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2021年广东省初中学业水平考试数学
本试卷共4页，25小题，满分120分，考试用时90分钟.
注意事项:
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”·
2.作管选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数中，最大的数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】考查实数的大小比较，涉及有理数、无理数、绝对值
2．据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建
设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次，将“万”用科学记数法表示
为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】考查科学记数法的表示方法，一般把大于10的数表示成
3．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，总事件有36种，和为7的事件有6种，所以
4．已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，考查幂的运算公式的灵活变形
5．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，且，
所以，
所以，，所以,考查绝对值、二次根式的非负性。
6．下列图形是正方体展开图的个数为（　　）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【解析】考查正方体展开图的11种样式的记忆，第一个属于2-3-1样式，第三个属于2-2-2样式，第三个属于3-3样式
7．如题图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点D，，则的直径为（
）
A．　　　　
B．
　　　
C．　　　　
D．
【答案】B
【解析】作于H点，根据角平分线的性质可得,而，
易得，所以直径，考查圆中的计算（结合角平分线、三角函数）
8．设的整数部分为，小数部分为，则的值是（
）
A．　　　
　
B．
C．　　
　　
D．
【答案】A
【解析】易得，所以即（），因此可得，
，所以，考查实数的整数部分、小数部分的转化，以及平方差公式的运算
9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为（
）
A．　　　　
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】把，代入可得，因为，所以，而，所以，∴，把代入可得，当时，S最大，最大值为，考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方
10．设为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过作于点，则点到轴距离的最大值（
）
A．　　
　　
B．　
　
C．　
　D．
【答案】A
【解析】如图，设直线解析式为
联立：，化简得
不妨设,
则，
作轴，轴，易得
则即（），化简可得
而
所以有，因此（需要舍去）
即直线AB过定点，因此AB：
易得直线OC的解析式为：，联立，解得
即
点C到y轴距离，则，化简可得，由于关于k的一元二次方程有实数根，因此满足，即，因此，因此
本题考查二次函数与一定函数结合时过定点背景下的最值求法，涉及相似三角形、一元二次方程等多个考点
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．
11．二元一次方程组的解为_________．
【答案】
【解析】，①+②可得③，①－③得，，把代入③得
因此，考查二元一次方程组的解法
12．把抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________．
【答案】
【解析】考查二次函数的图象变换，根据“上加下减，左加右减”可得平移后的解析式为，化简即得
13．如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】
【解析】，考查阴影面积的求法（主要还是用整体减去局部）
14．若一元二次方程（，为常数）的两根，满足，，则符合条件的一个方程为_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】不妨设，，则满足题意的其中一个方程是，本题考查一元二次方程根与系数的关系（已知两根范围，表达原方程，需要有逆推的思维）
15．若且，则_________．
【答案】
【解析】因为，且
因此
而，可得
因此，所以
本题考查完全平方公式的变形运算以及因式分解的技巧
16．如题图，在中，，，．过点作，垂足为，则_________．
【答案】
【解析】作，在中，
由等积法可得
易得，,,
∴
∴
17．在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【解析】如图1，根据，（定弦定角），作的外接圆O，连接OC，交于（图2），此时CD的值最小，根据，得，因此，作，可得，所以，所以，
所以
本题考查动点与隐圆条件下的最值，
难度较大，需要根据条件发散思维
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
18．解不等式组．
【答案】
解：．
式得：
移项得：
．…………………………2分
得：
．…………………………4分
所以原不等式组的解集为．…………………………6分
19．某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体名学生中抽取名，其竞赛成绩如题19图：
（1）求这名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
【答案】
解：（1）众数：，
中位数：，
…………………………2分
平均数．…………………………4分
（2）名中有人为优秀，
优秀等级占比：
该年级优秀等级学生人数为：（人）
答：该年级优秀等级学生人数为人．…………………………6分
20．如题图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
【答案】
解：（1）如图，连接，设垂直平分线交于点，…………………………1分
为垂直平分线，
，…………………………2分
，
，
．…………………………3分
（2）设，，…………………………4分
又，，
在中，．…………………………5分
．…………………………6分
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数图象的一个交点为．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】
解：（1）为反比例函数上一点，
代入得，
．…………………………2分
（2）令，即，
，，
令，，，
．
由图象得，可分为以下两种情况，
①在轴正半轴时，，
，
过作轴交轴于点，又，，
，，
，
，
，
，．…………………………5分
②的轴负半轴时，，过作轴，
，，，
，
，
，，
，
，…………………………7分
综上，或．…………………………8分
22．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习
俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉
粽和用元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时，
每天可售出盒；每盒售价提高元时，每天少售出盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价元（），表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单
位：元），求关于的函数解析式并求最大利润．
【答案】
解：（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽没和进价元．…………………………1分
则…………………………2分
解得：，经检验是方程的解．…………………………3分
猪肉粽每盒进价元，豆沙粽每盒进价元．…………………………4分
（2）由题意得，当时，每天可售盒．
当猪肉粽每盒售元时，每天可售盒．……………………5分
…………………………6分
∵，且时，y随x的增大而增大
∴当时，取最大值，最大值为元．…………7分
答：关于的函数解析式为，且最大利润为元．……………2分
23．如题图，边长为的正方形中，点为的中点．连接，将沿
折叠得到，交于点，求的长．
【答案】
解：延长交于连．
由沿折叠得到．
，，
为中点，
，
，
正方形
，
在和中，
…………………………2分
又，
，
，
，
，
，
，
，…………………………4分
，
，
，…………………………6分
由勾股定理得：．…………………………7分
．…………………………8分
备注：本题用其他解法，且过程严谨，亦可以给满分
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
24．如题图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，，．
（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，，求的面积．
【答案】
解：（1），设，
，
，
，
又，
，
，
．…………………………2分
（2）如图，取中点，过点作，
，，
，
又，
，
为中点，
，…………………………3分
，
又，，
，
∴…………………………5分
又，
以为直径的圆与相切．…………………………6分
（3），，，
，，，
又，
为等边三角形，，…………………………7分
由（2）得：，
，
，
，在中，．
在中，，…………………………8分
如图，过点，点分别向作垂线交于点，，
，，
，，
．…………………………10分
（备注：第3问若用其他解法，且过程完整，也可以得满分）
25．已知二次函数的图象过点，且对任意实数，都有
．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与轴的正半轴交点为，与轴交点为；点是（1）
中二次函数图象上的动点．问在轴上是否存在点，使得以、、、
为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】
解：（1）令，解得，
当时，，
必过，…………………………1分
又过，
，
，
又，
，
，
且，
，
，
，
，，…………………………2分
．…………………………3分
（2）由（1）可知：，，设，，
①当为对角线时，
，解得（舍），，
，即．…………………………5分
②当为对角线时，
，解得（舍），
，即．…………………………7分
③当为对角线时，
，解得，，
或，
，．…………………………9分
综上所述：点坐标为或或或．…………………10分2021年广东省初中学业水平考试数学
本试卷共4页，25小题，满分120分，考试用时90分钟.
注意事项:
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”·
2.作管选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数中，最大的数是（
）
A．
B．
C．
D．
2．据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建
设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次，将“万”用科学记数法表示
为（
）
A．
B．
C．
D．
3．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列图形是正方体展开图的个数为（　　）
A．个
B．个
C．个
D．个
7．如题图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点D，，则的直径为（
）
A．　　　　
B．
　　　
C．　　　　
D．
8．设的整数部分为，小数部分为，则的值是（
）
A．　　　
　
B．
C．　　
　　
D．
9．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为（
）
A．　　　　
B．
C．
D．
10．设为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过作于点，则点到轴距离的最大值（
）
A．　　
　　
B．　
　
C．　
　D．
二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分．
11．二元一次方程组的解为_________．
12．把抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________．
13．如题图，等腰直角三角形中，，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为_________．
14．若一元二次方程（，为常数）的两根，满足，，则符合条件的一个方程为_________．
15．若且，则_________．
16．如题图，在中，，，．过点作，垂足为，则_________．
17．在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
18．解不等式组．
19．某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛．用简单随机抽样的方法，从该年级全体名学生中抽取名，其竞赛成绩如题19图：
（1）求这名学生成绩的众数，中位数和平均数；
（2）若规定成绩大于或等于分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
20．如题图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数图象的一个交点为．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
22．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习
俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉
粽和用元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时，
每天可售出盒；每盒售价提高元时，每天少售出盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价元（），表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单
位：元），求关于的函数解析式并求最大利润．
23．如题图，边长为的正方形中，点为的中点．连接，将沿
折叠得到，交于点，求的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
24．如题图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，，．
（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，，求的面积．
25．已知二次函数的图象过点，且对任意实数，都有
．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与轴的正半轴交点为，与轴交点为；点是（1）
中二次函数图象上的动点．问在轴上是否存在点，使得以、、、
为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不
存在，请说明理由．

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