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6.1数列的定义与简单表示法
基础知识:
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定次序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项用公式表示
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f
(an)或a1，a2和an＋1＝f
(an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
4．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N
递减数列
an＋1常数列
an＋1＝an
考点一
由数列前几项求某一项或是通项公式
例1
已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
答案　C
解析　数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，
所以通项公式为an＝＝，
令＝5，得n＝21.
小结:
观察数列特征,猜测一个通项公式,并验证所给前几项适合,熟悉常见的数列通项模型.
跟踪训练:根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
答案　5n＋1
考点二
由an与Sn的关系求通项公式
例2
(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.
(2)
记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________.
(3)
已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．
解析:
(1)　a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
(3)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
所以数列{an}的通项公式为an＝
小结:
此类题型有两类
1.已知Sn求an
(注意Sn未必给出,有时需要自己去判断,有时和是一种形式)
三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
2．Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(常常是求什么留什么)
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(只需要一个式子)
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．(需要两个式子且注意范围)
跟踪训练:
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
答案　
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝
2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
2.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，
3.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N
)，则an＝(　　)
A．2n　　　　　　B．2n－1
C．2n
D．2n－1
解析：选C　当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1，
∴数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＝2n.
所以an＝(n≥2)．
又由题设可得a1＝2，满足上式，
从而{an}的通项公式为an＝.
考点三
由数列的递推关系求通项公式
例3
(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝an＋n＋1(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为________________．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________________．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．
[解析]　(1)累加法
由题意得a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n(n≥2)，
以上各式相加，得an＝a1＋2＋3＋…＋n.
又∵a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足上式，∴an＝(n∈N
)．
(2)累乘法
∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，上式也成立．
∴an＝(n∈N
)．
(3)构造法
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，
∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1(n∈N
)．
小结:
1．正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．
(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
2．避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．
跟踪训练:
1.设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
解析：原递推公式可化为an＋1＝an＋－，
则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，以上(n－1)个式子的等号两端分别相加得，an＝a1＋1－，故an＝4－.
答案：4－
2.设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝________.
解析：由an＋1＝2nan，得＝2n－1(n≥2)，
所以an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2.
又a1＝1适合上式，故an＝2.
答案：2
3.在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N
)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
解析：因为点Pn(an，an＋1)(n∈N
)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝4an＋1，得an＋1＋＝4，所以是首项为a1＋＝，公比为4的等比数列，所以an＋＝·4n－1，故an＝·4n－1－.
答案：an＝·4n－1－
考点四
数列性质
周期性
例4
已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，则a2020的值为(　　)
A．2
B．1
C.
D.
答案　B
解析　因为an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝，
由a4＝1，a5＝，得a6＝，
由a5＝，a6＝，得a7＝1，
由a6＝，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是周期为6的数列，
所以a2020＝a4＝1，故选B.
小结:根据题目条件写出数列前几项(一般最大周期为6,故写出前七项就可以得到周期)
跟踪训练:
数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2
021项为________．
[解析]　因为a1＝，故a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，a7＝2a6＝，…，
故数列{an}是周期数列且周期为4，故a2
021＝a504×5＋1＝a1＝.
2.单调性
例5
(1)已知数列{an}满足2Sn＝4an－1，当n∈N
时，{(log2an)2＋λlog2an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则当an取得最大值时，n＝________.
[解析]　(1)∵2Sn＝4an－1,2Sn－1＝4an－1－1(n≥2)，
两式相减可得2an＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＝2an－1(n≥2)．
又2a1＝4a1－1，∴a1＝，
∴数列{an}是公比为2的等比数列，∴an＝2n－2，
设bn＝(log2an)2＋λlog2an＝(n－2)2＋λ(n－2)，
∵{(log2an)2＋λlog2an}是递增数列，
∴bn＋1－bn＝2n－3＋λ>0恒成立，∴λ>3－2n恒成立，
∵(3－2n)max＝1，∴λ>1，
故实数λ的取值范围是(1，＋∞)．
(2)当an取得最大值时，有
∴解得
∴当an取得最大值时，n＝5或6.
小结:
判断数列单调性的常用方法有两个：
(1)利用数列对应的函数的单调性判断；
(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．
跟踪训练:
已知数列{cn}，cn＝，则当n＝________时，cn最大．
解析　cn＋1－cn＝－＝，
当n≤4时，cn＋1>cn，当n≥5时，cn＋1因此c1c6>c7>…，
∴n＝5时，cn取得最大值．
课后巩固训练:
1．若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由于数列的前4项分别是，－，，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于，故此数列的一个通项公式为.故选A.
2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)，则a5的值为(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：选A　由题意可得，an＋2＝an＋1－an，则a3＝a2－a1＝2－1＝1，a4＝a3－a2＝1－2＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2.故选A.
3．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N
)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　)
A．10
B．15
C．－5
D．20
解析：选D　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.
4．若数列{an}满足≤≤2(n∈N
)，则称{an}是“紧密数列”．若{an}(n＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a1＝1，a2＝，a3＝x，a4＝4，则x的取值范围为(　　)
A．[1,3)
B．[1,3]
C．[2,3]
D．[2,3)
解析：选C　依题意可得解得2≤x≤3，故x的取值范围为[2,3]．
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N
)，则an＝________.
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，
因此an＝
答案：
6.在一个数列中，如果?n∈N
，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
7．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N
)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．
解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，
得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，
令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，
则a3＝S3－S2＝－1，
所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.
答案：－1
8．已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N
)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为an＝(n－λ)2n(n∈N
)且数列{an}是递增数列，所以an＋1－an＝2n(n＋2－λ)>0，所以n＋2－λ>0，则λ，所以λ<3，因此实数λ的取值范围为(－∞，3)．
答案：(－∞，3)
9．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；
(2)证明：＝4.
解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.
因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，
所以归纳得an＝4n－1.
(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.
10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N
，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1因为n∈N
，所以n＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
因为an＝n2－5n＋4＝2－，
由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N
，所以－<，解得k>－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
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6.1数列的定义与简单表示法
基础知识:
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
数列的项
数列的通项
通项公式
前n项和
2.数列的表示方法
列表法
图象法
公式法
通项公式
递推公式
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
4．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
项与项间的大小关系
递增数列
递减数列
常数列
考点一
由数列前几项求某一项或是通项公式
例1
已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)
A．第19项
B．第20项
C．第21项
D．第22项
小结:
跟踪训练:根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
考点二
由an与Sn的关系求通项公式
例2
(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.
(2)
记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________.
(3)
已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．
小结:
此类题型有两类
已知Sn求an
2．Sn与an关系问题的求解思路
跟踪训练:
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
2.设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.
3.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N
)，则an＝(　　)
考点三
由数列的递推关系求通项公式
例3
(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝an＋n＋1(n∈N
)，则数列{an}的通项公式为________________．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________________．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．
小结:
1．正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
(2)对于递推关系式可转化为＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．
(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
2．避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．
跟踪训练:
1.设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
2.设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝________.
3.在数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N
)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
考点四
数列性质
周期性
例4
已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N
)，则a2020的值为(　　)
A．2
B．1
C.
D.
小结:根据题目条件写出数列前几项(一般最大周期为6,故写出前七项就可以得到周期
跟踪训练:
数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2
021项为________．
2.单调性
例5
(1)已知数列{an}满足2Sn＝4an－1，当n∈N
时，{(log2an)2＋λlog2an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则当an取得最大值时，n＝________.
小结:
判断数列单调性的常用方法有两个：
(1)利用数列对应的函数的单调性判断；
(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．
跟踪训练:
已知数列{cn}，cn＝，则当n＝________时，cn最大．
课后巩固训练:
1．若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　)
A.
B.
C.
D.
2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)，则a5的值为(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
3．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N
)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　)
A．10
B．15
C．－5
D．20
4．若数列{an}满足≤≤2(n∈N
)，则称{an}是“紧密数列”．若{an}(n＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a1＝1，a2＝，a3＝x，a4＝4，则x的取值范围为(　　)
A．[1,3)
B．[1,3]
C．[2,3]
D．[2,3)
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N
)，则an＝________.
6.在一个数列中，如果?n∈N
，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
7．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N
)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．
8．已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N
)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围为________．
9．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.
(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；
(2)证明：＝4.
10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N
，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
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