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第二章
等式与不等式
2．1　等　　式
2．1.1　等式的性质与方程的解集
1.常用乘法公式
(1)公式：
公式名称
符号表示
文字表示
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差
完全平方公式
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍
其他恒等式
①(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；②(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
(2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项依次相乘后再求和得到．
(3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值．
　(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？
提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．
　(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？
提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍．
2．十字相乘法
具体形式：
①二次项系数为1时：
x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)
②二次项系数不为1时：
acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)
记忆口诀：拆两头，凑中间．
　十字相乘法分解因式的关键是什么？
提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．
3.方程的解集
(1)定义：
方程的解(根)
能使方程左右两边相等的未知数的值
方程的解集
一个方程所有解组成的集合
(2)本质：方程的解(根)就是保证等式成立的未知数的值，注意解与解集的不同．
(3)应用：求解方程的解(或解集).
　把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.(
×
)
提示：(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.
(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).(
×
)
提示：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y).
(3)用因式分解法解方程时部分过程为：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.(
×　)
提示：若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.
2．分解因式：x2＋2xy＋y2－4＝
．
【解析】x2＋2xy＋y2－4＝(x＋y)2－4
＝(x＋y＋2)(x＋y－2).
答案：(x＋y＋2)(x＋y－2)
3．(教材例题改编)已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为______．
【解析】由方程x2－17x＋66＝0得：
(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，
当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；
当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.
答案：6
类型一　常用乘法公式的应用(数学运算)
1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为(　　)
A．5
B．－5
C．11
D．－11
【解析】选A.由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24.
2．计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(　　)
A．8x2－8y2
B．8y2－8x2
C．8(x＋y)2
D．8(x－y)2
【解析】选B.方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)
＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.
方法二：
(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]
＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)
＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)
＝8y2－8x2.
3．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为______.
【解析】a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝
(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，
所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.
答案：7
常用乘法公式的应用技巧
　(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．
(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．
类型二　十字相乘法分解因式(数学运算)
【典例】把下列各式因式分解．
(1)x2＋3x＋2.
(2)6x2－7x－5.
(3)5x2＋6xy－8y2.
【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项系数即可．
【解析】(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)
1×2＋1×1＝3
(2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)
2×(－5)＋3×1＝－7
(3)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y)
1×(－4y)＋5×(2y)＝6y
十字相乘法因式分解的形式
　尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：
这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1是图中上面一行的两个数，a2，c2是下面一行的两个数．
　分解下列各因式：(1)8x2＋26xy－15y2；
(2)7(a＋b)2－5(a＋b)－2.
【解析】(1)8x2＋26xy－15y2＝(2x－y)(4x＋15y).
(2)7(a＋b)2－5(a＋b)－2＝(7a＋7b＋2)(a＋b－1).
【拓展延伸】齐次式的因式分解
　　　(1)齐次式是指合并同类项后，每一项关于x，y的次数都是相等的多项式．次数为一次就是一次齐次式，次数为二次就是二次齐次式．如x－2y是一次齐次式；x2＋xy是二次齐次式．
　(2)二元二次齐次式是高中最常见的齐次式之一，通常可以写为ax2＋bxy＋cy2的形式，常见的因式分解方法有两种，一是将原式中的y看作参数直接进行因式分解；二是在解决此类问题的等式时可以同除以y2转化为的二次形式后利用因式分解进行分解或求值．
【拓展训练】
　x2－13xy－30y2分解因式为(　　)
A．(x－3y)(x－10y)
B．(x＋15y)(x－2y)
C．(x＋10y)(x＋3y)
D．(x－15y)(x＋2y)
【解析】选D.x2－13xy－30y2＝(x－15y)(x＋2y)
1×2y＋1×(－15y)＝－13y
类型三　方程的解集(数学运算)
　一元一次方程的解集
【典例】若x＝－3是方程3x－a＝0的解，则a的值是(　　)
A．9　　　B．6　　　C．－9　　　D．－6
【思路导引】方程的解定能满足方程，代入求解即可．
【解析】选C.把x＝－3代入方程3x－a＝0得：－9－a＝0，解得：a＝－9.
　一元二次方程的解集
【典例】解下列一元二次方程：
(1)2x2＋7x＋3＝0；
【思路导引】(1)(2)直接利用十字相乘法解方程，(3)(4)移项合并同类项后，再利用十字相乘法解方程．
【解析】原方程化为(2x＋1)(x＋3)＝0，解得x＝－或x＝－3，所以原方程的解集为.
(2)2x2－7x＋3＝0；
【解析】原方程化为(2x－1)(x－3)＝0，
解得x＝或x＝3，
所以原方程的解集为.
(3)－3x2－4x＋4＝0；
【解析】原方程化为3x2＋4x－4＝0，
即(3x－2)(x＋2)＝0，
解得x＝或x＝－2，
所以原方程的解集为.
(4)6x(x＋2)＝x－4.
【解析】原方程化为6x2＋11x＋4＝0，
即(2x＋1)(3x＋4)＝0，
解得x＝－或x＝－，
所以原方程的解集为.
　分类讨论思想的应用
【典例】解方程ax2－(a＋1)x＋1＝0.
【思路导引】把二次项系数分为a＝0和a≠0两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程．
【解析】当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0，
所以x＝1，
当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说，因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1).如图所示：
ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)，
所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0，
所以ax－1＝0或x－1＝0，
所以x＝或x＝1.
1．利用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程的右边化为0；
(2)将方程的左边进行因式分解；
(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；
(4)解一元一次方程，得到方程的解．
2．对于二次三项式分解因式的注意事项
对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数．注意，交叉相乘横着写．
3．形如ax2＋bx＋c＝0(含参)的方程的解法
方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为0时，解一元二次方程．
1．多项式x＋5与2x－8互为相反数，则x＝(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】选C.根据题意得：x＋5＋2x－8＝0，移项合并得：3x＝3，解得x＝1.
2．求下列方程的解集：
(1)5x2－2x－＝x2－2x＋.
(2)12x2＋5x－2＝0.
【解析】(1)移项、合并同类项，得4x2－1＝0.
因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.
于是得2x＋1＝0或2x－1＝0，即x＝－或x＝，
因此方程的解集为.
(2)分解因式得：
12x2＋5x－2＝(3x＋2)(4x－1)
3×(－1)＋4×2＝5
因为12x2＋5x－2＝0，所以(3x＋2)(4x－1)＝0，
所以3x＋2＝0或4x－1＝0，
即x＝－或x＝，因此方程的解集为.
3.解方程12x2－ax－a2＝0.
【解析】当a＝0时，原方程可化为：
12x2＝0，所以x＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a＝－a2，3×a＋4×(－a)＝3a－4a＝－a，如图所示
所以12x2－ax－a2＝(3x－a)(4x＋a)，
所以原方程可化为(3x－a)(4x＋a)＝0.
所以3x－a＝0或4x＋a＝0，所以x1＝，x2＝－.
【补偿训练】
(2020·苏州高一检测)若方程(x－2)(3x＋1)＝0，则3x＋1的值为(　　)
A．7　　B．2　　C．0　　D．7或0
【解析】选D.由方程(x－2)(3x＋1)＝0，
可得x－2＝0或3x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝－，
当x＝2时，3x＋1＝3×2＋1＝7；
当x＝－时，3x＋1＝3×(－)＋1＝0.
备选类型　方程的解的应用(数学建模、数学运算)
【典例】我市某楼盘准备以每平方米15
000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格按同一百分率经过连续两次下调后，最终以每平方米12
150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是(　　)
A．8%　　B．9%　　C．10%　　D．11%
【思路导引】设出每次下调的百分率，根据原价及两次下调后的价格列出关系式，求得方程的解．
【解析】选C.设平均每次下调的百分率为x，
则：15
000·(1－x)·(1－x)＝12
150，
所以(1－x)2＝0.81，所以1－x＝0.9或1－x＝－0.9，
解得x＝0.1或x＝1.9.因为x＜1，所以x＝1.9(舍)，
所以x＝0.1.所以平均每次下调的百分率为10%.
解决实际问题的一般步骤
　(1)审清题意，理顺问题的条件和结论，找到关键量．
(2)建立文字数量关系式．
(3)转化为数学模型．
(4)解决数学问题，得出相应的数学结论．
(5)返本还原，即还原为实际问题本身所具有的意义．
　甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．
(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率．
(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10
000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？
【解析】(1)设这种商品平均降价率是x，依题意得：
40(1－x)2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)；
故这个降价率为10%.
(2)设降价y元，则多销售(y÷0.2)×10＝50y件，
根据题意得(40－20－y)(500＋50y)＝10
000，
解得：y＝0(舍去)或y＝10，
答：在现价的基础上，再降低10元．
1．已知等式3x＋2y＋6＝0，则下列等式正确的是(　　)
A．y＝－x－3
B．y＝x－3
C．y＝－x＋3
D．y＝x＋3
【解析】选A.由等式3x＋2y＋6＝0，可得y＝－x－3.
2．(2021·青岛高一检测)一元二次方程(x＋3)(x－3)＝3(x＋3)的解集是(　　)
A．{3}
B．{6}
C．{－3，6}
D．{－6，3}
【解析】选C.(x＋3)(x－3)－3(x＋3)＝0，即(x＋3)(x－3－3)＝0，所以x＋3＝0或x－3－3＝0，解得x1＝－3，x2＝6.
3．(教材练习改编)多项式x2－3x＋a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为(　　)
A．10和－2
B．－10和2
C．10和2
D．－10和－2
【解析】选D.因为(x－5)(x－b)＝x2－(5＋b)x＋5b＝x2－3x＋a，
所以5＋b＝3，a＝5b，所以b＝－2，a＝－10.
4．(2021·南昌高一检测)一元二次方程2x2＋px＋q＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x2＋px＋q可分解为(　　)
A．(x＋1)(x－2)
B．(2x＋1)(x－2)
C．2(x－1)(x＋2)
D．2(x＋1)(x－2)
【解析】选D.因为一元二次方程2x2＋px＋q＝0的解集为{－1，2}，所以2(x＋1)(x－2)＝0，所以2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2).
5．若x＝3是方程2x－10＝4a的解，则a＝______．
【解析】因为x＝3是方程2x－10＝4a的解，
所以2×3－10＝4a，所以4a＝－4，所以a＝－1.
答案：－1
PAGE2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系　　　　
1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集
(1)一元二次方程的解集．
定义
形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程,其中a,b,c是常数,且a≠0.
一元二次方程的解集
判别式的符号
解集
Δ=b2-4ac>0
{，}
Δ=b2-4ac=0
Δ=b2-4ac<0
?
(2)本质：一元二次方程的解集实质上就是借助判别式判断根的个数后再利用系数表示出根．
(3)应用：识别一元二次方程；判断一元二次方程解的个数；求一元二次方程的解集．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝适合用于所有的一元二次方程吗？
提示：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即：当根的判别式Δ＝b2－4ac≥0时适用．
2．一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1＋x2＝－；x1x2＝．
　利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数的关系解题．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)用公式法解一元二次方程3x2＝－2x＋3时，a＝3，b＝－2，c＝3，再代入公式即可．(　×　)
提示：用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为标准形式，再求a，b，c的值．
(2)方程x2－2＝0的解是x＝.(　×　)
提示：方程x2－2＝0的解是x＝±.
(3)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2＝－2.(　×　)
提示：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中x1x2＝.
2．已知方程x2－px－q＝0，其解形成的集合为{－1，3}，则p与q的值分别为(　　)
A．p＝－2，q＝3
B．p＝2，q＝3
C．p＝－2，q＝－3
D．p＝2，q＝－3
【解析】选B.由题可知－1和3是方程x2－px－q＝0的两个根，由根与系数的关系得－1＋3＝p，－1×3＝－q，解得p＝2，q＝3.
3．(教材例题改编)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x＋x＋3x1x2＝______．
【解析】根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝－5，x＋x＋3x1x2＝(x1＋x2)2＋x1x2＝22＋(－5)＝－1.
答案：－1
类型一　配方法解一元二次方程(数学运算)
1.一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为(　　)
A．(x＋4)2＝17
B．(x＋4)2＝15
C．(x－4)2＝17
D．(x－4)2＝15
【解析】选C.移项，得x2－8x＝1.
配方，得x2－8x＋42＝1＋42，即(x－4)2＝17.
2．方程2x2－4x－3＝0配方后的方程是(　　)
A．(x＋2)2＝
B．(x－1)2＝
C．(x－2)2＝
D．(x＋1)2＝
【解析】选B.化二次项系数为1得：x2－2x－＝0，
配方得(x－1)2＝.
3．用配方法求方程2x2＋1＝3x的解集为________．
【解析】移项，得2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得x2－x＝－.
配方，得x2－x＋＝－＋，即＝.由此可得x－＝±，x＝1或x＝，所以原方程的解集为.
答案：
用配方法解一元二次方程的一般步骤
(1)将一元二次方程化为一般形式．
(2)将常数项移到方程的右边．
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1.
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数．
(5)当方程右边是一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是一个负数时，原方程无实数解．
【补偿训练】
用配方法求方程3x2－6x＋4＝0的解集．
【解析】移项，得3x2－6x＝－4.
二次项系数化为1，得x2－2x＝－.
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，(x－1)2＝－.
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程的解集为?.
类型二　公式法解一元二次方程(数学运算、逻辑推理)
【典例】解方程：5x2－3x＝x＋1.
【思路导引】用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，分清楚a，b，c，然后代入公式即可．
【解析】方程化为5x2－4x－1＝0，a＝5，b＝－4，c＝－1，
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0，
方程有两个不等的实数根，
x＝＝＝，
即x1＝1，x2＝－.
用公式法解一元二次方程的步骤
　(1)把方程化为一般形式，确定a，b，c的值．
(2)求出b2－4ac的值．
(3)若b2－4ac≥0，将a，b，c的值代入求根公式计算，得出方程的解；若b2－4ac<0，则方程无实根．
　求方程x2＋4x＋6＝0的根．
【解析】因为a＝，b＝4，c＝6，
所以Δ＝b2－4ac＝(4)2－4××6＝0，
所以x＝＝＝－，
故所求方程有两个相等的根，其根为－.
【拓展延伸】一元二次方程的常见解法
(1)直接开平方法．此法依据的是开平方根的意义，步骤是：①将方程转化为x2＝p或(mx＋n)2＝p的形式；②分p>0有两个不同的解，p＝0有一个解或者两个相同的解，p<0无实数解三种情况讨论．注意此法只适用于部分的一元二次方程，即能转化为上述两种形式的．
(2)配方法．把一般形式的一元二次方程左端配成一个含有未知数的完全平方式，右端是一个非负常数，进而可应用此法．一般步骤：移项、二次项系数化成1，配方，开平方根．此法适用于解所有一元二次方程．
(3)公式法．公式法又叫万能方法，对于任意一个一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来，用此法直接解方程避免繁杂的配方过程．
(4)因式分解法．先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．需要注意的是：在方程的右边没有化为0前，不能把左边进行因式分解；不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解．
综上，在没有规定解法时，可以按照：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法的顺序选择解法．
【拓展训练】
　选择合适的方法求方程2x2－4x－1＝0的解集．
【思路导引】本题形式略微复杂，直接开平方法不合适，因为二次项系数不为1，所以配方法相对烦琐，同时通过系数之间的关系可以看出难以进行因式分解，故选择公式法最为合适．
【解析】由题意知：a＝2，b＝－4，c＝－1，
所以Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24>0，
所以x＝＝＝，
所以x＝或x＝，所以原方程的解集为.
类型三　一元二次方程根与系数的关系(逻辑推理、数学运算)
　一元二次方程的根的个数与判别式的关系
【典例】若α，β是方程x2－kx＋8＝0的两相异实根，则(　　)
A．|α|≥3，且|β|>3
B．|α＋β|<4
C．|α|>2且|β|>2
D．|α＋β|>4
【思路导引】由题意可得Δ>0，求出k>4或k<－4，再利用根与系数的关系即可求解．
【解析】选D.因为α，β是方程x2－kx＋8＝0的两相异实根，所以Δ＝k2－32>0，解得k>4或k<－4，
因为α＋β＝k，αβ＝8，所以|α＋β|>4.
　一元二次方程根与系数的关系
【典例】已知x1，x2为一元二次方程x2＋x＋3＝0的两个实数根，求x＋x和|x1－x2|的值．
【思路导引】由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝3，再根据x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2，|x1－x2|＝即可求出．
【解析】由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝3，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝13－6＝7，
|x1－x2|＝＝＝1.
利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤
(1)算：计算出两根的和与积．
(2)变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式．
(3)代：代入求值．
1．下列方程中，无实数根的方程是(　　)
A．x2＋1＝0
B．x2＋x＝0
C．x2＋x－1＝0
D．x2＝0
【解析】选A.A.因为Δ＝－4×1×1＝－4＜0，
所以方程无实数根；
B．Δ＝12＞0，有两个不相等的实数根；
C．Δ＝12－4×1×(－1)＝5＞0，有两个不相等的实数根；
D．Δ＝0，有两个相等的实数根，故选A.
2．已知关于x的一元二次方程x2－4x－m2＝0有两个实数根x1，x2，则m2的值是(　　)
A．
B．－
C．4
D．－4
【解析】选D.因为x2－4x－m2＝0有两个实数根x1，x2，所以x1＋x2＝4，x1x2＝－m2，所以m2＝m2·＝m2·＝－4.
【补偿训练】
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是________．
【解析】因为关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝[－(2m＋3)]2－4m2＝12m＋9＞0，所以m＞－.因为x1＋x2＝2m＋3，x1·x2＝m2.
又因为x1＋x2＝m2，所以2m＋3＝m2，解得：m＝－1或m＝3.因为m＞－，所以m＝3.
答案：3
备选类型　含参数的方程根的探究(逻辑推理、数学运算)
【典例】关于x的方程，kx2＋(k＋1)x＋k＝0有两个不等实根．
(1)求k的取值范围．
(2)是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【思路导引】(1)因为方程有两个不等实根，所以判别式大于0，可以求出k的取值范围．
(2)根据根与系数的关系，用含k的式子表示两根之和与两根之积，然后代入两根的倒数和为0的等式中，求出k的值．
【解析】(1)Δ＝(k＋1)2－4k·k＝k2＋2k＋1－k2＝2k＋1＞0，所以k＞－，因为k≠0，故k＞－且k≠0.
(2)设方程的两根分别是x1和x2，
则：x1＋x2＝－，x1·x2＝，
＋＝＝－＝0，
所以k＋1＝0，即k＝－1，因为k＞－，
所以k＝－1(舍去)，所以不存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0.
含参数的方程根的探究注意事项
(1)要根据方程的定义判断是否为一具体方程，否则应该分情况讨论．
(2)若是一元二次方程，则根的个数应通过判别式来判断，得出参数的取值范围，特别地，对不在取值范围内的值要舍去，这一点极容易被忽视．
　若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝________．
【解析】因为方程的两根互为倒数，
所以两根的乘积为1，即a2＝1，
所以a＝1或a＝－1.当a＝1时，原方程化为x2＋1＝0，方程无实数根，不符合题意，故舍去；
当a＝－1时，原方程化为x2－2x＋1＝0，Δ＝0，符合题意．故a＝－1.
答案：－1
1．解下列方程，最适合用公式法求解的是(　　)
A．(x＋2)2－16＝0
B．(x＋1)2＝4
C．x2＝8
D．x2－3x－5＝0
【解析】选D.公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程．
2．(2021·潍坊高一检测)已知α，β是一元二次方程x2－4x－3＝0的两实根，则代数式(α－3)(β－3)的值是(　　)
A．7
B．1
C．5
D．－6
【解析】选D.因为α，β是一元二次方程x2－4x－3＝0的两实根，所以α＋β＝4，αβ＝－3，所以(α－3)(β－3)＝αβ－3(α＋β)＋9＝－3－3×4＋9＝－6.
3．(教材二次开发：练习改编)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＝－1有实数根，则m的取值范围是(　　)
A．m≤3且m≠2
B．m<3
C．m≤3
D．m<3且m≠2
【解析】选A.因为关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＝－1，即(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，所以m－2≠0且Δ≥0，即22－4×(m－2)×1≥0，解得m≤3，
所以m的取值范围是m≤3且m≠2.
【补偿训练】
如图将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2
m，另一边减少了3
m，剩余一块面积为20
m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是________．
【解析】设空地边长为x
m，则：(x－3)(x－2)＝20，
所以x2－5x－14＝0，所以x1＝－2，x2＝7，
因为x>0，所以x＝7.
答案：7
m
4．已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝________．
【解析】依题意，得2×12－3k×1＋4＝0，
即2－3k＋4＝0，解得，k＝2.
答案：2
5．(2021·上海高一检测)若关于x的一元二次方程x2－2kx＋1－4k＝0有两个相等的实数根，则代数式(k－2)2＋2k(1－k)的值为________．
【解析】因为关于x的一元二次方程x2－2kx＋1－4k＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝(－2k)2－4××(1－4k)＝0，
整理得，2k2＋4k－1＝0，即k2＋2k＝，
所以(k－2)2＋2k(1－k)＝k2－4k＋4＋2k－2k2＝－k2－2k＋4＝－(k2＋2k)＋4＝－＋4＝3.
答案：3
PAGE2．1.3　方程组的解集
　方程组的解集
(1)定义及解法．
名称
定义
二元一次方程组
含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是1的整式方程称为二元一次方程，两个二元一次方程联立组成二元一次方程组
三元一次方程组
含有三个不同的未知数，每个方程未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，像这样的方程组叫三元一次方程组
二元二次方程组
(1)含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程．(2)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成的方程组，叫做二元二次方程组
(2)本质：解二元方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．
(3)应用：求解二元一次方程组；求解三元一次方程组；求解二元二次方程组．
　解三元一次方程组的基本思想和注意问题有哪些？
提示：解三元一次方程组的基本思想是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．
解三元一次方程组时要特别注意：
①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；
②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)方程1＋＝－2是一元一次方程．(　×　)
提示：方程1＋＝－2是分式方程，不是一元一次方程．
(2)　是方程组的解．(　√　)
提示：经代入验证，知
是方程组的解．
(3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少．(　×　)
提示：解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法．
2．用“加减法”将方程组中的x消去后得到的方程是(　　)
A．y＝8
B．7y＝10
C．－7y＝8
D．－7y＝10
【解析】选D.①－②后得：－7y＝10.
3．(2021·西安高一检测)方程组的解集是(　　)
A．(5，4)
B．(5，－4)
C．{(－5，4)}
D．{(5，－4)}
【解析】选D.由x＋y＝1，x2－y2＝9＝(x＋y)(x－y)，
得x－y＝9.x＋y＋x－y＝2x＝10，
解得x＝5.代入得y＝－4.
所以方程组的解集为{(5，－4)}．
类型一　二元一次方程组(数学运算)
1．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为(　　)
A．1
B．－1
C．2
D．3
【解析】选B.把解代入原方程组得
解得所以a－b＝－1.
2．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.绳索长x尺，竿长y尺，由绳索比竿长5尺可得x＝y＋5；
由绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得x＝y－5，由此可得方程组.
3．方程组的解集为________．
【解析】方法一(代入法)：由①得：y＝12－x，③
将③代入②得：2x＋12－x＝20，
解这个一元一次方程，得x＝8，
将x＝8代入③，得y＝4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}．
方法二(加减法)：②－①得x＝8，代入①得y＝4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}．
答案：{(8，4)}
1．用代入法解二元一次方程组的一般步骤
(1)当方程组中的未知数系数不是1(或－1)时，常选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示这个未知数．
(2)代入时要注意加括号．
(3)为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的方程进行口算检验，不必写检验过程．
2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤
(1)将其中一个未知数的系数化为相同(或互为相反数)；
(2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；
(4)将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，求得另一个未知数的值；
(5)写出方程组的解；
(6)检验，但不必写出检验过程．
3.选择消元的方法
根据原题的形式，适当选择消元的方法．如果原题中有一个方程的某一未知数系数为1，可以选择代入消元法；若原题中将方程适当加减后能消元，则选择加减消元法．
【补偿训练】
(2020·烟台高一检测)关于x，y的二元一次方程组的解为则a－2b的值为________.
【解析】由题意，得解得
a－2b＝－2×(－)＝2.
答案：2
类型二　三元一次方程组(数学运算)
【典例】求三元一次方程组的解集．
【思路导引】此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．反之用代入法运算较烦琐．
【解析】②×3＋③，得11x＋10z＝35.④
①与④组成方程组
解得
把x＝5，z＝－2代入②，
得y＝.
所以原方程组的解集是.
解三元一次方程组的基本步骤
　(1)观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；
(2)利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；
(3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(4)将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；
(5)写出三元一次方程组的解．
　(2021·南昌高一检测)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有____钱．(　　)
A．28
B．32
C．56
D．70
【解析】选B.设甲乙丙各有x，y，z钱，
则有x＋＋＝90，
＋y＋＝70，
＋＋z＝56，
解得x＝72，y＝32，z＝4.
【拓展延伸】三元一次方程组的常见解法
(1)代入消元法．如本类型中的例题便是此种解法，先观察式子特征，选择消掉一个未知数，之后利用二元一次方程组的解法，再次消元得其解．
(2)加减消元法．观察给出方程组的特点，对式子选择整体上相加或相减，从而得到所求表达式的结果．
【拓展训练】
已知x＋2y＋3z＝54，3x＋2y＋2z＝47，2x＋2y＋z＝31，那么代数式x＋y＋z的值是(　　)
A．17
B．22
C．32
D．132
【解题指南】本题形式略微复杂，观察未知数的系数发现，三个未知数的系数和正好相等，均为6，所以可采用三个式子整体相加的方法得到答案．
【解析】选B.将三个三元一次方程组成方程组，
将三个式子相加，
得6x＋6y＋6z＝132，
两边都除以6，
得x＋y＋z＝22.
类型三　二元二次方程组(逻辑推理、数学运算)
　二元一次方程与二元二次方程构成的方程组的解集
【典例】方程组的解集为________．
【思路导引】由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过(1)得y＝2x再代入(2)可以求出x的值，从而得到方程组的解．
【解析】由(1)得：y＝2x　(3)，
将(3)代入(2)得：x2－(2x)2＋3＝0，解得x1＝1或x2＝－1，
把x＝1代入(3)得：y＝2；
把x＝－1代入(3)得：y＝－2.
所以原方程组的解集是{(1，2)，(－1，－2)}．
答案：{(1，2)，(－1，－2)}
　二元二次方程与二元二次方程联立所得方程组的解集
【典例】解方程组
【思路导引】注意到方程x2－y2＝5(x＋y)，
可分解成(x＋y)(x－y－5)＝0，即得x＋y＝0或x－y－5＝0，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．
【解析】由(1)得(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0
?(x＋y)(x－y－5)＝0，
所以x＋y＝0或x－y－5＝0，
所以原方程组可化为两个方程组：
或
用代入法解这两个方程组，所以原方程组的解集是
{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}．
　求方程组的解集．
【解析】(1)－(2)×3得：x2＋xy－3(xy＋y2)＝0即
x2－2xy－3y2＝0?(x－3y)(x＋y)＝0，
所以x－3y＝0或x＋y＝0，
所以原方程组可化为两个方程组：
用代入法解这两个方程组，
所以原方程组的解集是{(3，1)，(－3，－1)}．
1．解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤
(1)由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(
)；
(2)把方程(
)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；
(3)解消元后得到的一元二次方程；
(4)把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(
)，求相应的未知数的值．
2．解二元二次方程组的注意点
(1)消x还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如x－2y＋1＝0，可以消去x，变形得x＝2y－1，再代入消元．
(2)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根．
1．方程组的解集为(　　)
A．{2，0}
B．{0，－1}　
C．{(2，0)，(0，－1)}
D．x＝2，y＝－1或x＝0，y＝－1
【解析】选C.第二个方程可变形为x＝2y＋2③，将其代入第一个方程，整理得8y2＋8y＝0，
即y(y＋1)＝0，解得y1＝0，y2＝－1.
把y1＝0代入③，得x1＝2；
把y2＝－1代入③，得x2＝0.
所以原方程组的解是
所以原方程组的解集是{(2，0)，(0，－1)}．
2．方程组有两个不同的实数解，则(　　)
A．m≥－
B．m＞－
C．－＜m＜
D．以上答案都不对
【解析】选B.把②式代入①式得，x2＝x＋m即x2－x－m＝0，因为原方程组有两个不同的实数解，所以Δ>0，即1＋4m>0，所以m>－.
3.已知集合M＝{(x，y)|y＝x2＋2x＋4}，N＝{(x，y)|y＝2x2＋2x＋3}，则M∩N＝________．
【解析】由M＝{(x，y)|y＝x2＋2x＋4}，
N＝{(x，y)|y＝2x2＋2x＋3}联立得
解得或，所以M∩N＝{(1，7)，(－1，3)}．
答案：{(1，7)，(－1，3)}
【方法点津】
　集合M与集合N的交集实质上就是将两个集合中的方程联立得其公共解，即二元二次方程组的解集的应用．
【补偿训练】
已知方程x2－(p－1)x＋q＝0的解集为A，方程x2＋(q－1)x＋p＝0的解集为B，已知A∩B＝{－2}，则A∪B＝________．
【解析】由A∩B＝{－2}得
解得所以方程x2－(p－1)x＋q＝0化为x2＋3x＋2＝0，解得两根分别为－1，－2；
方程x2＋(q－1)x＋p＝0化为x2＋x－2＝0，
解得两根分别为1，－2.所以A∪B＝{－2，－1，1}．
答案：{－2，－1，1}
备选类型　与实际问题相结合的方程的探究(数学建模、数学运算)
【典例】小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元；小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买2本数学书和1本语文书要花(　　)
A．25元　　　B．30元　　　C．35元　　　D．45元
【思路导引】设出每本数学书和语文书的价格，根据题意列出方程(组)求解．
【解析】选C.设1本数学书的价格为x元，1本语文书的价格为y元，
根据题意：，解得：，2x＋y＝2×10＋15＝35，即买2本数学书和1本语文书要花35元．
　关于二元一次方程组的实际问题的处理方法
(1)读题．通过读题明确题目意思，设出相应的未知量，列出关系式．
(2)求解．利用数学中的二元一次方程组的解法解得方程组的解．
(3)还原实际．检验解是否满足实际条件，选择保留或删掉，这也是这类问题的易错之处．
　一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60
km/h，在高速公路上行驶的速度为100
km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2
h，请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．
【解析】答案不唯一．
问题一：汽车行驶的路段中，普通公路和高速公路的长各为多少千米？
解：设汽车行驶的路段中，普通公路长为x
km，高速公路长为y
km.根据题意，得解得
故汽车行驶的路段中，普通公路长为60
km，高速公路长为120
km.
问题二：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？
解：设汽车在普通公路上行驶了x
h，在高速公路上行驶了y
h．根据题意，得解得
故汽车在普通公路上行驶了1
h，在高速公路上行驶了1.2
h．
1．已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.依次代入二元一次方程中验算，只有A、D两个选项能使等式成立，此时需注意，题目中这组解是二元一次方程组的解，而A选项并非二元一次方程组．
2．(2021·北京高一检测)若|2m－n－7|＋(m＋n＋1)2＝0，则m－2n的值是(　　)
A．8
B．－4
C．4
D．－8
【解析】选A.由|2m－n－7|＋(m＋n＋1)2＝0，
可得两式相加得3m－6＝0，
解得m＝2，代入m＋n＋1＝0，
则2＋n＋1＝0，解得n＝－3，
因此m－2n＝2－2×(－3)＝8.
3．(教材二次开发：练习改编)若购买甲商品3件，乙商品2件，丙商品1件，共需140元；购买甲商品1件，乙商品2件，丙商品3件，共需100元，那么购买甲商品1件，乙商品1件，丙商品1件，共需(　　)
A．50元
B．60元
C．70元
D．80元
【解析】选B.设购买一件甲商品需x元，一件乙商品需y元，一件丙商品需z元，
根据题意得：
①＋②得4x＋4y＋4z＝240，即x＋y＋z＝60，所以共需60元．
4．(2021·武汉高一检测)三元一次方程组的解集是(　　)
A．{(x，y，z)|(1，0，4)}
B．{(x，y，z)|(1，2，4)}
C．{(x，y，z)|(1，0，5)}
D．{(x，y，z)|(4，1，0)}
【解析】选C.因为
所以①＋②＋③得2x＋2y＋2z＝12，即x＋y＋z＝6，④
④－①得：z＝5，④－②得：x＝1，④－③得y＝0，
所以{(x，y，z)|(1，0，5)}．
5．小亮解得方程组的解集为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数．
【解析】把x＝5代入2x－y＝12得：2×5－y＝12，
解得：y＝－2，所以★为－2.
PAGE2．2　不　等　式
2．2.1　不等式及其性质
1.不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点．
(1)不等符号<,
>，或≠.
(2)所表示的关系是不等关系．
　不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者a＜b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．
2．比较两个实数大小的方法
(1)方法：
方法
依据
结论
画数轴比较法
①实数与数轴上的点一一对应②如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x)
数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大
作差比较法
如果a－b>0，那么a>b如果a－b<0，那么a确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系
(2)本质：前者就是看两数在数轴上的左右位置，后者就是比较它们的差与0的关系．
(3)应用：利用这两种方法比较两个数或者两个式子的大小．
　(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
提示：是任意实数．
　(2)若“b－a>0”，则a，b的大小关系是怎样的？
提示：b>a.
3．不等式的性质
性质1　如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质2　如果a>b，c>0，那么ac>bc．
性质3　如果a>b，c<0，那么ac性质4　如果a>b，b>c，那么a>c.
性质5　a>b?b4．不等式性质的推论
推论1　如果a＋b＞c，那么a＞c－b．
推论2　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
推论3　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．
推论4　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
推论5　如果a>b>0，那么>．
　(1)性质2，3可以概括为在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？
提示：不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．
　(2)推论1类似于解方程中的什么法则？
提示：移项法则．
　(3)使用推论3，4，5时，要注意什么条件？
提示：各个数均为正数．
5．证明问题的常用方法
方法
定义
综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法
分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
反证法
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法
　(1)综合法与分析法有什么区别？
提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
　(2)反证法的实质是什么？
提示：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　)
提示：√．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.
(2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　　)
提示：√．任意两数之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种，没有其他大小关系．
(3)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　)
提示：×．由不等式的性质，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0时，a＞b
ac2＞bc2.
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　)
提示：×．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．
2．设aA．>
B．>
C．|a|>－b
D．>
【解析】选B.对于A，因为a0，所以<<0，即>，所以A成立，不符合题意；
对于B，若a＝－2，b＝－1，则＝－1，＝－，此时>，所以B不成立，符合题意；
对于C，因为a|b|＝－b，所以C成立，不符合题意；
对于D，因为a－b>0，则>，所以D成立，不符合题意．
3．(教材例题改编)已知M＝2x2＋5x＋3，N＝x2＋4x＋2，则M________N．(用“>”“<”“＝”填空)
【解析】M＝2x2＋5x＋3，N＝x2＋4x＋2，M－N＝(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋>0，故M>N.
答案：>
类型一　作差法比较大小(逻辑推理、数学运算)
1．设实数a＝－.b＝－1，c＝－，则(　　)
A．b>a>c
B．c>b>a
C．a>b>c
D．c>a>b
【解析】选A.－＝.－1＝，－＝，因为＋1<＋<＋，所以>>，即b>a>c.
2．(2021·武汉高一检测)已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是(　　)
A．t>s
B．t≥s
C．tD．t≤s
【解析】选D.t－s＝4b－b2－4＝－(b－2)2≤0，故t≤s.
3．已知x，y∈R，P＝2x2－xy＋1，Q＝2x－，则P与Q的大小关系为________．
【解析】因为P－Q＝2x2－xy＋1－＝x2－xy＋＋x2－2x＋1＝
＋(x－1)2≥0，所以P≥Q.
答案：P≥Q
比较大小的常用方法
　1.作差法
作差法比较大小的步骤．
　
2．作商法
一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．通常适合非负数或式子之间的大小比较．
3．特值法
若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
【补偿训练】
(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
【思路导引】利用作差法比较，先作差、化简，再判断差的符号．
【解析】3x3－(3x2－x＋1)
＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1).
因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0.
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.
(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
【解析】
因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
类型二　利用不等式的性质判断命题的真假(逻辑推理)
【典例】下列命题中一定正确的是(　　)
A．若a>b且>，则a>0，b<0
B．若a>b，b≠0，则>1
C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b且ac>bd，则c>d
【思路导引】利用不等式的性质和特殊值检验求解．
【解析】选A.对于A项，因为>，所以－>0，即>0，又a>b，所
以b－a<0，所以ab<0，所以a>0，b<0，故A项正确；对于B项，当a>0，b<0
时，有<0<1，故B项错；对于C项，当a＝10，b＝3，c＝1，d＝2时，虽有
10＋1>3＋2，但1<2，故C项错；对于D项，当a＝－1，b＝－2，c＝－1，d
＝7时，有(－1)×(－1)>(－2)×7，但－1<7，故D项错．
运用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．
(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
　(2021·中山高一检测)如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　)
A．<
B．<
C．a2D．|a|>|b|
【解析】选A.由于a<0，b>0，B中无意义，B错；a＝－2，b＝2时，a2＝b2，|a|＝|b|，C，D均错．只有A正确，<0<.
【拓展延伸】
　倒数的性质
(1)若a>b>0，则<.
(2)若0>a>b，则<.
即a>b，ab>0?<.
类型三　利用不等式的性质证明不等式(逻辑推理、数学运算)
　综合法
【典例】已知a>b>0，c.
【思路导引】本例可利用不等式的性质进行证明，也可以作差进行证明．
【证明】方法一：因为c所以－c>－d>0，
因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以0<<，
又因为e<0，所以>.
方法二：－＝
＝，
因为a>b>0，c－d>0，
所以a－c>0，b－d>0，b－a<0，c－d<0，又e<0，
所以>0，
所以>.
　本例条件不变，结论改为求证>，请证明．
【证明】因为c－d>0，
因为a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以(a－c)2>(b－d)2>0，
所以0<<，又e<0，
所以>.
　分析法与反证法
【典例】证明：－<－.
【思路导引】根据问题特点可选用分析法证明，也可用反证法证明．
【证明】方法一：分析法：要证－<－，
只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，展开得9＋2<9＋2，只需证<，
即证14<18，显然成立，所以－<－.
方法二：反证法：假设－≥－，
则＋≥＋，
两边平方得9＋2≥9＋2，
所以≥，
即14≥18，显然不成立，所以假设错误．
所以－<－.
　利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点
(1)实质：就是根据性质把不等式变形．
(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法．
1．已知a>b>c，则＋＋的值(　　)
A．为正数
B．为非正数
C．为非负数
D．不确定
【解析】选A.因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0，所以>0，>0，<，
所以＋－>0，所以＋＋的值为正数．
2．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．
【解析】根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．
答案：③①②
3．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立.
【解析】用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0
4．(2021·福州高一检测)(1)已知a>b，cb－d；
(2)已知a>b，ab>0，求证：<；
(3)已知a>b>0，0.
【证明】(1)因为a>b，c所以a>b，－c>－d.则a－c>b－d.
(2)因为ab>0，所以>0.又因为a>b，所以a·>b·，即>，因此<.
(3)因为0>0.
又因为a>b>0，则a·>b·，即>.
备选类型　利用不等式性质求范围(逻辑推理)
【典例】(2020·虹口高一检测)已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a－2b的取值范围为________．
【思路导引】通过已知范围得到3a与－2b的范围，然后利用不等式的性质求解．
【解析】因为1≤a≤2，3≤b≤6，
所以3≤3a≤6，－12≤－2b≤－6，
由不等式运算的性质得－9≤3a－2b≤0，
即3a－2b的取值范围为[－9，0].
答案：
运用不等式求范围的常用方法
　一是借用不等式的性质，转化为同向不等式相加进行解答；二是借用所给的条件，整体使用，切不可随意拆分所给的条件；三是结合不等式的传递性进行求解．
另外根据未知量已有的范围求该未知量其他形式的范围时通常遵循“只加不减，只乘不除”的原则．
　若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
【解析】因为－<α<β<，所以－<－β<.
又－<α<，所以－1<α－β<1，
又α<β，所以α－β<0，所以α－β的取值范围是(－1，0).
答案：(－1，0)
1．已知实数a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则(　　)
A．MB．M>N
C．M＝N
D．大小不确定
【解析】选B.作差比较，M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)>0，所以M>N.
2．若a，b，c，d为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若aB．若ac2C．若aD．若a【解析】选B.对于A选项，当c＝0时，不符合，故A选项错误．对于B选项，由于ac2对于C选项，如a＝2，b＝3，c＝2，d＝3，2<3，2<3，但是a－c＝b－d，所以C选项错误．
对于D选项，由于a，b，c，d的正负不确定，所以无法由a3．(教材练习改编)已知：a，b，c，d∈R，则下列命题一定成立的是(　　)
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，c
D．若a2>b2，则－a<－b
【解析】选B.
选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足不等式性质的条件，如a>b>0，c<0b>0时才成立，
如a＝－1，b＝0时不成立．
选项B，若a>－b，则－a＜b，c－a＜c＋b，成立．
4．用反证法证明“a，b，c
三个数中至少有一个不小于”时，假设内容是________．
【解析】“a，b，c中至少有一个不小于”的反面是“a，b，c都小于”．
答案：a，b，c都小于
5．已知60【解析】由28<<，
则60－33则<<，即<<3.
答案：(27，56)
　
PAGE2．2.2　不等式的解集
1.不等式的解集与不等式组的解集
不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．构成不等式组的各个不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
　解不等式的理论依据是什么？
提示：不等式的性质
2．简单的绝对值不等式的解法
(1)绝对值不等式的定义：含有绝对值的不等式．
(2)绝对值不等式的解集．
不等式(m>0)
不等式的解集
|x|{x|－m|x|>m
{x|x>m或x<－m}
(3)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c.
②|ax＋b|≥cax＋b≥c或ax＋b≤－c.
　若m＝0或m<0时，不等式的解集是怎样的？
提示：
不等式
m＝0
m<0
|x||x|>m
{x∈R|x≠0}
R
3.绝对值不等式的几何意义
(1)数轴上两点之间的距离公式：数轴上两点A(a)，B(b)之间的距离AB＝|a－b|
.
(2)数轴上两点的中点坐标公式：数轴上两点A(a)，B(b)的中点坐标x＝．
(3)绝对值不等式的几何意义．
不等式(m>0)
解集的几何意义
|x|数轴上与原点的距离小于m的所有数的集合
|x|>m
数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合
|x－b|数轴上与表示b的点的距离小于m的所有数的集合
|x－b|>m
数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合
(4)本质：就是表示未知量到数轴上某点处的距离．
(5)应用：利用绝对值的几何意义可以较快求解简单的绝对值不等式问题以及由两个简单绝对值和构成的不等式问题．
　(1)数轴上任意两点之间的距离都可以利用此公式计算吗？
提示：可以．
　(2)不等式|x＋1|≤3的解集的几何意义是什么？
提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)不等式3x－1≥－4的解集为(－∞，－1].(　　)
提示：×．不等式3x－1≥－4的解集为[－1，＋∞).
(2)构成不等式组的各个不等式的解集的并集称为不等式组的解集．(　　)
提示：×．构成不等式组的各个不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
(3)|a－2|表示数轴上表示a的点与表示2的点之间的距离．(　　)
提示：√．由数轴上两点之间的距离公式可得．
2．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
【解析】选C.解不等式2x＋1＞0，得x＞－.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个．
3．(教材尝试与发现改编)不等式|x－3|≤1的解集为________．
【解析】原不等式可变形为－1≤x－3≤1，故2≤x≤4.
答案：[2，4]
类型一　解不等式(组)(数学运算、逻辑推理)
1．一元一次不等式组的解集是，则a与b的关系为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．a≥b
B．a>b
C．a≤b
D．a【解析】选A.因为不等式组的解集是，所以a≥b.
2．已知关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是(　　)
A．a<9
B．a>9
C．a≥9
D．a≤9
【解析】选A.解不等式①，
得x≤，解不等式②，得x≥3.
因为原不等式组的解集是，
所以<3，解得a<9.
3．求下列不等式(组)的解集：
(1)x－>－x＋2.(2)
【解析】(1)不等式两边同时乘以4得：4x－2>－x＋8，
移项得：4x＋x>8＋2，即5x>10，
不等式两边同时除以5得：x>2，
因此原不等式的解集为(2，＋∞).
(2)①式两边同时加上1，得：3x≤9，
这个不等式两边同时除以3得：x≤3，
因此不等式①的解集为(－∞，3]，
类似地，可得不等式②的解集为，
又因为(－∞，3]∩＝，
所以原不等式组的解集为.
1．解不等式常用到的不等式的性质
性质1　a>ba＋c>b＋c
性质2　a>b，c>0?ac>bc
性质3　a>b，c<0ac推论1　a＋b＞ca＞c－b
2．解不等式(组)的注意点
(1)移项要改变项的符号．
(2)利用性质3时要改变不等号的方向．
(3)不等式组的解集是构成不等式组的各个不等式解集的交集．
类型二　解绝对值不等式(数学运算)
【典例】求下列绝对值不等式的解集：
(1)|3x－1|≤6.
【思路导引】去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．
【解析】因为|3x－1|≤6?－6≤3x－1≤6，
即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤，
所以原不等式的解集是.
(2)3≤|x－2|＜4.
【解析】因为3≤|x－2|＜4，所以3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1.
所以原不等式的解集为：{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．
1．绝对值不等式的解题策略：等价转化法
(1)形如|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式：
|x|＜a－a＜x＜a.
|x|＞ax＞a或x＜－a.
(2)形如a＜|x|＜b(b＞a＞0)型不等式：
a＜|x|＜b(0＜a＜b)
a＜x＜b或－b＜x＜－a.
2．解绝对值不等式的基本步骤
(1)去绝对值号，进行等价转化．
(2)解不含绝对值号的不等式．
解下列不等式(组)：(1)|x－3|<4；
【解析】因为|x－3|<4，
所以－4所以不等式|x－3|<4的解集是(－1，7).
(2)1<|x＋1|<3.
【解析】因为1<|x＋1|<3，
所以1所以0所以原不等式的解集为(－4，－2)∪(0，2).
【拓展延伸】
含有参数的绝对值不等式的求解方法
1.去绝对值符号，进行等价转换．
2．必须对参数进行合理讨论，尤其注意参数的正负对不等号方向的影响．
【拓展训练】
(1)解关于x的不等式x＋|x－1|≤3；
【思路导引】由不等式x＋|x－1|≤3，可得或分别求出这两个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
【解析】(1)由不等式x＋|x－1|≤3，可得或解得x≤2，
故不等式的解集为(－∞，2].
(2)若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，求实数a的取值范围．
【思路导引】首先分析题目已知关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，求实数a的取值范围．即可先分类讨论x与1的大小关系，去绝对值号．然后根据恒成立分析a的范围，即可得到答案．
【解析】若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，
当x≥1时，不等式化为x＋x－1≤a，即x≤.
此时不等式有解当且仅当1≤，即a≥1.
当x＜1时，不等式化为x＋1－x≤a，即1≤a.此时不等式有解当且仅当a≥1.
综上所述，若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围是[1，＋∞).
类型三　绝对值几何意义的应用(逻辑推理、数学运算)
　求数轴上点的坐标或范围
【典例】在数轴上，A(2)，B(x)，已知线段AB的中点到C(－1)的距离小于6，求x的取值范围．
【思路导引】根据数轴上两点的中点坐标公式与距离公式求解．
【解析】设AB的中点为D，则D，
所以由题意得DC＝<6，
即|4＋x|<12，因此－12<4＋x<12，－16所以x的取值范围是(－16，8).
　将本例题的条件“距离小于6”改为“距离不小于6”，其他条件不变，则x的取值范围又会怎样？
【解析】方法一：设AB的中点为D，则D，
所以由题意得DC＝≥6，即|4＋x|≥12，
因此4＋x≥12或4＋x≤－12，
解得x≥8或x≤－16，
所以x的取值范围是∪[8，＋∞).
方法二：因为小于和大于等于正好为一对否定词，
所以原例题的反面就是本题答案，故x的取值范围是∪[8，＋∞).
　解含有两个绝对值的不等式
【典例】解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
【思路导引】可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解．
【解析】如图，设数轴上与－1，1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1，1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.
所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－.
同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x，所以x－1＋x－(－1)＝3.所以x＝.
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是∪.
绝对值的几何意义
(1)|a－b|的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离．
(2)利用绝对值的几何意义解决含有两个绝对值的不等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c比较直观，但只适用于数据较简单的情况．
通常适合于两个绝对值和构成的不等式的求解．
1．不等式|x＋2|＞|x－1|的解集为________．
【解析】不等式可以看作数轴上到点－2的距离大于到点1的距离的点的集合，而到点－2的距离等于到点1的距离的点是－，故点－右边的点满足不等式．所以不等式的解集为.
答案：
提示：本题也可以将绝对值不等式的两侧平方，转化为一次不等式后求解．
2．不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的解集为(　　)
A．(－3，2)
B．(－1，3)
C．(－4，1)
D．
【解析】选C.|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4，1.
因此|x＋1|＋|x＋2|＜5的解集是(－4，1).
3．(2021·合肥高一检测)解下列不等式：(1)|x－1|≤x；(2)|2x－1|－|x＋1|>0；(3)|x－3|＋|x＋2|>7.
【解析】(1)因为|x－1|≤x，
所以或
解得x≥1或≤x<1，
所以不等式的解集为.
(2)原不等式可化为|2x－1|>|x＋1|，
所以(2x－1)2>(x＋1)2，
即3x2－6x>0，
解得x>2或x<0，
所以原不等式的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞).
(3)由绝对值的几何意义知|x－3|＋|x＋2|>7表示数轴上数x对应的点与数3、－2对应的点的距离之和大于7，因为数－2与数3对应的点的距离为5，所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪(4，＋∞).
1．不等式3x＋6≤2x的解集为(　　)
A．[－6，＋∞)
B．(－∞，－6]
C．[6，＋∞)
D．(－∞，6]
【解析】选B.移项得3x－2x≤－6，
即x≤－6，
故原不等式的解集为(－∞，－6].
2．(2021·北京高一检测)若不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－36
B．a≤－36
C．a>－36
D．a≥－36
【解析】选C.解不等式1＋x－37，解得a>－36.
3．已知点B(x)到原点的距离不大于4，则x的取值范围为________．
【解析】由题意，|x|≤4，所以－4≤x≤4.
答案：[－4，4]
4．不等式|x－2|－|x－1|>0中x的取值范围为________．
【解析】原不等式等价于|x－2|>|x－1|，
则|x－2|2>|x－1|2，
解得x<，
即原不等式的解集为.
答案：
PAGE2．2.3　一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的概念
形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
2．一元二次不等式的解法
(1)因式分解法：
如果x10的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
(2)配方法：
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0
(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2k>0
k＝0
k<0
(x－h)2>k
转化为|x－h|>，解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞)
(－∞，h)∪(h，＋∞)
R
(x－h)2转化为|x－h|<，解集为(h－，h＋)
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)
提示：×．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0可以变形为a(x－1)(x＋1)＝0，则ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1).(　　)
提示：×．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1).
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0
(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2提示：√．
2．不等式4－x2<0的解集为(　　)
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．[－2，2]
D．[0，2]
【解析】选A.由4－x2<0可得x2－4>0，
即>0，解得x<－2或x>2.
因此，原不等式的解集为∪.
3．(教材例题改编)不等式x2－2x－3≥0的解集为(　　)
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．[－3，1]
【解析】选B.不等式x2－2x－3≥0化为(x＋1)(x－3)≥0，解得x≤－1或x≥3，所以不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞).
类型一　解一元二次不等式(数学运算)
　解不含参数的一元二次不等式
【典例】已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则RA＝(　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
【思路导引】解一元二次不等式可得集合A，再求其补集即可．
【解析】选B.方法一：由x2－x－2>0左边因式分解得(x＋1)(x－2)>0,
解得x<－1或x>2，
则A＝{x|x<－1或x>2}，所以RA＝{x|－1≤x≤2}．
方法二：由x2－x－2>0左边配方可得－>0，即>，两边开方得>，
所以x>2或者x<－1，所以RA＝{x|－1≤x≤2}．
　将本例题的条件不变，添加集合B＝{x|(x－1)(x－3)<0}，则
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(RA))
∩B＝________．
【解析】由典例知RA＝{x|－1≤x≤2}．由(x－1)(x－3)<0，解得1eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(RA))
∩B＝{x|1答案：{x|1　解含有参数的一元二次不等式
【典例】(2021·长沙高一检测)已知不等式mx2＋3x－2>0的解集为{x|n(1)求m，n的值，并求不等式nx2＋mx＋2>0的解集；
(2)解关于x的不等式ax2－(n＋a)x－m>0(a∈R，且a<1).
【思路导引】根据题意得m<0，再结合根与系数的关系即可得m，n的值，再求解一元二次不等式即可；
(2)结合(1)得不等式，再分类讨论即可得答案．
【解析】由题意知m<0，x＝n和x＝2是方程mx2＋3x－2＝0的实数根，
故由根与系数的关系得，
解得，
则nx2＋mx＋2＝x2－x＋2＝＋>0，
即nx2＋mx＋2>0的解集为R.
(2)由(1)得：ax2－(1＋a)x＋1＝(ax－1)(x－1)>0，
当a<0时，不等式可化为(－ax＋1)(x－1)<0?当a＝0时，不等式－x＋1>0?x<1，
当01，
则(ax－1)(x－1)>0?x<1或x>.
综上所述：当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x<1}；
当0【点评】
　本题以含参数的不等式为背景，考查解不等式，破解的关键是需对参数进行分类讨论，在分类的过程中，一定要做到不重、不漏，此类题能培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养．通过此类题的解决，学生能有条理解含参数的不等式的解集，并能有效借助运算方法解决问题．
1．利用配方法解一元二次不等式的步骤
(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1.
(2)一元二次不等式通过配方变为(x－h)2>k或(x－h)2(3)根据k值情况确定不等式的解集．
2．含参数的一元二次不等式求解的注意事项
(1)参数只在一次项系数位置时，首先利用配方法或者因式分解法得其一元二次方程的根，然后分析根的大小作出结论．
(2)如果二次项系数为参数，则通常是先分析二次项系数的正、0、负三种情况，分别得其解后再分析解的大小，从而作出结论．
1．不等式x2－2x>0的解集为(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(0，2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
【解析】选D.方程x2－2x＝0的解为x＝0或x＝2，结合二次函数的图像得到不等式的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞).
2．设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.由x2－4x＋3<0，得(x－1)(x－3)<0，解得10，解得x>，所以B＝，所以A∩B＝.
3．(2021·菏泽高一检测)设f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2.
(1)当a＝1时，解关于x的不等式f(x)>0；
(2)当a∈R时，解关于x的不等式f(x)>0.
【解析】(1)因为a＝1，所以f(x)＝x2－3x＋2，
所以x2－3x＋2>0，解得x<1或x>2，
所以f(x)>0的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞).
(2)令f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2＝0，
解得x＝或x＝1，
当a<0时，
因为f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2>0，
所以f(x)>0的解集是；
当a＝0时，因为f(x)＝－2x＋2>0，
所以f(x)>0的解集是(－∞，1)；
当0因为f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2>0，
所以f(x)>0的解集是(－∞，1)∪；
当a≥2时，
因为f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2>0，
所以f(x)>0的解集是∪(1，＋∞).
综上所述：当a<0时，f(x)>0的解集是；
当a＝0时，f(x)>0的解集是(－∞，1)；
当00的解集是(－∞，1)∪；
当a≥2时，f(x)>0的解集是∪(1，＋∞).
类型二　解简单的分式不等式(数学运算)
【典例】解不等式：>1.
【思路导引】将分式不等式化为整式不等式再求解
【解析】方法一：不等式移项得－1>0，
通分可得>0，
将其化为整式不等式为：(－2x－1)(x＋3)>0，
即(2x＋1)(x＋3)<0.
解不等式得－3故所求不等式的解集为.
方法二：由题意x＋3≠0，
所以(x＋3)2>0，
原不等式两边同乘以(x＋3)2
得：(2－x)(x＋3)>(x＋3)2且x＋3≠0，
即(x＋3)(－2x－1)>0，
所以(x＋3)(2x＋1)<0，
故－3故原不等式的解集为.
1．解分式不等式的步骤
(1)移项．将不等式移项，使其一侧为0；
(2)通分．将不等式通分成同分母的分式不等式；
(3)转化．将分式不等式转化为整式不等式；
(4)求解．解出整式不等式的解集，并作答．
2．解分式不等式的关注点
(1)根据实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下：
①>0f(x)g(x)>0；
②<0f(x)g(x)<0；
③≥0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或f(x)＝0；
④≤0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或f(x)＝0.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为整式不等式后求解．
　解关于x的不等式：≤x.
【解析】由≤x知：≥0，
所以＝≥0，又x2＋x＋1>0，
所以
解得－13；
所以解集为(－1，2]∪(3，＋∞).
【拓展延伸】　高次不等式的求解方法
1.利用因式分解法将高次不等式化为多个因式相乘的形式．
2．利用“数轴穿根法”分析得其解集．
【拓展训练】
　解关于x的不等式：≤0.
【解题指南】将≤0变为
≥0，按奇过偶不过的方法解高次不等式，注意分母不为零．
【解析】因为≤0，所以≥0.
所以原不等式的解集为{x|1≤x≤2或x>3}．
【点评】本题考查高次不等式的解法，
设F(x)＝k(x－a1)(x－a2)(x－a3)…(x－an)(k>0)，解不等式F(x)>0(或F(x)<0)时，将方程F(x)＝0的根a1，a2，a3，…，an从小到大依次标到数轴上，从数轴的右上方开始按奇过偶不过的方法穿过数轴．数轴上方的部分为正，即为F(x)>0的解集；数轴下方的部分为负，即为不等式F(x)<0的解集．
类型三　一元二次不等式的实际应用(数学建模、数学运算)
【典例】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购
a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式．
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
【思路导引】由题意构建函数关系或不等式解决问题．
【解析】(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%).
依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).
(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元).
依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得，x2＋40x－84≤0，
所以－42≤x≤2.
又因为0＜x＜10，
所以0＜x≤2.
所以x的取值范围是{x|0【补偿训练】
某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？
【解析】(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，
则y＝400＋60t－120(0≤t≤24).
令x＝，则t＝，所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)，
所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．
(2)由已知400＋10x2－120x<80，
得x2－12x＋32<0，解得4即4<<8，所以每天约有8小时供水紧张．
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
1．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．R
【解析】选D.由3x2－2x＋1>0得x2－x＋>0，
所以>－显然成立，所以原不等式的解集为R.
2．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，集合B＝，则A∩B＝(　　)
A．{x|－2B．{x|1C．{x|0D．R
【解析】选A.因为集合A＝{x|(x－1)(x＋2)<0}＝{x|－2集合B＝＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，
所以A∩B＝{x|－23．(教材练习改编)已知集合M＝{x|x2＋x－2≤0}，N＝{－1，0，1，2}，则M∩N的子集个数为(　　)
A．2
B．4
C．8
D．16
【解析】选C.因为M＝{x|x2＋x－2≤0}＝{x|－2≤x≤1}，N＝{－1，0，1，2}，
所以M∩N＝{－1，0，1}，
所以M∩N的子集个数为23＝8.
4．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________．
【解析】因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0N＝{x|x2<4}＝{x|－2所以MN.
答案：MN
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值表如下：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则a＝________；不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________．
【解析】由表知x＝－2时，y＝0，x＝3时，y＝0，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c可化为：
y＝a(x＋2)(x－3)，
又因为x＝1时，y＝－6，所以a＝1，图像开口向上．
结合二次函数的图像可得不等式ax2＋bx＋c>0
的解集为x<－2或x>3.
答案：1　x<－2或x>3
PAGE2．2.4　均值不等式及其应用
第1课时　均值不等式
1.均值不等式(基本不等式)
(1)算术平均值与几何平均值．
前提
给定两个正数a，b
结论
数称为a，b的算术平均值
数称为a，b的几何平均值
(2)均值不等式
前提
a，b都是正数，
结论
≥，
等号成立的条件
当且仅当a＝b时，等号成立
几何意义
所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
(3)本质：算数平均值的本质就是数a，b在数轴上对应点的中点坐标．几何平均值的本质就是a，b乘积的开方．均值不等式就是在正数的前提下其算数平均值大于等于其几何平均值．
(4)应用：应用均值不等式求最值．
　(1)均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
提示：Xa，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
　(2)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？请举例说明．
提示：不能，如≥是不成立的．
2．均值不等式与最值
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
　通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？
提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”“二定”“三相等”．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)
提示：×．不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a>0，b>0.
(2)当a>0，b>0时a＋b≥2.(　　)
提示：√．均值不等式的变形公式．
(3)当a>0，b>0时ab≤.(　　)
提示：√．均值不等式的变形公式．
(4)函数y＝x－1＋的最小值是2.(　　)
提示：×．当x－1<0，即x＜1时，x－1＋是负数．
2．若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)
A．1
B．2
C．2
D．4
【解析】选A.当a，b为正实数时，由≤，ab≤＝＝1，当且仅当a＝b＝1时等号成立，所以ab的最大值为1.
3．(教材例题改编)已知x>1，y＝x＋，则y的最小值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选C.因为x>1，则x－1>0，由基本不等式得y＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x＝2时，等号成立，因此，y的最小值是3.
类型一　对均值不等式的理解(数学抽象)
1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使＋≥2成立的条件个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选C.由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”，即当，均为正数时，可得＋≥2，此时只需a，b同号即可，所以①③④均满足要求．
2．不等式a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　)
A．a＝0
B．a＝
C．a＝1
D．a＝2
【解析】选C.因为a>0，根据均值不等式≤，当且仅当a＝b时等号成立，故a＋1≥2中等号成立当且仅当a＝1.
3．若a>0，b>0，且M＝，G＝，H＝，则M，G，H的大小关系为________．
【解析】因为a>0，b>0，所以有≥(当且仅当a＝b时取等号)，因此有M≥G.
a2＋b2≥2ab?a2＋b2＋a2＋b2≥2ab＋a2＋b2?a2＋b2≥?≥(当且仅当a＝b时取等号)，因为a>0，b>0，所以有≥，因此有H≥M.
答案：H≥M≥G
均值不等式使用的条件
　利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).
【补偿训练】
设0A．aB．a<<C．a<D．【解析】选B.因为0类型二　利用均值不等式求最值(数学运算)
【典例】当x>1时，求的最小值．
四步
内容
理解题意
条件：x>1.结论：求的最小值
思路探求
将表达式化为一次式加上一次式的倒数的形式，然后利用均值不等式求解
书写表达
令t＝＝＝(x－1)＋＋2，①因为x－1＞0，所以t≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，t的最小值为8.②注意书写的规范性：①为了表达式的完整性，可以将表达式记为t＝②步骤中不能省略验证等号成立的条件
题后反思
表达式的恒等变形是解题的关键，(ad≠0)形式的表达式通常分母不变，将分子化为m(dx＋e)2＋n(dx＋e)＋q的形式(m，n，q为常数)并展开，再利用均值不等式求解，均值不等式的应用必须一正、二定、三相等，三者缺一不可
利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点
(1)两种类型：
①若a＋b＝p(两个正数a，b的和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值，可以用均值不等式≤求得．
②若ab＝S(两个正数的积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，可以用均值不等式a＋b≥2求得．
(2)一个关注点：
不论哪种情况都要注意等号取得的条件．
　(2021·潍坊高一检测)规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时函数y＝的最小值为________．
【解析】由题意得1⊙k＝＋1＋k＝3，
即k＋－2＝0，
所以＝1或＝－2(舍去)，
所以k＝1.y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时，等号成立．
答案：1　3
【拓展延伸】
　1.一次式除以二次式形式的表达式的最值的求法
(1)分子一次形式不变，将分母的二次形式改写为分子一次形式的平方或者一次形式的几倍或者常数形式．
(2)分子分母同除以分子后利用均值不等式求解．
2．利用均值不等式求解整式形式的最值
(1)判断所求表达式中未知量的正负．
(2)直接使用均值不等式求解，特别注意最后要进行等号成立时的未知量的检验．
【拓展训练】
　对任意x>0，的最大值为________．
【解析】由题意，对任意x>0，有＝＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，
即的最大值为.
答案：
总结：本题主要考查了均值不等式的应用，解答中对进行等价转化求得最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
类型三　间接利用均值不等式求最值
　“不正”问题
【典例】已知x<0，则3x＋的最大值为________．
【思路导引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值．
【解析】因为x<0，所以－x>0.
则3x＋＝－
≤－2＝－12，当且仅当＝－3x，即x＝－2时，3x＋取得最大值为－12.
答案：－12
　若条件改为“x<1”，结论改为“则3(x－1)＋的最大值为________．”如何求解？
【解析】因为x<1，所以x－1<0，故－(x－1)>0，
所以3(x－1)＋＝－≤
－2＝－12，当且仅当－3(x－1)＝－，即x＝－1时，3(x－1)＋取得最大值－12.
答案：－12
　“不定”问题
【典例】(1)已知x>2，求x＋的最小值．
【思路导引】先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值．
【解析】(1)因为x>2，所以x－2>0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
所以当且仅当x－2＝(x>2)，
即x＝3时，x＋的最小值为4.
(2)已知0【解析】因为00，
所以x(8－2x)＝×2x(8－2x)≤＝8，
所以当且仅当2x＝8－2x，
即x＝2时有最大值，x(8－2x)的最大值为8.
若把本例(1)改为：已知x<，
试求4x－2＋的最大值．
【解析】因为x<，所以4x－5<0，5－4x>0.
所以4x－5＋3＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝时等号成立，又5－4x>0，
所以5－4x＝1，x＝1时，4x－2＋的最大值是1.
1．负数在均值不等式中的应用
当所给式子均小于0时，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化．
2．通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．
1．(2021·宜春高一检测)已知两个正数a，b满足3a＋2b＝1，则＋的最小值是(　　)
A．23
B．24
C．25
D．26
【解析】选C.根据题意，正数a，b满足3a＋2b＝1，
则＋＝＝13＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝时等号成立．
即＋的最小值是25.
2．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
【解析】选C.由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去).
3．已知x<0，则x＋的最大值是________．
【解析】已知x<0，则x＋＝－≤－2＝－3，当－x＝，即x＝－时，等号成立．
答案：－3
【补偿训练】
(2020·潍坊高一检测)设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选D.因为a>b>0，所以a2＋＋
＝a2－ab＋ab＋＋
＝ab＋＋a(a－b)＋≥2＋2＝4，(当且仅当ab＝1且a(a－b)＝1即a＝，b＝时，取“＝”号)，故应选D.
备选类型　“不等”问题
【典例】下列命题中，正确的是(　　)
A．x＋的最小值是4
B．＋的最小值是2
C．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d
D．如果ac2>bc2，那么a>b
【思路导引】利用均值不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案．
【解析】选D.选项A中，若x<0，则无最小值，所以错误；
选项B中，t＝≥2，则函数y＝＋转化为函数y＝t＋，在[2，＋∞)上单调递增，所以最小值为，所以错误；
选项C中，若a＝c，b＝d，则a－c＝b－d，所以错误；
选项D中，如果ac2>bc2，则c≠0，所以c2>0，所以可得a>b.
运用均值不等式解“不等”问题
(1)观察运用均值不等式求最值的表达式是否满足一正二定；
(2)使用均值不等式，检验等号是否成立，成立即运用均值不等式，否则结合单调性加以求解．
下列各式中，最小值是2的为(　　)
A．(x＋1)＋
B．(x＋2)＋
C．(x2＋1)＋
D．＋
【解析】选C.选项A，只有当x＋1>0，即x＞－1时，才有(x＋1)＋≥2＝2(当且仅当x＝0时取等号)成立，此时(x＋1)＋的最小值为2，当x＋1<0，即x<－1时，(x＋1)＋没有最小值，因此选项A是错误的；选项B，只有当x＋2>0，即x＞－2时，才有(x＋2)＋≥2＝2(当且仅当x＝－1时取等号)成立，此时(x＋2)＋的最小值为2，当x＋2<0，即x＜－2时，(x＋2)＋没有最小值，因此选项B是错误的；
选项C，因为x2＋1>0，所以＋≥
2＝2(当且仅当x＝0时取等号)，因此＋的最小值为2，所以本选项是正确的；
选项D，因为>0，所以＋≥2＝2，＝x2＋3＝1x2＝－2方程无实数根，故不等式取不到等号，因此本选项是错误的．
1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　)
A．
B．1
C．2
D．4
【解析】选C.xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．
2．(2021·烟台高一检测)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)
A．10
B．12
C．16
D．9
【解析】选D.由已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，
所以m≤(a＋b)恒成立，转化成求y＝(a＋b)的最小值，y＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝2b时等号成立，所以m≤9.
3．(教材练习改编)已知x>3，y＝，则y的最小值为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】选D.因为x>3，所以x－3>0，则y＝＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当x－3＝，即x＝4时取等号．
4．已知0【解析】因为＝1，且0所以＋＝＝＋＋≥＋2＝，当且仅当x＝时等号成立．
答案：　
5．若a>0，b>0且2a＋＝3，则的最大值为________．
【解析】因为a>0，b>0，所以2a＋＝3≥2，当且仅当2a＝，即a＝，b＝时，等号成立，所以≤.
答案：
PAGE第2课时　均值不等式的应用
类型一　“常数代换法”求最值(数学运算)
1．已知a>0，b>0，＋＝4，则a＋b的最小值为(　　)
A．4
B．2
C．1
D．
【思路导引】把a＋b看成(a＋b)×4×的形式，把“4”换成＋，整理后积为定值，然后用均值不等式求最小值．
【解析】选C.因为a>0，b>0，且＋＝4，所以a＋b＝(a＋b)×＝×≥×＝1，等号成立的条件为＝，所以a＋b的最小值为1.
2．若点A(1，1)在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
【思路导引】由已知条件得到m，n的关系，构造均值不等式求最值．
【解析】因为A(1，1)在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，
所以m＋n＝1，而＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时取“＝”，所以＋的最小值为4.
答案：4
3．已知a>0，b>0，且＋＝1，则a＋b的最小值为________．
【思路导引】将a＋b变形为(a＋1＋b)－1，展开，利用均值不等式求解．
【解析】已知a>0，b>0，＋＝1，则a＋b＝(a＋1＋b)－1＝2＋＋－1≥1＋2＝3，当且仅当a＋1＝b时等号成立．
答案：3
常数代换法求最值的方法步骤
　常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用均值不等式求最值．
(1)已知正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是________．
【解析】由x＋2y－2xy＝0得＋＝2，
所以(2x＋y)＝(2x＋y)×＝＋＋≥＋2＝，当且仅当x＝y时等号成立．
答案：
(2)已知x＞0，y＞0，且＋＝2，则2x＋y的最小值为________．
【解析】由＋＝2，可得2x＋y＝2＋y－2
＝－2
＝－2≥
－2＝7，
当且仅当＝，即x＝，y＝6时，取得最小值7.
答案：
7
【补偿训练】
若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)
A．
B．
C．5
D．6
【解析】选C.由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋＋
＋≥＋2
＝＋＝5，当且仅当x＝1，y＝时取等号，故3x＋4y的最小值是5.
类型二　利用均值不等式证明不等式(逻辑推理)
【典例】已知a，b，c均为正数．
(1)求证：a2＋b2＋≥4；
(2)若a＋4b＋9c＝1，求证：＋＋≥100.
【思路导引】(1)将表达式各项拆分之后利用均值不等式求解；
(2)将＋＋与a＋4b＋9c相乘，化简后拆分，再利用均值不等式求解．
【解析】(1)a，b均为正数，
得a2＋b2≥2ab，≥，
所以a2＋b2＋≥2ab＋≥2＝4.
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
(2)＋＋＝(a＋4b＋9c)＝9＋＋＋＋16＋＋＋＋9＝34＋＋＋≥34＋
2＋2＋2＝34＋24＋18＋24＝100.
当且仅当a＝3b＝9c，且a＋4b＋9c＝1时，等号成立，
即当且仅当a＝，b＝，c＝时，原式取等号．
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．
已知a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝1，
求证：＋＋≥9.
【证明】因为a，b，c均大于0且a＋b＋c＝1，所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
【拓展延伸】利用均值不等式证明问题的技巧
　　　证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的特征，若不能直接利用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、配凑、变形等，使之达到能利用均值不等式的条件；若题中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，解题时要时刻注意等号能否取到．
【拓展训练】
　已知正数x，y满足x2＋y2＝1，求证：＋的最小值为2.
【证明】因为正数x，y满足x2＋y2＝1，
令z＝＋>0，
可得z2＝＋＋＝＋＋
＝2＋＋＋≥2＋2＋＝4＋，
当且仅当＝即x＝y时取等号，
而由题意可得1＝x2＋y2≥2xy，可得≥2，当且仅当x＝y时取等号，所以z2≥4＋4＝8，
所以z≥2，当且仅当x＝y时取等号，
所以＋的最小值为2.
类型三　均值不等式的实际应用(数学建模、数学运算)
　应用均值不等式解决实际问题中的大小关系
【典例】某工厂过去的年产量为a，改革后，第一年的年产量增长率为p，第二年的年产量增长率为q，这两年的年产量平均增长率为x，则(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x≥
D．x≤
【思路导引】利用已知条件，得到方程(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，然后利用均值不等式，即可求解，得到答案．
【解析】选D.由题意，可得a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，即(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，
又因为(1＋p)(1＋q)≤，
所以1＋x≤＝1＋，所以x≤.
　利用均值不等式解决实际问题中的最值问题
【典例】(2021·武汉高一检测)根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t(单位：min)满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p(t)(单位：个)与发车时间间隔t近似地满足p(t)＝
，其中t∈N.
(1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1
500个，试求发车时间间隔t的值；
(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q(t)＝－80(单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
【思路导引】(1)根据题意分9≤t≤15和4≤t<9时，分别解p(t)≤1
500，再结合t∈N即可得答案；
(2)由题意可得q(t)＝
，再结合基本不等式求最值即可得答案．
【解析】(1)当9≤t≤15时，1
800≤1
500，不满足题意，舍去．
当4≤t<9时，1
800－15(9－t)2≤1
500，
即t2－18t＋61≥0.
解得t≥9＋2(舍)或t≤9－2，
因为4≤t<9，t∈N.
所以t＝4.所以发车时间间隔为4
min.
(2)由题意可得q(t)＝
，
当4≤t<9，t＝7时，q≤－2＋1
540＝280(元)，
当9≤t≤15，t＝9时，q≤－80＝240(元)，
所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280(元).
应用均值不等式解决实际问题时的思路和方法
　(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数．
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．
(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值．
(4)正确写出答案．
1．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，根据市场分析每辆客车的运营总利润y(单位：十万元)与营运年数x(x∈N＋)的关系为y＝－x2＋12x－25.若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运________年．
【解析】由题意得年平均利润为＝－x－＋12＝12－≤12－2＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时等号成立．
故当x＝5时，有最大值2.
即要使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运5年．
答案：5
2．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱？
【解析】设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40.
所以y＝240x＋×40(0所以y＝240≥240×2＝3
840，
当且仅当x＝，即x＝8时取等号．故每人最少应交＝80(元).
3．为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120
km的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1
000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费)
(1)若汽车的速度为每小时50
km，试求运输的总费用．
(2)为使运输的总费用不超过1
260元，求汽车行驶速度的范围．
(3)若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？
【解析】(1)当汽车的速度为每小时50
km时，
运输的总费用为：×60＋1
000＋2×50＝1
244(元).
(2)设汽车行驶的速度为x
km/h，由题意可得：
×60＋1
000＋2x≤1
260，化简得x2－130x＋3
600≤0，解得40≤x≤90，
故运输的总费用不超过1
260元/时，汽车行驶速度的范围为[40，90].
(3)设汽车行驶的速度为x
km/h，则运输的总费用：
×60＋1
000＋2x＝2x＋＋1
000≥
2＋1
000＝1
240，
当2x＝，即x＝60时取得等号，故若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60
km的速度行驶．
备选类型　均值不等式在几何等方面的应用
【典例】如图，设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于P，设AB＝x.
求△ADP的最大面积及相应的x值．
【解析】由图知：因为AB＝x，所以AD＝12－x.
由DP＝PB′，得AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，
由勾股定理得DP＝12－，
因此△ADP的面积
S＝AD·DP＝(12－x)·
＝108－，
因为x>0，所以6x＋≥2＝72，
所以S＝108－≤108－72，当且仅当6x＝时，即x＝6时，S有最大值108－72.
答：当x＝6时，△ADP的面积有最大值108－72.
关于几何中周长与面积问题的处理方法
　关于几何中周长与面积问题的处理方法，关键是利用各边长之和代换出周长，边长之积代换出面积，再将边长和与积利用均值不等式得其关系，即得周长与面积的关系．
　窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长分别为x，y(单位：dm)且x＜y，若剪去的正十字形部分面积为4
dm2.
(1)求y关于x的关系，并根据其关系得出使x有意义的范围．
(2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．
【思路导引】(1)利用正十字形面积可构造关于x，y的等式，整理可得函数关系式；利用y>x且x>0可解不等式求得定义域；(2)设外接圆直径d，利用均值不等式可求得d的最小值及取得最小值时x的取值，代入圆的面积公式即可求得面积的最小值．
【解析】(1)由题意可得2xy－x2＝4，则y＝，
因为y>x且x>0，即>x，
所以0(2)设正十字形的外接圆的直径为d，
所以d2＝x2＋y2＝x2＋2＝x2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当＝，即x2＝时取等号，即x2＝时，d＝2＋2，
所以正十字形外接圆面积S＝π2＝d2≥π，
即正十字形外接圆面积的最小值为π
dm2，此时x＝dm.
1．n>0，＋＝1，则m＋n(　　)
A．有最大值，最大值为6
B．有最大值，最大值为9
C．有最小值，最小值为6
D．有最小值，最小值为9
【解析】选D.因为m＋n＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝时等号成立，所以m＋n的最小值为9.
2．已知2a＋b＝2，a>0，b>0，则＋的最小值是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.＋＝＋＝＋
≥＋2＝，当且仅当＝，且2a＋b＝2，
即a＝，b＝时取等号．
3．(教材练习改编)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．≤
B．＋≤1
C．≥2
D．a2＋b2≥8
【解析】选D.4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，A，C不成立；＋＝＝≥1，B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8.
4．(2021·淮安高一检测)某公司一年购买某种货物400
t，每次都购买x
t，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________t.
【解析】该公司一年购买某种货物400
t，每次都购买x
t，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当＝4x，即x＝20
t时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
答案：20
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