2021年全国乙卷高考数学(理科)真题试卷(Word解析版)

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2021年全国乙卷高考数学(理科)真题试卷(Word解析版)

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2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).
1.设2(z+)+3(z﹣)=4+6i,则z=(  )
A.1﹣2i B.1+2i C.1+i D.1﹣i
2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=(  )
A.? B.S C.T D.Z
3.已知命题p:?x∈R,sinx<1;命题q:?x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是(  )
A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬(p∨q)
4.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(  )
A.f(x﹣1)﹣1 B.f(x﹣1)+1 C.f(x+1)﹣1 D.f(x+1)+1
5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(  )
A. B. C. D.
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(  )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
7.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x﹣)的图像,则f(x)=(  )
A.sin(﹣) B.sin(+)
C.sin(2x﹣) D.sin(2x+)
8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为(  )
A. B. C. D.
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(  )
A.+表高
B.﹣表高
C.+表距
D.﹣表距
10.设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x﹣a)2(x﹣b)的极大值点,则(  )
A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2
11.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是(  )
A.[,1) B.[,1) C.(0,] D.(0,]
12.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=﹣1,则(  )
A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知双曲线C:﹣y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为   .
14.已知向量=(1,3),=(3,4),若(﹣λ)⊥,则λ=   .
15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=   .
16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为   (写出符合要求的一组答案即可).
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为s12和s22.
(1)求,,s12,s22;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果﹣≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).
18.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC中点,且PB⊥AM.
(1)求BC;
(2)求二面角A﹣PM﹣B的正弦值.
19.记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
20.已知函数f(x)=ln(a﹣x),已知x=0是函数y=xf (x)的极值点.
(1)求a;
(2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1.
21.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB为C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)>﹣a,求a的取值范围.
参考答案
一、选择题(共12小题).
1.设2(z+)+3(z﹣)=4+6i,则z=(  )
A.1﹣2i B.1+2i C.1+i D.1﹣i
解:设z=a+bi,a,b是实数,
则=a﹣bi,
则由2(z+)+3(z﹣)=4+6i,
得2×2a+3×2bi=4+6i,
得4a+6bi=4+6i,
得,得a=1,b=1,
即z=1+i,
故选:C.
2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=(  )
A.? B.S C.T D.Z
解:当n是偶数时,设n=2k,则s=2n+1=4k+1,
当n是奇数时,设n=2k+1,则s=2n+1=4k+3,k∈Z,
则T?S,
则S∩T=T,
故选:C.
3.已知命题p:?x∈R,sinx<1;命题q:?x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是(  )
A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬(p∨q)
解:对于命题p:?x∈R,sinx<1,
当x=0时,sinx=0<1,故命题p为真命题,¬p为假命题;
对于命题q:?x∈R,e|x|≥1,
因为|x|≥0,又函数y=ex为单调递增函数,故e|x|≥e0=1,
故命题q为真命题,¬q为假命题,
所以p∧q为真命题,¬p∧q为假命题,p∧¬q为假命题,¬(p∨q)为假命题,
故选:A.
4.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(  )
A.f(x﹣1)﹣1 B.f(x﹣1)+1 C.f(x+1)﹣1 D.f(x+1)+1
解:因为f(x)==,
所以函数f(x)的对称中心为(﹣1,﹣1),
所以将函数f(x)向右平移一个单位,向上平移一个单位,
得到函数y=f(x﹣1)+1,该函数的对称中心为(0,0),
故函数y=f(x﹣1)+1为奇函数.
故选:B.
5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(  )
A. B. C. D.
【解答】解∵AD1∥BC1,∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角),
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,
则PB1=PC1==,BC1==2,BP==,
∴cos∠PBC1===,
∴∠PBC1=,
∴直线PB与AD1所成的角为.
故选:D.
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(  )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
解:5名志愿者选2个1组,有种方法,然后4组进行全排列,有种,
共有=240种,
故选:C.
7.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x﹣)的图像,则f(x)=(  )
A.sin(﹣) B.sin(+)
C.sin(2x﹣) D.sin(2x+)
解:∵把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,
再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x﹣)的图像,
∴把函数y=sin(x﹣)的图像,向左平移个单位长度,
得到y=sin(x+﹣)=sin(x+)的图像;
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,
可得f(x)=sin(x+)的图像.
故选:B.
8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为(  )
A. B. C. D.
解:由题意可得可行域:,可得三角形的面积=××=,
1﹣=.
故选:B.
9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(  )
A.+表高
B.﹣表高
C.+表距
D.﹣表距
解:=,=,故=,即=,
解得AE=,AH=AE+EH,
故AB====+DE=+表高.
故选:A.
10.设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x﹣a)2(x﹣b)的极大值点,则(  )
A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2
解:令f(x)=0,解得x=a或x=b,即x=a及x=b是f(x)的两个零点,
当a>0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示,
则0<a<b;
当a<0时,由三次函数的性质可知,要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如下图所示,
则b<a<0;
综上,ab>a2.
故选:D.
11.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是(  )
A.[,1) B.[,1) C.(0,] D.(0,]
解:点B的坐标为(0,b),设P(x0,y0),
则+=1,
∴x02=a2(1﹣),
故|PB|2=x02+(y0﹣b)2=a2(1﹣)+(y0﹣b)2=﹣y02﹣2by0+a2+b2,y0∈[﹣b,b],
又对称轴y0=﹣<0,
当﹣≤﹣b时,即b≥c时,
则当y0=﹣b时,|PB|2最大,此时|PB|=2b,
故只需要满足﹣≤﹣b,即b2≥c2,则a2﹣c2≥c2,
所以e=≤,
又0<e<1,
故e的范围为(0,],
当﹣>﹣b时,即b<c时,
则当y0=﹣时,|PB|2最大,此时|PB|2=+a2+b2≤4b2,
则a4﹣4a2c2+4c4≤0,解得a=c,
所以b=c,
又b<c,
故不满足题意,
综上所述的e的范围为(0,],
故选:C.
12.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=﹣1,则(  )
A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b
解:∵a=2ln1.01=ln1.0201,b=ln1.02,
∴a>b,
令f(x)=2ln(1+x)﹣(﹣1),0<x<1,
令=t,则1<t<
∴x=,
∴g(t)=2ln()﹣t+1=2ln(t2+3)﹣t+1﹣2ln4,
∴g′(t)=﹣1==﹣>0,
∴g(t)在(1,)上单调递增,
∴g(t)>g(1)=2ln4﹣1+1﹣2ln4=0,
∴f(x)>0,
∴a>c,
同理令h(x)=ln(1+2x)﹣(﹣1),
再令=t,则1<t<
∴x=,
∴φ(t)=ln()﹣t+1=ln(t2+1)﹣t+1﹣ln2,
∴φ′(t)=﹣1=<0,
∴φ(t)在(1,)上单调递减,
∴φ(t)<φ(1)=ln2﹣1+1﹣ln2=0,
∴h(x)<0,
∴c>b,
∴a>c>b.
故选:B.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知双曲线C:﹣y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为 4 .
解:根据题意,双曲线C:﹣y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,
则有=,解可得m=3,
则双曲线的方程为﹣y2=1,则c==2,
其焦距2c=4;
故答案为:4.
14.已知向量=(1,3),=(3,4),若(﹣λ)⊥,则λ=  .
解:因为向量=(1,3),=(3,4),
则﹣λ=(1﹣3λ,3﹣4λ),
又(﹣λ)⊥,
所以(﹣λ)?=3(1﹣3λ)+4(3﹣4λ)=15﹣25λ=0,
解得λ=.
故答案为:.
15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= 2 .
解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,
∴acsinB=?ac×=?ac=4?a2+c2=12,
又cosB=?=?b=2,(负值舍)
故答案为:2.
16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为 ②⑤或③④ (写出符合要求的一组答案即可).
解:观察正视图,推出正视图的长为2和高1,②③图形的高也为1,即可能为该三棱锥的侧视图,
④⑤图形的长为2,即可能为该三棱锥的俯视图,
当②为侧视图时,结合侧视图中的直线,可以确定该三棱锥的俯视图为⑤,
当③为侧视图时,结合侧视图虚线,虚线所在的位置有立体图形的轮廓线,可以确定该三棱锥的俯视图为④.
故答案为:②⑤或③④.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为s12和s22.
(1)求,,s12,s22;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果﹣≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).
解:(1)由题中的数据可得,(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,
=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
s12=[(9.8﹣10)2+(10.3﹣10)2+(10﹣10)2+(10.2﹣10)2+(9.9﹣10)2+(9.8﹣10)2
+(10﹣10)2+(10.1﹣10)2+(10.2﹣10)2+(9.7﹣10)2]=0.036;
s22=[(10.1﹣10.3)2+(10.4﹣10.3)2+(10.1﹣10.3)2+(10.0﹣10.3)2+(10.1﹣10.3)2
+(10.3﹣10.3)2+(10.6﹣10.3)2+(10.5﹣10.3)2+(10.4﹣10.3)2+(10.5﹣10.3)2]=0.04;
(2),,
因为,
所以﹣>2,
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
18.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC中点,且PB⊥AM.
(1)求BC;
(2)求二面角A﹣PM﹣B的正弦值.
解:(1)连结BD,因为PD⊥底面ABCD,且AM?平面ABCD,
则AM⊥PD,又AM⊥PB,PB∩PD=P,PB,PD?平面PBD,
所以AM⊥平面PBD,又BD?平面PBD,则AM⊥BD,
所以∠ABD+∠ADB=90°,又∠ABD+∠MAB=90°,
则有∠ADB=∠MAB,所以Rt△DAB∽Rt△ABM,
则,所以,解得BC=;
(2)因为DA,DC,DP两两垂直,故以点D位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,
则,P(0,0,1),
所以,,
设平面AMP的法向量为,
则有,即,
令,则y=1,z=2,故,
设平面BMP的法向量为,
则有,即,
令q=1,则r=1,故,
所以=,
设二面角A﹣PM﹣B的平面角为α,
则sinα==,
所以二面角A﹣PM﹣B的正弦值为.
19.记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)证明:当n=1时,b1=S1,
由+=2,解得b1=,
当n≥2时,=Sn,代入+=2,
消去Sn,可得+=2,所以bn﹣bn﹣1=,
所以{bn}是以为首项,为公差的等差数列.
(2)由题意,得a1=S1=b1=,
由(1),可得bn=+(n﹣1)×=,
由+=2,可得Sn=,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=﹣,显然a1不满足该式,
所以an=.
20.已知函数f(x)=ln(a﹣x),已知x=0是函数y=xf (x)的极值点.
(1)求a;
(2)设函数g(x)=.证明:g(x)<1.
【解答】(1)解:由题意,f(x)的定义域为(﹣∞,a),
令t(x)=xf(x),则t(x)=xln(a﹣x),x∈(﹣∞,a),
则t'(x)=ln(a﹣x)+x?=,
因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,则有t'(0)=0,即lna=0,所以a=1,
当a=1时,t'(x)=,且t'(0)=0,
因为t''(x)=,
则t'(x)在(﹣∞,1)上单调递减,
所以当x∈(﹣∞,0)时,t'(x)>0,
当x∈(0,1)时,t'(x)<0,
所以a=1时,x=0是函数y=xf(x)的一个极大值点.
综上所述,a=1;
(2)证明:由(1)可知,xf(x)=xln(1﹣x),
要证,即需证明,
因为当x∈(﹣∞,0)时,xln(1﹣x)<0,
当x∈(0,1)时,xln(1﹣x)<0,
所以需证明x+ln(1﹣x)>xln(1﹣x),即x+(1﹣x)ln(1﹣x)>0,
令h(x)=x+(1﹣x)ln(1﹣x),
则h'(x)=(1﹣x),
所以h'(0)=0,当x∈(﹣∞,0)时,h'(x)<0,
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,
所以x=0为h(x)的极小值点,
所以h(x)>h(0)=0,即x+ln(1﹣x)>xln(1﹣x),
故,
所以.
21.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB为C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
解:(1)点到圆M上的点的距离的最小值为,解得p=2;
(2)由(1)知,抛物线的方程为x2=4y,即,则,
设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则易得,从而得到,
设lAB:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b=0,
∴△=16k2+16b>0,即k2+b>0,且x1+x2=4k,x1x2=﹣4b,
∴P(2k,﹣b),
∵=,,
∴①,
又点P(2k,﹣b)在圆M:x2+(y+4)2=1上,故,代入①得,,
而yp=﹣b∈[﹣5,﹣3],
∴当b=5时,.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
解:(1)⊙C的圆心为C(2,1),半径为1,
则⊙C的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=1,
⊙C的一个参数方程为(θ为参数).
(2)由题意可知两条切线方程斜率存在,
设切线方程为y﹣1=k(x﹣4),即kx﹣y﹣4k+1=0,
圆心C(2,1)到切线的距离d==1,解得k=±,
所以切线方程为y=±(x﹣4)+1,
因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±(ρcosθ﹣4)+1.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)>﹣a,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|+|x+3|=,
∵f(x)≥6,∴或或,
∴x≤﹣4或x≥2,
∴不等式的解集为(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞).
(2)f(x)=|x﹣a|+|x+3|≥|x﹣a﹣x﹣3|=|a+3|,
若f(x)>﹣a,则|a+3|>﹣a,
两边平方可得a2+6a+9>a2,解得a>﹣,
即a的取值范围是(﹣,+∞).

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