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2．1　圆的方程
第1课时　圆的标准方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)
通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．
“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米．
请问：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？
知识点1　圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．
平面内确定圆的要素是什么？
[提示]　圆心坐标和半径．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．
(　　)
(2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m．
(　　)
(3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．以原点为圆心、2为半径的圆的标准方程是(　　)
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．(x－2)2＋(y－2)2＝8
D．x2＋y2＝
B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4．]
知识点2　点与圆的位置关系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝．
位置关系
d与r的大小
图示
点P的坐标的特点
点在圆外
d＞r
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d＜r
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
3．已知点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的内部，则实数m的取值范围是________．
m＞10　[由条件知(1＋2)2＋(－1)2＜m，解得m＞10．]
类型1　点与圆的位置关系
【例1】　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5，6)，求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(6，5)是在圆上、在圆内、还是在圆外？
[思路探究]　先求出两直线的交点坐标，即圆心坐标，再求出半径并写出方程；求出A，B，C各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．
[解]　解方程组得
∴圆心M的坐标为(0，1)，
半径r＝|MP|＝＝5．
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50．
∵|AM|＝＝＜r，
∴点A在圆内．
∵|BM|＝＝＝r，
∴点B在圆上．
∵|CM|＝＝＞r，
∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
[跟进训练]
1．已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
[解]　因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，
所以圆的半径r＝＝5，
所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25．
因为|P1C|＝＝＝2<5，
所以P1(－1，0)在圆内；
因为|P2C|＝＝5，
所以P2(1，－1)在圆上；
因为|P3C|＝＝6>5，
所以P3(3，－4)在圆外．
类型2　求圆的标准方程
【例2】　求过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．
[思路探究]　法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．
[解]　法一：设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知
解此方程组，得
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a，2－a)．
又∵该圆经过A，B两点，
∴|CA|＝|CB|．
∴＝，
解得a＝1．
∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2．
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，
kAB＝＝－1，
所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，
所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，
即y＝x．则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由得
即圆心为(1，1)，圆的半径为
r＝＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
确定圆的标准方程的方法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解—解方程组，求出a，b，r；
④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
[跟进训练]
2．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的标准方程为________．
(x－2)2＋y2＝10　[由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线为y＝2x－4，令y＝0，得x＝2，故圆心坐标为(2，0)，所以圆的半径r＝＝，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10．]
类型3　与圆有关的最值问题
[探究问题]
1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？
[提示]　可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．
2．若点M是⊙C内一点，那么过点M的弦中，弦长最长和最短的弦分别是哪一条？
[提示]　弦长最长的弦是MC所在的直径，弦长最短的弦是过M且与MC垂直的弦．
【例3】　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值．
1．点(x，y)所在的曲线是什么？
[提示]　点(x，y)所在的曲线是以(x＋1)2＋y2＝为方程的圆．
2．x2＋y2的几何意义是什么？
[提示]　x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方．
[解]　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝．因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和．
1．(变条件)把本例中圆的方程变为(x＋1)2＋y2＝4，则过(0，0)的弦中，最长弦长为________，最短弦长为________．
4　2　[点(0，0)在圆内，最长的弦为过O的直径，所以最大弦长为2r＝4．最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦，因为O(0，0)与圆心的距离为1，所以最短弦长为2＝2．]
2．(变结论)本例条件不变，试求的取值范围．
[解]　设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x，
y)与点(0，
0)连线的斜率，
由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，
即≤，
解得－≤k≤．
即的取值范围是．
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，
y)和(a，
b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－
x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，
y)到定点(a，
b)的距离的平方的最值问题．
1．圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D　[由圆过原点知r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D．]
2．两个点M(2，－4)，N(－2，1)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系是(　　)
A．点M在圆C外，点N在圆C外
B．点M在圆C内，点N在圆C内
C．点M在圆C外，点N在圆C内
D．点M在圆C内，点N在圆C外
D　[将点的坐标代入方程左边得22＋(－4)2－2×2＋4×(－4)－4＝－4＜0，∴M点在圆内，(－2)2＋12－2×(－2)＋4×1－4＝9＞0，
∴N点在圆外．故选D．]
3．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．
(x－2)2＋(y－4)2＝20　[由可得，即圆心为(2，4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20．]
4．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
[0，1)　[由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1．]
5．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
[解]　如图，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4．
在Rt△AOC中，
|OC|＝＝＝3．
设点C坐标为(a，0)，
则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3．∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．圆的标准方程是什么？
[提示]　圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
2．如何判断点与圆的位置关系？
[提示]　(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
3．代数式u＝、
l＝ax＋by、(x－a)2＋(y－b)2的几何意义分别什么？
[提示]　
u＝为过点(x，
y)和(a，
b)的动直线斜率；形如l＝ax＋by转化为动直线y＝－
x＋截距；(x－a)2＋(y－b)2是(x，
y)到定点(a，
b)的距离的平方．
坐标法与数学机械化
笛卡儿开创了解析几何思想方法的先河．解析几何坐标法的形成、发展和完善，使几何问题的求解或求证能通过坐标转化为代数方程求解．同时坐标法使计算机应用到几何定理的证明中成为可能．
明确提出机器可以成为推理工具的思想，要追溯到17世纪德国数学家莱布尼茨(Leibniz，1646—1716，微积分创始人之一)．他受笛卡儿思想的启发，认为笛卡儿创立的解析几何，目的是将几何推理转化为计算．遗憾的是，由于当时的条件限制，计算仅仅是手工操作(手摇计算机)，无法进行大量复杂的计算，所以用机器实现几何定理证明的想法无法实现．
20世纪以后，计算机迅速发展．计算机的发明使一些数学家又开始探讨几何定理证明机械化的可能性．1950年，波兰数学家塔斯基得到一个引人注目的结论：一切初等几何范畴中的命题都可以用机械方法判定．由于他的判定方法太复杂，在实践中没有太大的进展．1959年，美籍华裔数学家王浩(1921—1995)在这方面作出了鼓舞人心的工作，他在计算机上只用了9分钟就证明了《数学原理》(罗素和怀特海著)中的350多个命题，并第一次明确提出了“走向数学的机械化”的口号．
吴文俊(1919－2017)，中国科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员
20世纪70年代以后，我国著名数学家吴文俊在几何定理机器证明上作出了重大贡献，并创立了“吴方法”．吴文俊是我国最具国际影响的数学家之一．他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献．曾获得首届国家最高科学技术奖(2000年)、首届国家自然科学一等奖(1956年)、首届求是杰出科学家奖(1994年)、邵逸夫数学奖(2006年)、国际自动推理最高奖——埃尔布朗自动推理杰出成就奖(1997年)等．“文华逾九章，拓扑公式彪史册．俊杰胜十书，机器证明誉寰球．”是对他一生工作的高度概括．
吴文俊机器证明的思想，主要是从笛卡儿的坐标法和中国古代解方程的计算方法而来的．他认为，欧氏几何体系的特点是纯粹在空间形式间推理，或说在图形之间，或者是把数量关系归之于空间形式，或者干脆排除数量关系．另一个体系刚好与之相反，是把空间形式转化成数量关系来处理．这种考虑方式就是中国的传统，早在11世纪左右就已产生，当时引进的概念叫天元、地元等，用现在的符号就相当于引进了x，y等．用天元、地元表示某一个几何事实，那么几何对象之间的相互关系就表示成天元、地元之间的一种方程(即x，y之间的一种方程)，即17世纪解析几何的坐标法．
吴文俊认为，欧氏几何体系是非机械化的，把空间形式数量化是机械化的．吴文俊说：“我从事几何定理证明时，首先取适当的坐标，于是几何定理的假设与终结通常都成为多项式方程，称之为假设方程与终结方程．满足定理假设的几何图象，就相当于假设方程组的一个解答或零点．要证明定理成立，就要证明假设方程的零点也使终结多项式为零．”由于计算机的发展与众多数学家(特别是以吴文俊为首的一批中国数学家)的努力，大约在1976与1977年之交，几何定理机器证明的梦想终于实现了．提出用计算机证明几何定理的“吴方法”，被认为是自动推理领域的先驱性工作．进入20世纪80年代以后，吴文俊和他的同行把几何定理机器证明的方法发展成为数学机械化方法．
请你查阅有关资料，进一步了解吴文俊的事迹，了解我国数学家在数学机械化方面的卓越贡献．
PAGE第2课时　圆的一般方程
学
习
任
务
核
心
素
养
1．正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)
1．
通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养．2．
通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养．
(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？
(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？
这就是今天我们将要研究的问题．
知识点　圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程．
其中圆心为，圆的半径为r＝．
(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论
①D2＋E2－4F＞0时表示圆．
②D2＋E2－4F＝0时表示点．
③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．
方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
[提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．
(　　)
(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．
(　　)
(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．
(　　)
(4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋
2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　
B．
C．(1，＋∞)∪
D．R
A　[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A．]
3．过点(0，0)，(4，0)和(0，6)三点的圆的一般方程为________．
x2＋y2－4x－6y＝0　[三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2，3)，半径r＝＝．
∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，一般方程为x2＋y2－4x－6y＝0．]
类型1　圆的一般方程的认识
【例1】　(1)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
(2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．
①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0．
(1)(－∞，1)　[把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1．]
(2)[解]　①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2，0)，半径r＝2．
②方程可变形为2＋2(y＋1)2＝－，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．
③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2．
当a＝0时，方程表示点(0，0)，不表示圆；
当a≠0时，方程表示以(－a，0)为圆心，|a|为半径的圆．
判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方＋＝，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题.
[跟进训练]
1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0．
[解]　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，
∴它不能表示圆．
(3)∵方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
(4)∵方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，
∴它表示以为圆心，为半径长的圆．
类型2　求圆的一般方程
【例2】　已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
[解]　法一：设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴
∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25．
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5．
法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5．
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25．
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a，b，r或直接求出圆心?a，b?和半径r，一般步骤为：
?1?根据题意，设所求的圆的标准方程为?x―a?2＋?y―b?2＝r2?r＞0?；
?2?根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
?3?解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.
[跟进训练]
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
[解]　圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，
即D＋E＝－2．①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20．②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0．
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．
类型3　与圆有关的轨迹问题
【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
1．线段AP的中点M的坐标为M(x，y)，那么点P的坐标是什么？
[提示]　(2x－2，2y)．
2．直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？
[提示]　直角三角形斜边的中线长是斜边长的二分之一．
[解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为(2x－2，2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．
设O为坐标原点，连接ON(图略)，
则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
1．在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．
[解]　设T(x，y)．
因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT．
当斜率存在时有kOT·kBT＝－1．
即×＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0．
当x＝0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上．
故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0．
2．本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．
[解]　设点E(x，y)，P(x0，y0)．
∵B(1，1)，∴
整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，
整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0．
1．直接法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M
的坐标(x，y)；
(2)列出点M
满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
2．代入法求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；
(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；
(3)用x，y表示x0，y0；
(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；
(5)化简方程为最简形式．
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A．一个点　
B．一个圆
C．一条直线
D．不存在
A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＜
B．m≤
C．m＜2
D．m≤2
A　[由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜，故选A．]
3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k等于________．
－2　[由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2．]
4．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________．
x2＋y2－4x＋2y＋1＝0　[由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2，2y＋1)，由于P在圆上，
∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0．]
5．已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆P的方程．
[解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
由题意可得解得
故所求外接圆P的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．圆的一般方程是什么？
[提示]　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
[提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0．
3．求轨迹方程的一般方法有哪些？
[提示]　直接法，代入法(相关点法)．
PAGE2.2　直线与圆的位置关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点)
通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养．
“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？
知识点　直线与圆的三种位置关系及判定
位置关系
相离
相切
相交
图示
公共点个数
零个
一个
两个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
比较d与r的大小
d＞r
d＝r
d＜r
代数法：由
依据方程组解的情况
方程组无解
方程组只有一组解
方程组有两组不同解
用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断．
(　　)
(2)过圆外一点作圆的切线有两条．
(　　)
(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离．
(　　)
(4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．无法判断
B　[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1．
∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B．]
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．1　　B．　　C．　　D．2
D　[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2．]
类型1　直线与圆的位置关系
【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2．
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝．
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－即直线与圆没有公共点．
直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[跟进训练]
1．已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________．
相交　[由直线方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令得
故直线l过定点A(3，1)．
由|AC|＝＝＜5得A点在圆内，因此直线l与圆C相交．]
类型2　直线与圆相切问题
[探究问题]
1．怎样解决直线与圆相切问题？
[提示]　一般采用几何法，即圆心到直线的距离等于半径．
2．当点(x0，y0)在圆外时，过该点的直线与圆相切有几条？当设点斜式只求出一个解时怎么办？
[提示]　有两条．虽设点斜式但要分斜率存在与不存在两种情况，当只求出一个解时，另一条一定是x＝x0．
【例2】　(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为________．
(2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
[思路探究]　(1)利用MP⊥l，同时点P在直线l上．
(2)先确定点A在圆外，利用d＝r求切线方程．
(1)x＋2y－3＝0　[根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，
即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2，0)，
直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，
则P在直线l上且MP与直线l垂直．
kMP＝＝2，则有－＝－，则有b＝2a，
又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，
则直线l的方程为x＋2y－3＝0．]
(2)[解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0．
设圆心为C，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－．
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0．
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4．
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．
圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
[跟进训练]
2．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________．
4　[因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C(－1，2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3．又圆的半径为，当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为＝≥3，所以切线长的最小值为＝4．]
类型3　直线与圆相交问题
【例3】　(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|．
(2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
1．若直线与圆交于两点A，B，连接AB的中点M和圆心C，则在直角三角形ACM中，应用勾股定理可得到什么？
[提示]　AB2＝4AM2＝4(AC2－CM2)．
2．在问题1中如何表示CM的长？
[提示]　应用圆心到直线的距离．
[解]　(1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1，3)，B(2，0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝．
(2)将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3．
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0．
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0．
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0．
求弦长常用的三种方法
(1)利用圆的半径r、圆心到直线的距离d、弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝．
[跟进训练]
3．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A．4　　　　B．2　　　　C．　　　　D．
B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∴圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为，又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，直线m被圆M截得的弦长等于2＝2．故选B．]
类型4　直线与圆位置关系的综合
【例4】　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70
km处，受影响的范围是半径为30
km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40
km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
[思路探究]　先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决．
[解]　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10
km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0．圆心(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；
(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
[跟进训练]
4．如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为(　　)
A．14米　　B．15米　　C．米　　D．2米
D　[以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设圆心为C，水面所在弦的端点
为A，B，则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，
则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2．
将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，
可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，
∴水面宽度|A′B′|＝2米．]
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A．过圆心
B．相切
C．相离
D．相交但不过圆心
D　[圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝＜r＝3．又点(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D．]
2．过点P(0，1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为(　　)
A．±1　　B．±　　C．±　　D．±2
A　[由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，半径为r＝1，又弦长|AB|＝，所以圆心到直线的距离为d＝＝＝，所以有＝，解得k＝±1．]
3．若直线x－2y＝0与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝(　　)
A．　　B．5　　C．　　D．25
C　[设圆心到直线的距离为d，则d＝＝．由直线与圆相切可得r＝．故选C．]
4．过点A(－1，4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为________．
y＝4或3x＋4y－13＝0　[设切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0．∴d＝＝1，∴4k2＋3k＝0，
解得k＝0或k＝－．故切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0．]
5．已知圆C经过点A(2，0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l截圆C所得弦长为2，求直线l的方程．
[解]　(1)AB的中点坐标，AB的斜率为．可得AB垂直平分线方程为2x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0，0)，圆心坐标(0，0)，半径为2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4．
(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过，
∴直线l的方程为y－＝k(x－1)，即y＝kx＋－k，
则圆心(0，0)到直线的距离d＝，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，
则有＋()2＝4，解得k＝－，
则直线l的方程为y＝－x＋．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．
∴直线l的方程为x＝1或y＝－x＋．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断直线与圆的位置关系有几种方法．
[提示]　(1)几何法；
(2)代数法；
(3)直线系法．
2．常用的求弦长的方法有哪些？
[提示]　(1)＋d2＝r2；(2)求出直线和圆的交点坐标，用两点间距离公式计算弦长．
PAGE2.3　圆与圆的位置关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解圆与圆的位置关系的种类．(重点、易错点)2．掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系．
(重点、难点)
通过对圆与圆的位置关系的推导，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养．
如图为在某地12月24日拍到的日环食全过程．
可以用两个圆来表示变化过程．
根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
知识点　圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
0＜d＜|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
[提示]　两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．
(　　)
(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．
(　　)
(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．
(　　)
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　B．相交　　　C．外切　　　D．内切
B　[圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝3．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
x＋3y－5＝0　[由两圆方程消去二次项得10－2x＋1－6y＋9＝10，
即直线AB的方程为x＋3y－5＝0．]
类型1　圆与圆的位置关系的判断
【例1】　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
[解]　将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k．
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5．
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当＋1＜5，
即34＜k＜50时，两圆外离．
判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
?1?化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
?2?计算两圆圆心的距离d；
?3?通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.
[跟进训练]
1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
[解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1．
∴|C1C2|＝＝a．
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．
(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．
类型2　两圆相切问题
【例2】　(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，则m的值是________．
(2)求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
[思路探究]　(1)利用|C1C2|＝r1＋r2建立方程来求出m的值．
(2)分外切与内切两种情况，与其他条件联立建立方程组，求出标准方程的三个参数值即可．
(1)2或－5　[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5．]
(2)[解]　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，
由圆与直线y＝0相切、半径为4，
则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．
已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3．
由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．
①当圆心为C1(a，4)时，
(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，
故可得a＝2±2，故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16．
②当圆心为C2(a，－4)时，
(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±2．
故所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
综上所述，所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝16或(x－2－2)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝16．
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
[跟进训练]
2．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解]　已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1，0)，半径为1．
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
由题意，可得解得
或
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36．
类型3　两圆相交问题
【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
1．两圆相交时，如何求出公共弦所在直线的方程？
[提示]　将两个方程化成一般式，然后作差即可求得．
2．两圆公共弦长如何求得？
[提示]　将公共弦与其中一个圆方程联立，利用勾股定理|AB|＝2求得．
[解]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解．
①－②，得x－y＋4＝0．
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
(2)法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4．
则＝，
解得a＝，故圆心为，半径为．
故圆的方程为＋＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0．
法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7．故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．
1．在本例条件不变时，求两圆的公共弦长及公共弦的中垂线的方程．
[解]　由例题解析知道x－y＋4＝0是公共弦所在的直线的方程．
因圆C1的圆心(－3，0)，r＝．
C1到直线AB的距离d＝＝．
∴|AB|＝2＝2＝5．
即两圆的公共弦长为5．
弦AB的中垂线也就是C1C2所在的直线．
∵C1(－3，0)，C2(0，－3)．
∴AB的中垂线方程为＋＝1，即x＋y＋3＝0．
2．本例条件不变，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程．
[解]　根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆．
∵AB所在直线方程为x－y＋4＝0，
C1C2所在直线方程为x＋y＋3＝0．
∴由得圆心，
又∵|AB|＝5，∴半径r＝，
故所求圆的方程为＋＝．
1．求两圆公共弦长的方法
一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；
二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．
2．过两圆的交点的圆的方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
1．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是(　　)
A．外离
B．外切
C．相交
D．内含
C　[将圆的一般方程化为标准方程得C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝9，∴C1(－1，－4)，C2(2，2)，r1＝5，r2＝3．
从而|C1C2|＝＝3，
∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2．
因此两圆的位置关系为相交．故选C．]
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
C　[AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D．故选C．]
3．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________．
1　[O(0，0)，C(3，0)，两圆半径均为1，
∵|OC|＝＝3，∴|PQ|的最小值为3－1－1＝1．]
4．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________．
x2＋y2－x－2y＝0　[设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，
即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为：x2＋y2－x－2y＝0．]
5．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，求圆C的方程．
[解]　设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36．
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系，如何判断两个圆的位置关系？
[提示]　(1)相交?|R－r|＜d＜R＋r．
(2)相切
(3)相离
2．如何求两圆的公共弦所在的直线方程？
[提示]　把两个圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
即若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0．
PAGE第2章
圆与方程
类型1　求圆的方程
【例1】　已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
[思路探究]　设标准方程，由相切可得d＝r，由圆心在直线上，可将(a，b)代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式．通过求解方程组，从而得到圆的方程．
[解]　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由圆C与y轴相切得|a|＝r，
①
又圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，
②
圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，
∴＋()2＝r2．
③
联立①②③解方程组可得或
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．
1．求圆的方程的方法
求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．
2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a，
b，
r(或D，
E，
F)的方程(组)．
(3)解出a，
b，
r(或D，
E，
F)．
(4)代入圆的方程．
[跟进训练]
1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．
[解]　设圆心为M(m，0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，
即|4m－29|＝25，
因为m为整数，故m＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25．
类型2　直线与圆的位置关系
【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[思路探究]　(1)根据圆与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径；(2)根据垂径定理确定等量关系，求直线方程．
[解]　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5．
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1．
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1．
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2．
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝．
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15．
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0．
判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系.
[跟进训练]
2．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0．
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？并求此弦长．
[解]　(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4，
－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－，所以m＝－．
在△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5，
所以|AP|2＝|AC|2－|PC|2＝25－10＝15，
所以|AP|＝，所以|AB|＝2，
即最短弦长为2．
类型3　圆与圆的位置关系
【例3】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0．
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2，
3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解]　(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13．
圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝；
C2(4，－2)，r2＝．
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切．
由得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0．
点(2，3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝．
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0．
判断两圆位置关系的两种方法比较
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系．
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
[跟进训练]
3．在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2＋y2＝4交于点A，B，与圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于点C，D．若AB＝，求CD的长．
[解]　因为AB＝，圆O半径为2，
所以点O到直线AB的距离为，显然AB，CD都不平行于坐标轴．
可知AB：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0．
则点O到直线AB的距离d＝＝，解得k＝±．因为AB⊥CD，所以kCD＝－，
所以CD：y＝－x＋1，即x＋ky－k＝0．
点M(2，1)到直线CD的距离d′＝＝，
所以CD＝2＝2＝．
1．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　[因为圆与两坐标轴都相切，点(2，1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B．]
2．(2020·全国卷Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0
B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0
D．2x＋y＋1＝0
D　[法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，
得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．
如图，
连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0．由得所以P(－1，0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D．
法二：因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．
连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面
积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l．因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．
易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P(－1，0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1，1)．因为点A(－1，1)在直线AB上，故排除B．故选D．]
3．(2020·天津卷)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
5　[因为圆心到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，由l＝2可得6＝2，解得r＝5．]
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