资源简介 2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷) 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分). 1.设2(z+)+3(z﹣)=4+6i,则z=( ) A.1﹣2i B.1+2i C.1+i D.1﹣i 2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( ) A.? B.S C.T D.Z 3.已知命题p:?x∈R,sinx<1;命题q:?x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬(p∨q) 4.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是( ) A.f(x﹣1)﹣1 B.f(x﹣1)+1 C.f(x+1)﹣1 D.f(x+1)+1 5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( ) A. B. C. D. 6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( ) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 7.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x﹣)的图像,则f(x)=( ) A.sin(﹣) B.sin(+) C.sin(2x﹣) D.sin(2x+) 8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为( ) A. B. C. D. 9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( ) A.+表高 B.﹣表高 C.+表距 D.﹣表距 10.设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x﹣a)2(x﹣b)的极大值点,则( ) A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2 11.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( ) A.[,1) B.[,1) C.(0,] D.(0,] 12.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=﹣1,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知双曲线C:﹣y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为 . 14.已知向量=(1,3),=(3,4),若(﹣λ)⊥,则λ= . 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= . 16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可). 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。 17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为s12和s22. (1)求,,s12,s22; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果﹣≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高). 18.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC中点,且PB⊥AM. (1)求BC; (2)求二面角A﹣PM﹣B的正弦值. 19.记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2. (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 20.已知函数f(x)=ln(a﹣x),已知x=0是函数y=xf (x)的极值点. (1)求a; (2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1. 21.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p; (2)若点P在M上,PA,PB为C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程; (2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+3|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集; (2)若f(x)>﹣a,求a的取值范围. 参考答案 一、选择题(共12小题). 1.设2(z+)+3(z﹣)=4+6i,则z=( ) A.1﹣2i B.1+2i C.1+i D.1﹣i 解:设z=a+bi,a,b是实数, 则=a﹣bi, 则由2(z+)+3(z﹣)=4+6i, 得2×2a+3×2bi=4+6i, 得4a+6bi=4+6i, 得,得a=1,b=1, 即z=1+i, 故选:C. 2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( ) A.? B.S C.T D.Z 解:当n是偶数时,设n=2k,则s=2n+1=4k+1, 当n是奇数时,设n=2k+1,则s=2n+1=4k+3,k∈Z, 则T?S, 则S∩T=T, 故选:C. 3.已知命题p:?x∈R,sinx<1;命题q:?x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬(p∨q) 解:对于命题p:?x∈R,sinx<1, 当x=0时,sinx=0<1,故命题p为真命题,¬p为假命题; 对于命题q:?x∈R,e|x|≥1, 因为|x|≥0,又函数y=ex为单调递增函数,故e|x|≥e0=1, 故命题q为真命题,¬q为假命题, 所以p∧q为真命题,¬p∧q为假命题,p∧¬q为假命题,¬(p∨q)为假命题, 故选:A. 4.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是( ) A.f(x﹣1)﹣1 B.f(x﹣1)+1 C.f(x+1)﹣1 D.f(x+1)+1 解:因为f(x)==, 所以函数f(x)的对称中心为(﹣1,﹣1), 所以将函数f(x)向右平移一个单位,向上平移一个单位, 得到函数y=f(x﹣1)+1,该函数的对称中心为(0,0), 故函数y=f(x﹣1)+1为奇函数. 故选:B. 5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( ) A. B. C. D. 【解答】解∵AD1∥BC1,∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角), 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2, 则PB1=PC1==,BC1==2,BP==, ∴cos∠PBC1===, ∴∠PBC1=, ∴直线PB与AD1所成的角为. 故选:D. 6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( ) A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 解:5名志愿者选2个1组,有种方法,然后4组进行全排列,有种, 共有=240种, 故选:C. 7.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x﹣)的图像,则f(x)=( ) A.sin(﹣) B.sin(+) C.sin(2x﹣) D.sin(2x+) 解:∵把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变, 再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x﹣)的图像, ∴把函数y=sin(x﹣)的图像,向左平移个单位长度, 得到y=sin(x+﹣)=sin(x+)的图像; 再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变, 可得f(x)=sin(x+)的图像. 故选:B. 8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为( ) A. B. C. D. 解:由题意可得可行域:,可得三角形的面积=××=, 1﹣=. 故选:B. 9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( ) A.+表高 B.﹣表高 C.+表距 D.﹣表距 解:=,=,故=,即=, 解得AE=,AH=AE+EH, 故AB====+DE=+表高. 故选:A. 10.设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x﹣a)2(x﹣b)的极大值点,则( ) A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2 解:令f(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是f(x)的两个零点, 当a>0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示, 则0<a<b; 当a<0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示, 则b<a<0; 综上,ab>a2. 故选:D. 11.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是( ) A.[,1) B.[,1) C.(0,] D.(0,] 解:点B的坐标为(0,b),设P(x0,y0), 则+=1, ∴x02=a2(1﹣), 故|PB|2=x02+(y0﹣b)2=a2(1﹣)+(y0﹣b)2=﹣y02﹣2by0+a2+b2,y0∈[﹣b,b], 又对称轴y0=﹣<0, 当﹣≤﹣b时,即b≥c时, 则当y0=﹣b时,|PB|2最大,此时|PB|=2b, 故只需要满足﹣≤﹣b,即b2≥c2,则a2﹣c2≥c2, 所以e=≤, 又0<e<1, 故e的范围为(0,], 当﹣>﹣b时,即b<c时, 则当y0=﹣时,|PB|2最大,此时|PB|2=+a2+b2≤4b2, 则a4﹣4a2c2+4c4≤0,解得a=c, 所以b=c, 又b<c, 故不满足题意, 综上所述的e的范围为(0,], 故选:C. 12.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=﹣1,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 解:∵a=2ln1.01=ln1.0201,b=ln1.02, ∴a>b, 令f(x)=2ln(1+x)﹣(﹣1),0<x<1, 令=t,则1<t< ∴x=, ∴g(t)=2ln()﹣t+1=2ln(t2+3)﹣t+1﹣2ln4, ∴g′(t)=﹣1==﹣>0, ∴g(t)在(1,)上单调递增, ∴g(t)>g(1)=2ln4﹣1+1﹣2ln4=0, ∴f(x)>0, ∴a>c, 同理令h(x)=ln(1+2x)﹣(﹣1), 再令=t,则1<t< ∴x=, ∴φ(t)=ln()﹣t+1=ln(t2+1)﹣t+1﹣ln2, ∴φ′(t)=﹣1=<0, ∴φ(t)在(1,)上单调递减, ∴φ(t)<φ(1)=ln2﹣1+1﹣ln2=0, ∴h(x)<0, ∴c>b, ∴a>c>b. 故选:B. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知双曲线C:﹣y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为 4 . 解:根据题意,双曲线C:﹣y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0, 则有=,解可得m=3, 则双曲线的方程为﹣y2=1,则c==2, 其焦距2c=4; 故答案为:4. 14.已知向量=(1,3),=(3,4),若(﹣λ)⊥,则λ= . 解:因为向量=(1,3),=(3,4), 则﹣λ=(1﹣3λ,3﹣4λ), 又(﹣λ)⊥, 所以(﹣λ)?=3(1﹣3λ)+4(3﹣4λ)=15﹣25λ=0, 解得λ=. 故答案为:. 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= 2 . 解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac, ∴acsinB=?ac×=?ac=4?a2+c2=12, 又cosB=?=?b=2,(负值舍) 故答案为:2. 16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 ②⑤或③④ (写出符合要求的一组答案即可). 解:观察正视图,推出正视图的长为2和高1,②③图形的高也为1,即可能为该三棱锥的侧视图, ④⑤图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图, 当②为侧视图时,结合侧视图中的直线,可以确定该三棱锥的俯视图为⑤, 当③为侧视图时,结合侧视图虚线,虚线所在的位置有立体图形的轮廓线,可以确定该三棱锥的俯视图为④. 故答案为:②⑤或③④. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。 17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为s12和s22. (1)求,,s12,s22; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果﹣≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高). 解:(1)由题中的数据可得,(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10, =(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3, s12=[(9.8﹣10)2+(10.3﹣10)2+(10﹣10)2+(10.2﹣10)2+(9.9﹣10)2+(9.8﹣10)2 +(10﹣10)2+(10.1﹣10)2+(10.2﹣10)2+(9.7﹣10)2]=0.036; s22=[(10.1﹣10.3)2+(10.4﹣10.3)2+(10.1﹣10.3)2+(10.0﹣10.3)2+(10.1﹣10.3)2 +(10.3﹣10.3)2+(10.6﹣10.3)2+(10.5﹣10.3)2+(10.4﹣10.3)2+(10.5﹣10.3)2]=0.04; (2),, 因为, 所以﹣>2, 故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 18.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC中点,且PB⊥AM. (1)求BC; (2)求二面角A﹣PM﹣B的正弦值. 解:(1)连结BD,因为PD⊥底面ABCD,且AM?平面ABCD, 则AM⊥PD,又AM⊥PB,PB∩PD=P,PB,PD?平面PBD, 所以AM⊥平面PBD,又BD?平面PBD,则AM⊥BD, 所以∠ABD+∠ADB=90°,又∠ABD+∠MAB=90°, 则有∠ADB=∠MAB,所以Rt△DAB∽Rt△ABM, 则,所以,解得BC=; (2)因为DA,DC,DP两两垂直,故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示, 则,P(0,0,1), 所以,, 设平面AMP的法向量为, 则有,即, 令,则y=1,z=2,故, 设平面BMP的法向量为, 则有,即, 令q=1,则r=1,故, 所以=, 设二面角A﹣PM﹣B的平面角为α, 则sinα==, 所以二面角A﹣PM﹣B的正弦值为. 19.记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2. (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 解:(1)证明:当n=1时,b1=S1, 由+=2,解得b1=, 当n≥2时,=Sn,代入+=2, 消去Sn,可得+=2,所以bn﹣bn﹣1=, 所以{bn}是以为首项,为公差的等差数列. (2)由题意,得a1=S1=b1=, 由(1),可得bn=+(n﹣1)×=, 由+=2,可得Sn=, 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=﹣,显然a1不满足该式, 所以an=. 20.已知函数f(x)=ln(a﹣x),已知x=0是函数y=xf (x)的极值点. (1)求a; (2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1. 【解答】(1)解:由题意,f(x)的定义域为(﹣∞,a), 令t(x)=xf(x),则t(x)=xln(a﹣x),x∈(﹣∞,a), 则t'(x)=ln(a﹣x)+x?=, 因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,则有t'(0)=0,即lna=0,所以a=1, 当a=1时,t'(x)=,且t'(0)=0, 因为t''(x)=, 则t'(x)在(﹣∞,1)上单调递减, 所以当x∈(﹣∞,0)时,t'(x)>0, 当x∈(0,1)时,t'(x)<0, 所以a=1时,x=0是函数y=xf(x)的一个极大值点. 综上所述,a=1; (2)证明:由(1)可知,xf(x)=xln(1﹣x), 要证,即需证明, 因为当x∈(﹣∞,0)时,xln(1﹣x)<0, 当x∈(0,1)时,xln(1﹣x)<0, 所以需证明x+ln(1﹣x)>xln(1﹣x),即x+(1﹣x)ln(1﹣x)>0, 令h(x)=x+(1﹣x)ln(1﹣x), 则h'(x)=(1﹣x), 所以h'(0)=0,当x∈(﹣∞,0)时,h'(x)<0, 当x∈(0,1)时,h'(x)>0, 所以x=0为h(x)的极小值点, 所以h(x)>h(0)=0,即x+ln(1﹣x)>xln(1﹣x), 故, 所以. 21.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p; (2)若点P在M上,PA,PB为C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值. 解:(1)点到圆M上的点的距离的最小值为,解得p=2; (2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即,则, 设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得,从而得到, 设lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b=0, ∴△=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=﹣4b, ∴P(2k,﹣b), ∵=,, ∴①, 又点P(2k,﹣b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,故,代入①得,, 而yp=﹣b∈[﹣5,﹣3], ∴当b=5时,. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程; (2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程. 解:(1)⊙C的圆心为C(2,1),半径为1, 则⊙C的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=1, ⊙C的一个参数方程为(θ为参数). (2)由题意可知两条切线方程斜率存在, 设切线方程为y﹣1=k(x﹣4),即kx﹣y﹣4k+1=0, 圆心C(2,1)到切线的距离d==1,解得k=±, 所以切线方程为y=±(x﹣4)+1, 因为x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±(ρcosθ﹣4)+1. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+3|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集; (2)若f(x)>﹣a,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|+|x+3|=, ∵f(x)≥6,∴或或, ∴x≤﹣4或x≥2, ∴不等式的解集为(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞). (2)f(x)=|x﹣a|+|x+3|≥|x﹣a﹣x﹣3|=|a+3|, 若f(x)>﹣a,则|a+3|>﹣a, 两边平方可得a2+6a+9>a2,解得a>﹣, 即a的取值范围是(﹣,+∞). 展开更多...... 收起↑ 资源预览