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章末综合提升
第四章
运动和力的关系
提升层·题型探究
NO.1
主题1
主题2
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解析答案第4章
运动和力的关系
主题1　滑块－木板模型
1．模型概述：一个物体在另一个物体上，两者之间有相对运动。问题涉及两个物体、多个过程，两物体的运动时间、速度、位移间有一定的关系。
2．两种位移关系
滑块由木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板同向运动，位移大小之差等于板长；反向运动时，位移大小之和等于板长。
设板长为L，滑块位移大小为x1，木板位移大小为x2，
同向运动时：L＝x1－x2，
反向运动时：L＝x1＋x2。
3．解决板块问题的思维方法
【典例1】　如图所示，物块A、木板B的质量均为m＝10
kg，不计A的大小，木板B长L＝3
m。开始时A、B均静止。现使A以水平初速度v0从B的最左端开始运动。已知A与B、B与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.3和μ2＝0.1，g取10
m/s2。
(1)求物块A和木板B运动过程的加速度的大小；
(2)若A刚好没有从B上滑下来，求A的初速度v0的大小。
[解析]　(1)分别对物块A、木板B进行受力分析可知，A在B上向右做匀减速运动，设其加速度大小为a1，则有
a1＝＝3
m/s2
木板B向右做匀加速运动，设其加速度大小为a2，则有
a2＝＝1
m/s2。
(2)由题意可知，A刚好没有从B上滑下来，则A滑到B最右端时的速度和B的速度相同，设为v，则有
时间关系：t＝＝
位移关系：L＝－
解得v0＝2
m/s。
[答案]　(1)3
m/s2　1
m/s2　(2)2
m/s
滑块(视为质点)在木板上滑离的临界条件
类型图示
临界条件
木板B带动滑块A，滑块恰好不从木板上滑下的临界条件是滑块恰好滑到木板左端时二者速度相等，则位移关系为xB＝xA＋L
滑块A带动木板B，滑块恰好不从木板上滑下的临界条件是滑块恰好滑到木板右端时二者速度相等，则位移关系为xB＋L＝xA
1．如图所示，质量为m的木块在质量为M的长木板上受到水平向右的拉力F的作用向右滑行，但长木板保持静止不动。已知木块与长木板之间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面之间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是(　　)
A．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ1Mg
B．长木板受到地面的摩擦力的大小一定为μ2(m＋M)g
C．只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动
D．无论拉力F增加到多大，长木板都不会与地面发生相对滑动
D　[对M分析，在水平方向受到m对M的摩擦力和地面对M的摩擦力，两个力平衡，则地面对木板的摩擦力Ff＝μ1mg，选项A、B错误；无论F大小如何，m在M上滑动时，m对M的摩擦力大小不变，M在水平方向上仍然受到两个摩擦力处于平衡，不可能运动，选项C错误，D正确。]
2．如图所示，水平传送带以不变的速度v＝10
m/s向右运动，将工件(可视为质点)轻轻放在传送带的左端，由于摩擦力的作用，工件做匀加速运动，经过时间t＝2
s，速度达到v；再经过时间t′＝4
s，工件到达传送带的右端，g取10
m/s2，求：
(1)工件在水平传送带上滑动时的加速度的大小；
(2)工件与水平传送带间的动摩擦因数；
(3)传送带的长度。
[解析]　(1)工作的加速度a＝
解得a＝5
m/s2。
(2)设工件的质量为m，则由牛顿第二定律得：μmg＝ma
所以动摩擦因数μ＝＝＝0.5。
(3)工件加速运动距离x1＝t
工件匀速运动距离x2＝vt′
工件从左端到达右端通过的距离x＝x1＋x2
联立解得x＝50
m。
此即为传送带的长度。
[答案]　(1)5
m/s2　(2)0.5　(3)50
m
主题2　传送带模型
1．传送带的基本类型
一个物体以初速度v0(v0≥0)在另一个匀速运动的物体上运动的力学系统可看成传送带模型。传送带模型按放置方向分为水平传送带和倾斜传送带两种，如图所示。
2．水平传送带
(1)当传送带水平转动时，应特别注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化。
(2)求解的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断。静摩擦力达到最大值，是物体恰好保持相对静止的临界状态；滑动摩擦力只存在于发生相对运动的物体之间，因此两物体的速度相同时，滑动摩擦力要发生突变(滑动摩擦力变为零或变为静摩擦力)。
3．倾斜传送带
(1)对于倾斜传送带，除了要注意摩擦力的突变和物体运动状态的变化外，还要注意物体与传送带之间的动摩擦因数与传送带倾角的关系。①若μ≥tan
θ，且物体能与传送带共速，则共速后物体做匀速运动；②若μθ，且物体能与传送带共速，则共速后物体相对于传送带做匀变速运动。
(2)求解的关键在于根据物体和传送带之间的相对运动情况，确定摩擦力的大小和方向。当物体的速度与传送带的速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变。
4．传送带问题的求解思路
【典例2】　(2020·成都高一期末)如图所示，水平传送带两端A、B相距x＝6
m，以v0＝4
m/s的速度(始终保持不变)顺时针运转。今将一小煤块(可视为质点)无初速度地轻放至A端，由于煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕。已知煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.25，重力加速度g＝10
m/s2，求煤块从A运动到B所用时间及所划痕长度。
[解析]　煤块做匀加速直线运动时，根据牛顿第二定律有μmg＝ma，得a＝μg＝2.5
m/s2，假设煤块的速度达到4
m/s时未离开传送带，此时煤块通过的位移大小为x1＝＝3.2
m<6
m，因此煤块先做匀加速直线运动，后做匀速直线运动，做匀加速直线运动的时间为t1＝＝1.6
s，此后煤块以与传送带相同的速度匀速运动至B端，有x2＝x－x1＝6
m－3.2
m＝2.8
m，匀速运动的时间为t2＝＝0.7
s，运动的总时间为t＝t1＋t2＝2.3
s；划痕长度即煤块相对于传送带的位移大小，可得Δx＝v0t1－x1＝3.2
m。
[答案]　2.3
s　3.2
m
传送带问题中临界点的分析
(1)在确定研究对象并进行受力分析之后，首先判定摩擦力突变(含大小和方向)点，给运动分段。
a．传送带传送的物体所受摩擦力，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相同的时刻。
b．v物与v传相同的时刻是运动分段的关键点。
(2)判定运动中的速度变化(即相对运动方向和对地速度变化)的关键是v物与v传的大小与方向，二者的大小和方向决定了此后的运动过程和状态。
(3)考虑传送带长度——判定临界之前是否滑出；物体与传送带共速以后物体是否一定与传送带保持相对静止做匀速运动。
[跟进训练]
3．(多选)机场和火车站的安全检查仪用于对乘客的行李进行安全检查。其传送装置可简化为如图所示模型，紧绷的传送带始终保持v＝1
m/s的恒定速率向左运行。乘客把行李(可视为质点)无初速度地放在A处，设行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，A、B间的距离为2
m，g取10
m/s2。若乘客把行李放到传送带的同时也以v＝1
m/s的恒定速率平行于传送带运动到B处取行李，则(　　)
A．乘客与行李同时到达B处
B．乘客提前0.5
s到达B处
C．行李提前0.5
s到达B处
D．若传送带速度足够大，行李最快也要2
s才能到达B处
BD　[行李无初速度地放在传送带上，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速度做匀速直线运动。加速时a＝μg＝1
m/s2，历时t1＝＝1
s达到共同速度，位移x1＝t1＝0.5
m，此后行李匀速运动时间t2＝＝1.5
s，到达B处共用时2.5
s。乘客到达B处用时t＝＝2
s，故B正确，A、C错误；若传送带速度足够大，行李一直匀加速运动，最短运动时间tmin＝＝2
s，D正确。]
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