，
若方程在上有两个不等实根，
则4＜a≤e＋2＋，
所以实数a的取值范围为.
方法总结?
已知函数(方程)零点的个数求参数的取值范围
(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．
(2)若函数不是严格单调函数，则结合图象求最小值或最大值．
(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．　　?
[对点训练]
　已知函数f(x)＝ln
x－kx＋1(k为常数)，若f(x)有且只有一个零点，求k的取值组成的集合．
解析：易知f′(x)＝(x＞0).
①k≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
而f(ek－2)＝k－2－k·ek－2＋1＝k(1－ek－2)－1≤－1＜0，f(1)＝1－k＞0，故f(x)在(ek－2，1)上存在唯一零点，满足题意．
②k＞0时，令f′(x)＞0，得x＜，则f(x)在上单调递增；令f′(x)＜0，得x＞，则f(x)在上单调递减．
若f＝0，即k＝1，显然满足题意．
若f＞0，即0＜k＜1，而f＝＜0，又f＝2ln
－＋1＝2＋1，令h(x)＝ln
x－x＋1(x＞0)，则h′(x)＝，令h′(x)＞0，得x＜1，故h(x)在(0，1)上单调递增；令h′(x)＜0，得x＞1，故
h(x)在(1，＋∞)上单调递减．故有h(x)≤h(1)＝0，则h＝ln
－＋1＜0，即ln
－＜－1.
则f＝2＋1＜－1＜0，故f(x)在上有唯一零点，在上有唯一零点，不符合题意．
易知f＜0时不符合题意．
综上，k的取值组成的集合是{k|k≤0或k＝1}．
题型三　零点双变量问题　
[典例剖析]
[典例]　(2020·四川蓉城名校联考)已知函数h(x)＝xe－x，如果x1≠x2且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2＞2.
证明：h′(x)＝e－x(1－x)，
令h′(x)＝0，解得x＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表．
x
(－∞，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
?
?
由x1≠x2，不妨设x1＞x2，根据h(x1)＝h(x2)，结合图象(图略)可知x1＞1，x2＜1.
令F(x)＝h(x)－h(2－x)，x∈[1，＋∞)，
则F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x.
∵x≥1，2x－2≥0，∴e2x－2－1≥0，
∴F′(x)≥0，
∴F(x)在[1，＋∞)上单调递增．
又∵F(1)＝0，∴x＞1时，F(x)＞F(1)＝0，
即当x＞1时，h(x)＞h(2－x)，
则h(x1)＞h(2－x1).
又h(x1)＝h(x2)，∴h(x2)＞h(2－x1)，
∵x1＞1，∴2－x1＜1.
∵x2，2－x1∈(－∞，1)，
h(x)在(－∞，1)上是增函数，
∴x2＞2－x1，
∴x1＋x2＞2得证．
方法总结?
破解含双参问题关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值．　　?
[对点训练]
已知f(x)＝ex－ax有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则下列不等关系正确的是(　　)
A．a＜e
B．x1＋x2＞2
C．x1·x2＞1
D．有极小值点x0且x1＋x2＞2x0
解析：对于选项A，
(分离参数)若a＝0，不符合题意，故a≠0，令f(x)＝0，得＝.
设g(x)＝，则g′(x)＝(1－x)e－x，进而可得g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝.由此可画出直线y＝与曲线y＝g(x)，如图所示，由图知，0＜＜，所以a＞e，故选项A错误．
对于选项B，
(分离参数＋构造函数)由上述可得g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，由g(x1)＝g(x2)及图可得0＜x1＜1＜x2，所以2－x2＜1.欲证x1＋x2＞2，即证x1＞2－x2.因为函数g(x)在(－∞，1)上是增函数，所以即证g(x1)＞g(2－x2).
又g(x1)＝g(x2)，所以即证g(x2)＞g(2－x2)，即g(x2)－g(2－x2)＞0(x2＞1).
设F(x)＝g(x)－g(2－x)＝－(x＞1)，
可得F′(x)＝(x－1)(ex－2－e－x)＞0(x＞1)，
所以函数F(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以F(x)＞F(1)＝0(x＞1)，
所以g(x2)＞g(2－x2)(x2＞1)，所以x1＋x2＞2，故选项B正确．
分析得x1x2<1，故选项C错误．
由f′(x)＝ex－a＝0得x＝ln
a>1，
当x>ln
a时，f′(x)>0，当xa时，f′(x)<0，所以f(x)＝ex－ax有极小值点x0＝ln
a．由ex1＝ax1，ex2＝ax2得x1＝ln
a＋ln
x1，x2＝ln
a＋ln
x2，因此x1＋x2＝2ln
a＋ln
x1＋ln
x2?x1＋x2－2ln
a＝ln
x1x2<0，
所以x1＋x2<2ln
a＝2x0，故选项D错误．
答案：B
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
(2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin
x－x
cos
x－x，f′(x)为f(x)的导数．
(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；
(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．
解析：(1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos
x＋x
sin
x－1，
g′(x)＝x
cos
x.
当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，
所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．
又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2，
故g(x)在(0，π)存在唯一零点，
所以f′(x)在(0，π)存在唯一零点．
(2)法一：设F(x)＝f(x)－ax，即F(x)＝2sin
x－x
cos
x－x－ax，则F(x)≥0在[0，π]恒成立．
又F(0)＝0，∴F′(x)＝cos
x＋x
sin
x－1－a，设h(x)＝F′(x)，则h′(x)＝x
cos
x，
当x∈时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．
当x∈时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．
∴F(x)在单调递增，在单调递减．
①当a≤0时，而F′(0)＝－a≥0.
若a≤－2，则F′(π)＝－2－a≥0，∴F′(x)≥0在[0，π]上恒成立．
∴F(x)在[0，π]上单调递增，F(x)≥F(0)＝0恒成立．
若－2＜a≤0，则F′(π)＝－2－a＜0，∴存在唯一的x0∈，
使得F′(x)＝0.
∴F(x)在[0，x0)单调递增，在[x0，π]单调递减，又F(0)＝0，F(π)＝－πa≥0，
∴F(x)≥0恒成立．
②当a＞0，F(π)＝－πa＜0.不合题意．
综上所述，a的取值范围为(－∞，0].
法二：由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.
由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．
又f(0)＝0，f(π)＝0，∴当x∈[0，π]时，f(x)≥0.
又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.
因此，a的取值范围是(－∞，0].
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(构造函数证明不等式))
(2020·河北衡水摸底联考)已知函数f(x)＝2ax＋2x
ln
x(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间(e2，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围；
(2)已知x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，求证：x1＜＜x2.
解析：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝2ln
x＋2＋2a(x＞0).
因为函数f(x)在区间(e2，＋∞)上存在极值点，
所以存在实数m∈(e2，＋∞)，使得f′(m)＝2ln
m＋2＋2a＝0，
即a＝－ln
m－1＜－ln
e2－1＝－3.
所以a的取值范围为(－∞，－3).
(2)证明：依题意知＝，
要证x1＜＜x2，只需证x1＜＜x2，
即证1＜＜.
设t＝(t＞1)，只需证1＜＜t，即证ln
t＜t－1＜t
ln
t.
设g(t)＝ln
t－t＋1(t＞1)，则g′(t)＝－1，易知g′(t)＜0，
所以g(t)在(1，＋∞)上单调递减，ln
1－1＋1＝0，则g(t)＜0，即ln
t＜t－1.
设h(t)＝t
ln
t－t＋1，则当t＞1时，h′(t)＝ln
t＞0，
所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增，
则当t＞1时，h(t)＞h(1)＝0，即t－1＜t
ln
t.
所以x1＜＜x2，即不等式x1＜＜x2成立．
PAGE第十二节　导数的综合应用
1．利用导数证明不等式
若证明f(x)2．利用导数解决不等式的恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3．利用导数研究函数的零点
用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
1．研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．
2．给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可．
3．函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质．
4．没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．
第一课时　导数与不等式问题
题型一　不等式证明　
　
[典例剖析]
类型
1　构造函数法
[例1]　(2021·江西赣州模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.
解析：(1)因为f(x)＝1－(x＞0)，
所以f′(x)＝，f′(1)＝－1.
因为g(x)＝＋－bx，
所以g′(x)＝－－－b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，
所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，
所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1.
(2)证明：由(1)知，g(x)＝－＋＋x，
则f(x)＋g(x)≥?1－－－＋x≥0.
令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，
则h(1)＝0，h′(x)＝＋＋＋1＝＋＋1.
因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1＞0，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以当x≥1时，h(x)≥h(1)＝0，
即1－－－＋x≥0，
所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.
类型
2　分析函数法
[例2]　(2021·福建福州模拟)已知函数f(x)＝eln
x－ax(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
解析：(1)f′(x)＝－a(x＞0).
①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a＞0，则当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：因为x＞0，
所以只需证f(x)≤－2e，
当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝－e，
记g(x)＝－2e(x＞0)，
则g′(x)＝，
所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e，
综上，当x＞0时，f(x)≤g(x)，
即f(x)≤－2e，
即xf(x)－ex＋2ex≤0.
方法总结?
1．利用导数证明不等式的基本思路是依据函数的单调性，求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min证得不等式．
2．证明f(x)＞g(x)，可以构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后利用h(x)的最值证明不等式．
3．若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．　　?
[题组突破]
1．已知函数f(x)＝ax2＋x
ln
x(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求证：当n＞m＞0时，ln
n－ln
m＞－.
解析：(1)因为f(x)＝ax2＋x
ln
x，所以f′(x)＝2ax＋ln
x＋1，因为切线与直线x＋3y＝0垂直，所以切线的斜率为3，所以f′(1)＝3，即2a＋1＝3，故a＝1.
(2)证明：要证ln
n－ln
m＞－，即证ln
＞－，
只需证ln
－＋＞0.
令＝x，由已知n＞m＞0，得＞1，即x＞1，构造函数g(x)＝ln
x－＋x(x＞1)，则g′(x)＝＋＋1.因为x∈(1，＋∞)，所以g′(x)＝＋＋1＞0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以g＞g(1)＝0，即ln
－＋＞0成立，所以当n＞m＞0时，ln
n－ln
m＞－.
2．已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线的斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)求证：当x＞0时，x2＜ex；
(3)求证：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2＜cex.
解析：(1)由f(x)＝ex－ax得f′(x)＝ex－a，则f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，得x＝ln
2.
所以，当x＜ln
2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln
2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
故当x＝ln
2时，f(x)有极小值且极小值为f(ln
2)＝eln
2－2ln
2＝2－ln
4，f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2(x∈(0，＋∞))，
则g′(x)＝ex－2x，
由(1)得g′(x)≥f(ln
2)＞0，
所以g(x)为增函数，
因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜ex.
(3)证明：令h(x)＝x3－ex(x∈(0，＋∞))，
则h′(x)＝x2－ex，
由(2)知，当x＞0时，x2＜ex，
所以h′(x)＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)＜h(0)＝－1，
即x3＜ex.
取x0＝，当x＞x0时，有x2＜x3＜ex，因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2＜cex.
题型二　不等式恒成立的问题　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　单变量不等式恒成立问题
[例1]　已知函数f(x)＝mex－x2.
(1)若m＝1，求曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
(2)若关于x的不等式f(x)≥x(4－mex)在[0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)当m＝1时，f(x)＝ex－x2，
所以f′(x)＝ex－2x，所以f′(0)＝1.
又f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.
(2)由f(x)≥x(4－mex)，得mex(x＋1)≥x2＋4x，不等式f(x)≥x(4－mex)在[0，＋∞)上恒成立，
等价于当x≥0时，m≥，令g(x)＝(x≥0)，
则g′(x)＝.
由g′(x)＝0及x≥0，得x＝－1，
当x∈(0，－1)时，g′(x)＞0，此时g(x)单调递增；
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)＜0，
此时g(x)单调递减，所以当x＝－1时，
g(x)max＝g(－1)＝2e1－，所以m≥2e1－，
所以实数m的取值范围为[2e1－，＋∞).
类型
2　双变量不等式恒成立问题
[例2]　已知函数f(x)＝x－1－a
ln
x(a＜0).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对于任意的x1，x2∈(0，1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|＜4，求实数a的取值范围．
解析：(1)由题意知f′(x)＝1－＝(x＞0)，
因为x＞0，a＜0，所以f′(x)＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)不妨设0＜x1＜x2≤1，则＞＞0，
由(1)知f(x1)＜f(x2)，
所以|f(x1)－f(x2)|＜4?f(x2)－f(x1)＜4?f(x1)＋＞f(x2)＋.
设g(x)＝f(x)＋，x∈(0，1]，
易知g(x)在(0，1]上单调递减，所以g′(x)≤0在(0，1]上恒成立?1－－＝≤0在(0，1]上恒成立?a≥x－在(0，1]上恒成立，易知y＝x－在(0，1]上单调递增，其最大值为－3.因为a＜0，所以－3≤a＜0，所以实数a的取值范围为[－3，0).
类型
3　可转化为不等式恒成立的问题
[例3]　(2021·湖北十堰模拟)已知函数f(x)＝axex－x2－2x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x＞0时，若曲线y＝f(x)在直线y＝－x的上方，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝xex－x2－2x，
其导数f′(x)＝ex(x＋1)－2x－2，
f′(0)＝－1.又因为f(0)＝0，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.
(2)根据题意，当x＞0时，
“曲线y＝f(x)在直线y＝－x的上方”等价于“axex－x2－2x＞－x恒成立”，
又由x＞0，则axex－x2－2x＞－x?aex－x－1＞0?a＞，
则原问题等价于a＞恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝－，
又由x＞0，则g′(x)＜0，
则函数g(x)在区间(0，＋∞)上递减，
又由g(0)＝＝1，则有＜1，
若a＞恒成立，必有a≥1，
即a的取值范围为[1，＋∞).
方法总结?
1．求解不等式恒成立问题时，可以直接构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，再利用函数的单调性，转化为判断该函数的最值的正负来求解参数的取值范围．
2．求解不等式恒成立问题时，也可以适当恒等变形，部分分离，化为过定点的直线与函数图象的位置关系，再利用导数的几何意义，转化为直线的斜率与过定点的切线的斜率的大小关系求解参数的取值范围．　　?
[题组突破]
1．(2021·重庆九校联盟联考)设函数f(x)＝ex－a
sin
x.
(1)当a＝1时，证明：?x∈(0，＋∞)，f(x)＞1；
(2)若?x∈[0，＋∞)，f(x)≥0都成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)证明：由a＝1知f(x)＝ex－sin
x，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex－cos
x＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又f(0)＝1，故?x∈(0，＋∞)，f(x)＞f(0)＝1，即当a＝1时，?x∈(0，＋∞)，f(x)＞1.
(2)当a＝0时，f(x)＝ex，符合条件；当a＞0时，设y1＝ex与y2＝a
sin
x在点(x0，y0)处有公切线，则?tan
x0＝1?x0＝?a＝e，故0＜a≤e；当a＜0时，设y1＝ex与y2＝a
sin
x在点(x0，y0)处有公切线，同理可得－e≤a＜0.综上所述，实数a的取值范围是.
2．(2021·湖北武汉质检)已知f(x)＝x
ln
x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵函数f(x)＝x
ln
x的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝ln
x＋1.令f′(x)＜0，得ln
x＋1＜0，解得0＜x＜，∴f(x)的单调递减区间是.令f′(x)＞0，得ln
x＋1＞0，解得x＞，∴f(x)的单调递增区间是.综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)∵g′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意得2x
ln
x≤3x2＋2ax＋1恒成立．∵x＞0，∴a≥ln
x－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立．设h(x)＝ln
x－x－(x＞0)，则h′(x)＝－＋＝－.令h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(舍).当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
h(x)
?
极大值
?
∴当x＝1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)max＝h(1)＝－2，∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≥h(x)max＝－2，即a≥－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞).
题型三　不等式存在性问题　
　　　　
　
[典例剖析]
[典例]　设函数f(x)＝a
ln
x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b，
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝a
ln
x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1).
①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以存在x0≥1，使得f(x0)<成立的充要条件为f(1)<，
即－1<，解得－－1②若1，
故当x∈时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以存在x0≥1，使得f(x0)<成立的充要条件为f<.
而f＝a
ln
＋＋>，所以不合题意．
③若a>1，则f(1)＝－1＝<.
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞).
方法总结?
不等式存在性问题，也是转化为函数最值问题，其关键点为：
(1)?x使f(x)≥a成立?f(x)max≥a.
(2)?x使f(x)≤b成立?f(x)min≤b.
(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)min>g(x2)min.
(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)max>g(x2)min.
(5)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)max>g(x2)max.　　?
[对点训练]
　已知函数f(x)＝ln
x＋－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m∈R，对任意的a∈(－1，1)，总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x0)＜0成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝－＝，x＞0.
令f′(x)＞0，得x＞1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).
令f′(x)＜0，得0＜x＜1，因此函数f(x)的单调递减区间是(0，1).
(2)依题意，ma＜f(x)max.由(1)知，f(x)在x∈[1，e]上是增函数．
所以f(x)max＝f(e)＝ln
e＋－1＝.
所以ma＜，即ma－＜0对于任意的a∈(－1，1)恒成立．
所以解得－≤m≤.
所以m的取值范围是.
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数?(x)＝－x＋a
ln
x.
(1)讨论?(x)的单调性；
(2)若?(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2.
解析：(1)?(x)的定义域为(0，＋∞)，
?′(x)＝－－1＋＝－.
①若a≤2，则?′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，?′(x)＝0，
所以?(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②若a＞2，令?′(x)＝0，得
x＝或x＝.
当x∈∪时，
?′(x)＜0；
当x∈时，
?′(x)＞0.
所以?(x)在，上单调递减，在上单调递增．
(2)证明：由(1)知，?(x)存在两个极值点时，当且仅当a＞2.
由于?(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，
所以x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，
所以＜a－2等价于－x2＋2ln
x2＜0.
设函数g(x)＝－x＋2ln
x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)单调递减，
又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0.
所以－x2＋2ln
x2＜0，即＜a－2.
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(转化法的应用))
(2021·湖北黄冈质检)已知函数f(x)＝ln
(x＋1)＋＋ax＋b的导函数为f′(x)，f′(0)＝1，且函数F(x)＝f(x)－f′(x)存在零点x＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)当x≥0时，不等式f(x)≥恒成立，求实数m的取值范围(参考数据：方程x2＋x－1＝ln
(x＋1)的一个近似解x0＝).
解析：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝－＋a，
又f′(0)＝1，所以f′(0)＝1－1＋a＝1，解得a＝1，
所以f(x)＝ln
(x＋1)＋＋x＋b.
由函数F(x)＝f(x)－f′(x)存在零点x＝0，得
F(0)＝f(0)－f′(0)＝0，所以f(0)＝1＋b＝1，即b＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝ln
(x＋1)＋＋x，当x≥0时，不等式f(x)≥恒成立，即ln
(x＋1)＋＋x≥(x≥0)恒成立．
显然x＝0时不等式对任意实数m恒成立，
因此只需讨论使不等式f(x)≥在(0，＋∞)上恒成立的m的取值范围．
ln
(x＋1)＋＋x≥(x＞0)，
即ln
(x＋1)＋＋＋x＋1≥m.
令φ(x)＝ln
(x＋1)＋＋＋x＋1(x＞0)，
则φ′(x)＝＝.
令φ′(x)＝0，得x2＋x－1＝ln
(x＋1)，
已知该方程的一个近似的根为x0＝.
分别作出y＝x2＋x－1和y＝ln
(x＋1)的图象如图所示，
由图象可知，当x∈(0，x0)时，φ′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，φ′(x)＞0.
又ln
(x0＋1)＝x＋x0－1，所以φ(x)min＝φ(x0)＝x＋3x0＋1＝，
由此可得m≤.
于是所求实数m的取值范围为.
PAGE第二课时　导数与函数的极值、最值
1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点：
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点：
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．注意两种条件
(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．
(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．分清极值与最值的关系
(1)极值与最值的关系：极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．
(2)若函数f(x)的图象连续，则f(x)在[a，b]内一定有最值．
(3)若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
(4)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．
1．(基础知识：极值与导数的关系)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：A
2．(基本能力：闭区间上的函数的取值)函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是(　　)
A．－
B．－
C．－4
D．－
答案：A
3．(基本能力：极小值点)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________．
答案：2
4．(基本方法：极值与最值的关系)函数y＝xex的最小值是________．
答案：－
5．(基本应用：利用导数求极大值)现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．
答案：a3
题型一　导数与函数极值问题　
　　
[典例剖析]
类型
1　根据函数图象判断极值
[例1]　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，
f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
答案：D
类型
2　求已知函数的极值
[例2]　已知函数f(x)＝x2－1－2a
ln
x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
解析：因为f(x)＝x2－1－2a
ln
x(x＞0)，
所以f′(x)＝2x－＝.
①当a＜0时，因为x＞0，且x2－a＞0，所以f′(x)＞0对x＞0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)，
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?↘
极小值
?↗
所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2a
ln
＝a－1－a
ln
a，无极大值．
综上，当a＜0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．当a＞0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－a
ln
a，无极大值．
类型
3　已知极值点求参数
[例3]　(1)(2020·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋a
ln
x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－1＋＝，
由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在(1，＋∞)上有解，
所以Δ＝1－8a＞0，且2×12－1＋a＜0，
所以a∈(－∞，－1).
答案：(－∞，－1)
(2)若函数f(x)的导数f′(x)＝(x－k)k，k≥1，k∈Z，已知x＝k是函数f(x)的极大值点，则k＝________．
解析：因为函数f(x)的导数为
f′(x)＝(x－k)k，k≥1，k∈Z，
所以若k是偶数，则x＝k不是极值点，则k是奇数，
若k＜，由f′(x)＞0，
解得x＞或x＜k；由f′(x)＜0，
解得k＜x＜，
即当x＝k时，函数f(x)取得极大值．
因为k≥1，k∈Z，所以k＝1，
若k＞，由f′(x)＞0，
解得x＞k或x＜；
由f′(x)＜0，解得＜x＜k，即当x＝k时，函数f(x)取得极小值，不满足条件．
综上，k＝1.
答案：1
方法总结?
1．利用导数研究函数极值的一般步骤
(1)确定函数定义域；
(2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根；　　?
(3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，如果左正右负，那么y＝f(x)在这个根处取极大值，如果左负右正，那么y＝f(x)在这个根处取极小值．如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．
2．判断极值点的个数
首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点．
3．根据函数极值情况求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：求解后验证根的合理性．
[题组突破]
1．(2021·河北冀州中学模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．
解析：若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1，0).
答案：(－1，0)
2．已知函数f(x)＝ax－1－ln
x(a∈R).讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝a－＝，
当a≤0时，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；
当a＞0时，
由f′(x)＜0得0＜x＜，
由f′(x)＞0，得x＞，
∴f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
即f(x)在x＝处有极小值，无极大值．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点，当a＞0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．
题型二　利用导数求函数的最值问题　
　　　　
　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　已知函数f(x)＝－ln
x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).
审题互动：(1)利用导数求f(x)的单调区间．
(2)在(1)的基础上讨论内的单调性．求极值及f
和f(e)的值．
解析：(1)因为f(x)＝－ln
x＝1－－ln
x，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＝，
由f′(x)＞0，得0＜x＜1，由f′(x)＜0，得x＞1，
所以f(x)＝－ln
x的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝1－1－ln
1＝0.
又f＝1－e－ln
＝2－e，f(e)＝1－－ln
e＝－，且f＜f(e).
所以f(x)在上的最小值为f＝2－e.
综上所述，f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e.
方法总结?
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若f(x)在(a，b)内只有一个极值，则该极值为最值．　　?
[对点训练]
　设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R).
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k＝1时，求f(x)在[0，2]上的最值．
解析：(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，
f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2).
由f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝ln
2＞0.
由f′(x)＞0，得x＜0或x＞ln
2.
由f′(x)＜0，得0＜x＜ln
2.
所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(ln
2，＋∞)，
单调减区间为(0，ln
2).
(2)由(1)可知x＝0和x＝ln
2是f(x)的极值点，
且0∈[0，2]，ln
2∈[0，2]，
f(0)＝－1，f(ln
2)＝(ln
2－1)·eln
2－(ln
2)2
＝2(ln
2－1)－(ln
2)2，
由(1)可知f(0)＝f(1)＝－1，
在(ln
2，＋∞)上f(x)为增函数，
∴f(2)＞f(1)＞f(ln
2)，
∴f(x)的最大值为f(2)＝e2－4.
f(x)的最小值为f(ln
2)＝2ln
2－2－(ln
2)2.
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
(2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln
x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝＋ln
x－1＝ln
x－.
因为y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln
2－＝>0，
故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.
又当0当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
因此f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x0)0，
所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.
由α>x0>1得<1又f＝ln
－－1＝＝0，
故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．
综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(函数单调显极值))
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＋b＝________．
解析：由极值和极值点概念得
得或
但当时有f′(x)＝3(x－1)2≥0，
此时x＝1不是极值，故舍去，
所以a＋b＝－7.
答案：－7
2．(2021·重庆一中10月模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln
x(a∈R).若f(x)在x＝1处取极小值，求实数a的取值范围．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，对f(x)求导，得f′(x)＝2ax＋1－2a－＝.
当a≥0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝1处取极小值；
当a＜0时，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－，要使f(x)在x＝1处取极小值，则1＜－，解得－＜a＜0.
综上可知，实数a的取值范围为.
PAGE第十一节　导数在函数研究中的应用
第一课时　函数的导数与单调性
函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导：
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；
(2)若f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．
1．(基础知识：混淆f(x)的图象)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数
B．函数f(x)在区间(－3，2)上是减函数
C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数
D．函数f(x)在区间(－3，2)上是单调函数
答案：A
2．(基本方法：忽视定义域)函数f(x)＝x－ln
x的单调递减区间为(　　)
A．(0，1)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案：A
3．(基本方法：求单调区间)函数f(x)＝cos
x＋x
sin
x，x∈(0，π)的递增区间为________．
答案：
4．(基本应用：导数的作用)函数f(x)＝x3＋ax在R上为增函数，则a的取值范围为________．
答案：[0，＋∞)
5．(基本能力：求参数范围)函数f(x)＝x2(x－a)在(2，3)上不单调，则a的取值范围为________．
答案：
题型一　用导数讨论函数的单调性，求单调区间　
[典例剖析]
类型
1　用导数判断简单函数的单调性
[例1]　(1)(2021·河北邯郸模拟)已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln
x，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A．和(1，＋∞)
B．(0，1)和(2，＋∞)
C．和(2，＋∞)
D．(1，2)
解析：函数f(x)＝x2－5x＋2ln
x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞).
答案：C
(2)函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：令1－x≥0，∴x≤1.
∴f′(x)＝1＋2××(1－x)－(－1)＝1－，
令f′(x)＞0得－1＞0，∴x＜0.
令f′(x)＜0得－1＜0，∴0＜x≤1，
∴函数的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1].
答案：(－∞，0)　(0，1]
类型
2　讨论含参数的函数的单调性
[例2]　已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln
x，a＞0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
解析：∵x＞0，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝
＝
＝，
令f′(x)＝0，∴x＝1或x＝，
①当0＜a＜1时，∴＞1，
∴当x∈(0，1)和时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；
②当a＝1时，＝1，
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a＞1时，0＜＜1，
∴当x∈和(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
综上，当0＜a＜1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；
当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
方法总结?
1．根据导数与函数单调性的关系，通过导函数f′(x)的零点得到函数的单调区间，破解此类题的关键点：
(1)求定义域，利用使函数有意义的条件求解函数的定义域．
(2)求导数，根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数f(x)的导函数f′(x).
(3)讨论导函数的符号，不等式f′(x)>0的解集就是函数f(x)的单调递增区间，不等式f′(x)<0的解集就是函数f(x)的单调递减区间．
2．对于含参数的函数的单调性要注意对参数的讨论：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．　　?
[题组突破]
1．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：∵f(x)＝x(ex－1)－x2，
∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1).
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0.
当x∈[－1，0]时，f′(x)≤0.
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．
答案：(－∞，－1)，(0，＋∞)　[－1，0]
2．(母题变式)若将本例2中参数a的范围改为：a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性．
解析：a＞0时，讨论同上；
当a≤0时，ax－1＜0，
∴x∈(0，1)时，f′(x)＞0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，
∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0＜a＜1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；
当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
题型二　导数在函数单调性中的应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　构造导函数，研究不等关系
[例1]　(1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)－f′(x)＞0，则(　　)
A．ef(2
018)＞f(2
019)
B．ef(2
019)＜f(2
020)
C．e2f(2
018)020)
D．e2f(2
019)与f(2
021)的大小不能确定
解析：令g(x)＝，则g′(x)＝＝，因为f(x)－f′(x)＞0，所以g′(x)＜0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(2
018)＞g(2
019)，即＞，所以ef(2
018)＞f(2
019)，故选项A正确，选项B错误．同理g(2
018)＞g(2
020)，
∴＞，∴e2f(2
018)＞f(2
020)，选项CD错误．
答案：A
(2)定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，且x＜0时，f′(x)＜x恒成立，则不等式f(x)－f(1－x)≥x－的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．(－∞，0)
解析：令g(x)＝f(x)－x2，
则g(x)＋g(－x)＝0?g(x)为奇函数，又x＜0时，g′(x)＝f′(x)－x＜0?g(x)在(－∞，0)上递减，则g(x)在(－∞，＋∞)上递减，
由f(x)－f(1－x)≥x－知f(x)－x2≥f(1－x)－(1－x)2，
即g(x)≥g(1－x)，从而x≤1－x?x≤，所以所求不等式的解集为.
答案：A
类型
2　已知函数单调性求参数
[例2]　已知函数f(x)＝ln
x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
解析：因为f(x)在[1，4]上单调递减，
所以当x∈[1，4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．
设G(x)＝－，x∈[1，4]，
所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1.
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－，又因为a≠0，
所以a的取值范围是∪(0，＋∞).
方法总结?
1．含有“f′(x)”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数．
2．常见的构造函数思路：
(1)已知“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”型：
联想构造函数F(x)＝f(x)g(x).
(2)已知“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”型：
联想构造函数F(x)＝.
(3)已知“f(x)＋f′(x)”型：
联想构造函数F(x)＝exf(x).
(4)已知“f′(x)ln
x＋”型：
联想构造函数F(x)＝f(x)ln
x．
3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法：
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．　　?
(3)若已知f(x)在区间Ⅰ上的单调性，区间Ⅰ上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令Ⅰ是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
[题组突破]
1．已知函数f(x)＝x
sin
x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　)
A．f＞f(1)＞f
B．f(1)＞f＞f
C．f＞f(1)＞f
D．f＞f＞f(1)
解析：因为f(x)＝x
sin
x，
所以f(－x)＝(－x)·sin
(－x)＝x
sin
x＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数，
所以f＝f.
又当x∈时，f′(x)＝sin
x＋x
cos
x＞0，所以函数f(x)在上是增函数，所以f＜f(1)＜f，即f＞f(1)＞f.
答案：A
2．(母题变式)在例2中，若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．
解析：因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则f′(x)＜0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，
a＞－有解，
又当x∈[1，4]时，＝－1(此时x＝1)，
所以a＞－1，又因为a≠0，
所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
　
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
　(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.讨论f(x)的单调性．
解析：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，
f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(由单调区间求参数范围))
已知函数f(x)＝＋x－2ln
(x＋1)(e为自然对数的底数，a为常数，且a≠0).
(1)若函数图象在x＝1处的切线与直线ex－y＝0平行，求a的值；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求a的取值范围．
解析：(1)依题意知，函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，对f(x)求导，得f′(x)＝eax＋1－，x∈(－1，＋∞).
所以f′(1)＝ea，所以ea＝e，所以a＝1.
(2)由题意知，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝eax＋1－＜0有解．
当x∈[1，＋∞)时，f′(x)＝eax＋1－＞0恒成立，f(x)不存在单调递减区间；
当x∈(0，1)时，f′(x)＝eax＋1－＜0有解等价于ln
－ax＞0有解．设φ(x)＝ln
－ax，x∈(0，1)，
则φ′(x)＝－a，x∈(0，1).
因为x∈(0，1)，所以＜－2.
①当a≥－2时，φ′(x)＝－a＜0恒成立，
φ(x)＝ln
－ax在(0，1)上单调递减，φ(x)＜0恒成立，不符合题意．
②当a＜－2时，0＜＜1，当x∈时，φ′(x)＝－a＞0，
φ(x)＝ln
－ax在上单调递增，φ(x)＞0有解，即ln
－ax＞0有解．
综上所述，a的取值范围为(－∞，－2).
PAGE第十节　变化率与导数、定积分与微积分基本定理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率_＝
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或
，即f′(x0)＝
＝_
.
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝_
为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝ax_ln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0).
4．定积分的概念、几何意义和性质
(1)定积分的几何意义：
f(x)
f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)＜0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积
(2)定积分的性质：
①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数).
②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx．
③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b).
5．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝
f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿?莱布尼茨公式．
1．求导其实质是一种数学运算，即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件，要注意这一点，如(xn)′＝nxn－1中，n≠0且n∈Q
.′＝，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．
2．(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
(2)f′(x)是一个函数，与f′(x0)不同．
3．(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
4．复合函数的导数：
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
1．(基础知识：求导数值)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(　　)
A．0
B．e
C．2e
D．e2
答案：C
2．(基本能力：导数的运算)已知f(x)＝x·ln
x，则f′(x)＝(　　)
A．
B．x＋1
C．＋x
D．ln
x＋1
答案：D
3．(基本应用：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为(　　)
A．不存在
B．x＝0
C．y＝0
D．y＝x
答案：C
4．(基本应用：求斜率)曲线y＝ex过点(0，0)的切线的斜率为________．
答案：e
5．(基本能力：微积分应用)
sin
dx＝________．
答案：2
题型一　导数的计算　
　　　　
　
1．已知函数f(x)＝x(2
020＋ln
x)，且f′(x0)＝2
021，则x0＝(　　)
A．e2
B．1
C．ln
2
D．e
解析：∵f(x)＝x(2
020＋ln
x)＝2
020x＋x
ln
x，
∴f′(x)＝2
020＋ln
x＋x·＝2
021＋ln
x.
又f′(x0)＝2
021，∴ln
x0＝0，∴x0＝1.
答案：B
2．若f(x)＝sin
，则f′＝________．
解析：∵f(x)＝sin
，
∴f′(x)＝′cos
＝2cos
，
∴f′＝2cos
＝－2.
答案：－2
3．若函数f(x)＝ln
x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________．
解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
答案：8
4．求y＝＋的导数．
解析：∵y＝＋＝＋＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
5．求y＝x
sin
cos
的导数．
解析：∵y＝x
sin
cos
＝x
sin
(4x＋π)＝－x
sin
4x，
∴y′＝－sin
4x－x·4cos
4x＝－sin
4x－2x
cos
4x.
方法总结?
1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
2．求导公式或求导法则中，要注意“＋”“－”的变化，如(cos
x)′＝－sin
x．区分f′(x)与f′(x0).
3．复合函数的求导，要分清复合的层次．　　?
题型二　导数的几何意义及应用　
　　　　
[典例剖析]
类型
1　求斜率、切线方程
[例1]　(1)(2021·吉林白山模拟)已知函数f(x)＝(2x－a)·ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为(　　)
A．x－y＋1＝0
B．x－y－1＝0
C．x－3y＋1＝0
D．x＋3y＋1＝0
解析：∵f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex＝(2x＋2－a)ex，
∴f′(1)＝(4－a)e＝3e，解得a＝1，
即f(x)＝(2x－1)ex，f(0)＝－1，
则f′(x)＝(2x＋1)ex，
∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝1×(x－0)，即x－y－1＝0.
答案：B
(2)已知函数f(x)＝x
ln
x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
解析：∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝x
ln
x上，∴设切点为(x0，y0).
又∵f′(x)＝1＋ln
x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln
x0)x.
∴由
解得x0＝1，y0＝0，
∴直线l的方程为y＝x－1，
即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
类型
2　求参数的取值(范围)
[例2]　(1)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a＞0)存在公共切线，则a的取值范围为(　　)
A．(0，1)
B．
C．
D．
解析：易知曲线y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，曲线y＝在点处的切线的斜率为，故2m＝，由斜率公式得2m＝，即m＝2n－2，则4n－4＝有解，即y＝4x－4，y＝的图象有交点即可，两图象相切时有a＝，所以a≥.
答案：D
(2)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝________．
解析：由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，则
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，
∴2a＋b＝1.
答案：1
类型3　导数与原函数图象关系
[例3]　已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
解析：由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小．
答案：B
方法总结?
1．求曲线的切线方程，注意已知点是否为切点，其关键点为：
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0).　　?
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程，为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
2．有关切线问题求参数：
对于此类问题，首先明确参数存在何处．其关键点为：
(1)利用切点，求f′(x0)，利用斜率建立关系k＝f′(x0).
(2)利用切点的双重性，既在切线上又在曲线上建立关系．
(3)联立方程组求解．
[题组突破]
1．(2021·福建福州质检)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)
A．－1
B．0
C．2
D．4
解析：依题意得f(3)＝k·3＋2＝1，k＝－，则f′(3)＝k＝－，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.
答案：B
2．(2021·江西赣州模拟)设曲线y＝ln
x在x＝2处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a的值为(　　)
A．2
B．－2
C．
D．－
解析：由f(x)＝y＝ln
x知f′(x)＝，所以f′(2)＝，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，即·(－a)＝－1，所以a＝2.
答案：A
题型三　微积分基本定理与定积分的计算　
　　　　
　　　　　　　　[典例剖析]
类型
1　求定积分的值
[例1]　(1)定积分dx的值为(　　)
A．
B．
C．π
D．2π
(2)(sin
x－cos
x)dx＝________．
(3)sin2dx＝________．
解析：(1)(几何法)令y＝，则(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，由定积分的几何意义可知，dx的值为区域?(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，
0≤x≤1?的面积即.
(2)(sin
x－cos
x)dx＝sin
xdx－
cos
xdx＝2.
答案：(1)A　(2)2　(3)－
类型
2　定积分的几何意义
[例2]　(1)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)
A．2
B．4
C．2
D．4
解析：由解得x＝－2或x＝0或x＝2.
所以直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积应为S＝(4x－x3)dx＝
eq
\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ｋ))
＝－0＝4.
答案：D
(2)计算：(x3cos
x)dx＝__________．
解析：(奇偶性法)∵y＝x3cos
x是奇函数，
∴(x3cos
x)dx＝0.
答案：0
(3)计算：dx＝________．
解析：∵y＝，∴x2＋y2＝1，y≥0，
∴dx的几何意义为圆x2＋y2＝1在第一象限内的面积，
∴dx＝π.
答案：π
方法总结?
求定积分的常用方法
方法
解读
适合题型
定理法
利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，可利用此结论检验被积函数的正确性
函数较简单
几何法
用定积分的几何意义来求，即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小
函数较复杂且有明显的几何意义
性质法
利用定积分的性质f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可
绝对值函数、分段函数
　　?续表
奇偶性法
若函数f(x)为偶函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)是奇函数，且在区间[－a，a]上连续，则f(x)dx＝0
函数为奇函数或偶函数
[题组突破]
1．已知f(x)＝3x2＋2x＋1.若f(x)dx＝2f(a)，则a＝________．
解析：f(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx
＝(x3＋x2＋x)|
＝4＝2f(a)，
f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，
解得a＝－1或.
答案：－1或
2．如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积．
解析：由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率是k1＝y′|x＝0＝4，
在点B处的切线斜率是k2＝y′|x＝3＝－2.
因此抛物线过点A的切线方程为y＝4x－3，
过点B的切线方程为y＝－2x＋6.
由消去y，
得x＝，即点M的横坐标为.
在区间上，直线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方；在区间上，直线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方．
因此所求的图形的面积是
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋x
ln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
解析：y′＝aex＋ln
x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又∵切线方程为y＝2x＋b，
∴即a＝e－1，b＝－1.
答案：D
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若?(x)为奇函数，则曲线y＝?(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
解析：法一：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又?(x)为奇函数，∴?(－x)＝－?(x)恒成立，
即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，
∴曲线y＝?(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
法二：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，
∴曲线y＝?(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
答案：D
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________.
解析：y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，
∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
答案：y＝3x
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．
解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，得a＝－3.
答案：－3
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(切点问题))
1．(2021·湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)＝＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝ebx＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，则a＋b＝________．
解析：由y＝x＋的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋的图象平移得到，且函数f(x)＝＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝＋x.
对f(x)求导，得f′(x)＝1－，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－＝.
对g(x)求导，得g′(x)＝bebx＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝2b.
由两曲线的切线互相垂直，得2b·＝－1，即b＝－，
所以a＋b＝1－＝.
答案：
2．已知函数f(x)＝x3，则过点P(1，1)的切线方程为________．
解析：当P(1，1)为切点时，切线方程为y＝3x－2，
当P(1，1)不是切点时，求得切点为，
切线方程为3x－4y＋1＝0.
答案：3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0
PAGE第九节　函数模型及其应用
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
　　函数性质　　
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax＜xn＜ax
解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义，以上过程用框图表示如下：
1．(基础知识：指数函数模型)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　)
A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)
B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)
C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)
D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)
答案：B
2．(基本能力：拟合函数模型)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
(　　)
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y＝2x
B．y＝log2x
C．y＝(x2－1)
D．y＝2.61cos
x
答案：B
3．(基本方法：分段函数模型)
某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100
km，票价是0.5元/km，如果超过100
km，超过100
km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
答案：y＝
4．(基础知识：二次函数模型)有一批材料可以建成200
m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________m2.(围墙厚度不计)
答案：2
500
5．(基本应用：函数模型应用)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．
答案：200
题型一　由函数图象刻画变化过程　
　　　　
　　　　　　　　　
1．(2021·河南安阳模拟)张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系如图所示．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)
解析：由题图可知，张大爷的行走路线是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，选项C符合．
答案：C
2．某公司为确定下一年底投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合(　　)
A．y＝ax＋b
B．y＝a＋b
C．y＝a·bx
D．y＝ax2＋bx＋c
解析：由题中散点图可知，点的排列顺序类似于y＝型．
答案：B
3.如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a(m)(0＜a＜12)、4
m，不考虑树的粗细，现在用16
m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为S(m2)，S的最大值为f(a).若将这棵树围在花园内，则函数u＝f(a)的图象大致是(　　)
答案：C
方法总结?
判断函数图象与实际问题中两变量
变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．　　?
题型二　已知函数模型的实际问题　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　2020年6月5日是世界环境日，今年聚焦自然和生物多样性，主题是“关爱自然，刻不容缓”．中国从生活小事做起，下决心改变了曾经被污染的一些土地、河水和天空．其中共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决空气污染，民众出行“最后一公里”的问题特别见效．由于停取方便、租用价格低廉，各式共享单车受到人们的热棒．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20
000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)＝其中x是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．
(1)试将自行车厂的利润y(单位：元)表示为关于月产量x的函数；
(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
审题互动：利用所给函数h(x)和利润公式求解．
解析：(1)依题设知，总成本为(20
000＋100x)元，
则y＝
(2)当0＜x≤400时，y＝－(x－300)2＋25
000，
故当x＝300时，ymax＝25
000；
当x＞400时，y＝60
000－100x是减函数，
故y＜60
000－100×400＝20
000，
所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25
000元．
方法总结?
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知数据利用待定系数法，确定模型中的待定系数．　　?
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
[对点训练]
2020年是习近平总书记提出“决战决胜脱贫攻坚战”的收官之年，某地开展了“万名干部下基层”，以实际行动践行初心使命，某工作队结合所驻村的自然条件，帮助村民投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解析：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，
∴f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(万元).
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，
依题意得?20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180).
令t＝，则t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282，
∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．
题型三　构建函数模型的实际问题　
　　　　
　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　构建一次函数、二次函数、分段函数模型
[例1]　(2021·宁夏银川模拟)大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11
km的高空时气温几乎不变．设地面气温为22
℃，大约每上升1
km大气温度降低6
℃，则y关于x的函数关系式为________．
答案：y＝
类型
2　构建y＝x＋(a>0)函数模型
[例2]　(2021·山东烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解析：(1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得
当0L(x)＝5x－－3
＝－x2＋4x－3，
当x≥8时，
L(x)＝5x－－3
＝35－，
所以L(x)＝
(2)当0当x≥8时，
L(x)＝35－≤35－2
＝35－20＝15(万元).
此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
类型
3　构建指数、对数模型的实际问题
[例3]　候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1
m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解析：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0
m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3
＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1
m/s，
故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3，所以要使飞行速度不低于2
m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270，
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
方法总结?
建立函数模型
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．
(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等，一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．　　?
[题组突破]
1．(2020·青海西宁模拟)牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
解析：(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)＝－＋，
即当x＝时，y取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0因为当x＝时，ymax＝，
所以0<＋又因为k>0，所以02．(2021·皖中名校第二次联考)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1
000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金总数不超过9万元，同时资金总数不超过收益的20%.
(1)若建立奖励方案的函数模型为y＝f(x)，试研究这个函数的定义域、值域和的取值范围；
(2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg
x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．
解析：(1)y＝f(x)的定义域是[10，1
000]，值域是(0，9]，∈(0，0.2].
(2)①不符合要求，②符合要求，理由如下．
当y＝＋2时，＝＋的最大值是＞0.2，不符合要求．
当y＝4lg
x－3时，在定义域上为增函数，最大值为9.
≤0.2?y－0.2x≤0.令g(x)＝4lg
x－3－0.2x，则g′(x)＝＜0.
所以g(x)≤g(10)＝－1＜0，即≤0.2.故函数y＝4lg
x－3符合公司的要求．
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(创新思维))
(2019·高考北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，
总价为60＋80＝140(元)，达到120元，
又∵x＝10，∴顾客需要支付140－10＝130(元).
(2)法一：当单笔订单的总价达不到120元时，顾客不少付，则李明得到总价的80%；
当单笔订单的总价达到120元时，顾客少付x元，设总价为a元(a≥120)，则李明每笔订单得到的金额与总价的比为＝0.8，
∴当a越小时，此比值越小．又a最小为120元(即买两盒草莓)，∴0.8(120－x)≥120×0.7，解得x≤15，
∴x的最大值为15.
法二：购买水果总价刚好达到120元时，顾客少付x元，这时x占全部付款的比例最高，此时如果满足李明所得金额是促销前总价的70%，那么其x值最大．由此列式得(120－x)×0.8＝120×0.7，解得x＝15，∴x的最大值为15.
答案：(1)130　(2)15
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(抓好阅读解情境))
(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：＋＝(R＋r)·.设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　)
A.
R
B.
R
C.
R
D.
R
解析：由α＝得r＝αR，代入＋＝(R＋r)，
整理得＝.
又∵≈3α3，∴3α3≈，∴α≈
，
∴r＝αR≈
R.
答案：D
PAGE第八节　函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点的判定(零点存在性定理)：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
1．两个注意点
(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
2．三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象在零点两侧时，函数值可能变号，也可能不变号．
3．三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
1．(基础知识：零点个数)函数f(x)＝lg
x＋x－6的零点个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
2．(基础知识：零点区间判断)函数f(x)＝ex－1＋4x－4的零点所在区间为(　　)
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
答案：B
3．(基本方法：二分法求函数零点)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
答案：A
4．(基本应用：利用零点个数求参数)若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，4)
5．(基本能力：求零点)函数f(x)＝2sin
x－sin
2x在[0，π]内的零点为________．
答案：0或π
题型一　确定函数零点所在区间　
　　　　
　　　　　　　　　
1．设f(x)＝ln
x＋x－4，则f(x)的零点所在区间为(　　)
A．(0，1)　　　　
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
解析：f(2)＝ln
2－2＜0，f(3)＝ln
3－1＞0，
零点在(2，3)内．
答案：C
2．设函数f(x)＝x－ln
x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：令f(x)＝0得x＝ln
x．作出函数y＝x和y＝ln
x的图象，如图所示，
显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
答案：D
方法总结?
确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定的区间上．
(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它们的交点所在区间．
(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　　?
题型二　函数零点的个数　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
[典例]　(1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由f(f(x))＋1＝0得f(f(x))＝－1，
由f(－2)＝f＝－1得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝.
综上可得，函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是4.
答案：A
(2)已知函数f(x)＝－cos
x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：函数f(x)＝－cos
x＝0的零点个数为＝cos
x的根的个数，即函数h(x)＝与g(x)＝cos
x的图象的交点个数．如图所示，在区间[0，2π]上交点个数为3.
答案：C
(3)函数f(x)＝的零点个数是________．
解析：当x≤0时，令x2－2＝0，
解得x＝－(正根舍去)，
所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；
当x＞0时，f′(x)＝2＋＞0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln
2＜0，f(3)＝ln
3＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.
答案：2
方法总结?
函数零点个数的判断方法
方法
解读
适合题型
直接法
令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
基本初等函数
图象法
画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数
分段函数、绝对值函数
转化法
将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0?h(x)－g(x)＝0?h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数
复杂函数
　　?
[对点训练]
函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：法一：∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
法二：设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．
故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
答案：B
题型三　函数零点的应用　
　　　　
　　　　　　　　　
[典例剖析]
类型
1　已知函数零点或方程根的个数求参数
[例1]　已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(－e2，－1)
D．(－∞，－1)
解析：x＜0时，f(x)＝－(x＋1)ex，f′(x)＝－(2＋x)ex，由f′(x)＞0，得x＜－2，由f′(x)＜0，得x＞－2，∴f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，0)上递减，故f(x)max＝f(－2)＝，且x＜－1时，f(x)＞0，画出y＝f(x)的图象如图所示，由图知当0＜a＜时，y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，即g(x)有三个零点，∴实数a的取值范围是.
答案：A
类型
2　已知函数在某区间上有零点求参数
[例2]　已知定义在R上的偶函数．f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0，2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实数根，则a的取值范围为________．
解析：由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，
所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，
所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，
要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，
则满足如图所示，
解得＜a＜.
故a的取值范围是(，).
答案：(，)
类型
3　函数零点的实际意义
[例3]　某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象如图①所示．
(1)试说明图①上点A、B的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，根据图②提出扭亏为盈的建议．
解析：(1)A是当x＝0(无乘客)亏损1个单位．
B是当x＝1.5时，y＝0收支持平(为函数的零点).
(2)由题图②知，函数图象向上平移；
函数零点变小，收支持平时，乘客数变小，
其建议可以是票价不变，降低运行成本，
如换新能源车，延长每趟车次发车的时间差等．
方法总结?
1．解决已知函数零点的存在情况求参数的取值范围问题时，应该根据零点的存在情况，利用函数零点的存在性定理、二次函数的判别式等得到关于参数的不等式(组)，然后求解即可．破解此类题的关键点：
(1)转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况；
(2)列式，根据零点存在性定理或结合函数图象列式；
(3)下结论，求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围．
2．已知根或零点的区间求参数，要根据区间建立不等关系，其关键点为：
(1)构造方程或函数(反解参数)；
(2)利用零点区间，求解函数的值域或不等式；
(3)确定参数范围．　　?
[题组突破]
1．(2020·安徽安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．
D．
解析：由x2－ax＋1＝0得a＝x＋，其中x∈.
∵函数y＝x＋在上为减函数，在(1，3)为增函数，
∴ymin＝2，ymax<.∴a∈.
答案：D
2．已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析：函数f(x)的大致图象如图所示，根据题意知只要m＞4m－m2即可，又m＞0，解得m＞3，故实数m的取值范围是(3，＋∞).
答案：(3，＋∞)
3．若函数f(x)＝x
ln
x－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：令g(x)＝x
ln
x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．g′(x)＝ln
x＋1，令g′(x)＜0，即ln
x＜－1，可解得0＜x＜；令g′(x)＞0，即ln
x＞－1，可解得x＞，∴当0＜x＜时，函数g(x)单调递减；当x＞时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－＜a＜0.
答案：
eq
\a\vs4\al(
再研高考\x(极端思维求参数))
(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数?(x)＝
g(x)＝?(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A.[－1，0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝?(x)－h(x).
在同一坐标系中画出y＝?(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝?(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0，1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞).
答案：C
eq
\a\vs4\al(
素养升华\x(与零点有关的参数问题))
(2021·湖北宜昌两校第一次联考)已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m的零点在(0，1]上，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－4，0)
B．(－∞，－4)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－4]∪[0，＋∞)
D．[－4，0)
解析：易知函数f(x)＝log2(x＋1)＋3x＋m在定义域上单调递增，
由函数f(x)在(0，1]上存在零点，得
即解得－4≤m＜0，
即实数m的取值范围为[－4，0).
答案：D
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