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第六章 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第三课时 余弦定理和正弦定理应用举例
【课程标准】
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题
【知识要点归纳】
1812925575310阅读问题，理解问题的实际背景、有关名词、术语，明确已知与所求，理清量与量之间的关系
阅读问题，理解问题的实际背景、有关名词、术语，明确已知与所求，理清量与量之间的关系
把实际问题中的条件和所要求的结果转化为三角形中的已知和未知的角和边，通过建立数学模型来求解，具体步骤如下：
16700552070审题
审题
1165225219710
6089657620
151765334645建模
建模
1843405197485根据题意画出示意图，将实际问题抽象、概括并转化为解三角形问题的数学模型
根据题意画出示意图，将实际问题抽象、概括并转化为解三角形问题的数学模型
6013452724151149985109855
1843405348615应用余弦定理和正弦定理以及其他知识解出三角形的未知量，求的数学模型的解
应用余弦定理和正弦定理以及其他知识解出三角形的未知量，求的数学模型的解
136525115570求解
求解
1119505257810
57848552705
1820545249555检验所求的解是否符合实际意义，并将三角形中的解还原为实际问题的答案
检验所求的解是否符合实际意义，并将三角形中的解还原为实际问题的答案
121285298450还原
还原
111950564135

在解三角形的实际应用问题中，作图是关键一步，只有根据实际问题做出准确的图形，才能如实的反映实际情况，才能将实际问题抽象为解三角形的数学模型，才能正确解决问题。
注意几点：
1．准确把握实际测量中的有关名词和术语，例如方向角和方位角的区别
2.将空间问题转化为平面问题
3.恰当构造三角形
【经典例题】
例1．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取false、false两点，从false、false两点分别测得树尖的仰角为false，false，且false、false两点间的距离为false，则树的高度为false　　false
A．false B．false C．false D．false
例2．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在false点测得公路北侧山顶false的仰角为false，汽车行驶false后到达false点测得山顶false恰好在正北方，且仰角为false，则山的高度false为false　　false
A．false B．false C．false D．false
例3．如图，为测量塔高false，选取与塔底false在同一水平面内的两点false、false，在false、false两点处测得塔顶false的仰角分别为false，false，又测得false，false米，则塔高false　　false
A．50米 B．false米 C．25米 D．false米
例4．如图，设false，false两点在河的两岸，在false所在河岸边选一定点false，测量false的距离为false，false，false，则false，false两点间的距离是　　false．
例5．如图，我国的海监船在false岛海域例行维护巡航，某时刻航行至false处，此时测得其北偏东false方向与它相距16海里的false处有一外国船只，且false岛位于海监船正东false海里处．
（1）求此时该外国船只与false岛的距离；
（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离false岛12海里处，不让其进入false岛12海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值．
【当堂检测】
一．选择题（共6小题）
1．如图，为测得河对岸塔false的高，先在河岸上选一点false，使false在塔底false的正东方向上，测得点false的仰角为false，再由点false沿北偏东false方向走false到位置false，测得false，则塔false的高是（单位：false　　false
A．false B．false C．false D．13
2．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得false米，false米，false米，false，false，据此可以估计天坛的最下面一层的直径false大约为false　　false（结果精确到1米）
（参考数据：false，false，false，false
A．39米 B．43米 C．49米 D．53米
3．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．如图，在测量过程中，已知竖立在false点处的测量觇标高12米，攀登者们在false处测得到觇标底点false和顶点false的仰角分别为false，false，则false、false的高度差为false　　false
A．false米 B．6米 C．false米 D．12米
4．如图，在false点和false点测得淮安电视塔塔顶false的仰角分别为false和false（点false、false与塔底false在同一直线上）又测得false米，根据所测数据可求得淮安电视塔false的高度为false　　false
A．false米 B．false米 C．false米 D．320米
5．三国false年false年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权．元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰能走30公里，一天最多能跑10个小时，十天能到达．吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东false，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能达到魏国都城false　　false
A．七 B．八 C．九 D．十
6．某船在false处测得灯塔false在其南偏东false方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到false处，测得灯塔在其北偏东false方向上，然后该船向东偏南false方向行驶2海里到false处，此时船到灯塔false的距离为多少海里false　　false
A．false千米 B．false千米 C．6千米 D．5千米
二．填空题（共2小题）
7．如图，小明在山脚false测得山顶false的仰角为false，在山脚false测得山顶false的仰角为false，测得false，false，false间的距离为false，false，已知山脚false和false，false在同一水平面上，则山的高度false　　false．
8．某地计划建一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域false，其中三角形区域false中，false百米，false百米，三角形区域false是以false为斜边的等腰直角三角形，现计划将三角形区域false建为水上项目区，则三角形区域false的最大面积为　　平方百米．
三．解答题（共4小题）
9．已知false是底部false不可到达的建筑物，false是建筑物的最高点，为测量建筑物false的高度，先把高度为1.5米的测角仪放置在false位置，测得false的仰角为false，再把测角仪放置在false位置，测得false的仰角为false，已知false米，false，false，false在同一水平线上，求建筑物false的高度．
10．如图，甲船在false处，乙船在false处的南偏东false方向，距false有15海里的false处，并以25海里每小时的速度沿南偏西false方向行驶，若甲船沿南偏东false度的方向，并以35海里每小时的速度行驶，若两船同时出发，并在false小时后在false处相遇．
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）求false的值．（结果保留根号，无需求近似值）
11．小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的false处，沿着与电视塔false垂直的水平马路false驾驶机动车行驶，以南偏西false的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点false处望见电视塔的底端false在东北方向上，设沿途false处观察电视塔的仰角false，false的最大值为false．
（1）小明开车从false处出发到false处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值false，约为多少分钟？（分钟保留两位小数）
（2）求东方明珠塔false的高度约为多少米．（保留两位小数）
12．如图，海岛false、false相距false海里，上午9点整，有一客轮在海岛false的北偏西false，且距海岛false海里的false处，沿直线方向匀速开往海岛false，在海岛false停留10分钟后前往false市，上午false，测得客轮位于海岛false的北偏西false，且距海岛false海里的false处，此时小张从海岛false乘坐速度为false海里false小时的小艇沿直线方向前往false岛换成客轮去往false市，其中false，false．
（1）问小张能否乘上这班客轮？说明理由；
（2）现测得false，false，已知速度为false的小艇每小时的费用为false元，若小张由海岛false直接乘小艇去往false市，则至少需要多少费用？（结果近似到元）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【解答】解：在false，false，false，false，
false
false
由正弦定理得：false，false，
false树的高度为false，
答：树的高度为false．
故选：false．
2．【解答】解：设此山高false，由题意得false，
在false中，false，false，false．
根据勾股定理得，false，
false
故选：false．
3．【解答】解：设false，则false，false，
false，false米，
false，
false．
故选：false．
二．填空题（共1小题）
4．【解答】解：false，false，false，
在三角形false中，由正弦定理，得false，
false，
false、false两点的距离为false，
故答案为：50．
三．解答题（共1小题）
5．【解答】解：（1）根据余弦定理可得：
false，
则false（海里）；
（2）过false作false于false，则false，所以false，
以false为圆心，12为半径作圆交false于点false，连接false，false，
则false，false，false，
所以false，
外国船只到达点false的时间false，
所以，海盗船速度false，
所以，海盗船就以北偏东false方向，速度大于20海里false小时，才能拦截．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：在false中，根据题意知：false，false，false，所以false
利用正弦定理：false，解得false，
在false中，false，解得false．
故选：false．
2．【解答】解：在false中，false，false，false，所以false，
在false中，false，
所以false（米false．
故选：false．
3．【解答】解：根据题意画出如图的模型，则false，false，
false，所以false，false，
可得所以false，
所以在false中，false（米false．
故选：false．
4．【解答】解：在false中，false，所以false；
在false中，false，所以false，
解得false；
又false，且false，
所以false，
解得false；
即电视塔false的高度为false（米false．
故选：false．
5．【解答】解：可以把魏蜀吴三国的都城位置分别即为false，false，false，
由题意可知false公里，false公里，false，
由余弦定理得false公里，
false（天false，
故叛徒大约九天能到达目的地．
故选：false．
6．【解答】解：在false中，false，false，false，
可得false为等边三角形，可得false，
在false中，false，false，false，
则false，
故选：false．
二．填空题（共2小题）
7．【解答】解：在false中，设false，
利用解直角三角形知识false，
在false中，false，
在false中，利用余弦定理false，
解得false或50，
当false时，false，不合题意，
故false．
故答案为：false
8．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设false，false，
则点false的坐标为false，
所以false，
易知点false在以false为圆心，2为半径的圆上，
设false，false，
则点false的坐标为false，
所以false，当且仅当false时，false的面积最大，最大为false平方百米．
故答案为：false．
三．解答题（共4小题）
9．【解答】解：false中，由正弦定理得false，
false（米false；
在false中，false；
false；
所以false，
即建筑物false的高度为false米．
故答案为：false．
10．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，
在false中，false，false，false，false．
由余弦定理得：false，
整理得false，
解得false或false（舍去）；
所以false．
（Ⅱ）false中，false，false，
根据正弦定理得，false，
即false，
所以false，
所以false
false
false．
11．【解答】解：（1）依题意知在false中false，false，
false，false，
由正弦定理得false，
false，
在false中，false，
false为定长，可得当false的长最小时，false取最大值false，这时false，
当false时，在false中，可得：false，
设该人沿南偏西false的方向走到仰角false最大时，走了false分钟，
则false（分钟），
（2）由（1）知当false取得最大值false时，false，在false中，false，
false米false．
即所求塔高为4754.81米false．
12．【解答】解：（1）根据题意得：false．
在false 中，由余弦定理得，
false，
所以客轮的航行速度false 海里false小时），
因为false，所以false，
所以false．
在false，由余弦定理得，false，
整理得：false，
解得false 或false （舍去false．
所以客轮从false 处到岛false 所用的时间false 小时
小张到岛false 所用的时间至少为false 小时．
由于false
所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮．
（2）在false 中false，
所以false 为锐角，false．
所以false
false，
由正弦定理得，false，
所以false，
所以小张由岛false 直接乘小艇去城市false 的总费用为
当且仅当false，即false 时false （元false，
所以若小张由岛false 直接乘小艇去false 市，其费用至少需false 元．

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