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2021年福建省中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．在实数，，0，﹣1中，最小的数是（　　）
A．﹣1
B．0
C．
D．
2．如图所示的六角螺栓，其俯视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　）
A．2km
B．3km
C．km
D．4km
4．下列运算正确的是（　　）
A．2a﹣a＝2
B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．a6÷a3＝a2
D．（2a3）2＝4a6
5．某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
90
95
90
90
实用性
90
90
95
85
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（　　）
A．0.63（1+x）＝0.68
B．0.63（1+x）2＝0.68
C．0.63（1+2x）＝0.68
D．0.63（1+2x）2＝0.68
7．如图，点F在正ABCDE五边形的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（　　）
A．108°
B．120°
C．126°
D．132°
8．如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（　　）
A．x＞﹣2
B．x＞﹣1
C．x＞0
D．x＞1
9．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于（　　）
A．
B．
C．
D．
10．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0
B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0
D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若反比例函数y＝的图象过点（1，1），则k的值等于
　
　．
12．写出一个无理数x，使得1＜x＜4，则x可以是
　
　（只要写出一个满足条件的x即可）
13．某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是
　
　．
14．如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是
　
　．
15．已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于
　
　．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论：
①∠GEB与∠GFB一定互补；
②点G到边AB，BC的距离一定相等；
③点G到边AD，DC的距离可能相等；
④点G到边AB的距离的最大值为2．
其中正确的是
　
　.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：．
18．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
19．解不等式组：
20．某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
22．如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A．
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点．
23．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
24．如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．
（1）求证：DE∥A′F；
（2）求∠GA′B的大小；
（3）求证：A′C＝2A′B．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；
（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．数学试题参考答案
选择题:本题考查基础知识与基本技能。每小题4分,满分40分。
1.A
2.A
3.D
4.D
6.B
7.C
8.C
D
10.C
二、填空题:本題考查基础知识与基本技能。每小題4分,满分24分
l1.1
2答案不唯一(如,7,.0100010等)
13.270
14.3
15.4
16.①②④
三、解答题:本题共9小题,共86分。
17.本小题考查二次根式的化简绝对值的意义有理数负指数幂等基础知识,考查运算能力满分8分
解:原式=23+(3-√3)-3
23+3-√3-3
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考
18.本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等基础知识,考查推理能力、空
间观念与几何直观满分8分
正明:DE⊥AC,DF⊥AB
∠DEC=∠DFB=90°
DE=
DE
在△DEC和△DFB中,∠DEC=∠DFB,
CE=BE
△DEC≌△DFB
∠B=∠C.
说明:本参考答案仅給出一种解法供参考.
19.本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识,考查运算能力.满分8分
解:解不等式①,得x≥1.
解不等式②,得x<3
所以原不等式组的解集是1≤x<3.
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考
20.本小题考查列方程(组)解应用题、二元一次方程组的解法、一次函数的性质等基础知识,考查运算能
力、应用意识,考查函数与方程思想.满分8分
解:(1)设该公司当月零售农产品x箱,批发农产品y箱.
依题意,得
70x+40y=460
+y=100
解得
所以该公司当月零售农产品20箱,批发农产品80箱
(2)设该公司零售农产品m箱,获得总利润u元
则批发农产品的数量为(1000-m)箱
依题意,得=70m+40(1000-m)=30m+40000,m≤300
因为30>0,所以v随着m的增大而增大
所以m=300时,取得最大值49000元,
此时1000-m=700
所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大,最大总利润是4900元
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考
21.本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质,考查推理能力
空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.满分8分.
证明:(1)在等腰直角三角形EDF中,∠EDF=90°
∠ACB=90°,
∠DFC+∠ADF=∠ACB=90
∠ADE=∠DFC.
(2)连接AE
由平移的性质得AE∥BF,AE=BF
∴∠EAD=∠ACB=90°,
∠DCF=180°-∠ACB=90
∠EAD=∠DCF
△EDF是等腰直角三角形
DE=DF
由(1)得∠ADB=∠DFC
△AED△CDF
AE≌CD,CD=BF
说明:本参考答案仅给出一种解法供参考
22.本小题考查尺规作图、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角
形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念
与几何直观,考查化归与转化思想.满分10分
解:(1)R
四边形ABCD是所求作的四边形

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