资源简介

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6．5
数列综合问题
考点一
在生活中的应用
例1
为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．
解析：依题意，2019年1月1日存款a元后，账户中一共有a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)(元)．
2022年1月1日可取出钱的总数为
a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)
＝a·
＝[(1＋p)5－(1＋p)]
＝[(1＋p)5－1－p]．
小结：读清题意，构建合适的数列模型
跟踪训练：
1.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是(　　)
A．72.705尺　　
　B．61.395尺
C．61.905尺
D．73.995尺
解析：因为每相邻两节竹节间的长度差为0.03尺，设从地面往上每节竹长分别为a1，a2，a3，…，a30，所以数列{an}是以a1＝0.5为首项，以d1＝0.03为公差的等差数列．又由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细0.013尺，设从地面往上每节圈长分别为b1，b2，b3，…，b30，则数列{bn}是以b1＝1.3为首项，以d＝－0.013为公差的等差数列．所以一蚂蚁
往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为S30＝＋＝61.395.故选B.
2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　)
A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝
解析：选D　由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝.故选D.
考点二
等差与等比交汇
例2
（1）已知数列{an}是公差为整数的等差数列，前n项和为Sn，且a1＋a5＋2＝0,2S1,3S2,8S3成等比数列，则数列的前10项和为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＋2＝0，所以2a1＋4d＋2＝0，a1＝－1－2d.
因为2S1,3S2,8S3成等比数列，所以16S1S3＝9S，即16(－1－2d)(－3－3d)＝9(－2－3d)2.
因为d为整数，所以解得d＝－2，则a1＝3，所以an＝3－2(n－1)＝5－2n.
则＝＝，
所以数列的前10项和为×＋×＋…＋×＝
×＝－.
答案：－
（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.
(i)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；
(ii)若T3＝13，求Sn.
解：(i)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①
由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②
联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(ii)∵T3＝b1(1＋q＋q2)，
∴1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，
由a2＋b2＝3得d＝4－q，∴d＝1或d＝8.
由Sn＝na1＋n(n－1)d，
得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n.
小结：
1.将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．特别注意三项成等差（比）的转化构造方程。
2.一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列?{
}(q>0且q≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列?{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列．
跟踪训练：
1．已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝(　　)
A．95　　　
B．90
C．85
D．80
解析：选B　由a1，a2，a5成等比数列，得a＝a1·a5.又等差数列{an}的公差为5，所以(a1＋5)2＝a1(a1＋4×5)，解得a1＝.所以S6＝6×＋×5＝90.故选B.
2.记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
解　(1)设{an}的公比为q.
由题设可得
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得
Sn＝＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列
考点三
数列与函数、不等式等的交汇
例3
设函数f(x)＝＋，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N
，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：＋＋＋…＋<2.
解析：　(1)因为an＝f，
所以an＝＋an－1，n∈N
，且n≥2，
所以数列{an}是以1为首项，为公差的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝.
(2)证明：由(1)可知＝＝4，
所以＋＋＋…＋＝4＝4＝2－<2.
小结：
1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
2．数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
跟踪训练：
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N
)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N
)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)
A．Sn＝2Tn　　　B．Tn＝2bn＋1
C．Tn>an
D．Tn解析：选D　因为点(n，Sn＋3)在函数y＝3×2x的图象上，
所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，
又当n＝1时，a1＝S1＝3，所以an＝3×2n－1.
设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，
可得b1＝1，q＝2，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1.
结合选项可知，只有D正确．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4n，若不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N
都成立，则实数λ的取值范围为________．
解析：因为an＝4n，所以Sn＝2n2＋2n，不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N
恒成立，即λ≤，又＝2n＋＋2≥10(当且仅当n＝2时取等号)，所以实数λ的取值范围为(－∞，10]．
答案：(－∞，10]
3.已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且对任意n∈N
，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立．
(1)若An＝n2，b1＝2，求Bn；
(2)若对任意n∈N
，都有an＝Bn及＋＋＋…＋<成立，求正实数b1的取值范围．
解析　(1)∵An＝n2，所以当n≥2时，
an＝An－An－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又a1＝1也符合此式，所以an＝2n－1(n∈N
)，[3分]
故bn＋1－bn＝(an＋1－an)＝1，
∴数列{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列，[4分]
∴Bn＝2n＋×1＝n2＋n(n∈N
)．[5分]
(2)依题意知Bn＋1－Bn＝2(bn＋1－bn)，
即bn＋1＝2(bn＋1－bn)，即＝2，
∴数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列，[7分]
∴bn＝b1·2n－1，an＝Bn＝×b1＝b1(2n－1)，
∴＝
＝
＝，[9分]
∴＋＋＋…＋
＝，[10分]
∴原不等式可化为<恒成立，
即b1>3，∴b1≥3，
即正实数b1的取值范围是[3，＋∞)．
课后训练：
1．已知等差数列{an}的公差为2，且a4是a2与a8的等比中项，则an＝(　　)
A．－2n　　　　B．2n
C．2n－1
D．2n＋1
解析：选B　由题意得等差数列{an}的公差d＝2，所以an＝a1＋2(n－1)，因为a4是a2与a8的等比中项，所以a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，解得a1＝2，所以an＝2n，故选B.
2．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)
A．n(2n＋3)
B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3)
D．2n(n＋4)
解析：选A　由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．
3．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为(　　)
A．2
B．3
C.
D．4
解析：选A　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)．∵a1，a3，a4成等比数列，∴a1a4＝a，即a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，解得a1＝－4d.∴＝＝＝2.故选A.
4．(2018·郑州一中入学测试)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)
A．96里
B．48里
C．192里
D．24里
解析：选A　依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为的等比数列，记为{an}，其前6项和等于378，于是有＝378，解得a1＝192，因此a2＝a1＝96，即该人第二天走了96里，选A.
5．若正项递增等比数列{an}满足1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0(λ∈R)，则a6＋λa7的最小值为(　　)
A．－2
B．－4
C．2
D．4
解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，q≠0，因为数列{an}为正项递增等比数列，所以a4－a2>0且q>1.
因为1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0，所以1＋λq＝，
所以a6＋λa7＝a6(1＋λq)＝＝＝＝q2＋1＋＝q2－1＋＋2≥2＋2＝4，即a6＋λa7的最小值为4，故选D.
6．某公司去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为________．
解析：每年的产值构成以a(1＋10%)＝1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，所以从今年起到第5年的总产值S5＝＝11(1.15－1)a.
答案：11(1.15－1)a
7．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.
解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.
答案：2
8．已知等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函数f(x)＝2x，bn＝log4f(an)，则数列{bn}的前n项和为________．
解析：∵等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，∴3an＝3n，即an＝n.又∵函数f(x)＝2x，∴f(an)＝2n，∴b1＋b2＋…＋bn＝log4[f(a1)·f(a2)·…·f(an)]＝log4(2×22×…×2n)＝log421＋2＋…＋n＝×(1＋2＋…＋n)＝.
答案：
9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则an＝________.
解析：法一：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)，所以an＋1－an＝(a2－a1)2n－1＝2n－1(n≥2)，又a2－a1＝1，所以an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝1，累加，得an＝2n－1(n∈N
)．
法二：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an＋1－2an＝an－2an－1，得an＋1－2an＝an－2an－1＝an－1－2an－2＝…＝a2－2a1＝0，即an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1(n∈N
)．
答案：2n－1
10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为.
(1)若S4＝，求a1.
(2)若a1＝2，cn＝an＋nb，且c2，c4，c5成等差数列，求b.
解：(1)∵公比q＝，S4＝，
∴＝，
∴a1＝－，解得a1＝.
(2)∵a1＝2，公比为，∴a2＝3，a4＝，a5＝.
又∵cn＝an＋nb，
∴c2＝a2＋2b＝＋2b，c4＝a4＋4b＝＋4b，c5＝a5＋5b＝＋5b.
∵c2，c4，c5成等差数列，
∴2＝＋2b＋＋5b，解得b＝－.
11．设数列{an}的前n项和为Sn，点，n∈N
均在函数y＝x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N
，不等式4Tn解：(1)依题意得＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1－1＝1，
∴an＝2n－1.
(2)∵＝＝，
∴Tn＝＝<，
又4Tn∴2≤a2－a，解得a≤－1或a≥2，
即实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
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6．5
数列综合问题
考点一
在生活中的应用
例1
为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后，他的账户中一共有________元；到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．
小结：
跟踪训练：
1.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是(　　)
A．72.705尺　　
　B．61.395尺
C．61.905尺
D．73.995尺
2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　)
A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝
考点二
等差与等比交汇
例2
（1）已知数列{an}是公差为整数的等差数列，前n项和为Sn，且a1＋a5＋2＝0,2S1,3S2,8S3成等比数列，则数列的前10项和为________．
（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.
(i)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；
(ii)若T3＝13，求Sn.
小结：
1.将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．特别注意三项成等差（比）的转化构造方程。
2.一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列?{
}(q>0且q≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列?{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列．
跟踪训练：
1．已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝(　　)
A．95　　　
B．90
C．85
D．80
2.记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
考点三
数列与函数、不等式等的交汇
例3
设函数f(x)＝＋，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N
，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：＋＋＋…＋<2.
小结：
1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
2．数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
跟踪训练：
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N
)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N
)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)
A．Sn＝2Tn　　　B．Tn＝2bn＋1
C．Tn>an
D．Tn2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4n，若不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N
都成立，则实数λ的取值范围为________．
3.已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且对任意n∈N
，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立．
(1)若An＝n2，b1＝2，求Bn；
(2)若对任意n∈N
，都有an＝Bn及＋＋＋…＋<成立，求正实数b1的取值范围．
课后训练：
1．已知等差数列{an}的公差为2，且a4是a2与a8的等比中项，则an＝(　　)
A．－2n　　　　B．2n
C．2n－1
D．2n＋1
2．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)
A．n(2n＋3)
B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3)
D．2n(n＋4)
3．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，则的值为(　　)
A．2
B．3
C.
D．4
4．(2018·郑州一中入学测试)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)
A．96里
B．48里
C．192里
D．24里
5．若正项递增等比数列{an}满足1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0(λ∈R)，则a6＋λa7的最小值为(　　)
A．－2
B．－4
C．2
D．4
6．某公司去年产值为a，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为________．
7．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2＋a5＝4，则a8＝________.
8．已知等差数列{an}满足an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函数f(x)＝2x，bn＝log4f(an)，则数列{bn}的前n项和为________．
9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则an＝________.
10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为.
(1)若S4＝，求a1.
(2)若a1＝2，cn＝an＋nb，且c2，c4，c5成等差数列，求b.
11．设数列{an}的前n项和为Sn，点，n∈N
均在函数y＝x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N
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