资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
形影不离的奇偶性与对称性
周期性
周期函数定义：
时，的周期是
求函数周期两种方法：
递推法：针对有的等式
时，周期为；
时，周期为；
换元法：针对没有的等式
时，周期为
例1
设函数满足，当时，，求
例2
已知函数的定义域为，且对于任何都有，若，则
【变式演练1】【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】已知函数的周期为5，当时，，则（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式演练2】【陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学】已知定义域为R的函数满足，且当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．0
对称性
轴对称：若或者，则关于对称
中心对称：若或者，则关于对称
注意：周期性和对称性容易混淆
例3
已知，且当时，，设，，，比较，，的大小.
【变式演练】函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
周期性与对称性
和为定值有对称性，差为定值有周期性；二次对称形成周期
例5
已知定义在上的函数满足，，则（
)
A．
B．
C．
D．
例6
已知为奇函数，
与图像关于对称，若，则（
）
A.
2
B.
-2
C.
1
D.
-1
例7
已知对任意满足，，且，若，则
【变式演练1】定义域为上的奇函数满足，且，则（
）
A.
2
B.
1
C.
-1
D.
-2
【变式演练2】已知函数为奇函数，是偶函数，且，则______，______.
【变式演练3】【变式演练4】定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是
.
高考再现
1.
【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（
）
（A）0
（B）
（C）
（D）
2.
【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（
）
A．
B．
C．
D．
3.
【2018年全国文科数学】已知函数，则
A．
在（0，2）单调递增
B．
在（0，2）单调递减
C．
的图像关于直线x=1对称
D．
的图像关于点（1，0）对称
4.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=
.
5.
【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学】函数满足，且在区间上，则的值为____．
6.
【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中
若
，则的值是
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
形影不离的奇偶性与对称性
周期性
周期函数定义：
时，的周期是
求函数周期两种方法：
递推法：针对有的等式
时，周期为；
时，周期为；
换元法：针对没有的等式
时，周期为
例1
设函数满足，当时，，求
分析：因为题目中比较大，从而可判断函数具有周期性，而条件中含有单独的，所以用递推法求周期。
因为
所以
所以
例2
已知函数的定义域为，且对于任何都有，若，则
分析：
所以
所以
由题意，可知
，所以
所以
【变式演练1】【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】已知函数的周期为5，当时，，则（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】
由函数的周期把化为，再计算函数值．
【详解】
解：函数的周期为5，当时，，
则(4)，
故选：．
【变式演练2】【陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学】已知定义域为R的函数满足，且当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【分析】
由得出函数的周期，所以代入解析式可得答案.
【详解】
由满足，
所以函数的周期，且当时，，
所以.
故选：C.
对称性
轴对称：
若或者，则关于对称
中心对称：
若或者，则关于对称
注意：周期性和对称性容易混淆
例3
已知，且当时，，设，，
，比较，，的大小.
分析：由题意可知，关于对称，又因为，所以在单调递增，单调递减；所以最大，其次是，最小是
【变式演练】函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，所以函数的图像关于对称，则，，函数在上单调递增，则有
，所以.选.
周期性与对称性
和为定值有对称性，差为定值有周期性；二次对称形成周期
例5
已知定义在上的函数满足，，则（
)
A．
B．
C．
D．
分析：，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.
【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.
例6
已知为奇函数，
与图像关于对称，若，则（
）
A.
2
B.
-2
C.
1
D.
-1
分析为奇函数，故的图象关于原点对称，而函数的图象可由图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得到，故的图象关于点对称，又与图象关于对称，故函数的图象关于点对称，
，即，故点，关于点对称，故，故选B.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的.
例7
已知对任意满足，，且，若，则
分析：由题意可知关于对称；
由题意①，可推导②，由①
②可得，
，所以，所以，
所以
又因为，所以，又因为关于对称，所以，所以，，所以，
，所以
【变式演练1】定义域为上的奇函数满足，且，则（
）
A.
2
B.
1
C.
-1
D.
-2
【答案】C
【解析】
,因此
，选C.
【变式演练2】已知函数为奇函数，是偶函数，且，则______，______.
【变式演练3】【变式演练4】定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是
.
【答案】或
分析：由，因此函数图象关于直线对称，又是奇函数，因此它也是周期函数，且，∵，∴，∴，即，解得.
高考再现
1.
【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（
）
（A）0
（B）
（C）
（D）
【答案】C
分析：由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C.
考点：
函数图象的性质
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.
2.
【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：考点：函数的周期性.
【名师点睛】函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3.
【2018年全国文科数学】已知函数，则
A．
在（0，2）单调递增
B．
在（0，2）单调递减
C．
的图像关于直线x=1对称
D．
的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【考点】函数的对称性、单调性。
【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
4.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=
.
【答案】-2
【解析】
考点：函数的奇偶性和周期性.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把和，利用奇偶性与周期性化为上的函数值即可．
5.
【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学】函数满足，且在区间上，则的值为____．
【答案】
【解析】由得函数的周期为4，所以因此
考点：函数的周期性.
【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
6.
【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中
若
，则的值是
.
【答案】
【解析】，
因此
考点：分段函数，周期性质
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑