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2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．设2（z+）+3（z﹣）＝4+6i，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．1+i D．1﹣i
2．已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（　　）
A．? B．S C．T D．Z
3．已知命题p：?x∈R，sinx＜1；命题q：?x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∨q）
4．设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（　　）
A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1
5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
7．把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（　　）
A．sin（﹣） B．sin（+）
C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）
8．在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（　　）
A．+表高
B．﹣表高
C．+表距
D．﹣表距
10．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
11．设B是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A．[，1） B．[，1） C．（0，] D．（0，]
12．设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，则C的焦距为　 　．
14．已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝　 　．
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝　 　．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　 　（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．
（1）求，，s12，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM．
（1）求BC；
（2）求二面角A﹣PM﹣B的正弦值．
19．记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知+＝2．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
20．已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf （x）的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．
21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．设2（z+）+3（z﹣）＝4+6i，则z＝（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．1+i D．1﹣i
解：设z＝a+bi，a，b是实数，
则＝a﹣bi，
则由2（z+）+3（z﹣）＝4+6i，
得2×2a+3×2bi＝4+6i，
得4a+6bi＝4+6i，
得，得a＝1，b＝1，
即z＝1+i，
故选：C．
2．已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（　　）
A．? B．S C．T D．Z
解：当n是偶数时，设n＝2k，则s＝2n+1＝4k+1，
当n是奇数时，设n＝2k+1，则s＝2n+1＝4k+3，k∈Z，
则T?S，
则S∩T＝T，
故选：C．
3．已知命题p：?x∈R，sinx＜1；命题q：?x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∨q）
解：对于命题p：?x∈R，sinx＜1，
当x＝0时，sinx＝0＜1，故命题p为真命题，￢p为假命题；
对于命题q：?x∈R，e|x|≥1，
因为|x|≥0，又函数y＝ex为单调递增函数，故e|x|≥e0＝1，
故命题q为真命题，￢q为假命题，
所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢（p∨q）为假命题，
故选：A．
4．设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（　　）
A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1
解：因为f（x）＝＝，
所以函数f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1），
所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数y＝f（x﹣1）+1，该函数的对称中心为（0，0），
故函数y＝f（x﹣1）+1为奇函数．
故选：B．
5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝，
∴cos∠PBC1＝＝＝，
∴∠PBC1＝，
∴直线PB与AD1所成的角为．
故选：D．
6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
解：5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，
共有＝240种，
故选：C．
7．把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（　　）
A．sin（﹣） B．sin（+）
C．sin（2x﹣） D．sin（2x+）
解：∵把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，
∴把函数y＝sin（x﹣）的图像，向左平移个单位长度，
得到y＝sin（x+﹣）＝sin（x+）的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得f（x）＝sin（x+）的图像．
故选：B．
8．在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：由题意可得可行域：，可得三角形的面积＝××＝，
1﹣＝．
故选：B．
9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（　　）
A．+表高
B．﹣表高
C．+表距
D．﹣表距
解：＝，＝，故＝，即＝，
解得AE＝，AH＝AE+EH，
故AB＝＝＝＝+DE＝+表高．
故选：A．
10．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（　　）
A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2
解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，
当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则0＜a＜b；
当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，
则b＜a＜0；
综上，ab＞a2．
故选：D．
11．设B是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A．[，1） B．[，1） C．（0，] D．（0，]
解：点B的坐标为（0，b），设P（x0，y0），
则+＝1，
∴x02＝a2（1﹣），
故|PB|2＝x02+（y0﹣b）2＝a2（1﹣）+（y0﹣b）2＝﹣y02﹣2by0+a2+b2，y0∈[﹣b，b]，
又对称轴y0＝﹣＜0，
当﹣≤﹣b时，即b≥c时，
则当y0＝﹣b时，|PB|2最大，此时|PB|＝2b，
故只需要满足﹣≤﹣b，即b2≥c2，则a2﹣c2≥c2，
所以e＝≤，
又0＜e＜1，
故e的范围为（0，]，
当﹣＞﹣b时，即b＜c时，
则当y0＝﹣时，|PB|2最大，此时|PB|2＝+a2+b2≤4b2，
则a4﹣4a2c2+4c4≤0，解得a＝c，
所以b＝c，
又b＜c，
故不满足题意，
综上所述的e的范围为（0，]，
故选：C．
12．设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝﹣1，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解：∵a＝2ln1.01＝ln1.0201，b＝ln1.02，
∴a＞b，
令f（x）＝2ln（1+x）﹣（﹣1），0＜x＜1，
令＝t，则1＜t＜
∴x＝，
∴g（t）＝2ln（）﹣t+1＝2ln（t2+3）﹣t+1﹣2ln4，
∴g′（t）＝﹣1＝＝﹣＞0，
∴g（t）在（1，）上单调递增，
∴g（t）＞g（1）＝2ln4﹣1+1﹣2ln4＝0，
∴f（x）＞0，
∴a＞c，
同理令h（x）＝ln（1+2x）﹣（﹣1），
再令＝t，则1＜t＜
∴x＝，
∴φ（t）＝ln（）﹣t+1＝ln（t2+1）﹣t+1﹣ln2，
∴φ′（t）＝﹣1＝＜0，
∴φ（t）在（1，）上单调递减，
∴φ（t）＜φ（1）＝ln2﹣1+1﹣ln2＝0，
∴h（x）＜0，
∴c＞b，
∴a＞c＞b．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，则C的焦距为　4　．
解：根据题意，双曲线C：﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线为x+my＝0，
则有＝，解可得m＝3，
则双曲线的方程为﹣y2＝1，则c＝＝2，
其焦距2c＝4；
故答案为：4．
14．已知向量＝（1，3），＝（3，4），若（﹣λ）⊥，则λ＝　　．
解：因为向量＝（1，3），＝（3，4），
则﹣λ＝（1﹣3λ，3﹣4λ），
又（﹣λ）⊥，
所以（﹣λ）?＝3（1﹣3λ）+4（3﹣4λ）＝15﹣25λ＝0，
解得λ＝．
故答案为：．
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝　2　．
解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，
∴acsinB＝?ac×＝?ac＝4?a2+c2＝12，
又cosB＝?＝?b＝2，（负值舍）
故答案为：2．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　②⑤或③④　（写出符合要求的一组答案即可）．
解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，
④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，
当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，
当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．
故答案为：②⑤或③④．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．
（1）求，，s12，s22；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
解：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10，
＝（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）＝10.3，
s12＝[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2
+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036；
s22＝[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2
+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；
（2），，
因为，
所以﹣＞2，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM．
（1）求BC；
（2）求二面角A﹣PM﹣B的正弦值．
解：（1）连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM?平面ABCD，
则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD＝P，PB，PD?平面PBD，
所以AM⊥平面PBD，又BD?平面PBD，则AM⊥BD，
所以∠ABD+∠ADB＝90°，又∠ABD+∠MAB＝90°，
则有∠ADB＝∠MAB，所以Rt△DAB∽Rt△ABM，
则，所以，解得BC＝；
（2）因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，P（0，0，1），
所以，，
设平面AMP的法向量为，
则有，即，
令，则y＝1，z＝2，故，
设平面BMP的法向量为，
则有，即，
令q＝1，则r＝1，故，
所以＝，
设二面角A﹣PM﹣B的平面角为α，
则sinα＝＝，
所以二面角A﹣PM﹣B的正弦值为．
19．记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知+＝2．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
解：（1）证明：当n＝1时，b1＝S1，
由+＝2，解得b1＝，
当n≥2时，＝Sn，代入+＝2，
消去Sn，可得+＝2，所以bn﹣bn﹣1＝，
所以{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由题意，得a1＝S1＝b1＝，
由（1），可得bn＝+（n﹣1）×＝，
由+＝2，可得Sn＝，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝﹣，显然a1不满足该式，
所以an＝．
20．已知函数f（x）＝ln（a﹣x），已知x＝0是函数y＝xf （x）的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g（x）＝．证明：g（x）＜1．
【解答】（1）解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，a），
令t（x）＝xf（x），则t（x）＝xln（a﹣x），x∈（﹣∞，a），
则t'（x）＝ln（a﹣x）+x?＝，
因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点，则有t'（0）＝0，即lna＝0，所以a＝1，
当a＝1时，t'（x）＝，且t'（0）＝0，
因为t''（x）＝，
则t'（x）在（﹣∞，1）上单调递减，
所以当x∈（﹣∞，0）时，t'（x）＞0，
当x∈（0，1）时，t'（x）＜0，
所以a＝1时，x＝0是函数y＝xf（x）的一个极大值点．
综上所述，a＝1；
（2）证明：由（1）可知，xf（x）＝xln（1﹣x），
要证，即需证明，
因为当x∈（﹣∞，0）时，xln（1﹣x）＜0，
当x∈（0，1）时，xln（1﹣x）＜0，
所以需证明x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），即x+（1﹣x）ln（1﹣x）＞0，
令h（x）＝x+（1﹣x）ln（1﹣x），
则h'（x）＝（1﹣x），
所以h'（0）＝0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，
所以x＝0为h（x）的极小值点，
所以h（x）＞h（0）＝0，即x+ln（1﹣x）＞xln（1﹣x），
故，
所以．
21．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
解：（1）点到圆M上的点的距离的最小值为，解得p＝2；
（2）由（1）知，抛物线的方程为x2＝4y，即，则，
设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得，从而得到，
设lAB：y＝kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b＝0，
∴△＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，
∴P（2k，﹣b），
∵＝，，
∴①，
又点P（2k，﹣b）在圆M：x2+（y+4）2＝1上，故，代入①得，，
而yp＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，
∴当b＝5时，．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
解：（1）⊙C的圆心为C（2，1），半径为1，
则⊙C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，
⊙C的一个参数方程为（θ为参数）．
（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，
设切线方程为y﹣1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k+1＝0，
圆心C（2，1）到切线的距离d＝＝1，解得k＝±，
所以切线方程为y＝±（x﹣4）+1，
因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ＝±（ρcosθ﹣4）+1．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+3|＝，
∵f（x）≥6，∴或或，
∴x≤﹣4或x≥2，
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．
（2）f（x）＝|x﹣a|+|x+3|≥|x﹣a﹣x﹣3|＝|a+3|，
若f（x）＞﹣a，则|a+3|＞﹣a，
两边平方可得a2+6a+9＞a2，解得a＞﹣，
即a的取值范围是（﹣，+∞）．

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