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第三章
函数的概念与性质
3．1　函数的概念及其表示
3．1.1　函数的概念
第1课时　函数的概念
某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：
购票人数
1～50
51～100
100以上
门票价格
130元/人
110元/人
90元/人
另外景区每天接纳游客的上限为2万人，设景区每天的游客人数为x，门票收入是y(元).
【问题1】景区每天的门票收入y是游客人数x的函数吗？
【问题2】若景区每天的门票收入y是游客人数x的函数，那么函数的定义域是什么？值域是什么？
【问题3】若景区每天的门票收入y是游客人数x的函数，那么函数的对应关系是用什么表示的？
函数的概念
(1)定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．
(2)记法：y＝f(x)，x∈A.
(3)定义域：x的取值范围A；值域：与x的值对应的y值叫做函数值，即集合.
1．本质：函数的集合定义，是函数的近代定义，是从集合、映射的观点出发的定义．函数的传统定义是从运动变化的观点出发的定义，二者本质是相同的．
2．f(x)的含义：f(x)是集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数．
对于函数f：A→B，值域一定是集合B吗？
提示：不一定．值域是函数值的集合，是集合B的子集，即值域?B.
1．“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”吗？
2．函数定义域内不同的自变量能否对应同一个函数值？
3．函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？
4．在研究函数时，除用符号f(x)外，是否能用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数？
提示：1.不是；2.能；3.不能；4.是．
请指出教材问题3中的函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？
从图3.1?1中的曲线可知，t的变化范围是数集A3＝{t|0≤t≤24}，AQI的值I都在数集B3＝{I|0＜I＜150}中．对于数集A3中的任一时刻t，按照图3.1?1中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应．因此，这里的I是t的函数．
你能根据图3.1?1找到中午12时的AQI值吗？
提示：定义域是，值域是，对应关系是AQI的值随时间变化的图象．
1．下列说法正确的是(　　)
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
【解析】选C.由函数的定义可知，函数的定义域和值域为非空的数集．
2．如图中能表示函数关系的是________．(填序号)
【解析】由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
答案：①②④
基础类型　函数的概念(数学抽象)
1．(2021·赣州高一检测)下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是(　　)
【解析】选B.函数是表示每个x值对应唯一y值的一种对应关系．对B中图象，对于x≠0的x值，有两个y值与之对应，故不是函数图象．
2．下列对应关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)
①A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
②A＝R，B＝{正实数}，f：y＝；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝.
【解析】对于①项，依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．
对于②项，A中元素x＝0在B中没有对应元素，故不能构成函数．
对于③项，A中元素x＝2在B中没有对应元素，故不能构成函数．
对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．
答案：①
1．判断一个对应是否是函数的方法
2．根据图象判断对应是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图象有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：
微提醒：对应关系不允许“一对无、一对多”．
综合类型　函数的三要素(数学运算)
　函数的定义域、值域
①根据图中的函数图象，函数的定义域为________，值域为________．
②根据图中的函数图象，函数的定义域为________，值域为________．
【解析】根据函数图象，
①定义域为{x|x≥－2}，值域为{y|y≥0}；
②定义域为R，值域为{y|－1≤y≤1}．
答案：①{x|x≥－2}　{y|y≥0}　②R　{y|－1≤y≤1}
点拨：定义域为自变量x的范围，观察x轴上自变量的取值范围，值域是函数值y的范围，观察图象上点的纵坐标的范围．
关于函数的定义域、值域
(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围；
(2)函数的值域是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中要关注函数图象的最高点、最低点，是纵坐标的取值范围．
【加固训练】
根据图中的函数图象，函数的定义域为________，值域为________．
【解析】根据图象，定义域为{x|0≤x<3}，值域为
{y|0≤y≤1或y＝2}．
答案：{x|0≤x<3}　{y|0≤y≤1或y＝2}
　函数的对应关系
【典例】已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如表：则方程g(f(x))＝x的解集为(　　)
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
A.{1}
B．{2}
C．{3}
D．?
【解析】选C.f(1)＝2，g(f(1))＝g(2)＝2，
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，
所以g(f(x))＝x的解集为{3}．
本例的条件不变，则方程f[g(x)]＝2的解集为________．
【解析】由对应关系可知，若f[g(x)]＝2，
则g(x)＝1，则x＝3.所以方程的解集为{3}．
答案：{3}
关于函数的对应关系
(1)把握对应关系的关键是理解“任意一个x∈A，都对应唯一的y∈B”．
(2)对于含有多层对应关系问题，可以尝试从里向外求或者从外向里逐层代入的方法进行求值．
微提醒：
对应关系可以是解析式，也可以是表格、图象．
【加固训练】
已知函数f(x)由表给出，则的值为(　　)
x
x≤1
1＜x＜2
x≥2
f(x)
1
2
3
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】选D.因为∈(－∞，1)，
所以f＝1，则10f＝10，
所以＝f(10).
又因为10∈[2，＋∞)，所以f(10)＝3.
1．如图所示的图象不可能成为函数y＝f(x)图象的是(　　)
A．(1)
B．(1)(3)(4)
C．(1)(2)(3)
D．(3)(4)
【解析】选A.函数的自变量和因变量之间满足一对一或多对一的关系，而选项A是一对多的关系，不符合函数的性质．
2．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是(　　)
【解析】选D.A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B，C均不满足函数的唯一性，只有D正确．
3．如表，y是x的函数，则函数的值域是________．
x
0＜x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x＜20
y
2
8
6
5
【解析】由表格可知，函数的值域为{2，5，6，8}．
答案：{2，5，6，8}
4．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为________．
【解析】依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0，所以函数y＝x2－3x的值域为{－2，0，4}．
答案：{－2，0，4}
5．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5，6，7，8}，f：A→B是集合A到集合B的函数，则对应关系可以是________．
【解析】对应关系可以是f：x→y＝x＋1，f：x→y＝2x等．
答案：f：x→y＝x＋1(答案不唯一)
PAGE第2课时　函数概念的综合应用
对于函数f(x)＝2x2和f＝2t2，
【问题1】两个函数定义域、值域分别是什么？
【问题2】两个函数的图象是否一样？两个函数的对应关系是否一致？
【问题3】两个函数有什么关系？
1．区间的概念
(1)一般区间的表示．
设a，b∈R，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
(2)特殊区间的表示．
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
1．本质：区间是集合的另一种表示，用来表示数的范围．但是区间不能表示含有1个或几个的元素的范围，只能用集合表示．
2．混淆：用符号∞表示无穷大，但是无法取到，因此写区间时用小括号，也不能作为一般的数进行运算，两个无穷大量之和不一定是无穷大，有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大(如常数0就算是有界量)，有限个无穷大量之积一定是无穷大．
区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
提示：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
2．同一个函数
前提条件
定义域相同
对应关系完全一致
结论
这两个函数是同一个函数
对应关系：函数的对应关系从解析式角度即为一种算法，与解析式中表示变量字母无关，如对应关系y＝2x2＋x与y＝2t2＋t是相同的算法，因此是一致的对应关系．
函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是不是同一个函数，只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是不是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
1．区间[1，＋∞)与集合表达的意思一致吗？
2．若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数吗？
3．函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数吗？
提示：1.一致；2.不是；3.是．
1．已知f(x)＝x2＋1，则f(f(－2))＝(　　)
A．5
B．23
C．25
D．26
【解析】选D.因为f(－2)＝(－2)2＋1＝5，
所以f(f(－2))＝f(5)＝52＋1＝26.
2．函数y＝的定义域是________．
【解析】由1－|x|≥0，得|x|≤1，即－1≤x≤1.
所以函数y＝的定义域是[－1，1].
答案：[－1，1]
基础类型一　求定义域(数学运算)
1．(2021·宣城高一检测)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[1，6]
B．(－∞，1]∪[6，＋∞)
C．[－6，－1]
D．(－∞，－6]∪[－1，＋∞)
【解析】选B.由题意得：x2－7x＋6≥0，解得x≥6或x≤1，故函数的定义域是(－∞，1]∪[6，＋∞).
2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－1，1]
B．∪
C．
D．
【解析】选B.要使函数有意义，则需1－x2≥0且2x－1≠0，
即1≥x≥－1且x≠，
则定义域为∪.
3．函数f(x)＝(x－1)0＋的定义域为________．
【解析】函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
答案：{x|x>－1且x≠1}
关于函数的定义域
(1)依据：分式分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等．
(2)写法：如果解析式中含有多个式子，则用大括号将x满足的条件列成不等式组，求交集．
基础类型二　求函数值(数学运算)
【典例】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2)).
(2)求g(f(x)).
【解析】(1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2).
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)g(f(x))＝＝＝.
【备选例题】
已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
【解析】(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
所以f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋.
关于利用函数的解析式求值
函数的解析式是对自变量的算法，如果自变量是实数或代数式，则直接代入进行运算或化简．如果求类似f的，应将g(x)作为自变量整体代入，再化简运算．
微提醒：定义域内的自变量的值才能代入解析式运算．
已知函数f(x)＝，
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值．
(2)求f(x)＋f.
【解析】(1)因为函数f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋
＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝＋＝1.
(2)f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
综合类型　判定同一个函数(逻辑推理)
【典例】(2021·娄底高一检测)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．y＝与y＝1
B．y＝与y＝x
C．y＝与y＝x
D．y＝与y＝x－1
【解析】选C.对于A，y＝的定义域是{x|x≠0}，y＝1的定义域是R，所以y＝与y＝1不是同一个函数，故A不符合题意；
对于B，y＝的定义域是{x|x≠0}，y＝x的定义域是R，所以y＝与
y＝x不是同一个函数，故B不符合题意；
对于C，y＝＝x与
y＝x对应关系相同，定义域都是R，
所以y＝与
y＝x是同一个函数，故C符合题意；
对于D，y＝＝
当x＜1时，y＝与y＝x－1对应关系不同，
所以y＝与
y＝x－1不是同一个函数，故D不符合题意．
判断同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否为同一个函数的三个步骤．
(2)两个注意点．
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
微提醒：不能将函数的解析式变形后求定义域．
下列各组函数中表示同一个函数的是(　　)
A．y＝20与y＝
B．y＝±1与y＝
C．y＝与y＝
D．y＝x＋1与y＝
【解析】选D.A中y＝20＝1，定义域为R，y＝＝1，(x≠0)，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；
B．y＝＝|x|，两个函数的对应法则、定义域不相同，不是同一个函数；
C中由x2＋x≥0得x≥0或x≤－1，即定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，
由得得x≥0，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数．
D中y＝＝t＋1，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一个函数．
创新拓展　抽象函数的定义域(数学抽象)
【典例】1.(2021·邯郸高一检测)函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，则函数y＝f(1＋x)＋f(1－x)的定义域为(　　)
A．[－1，3]
B．[0，2]
C．[－1，1]
D．[－2，2]
【解析】选C.因为函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]，
所以由解得－1≤x≤1.
所以函数y＝f(1＋x)＋f(1－x)的定义域为[－1，1].
2．已知函数f(x－1)的定义域为[0，3]，则函数f(x)的定义域为________．
【解析】由0≤x≤3得－1≤x－1≤2，
所以函数f(x)的定义域是[－1，2].
答案：[－1，2]
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为，求f的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．
(2)已知f的定义域为，求f(x)的定义域时，求出g(x)在的范围(值域)即定义域．
【加固训练】
若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)的定义域是(　　)
A．[－1，1]
B．[－5，13]
C．[－5，1]
D．[－1，13]
【解析】选B.函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2，4]，
令－2≤x≤4，则－6≤3x≤12，所以－5≤3x＋1≤13，
所以函数y＝f(x)的定义域是[－5，13].
1．在下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋1，x∈N，g(x)＝2x－1，x∈N
B．f(x)＝·，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x＋3
D．f(x)＝x2，g(x)＝
【解析】选D.A中两个函数的定义域都为N，但两个函数的解析式不相同，即对应关系不一样，故不表示同一个函数；B中f(x)的定义域为{x|x≥1}，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，两个函数的定义域不相同，故不表示同一个函数；C中f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，两个函数的定义域不相同，故不表示同一个函数；D中f(x)的定义域为R，g(x)＝＝x2的定义域为R，两个函数的定义域相同，对应关系相同，故表示同一个函数．
2．函数y＝＋的定义域是(　　)
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}
【解析】选D.由得0≤x≤1.
3．若f(x)＝，则f(3)＝________．
【解析】f(3)＝＝－.
答案：－
4．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
【解析】若[a，3a－1]为一确定区间，
则a＜3a－1，解得a＞，
所以a的取值范围是.
答案：
5．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________．
【解析】由f(a)＝2，得＝2，解得a＝－1.
答案：－1
PAGE3．1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1
318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)如表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
【问题1】(1)(2)(3)中的函数分别是用什么方法表示的？
【问题2】能否用别的方法表示(1)(2)(3)中的函数？
【问题3】一个函数的表示方法唯一吗？
1．表示函数的三种方法
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系
1．本质：两个变量对应关系的三种不同方式的表示．
2．函数的三种表示方法的优缺点：
表示方法
优点
缺点
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示自变量可以一一列出的函数关系
图象法
能形象直观地表示出函数的变换情况
只能近似地求出函数值，而且有时误差较大
解析法
(1)简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；(2)可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
2.分段函数
像y＝这样的函数称为分段函数．
1．本质：函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系．
2．分段函数的定义域、值域
定义域为各段范围的并集；值域为各段上值域的并集．
分段函数y＝是两个函数吗？
提示：分段函数是一个函数，只不过不同范围上解析式不同．
(1)任何一个函数都能用图象法表示出来吗？
(2)任何一个函数都能用解析法表示出来吗？
(3)函数的图象一定是连续不断的曲线吗？
提示：(1)不能；(2)不能；(3)不一定．
1．如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A，B，C的坐标分别是(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f[f(2)]＝(　　)
A．0
B．2
C．4
D．6
【解析】选C.由图象可得f[f(2)]＝f(0)＝4.
2．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为________．
【解析】因为f(x)是反比例函数，所以设f(x)＝(k≠0).
因为f(－3)＝－1，所以＝－1，即k＝3，所以f(x)＝.
答案：f(x)＝
基础类型一　函数的表示法(数学建模)
【典例】某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系．
【解析】(1)该函数关系用列表法表示为：
x/道
0
1
2
3
4
5
y/分
50
40
30
20
10
0
(2)该函数关系用图象法表示，如图所示．
(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5}).
关于函数的三种表示方法
三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量、函数值的对应关系，各有优缺点，在解题的过程中，可以选取最适合的方法表示函数．
微提醒：并不是说函数一定能用解析法、图象法表示．
如狄利克雷函数f(x)＝
基础类型二　作函数的图象(直观想象)
【典例】作出下列函数的图象，并指出其值域：
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0).
【解析】(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图1所示．由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图2所示．
由图可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞).
注意定义域的端点是否取到，图象有实心点、空心点之分．
作出下列函数的图象：
(1)y＝1＋x(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1).
【解析】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上(因为x∈Z，所以y∈Z)，这些点都为整数点，如图所示为函数图象的一部分．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图：
【加固训练】
作出函数y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)的图象，并指出其值域．
【解析】y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x＜3)，定义域不是R，因此图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．图象如图所示．
由图可知y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)的值域为[－5，3).
综合类型　函数图象的应用(直观想象)
【典例】给定函数f(x)＝－x＋2，g(x)＝x2，x∈R，
?x∈R，记M(x)＝max，请分别用图象法和解析法表示函数M(x).
【解析】(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象，如图：
(2)由题意，可得函数M(x)的图象，如图．
由x2＝－x＋2得x2＋x－2＝0解得x＝－2或x＝1.
结合图象可得函数M(x)的解析式为
M(x)＝
画含限制条件的函数图象的步骤
(1)画出初始函数的图象．
(2)根据已知的限制条件判断在每个范围内的图象是否符合题意．
(3)不在区域内的图象或不满足限制条件的图象改为虚线或不画．
创新拓展　待定系数法求解析式(数学运算)
【典例】一辆中型客车的营运总利润y(单位：万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如表所示，
x(年)
4
6
8
…
y是x的二次函数
7
11
7
…
则营运总利润y＝________．
【解析】由表格数据可知，当f(4)＝f(8)＝7，f(6)＞f(8)，则二次函数开口向下，且对称轴为x＝6，
则根据二次函数的性质可知，当x＝6时，营运总利润y最大为11；
设y＝a2＋11，则a2＋11＝7，解得a＝－1.
所以y＝－2＋11＝－x2＋12x－25.
答案：－x2＋12x－25
常见的函数的解析式
(1)一次函数：y＝kx＋b，k≠0；
(2)正比例函数：y＝kx，k≠0；
(3)反比例函数：y＝，k≠0；
(4)一元二次函数：
①一般式：y＝ax2＋bx＋c；
②顶点式：y＝a2＋k；
③两点式：y＝a.
其中a≠0，顶点，根x1，x2.
创新方法　代入法求解析式(数学运算)
【典例】(2021·信阳高一检测)已知f＝x＋3，则f(x)的解析式可取(　　)
A．f(x)＝(x≠1)
B．f(x)＝(x≠1)
C．f(x)＝(x≠1)
D．f(x)＝－(x≠1)
【解析】选A.令t＝＋1，(t≠1)，则x＝，
因为f＝x＋3，
所以f(t)＝＋3＝，(t≠1).
所以f(x)＝，(x≠1).
关于代入法求解析式
(1)方便解出x的直接换元，用换元表示出x后代入即可；
(2)不方便解出x的应整体变形、构造，再通过换元求解析式．
【加固训练】
若已知f＝x2＋(x>0)，试求函数的解析式及定义域．
【解析】因为f＝x2＋＝2－2，
令t＝x＋，所以f＝t2－2，
因为x>0，所以t＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝1时等号成立．
所以f(x)＝x2－2.
创新思维　解方程组法求解析式(数学抽象)
【典例】已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________．
【解析】因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1…①，
用－x代替x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1…②；
②×3－①得：8f(x)＝(－6x＋3)－(2x＋1)＝－8x＋2，
所以f(x)＝－x＋.
答案：f(x)＝－x＋
利用已知的方程特点，利用相反数等关系，再构造一个含有f(x)的方程．
【加固训练】
(2020·郑州高一检测)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝(　　)
A．＋(x＞0)
B．＋(x＞0)
C．＋1(x＞0)
D．－1(x＞0)
【解析】选B.由f(x)＝2f·－1，①
以替换x，得f＝2f(x)·－1，②
把②代入①，可得f(x)＝2－1，即3f(x)＝2＋1.
所以f(x)＝＋(x＞0).
1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(　　)
A．π2
B．π
C．
D．不确定
【解析】选B.因为π2∈R，
所以f(π2)＝π.
2．已知f＝2x＋3，则f(6)的值为(　　)
A．15
B．7
C．31
D．17
【解析】选C.令－1＝6，则x＝14，
则f(6)＝2×14＋3＝31.
3．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)＝________．
【解析】方法一：因为f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，所以f(x)＝3x＋2.
方法二：设t＝3x＋2，则x＝，
所以f(t)＝9×＋8＝3t＋2.
所以f(x)＝3x＋2.
答案：3x＋2
4．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为________．
【解析】由题意，得100＝，
所以y＝(x>0).
答案：y＝(x>0)
5．已知f(x)是一次函数，且2f(2x＋1)－f(x－2)＝6x＋5，则f(x)＝________．
【解析】设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
因为2f(2x＋1)－f(x－2)＝6x＋5，
所以2[k(2x＋1)＋b]－[k(x－2)＋b]＝3kx＋4k＋b＝6x＋5，
即3k＝6，4k＋b＝5，解可得，k＝2，b＝－3，
故f(x)＝2x－3.
答案：2x－3
PAGE第2课时　分
段
函
数
基础类型一　函数图象的应用(直观想象)
1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x).例如，f(2)＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．如图给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是(　　)
【解析】选A.开始时平均价格与即时价格一致，排除C，D，即时价格减少时，平均价格不可能增大，排除B.
2．某同学从家里到学校，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，
(1)若该同学为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，则路程d与时间t的关系符合________图(填字母)；
(2)若该同学刚开始走，后来发现时间不够，为了不迟到，就跑步到达学校，则路程d与时间t的关系符合________图(填字母).
【解析】(1)由题意，该同学离开家的路程先增加的较快，后来增加的慢，直至到达学校，故符合C图；
(2)由题意，该同学离开家的路程先增加的较慢，后来增加的快，直至到达学校，故符合A图．
答案：(1)C　(2)A
函数图象的变化
函数的函数值随着自变量的变化而变化，当函数值的变化较快时，图象比较“陡”，当函数值的变化较慢时，图象比较“缓”．
基础类型二　分段函数的实际应用(数学建模)
【典例】(2021·长沙高一检测)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对，点落在如图所示的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：
第t天
6
13
20
27
M/万股
34
27
20
13
(1)根据提供的图象，写出该股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数解析式：P＝________；
(2)根据表中数据，写出日交易量M(万股)与时间t(天)的一次函数关系式：M＝________；
(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在第15天、25天的交易额．
【解析】(1)当0设函数解析式为P＝at＋b(a>0)，
把点(0，2)和(10，4)代入得，
解得
所以P＝t＋2.
当t＝20时P＝6.
当20把点(20，6)和(30，5)代入得：
解得
所以P＝－t＋8，
所以P＝(t∈N).
(2)设M＝ct＋d，(c≠0)，
把点(6，34)和点(13，27)代入得
解得
所以M＝－t＋40，(0(3)y＝(t∈N)，
由题意，当x＝15时，y＝
＝125(万元)；
当x＝25时，y＝
＝82.5(万元).
【备选例题】
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
【解析】(1)当0≤x≤100时，设函数解析式为y＝kx(k≠0).
将x＝100，y＝65代入，得k＝0.65，所以y＝0.65x.
当x>100时，设函数解析式为y＝ax＋b.
将x＝100，y＝65和x＝130，y＝89代入，
得解得
所以y＝0.8x－15.
综上可得y＝
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．
(3)当x＝62时，y＝62×0.65＝40.3(元)；
当y＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x>100，
所以105＝0.8x－15，x＝150.
即若用户月用电62度，则用户应交费40.3元；若用户月交费105元，则该用户该月用了150度电．
分段函数应用问题的两个关注点
(1)应用情境
日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．
(2)注意问题
求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理．
(2021·潍坊高一检测)扎比瓦卡是2018年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝本．扎比瓦卡，俄语意为“进球者”．某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为15
000元，每生产一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元，根据初步测算，每个销售价格满足函数P(x)＝其中x是“扎比瓦卡”的月产量(每月全部售完).
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)试计算月产量分别为300个、600个时的利润．
【解析】(1)由题意，当0≤x≤450时，
f(x)＝x－15
000－20x＝300x－0.5x2－15
000.
当x>450时f(x)＝45
000－20x－15
000＝30
000－20x.
f(x)＝；
(2)当x＝300时，f＝－0.5×3002＋300×300－15
000＝30
000元；
当x＝600时，f＝30
000－20×600＝18
000元．
综合类型　函数表示法的综合应用(数学运算)
　求值
【典例】已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________．
【解析】因为f(0)＝2，所以f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2.
答案：2
含有多层对应关系的求值
如果求函数值，一般从里向外逐层求值；如果求自变量的值，一般从外向里逐层求值．
　综合应用
【典例】已知函数f(x)＝|x－2|＋x2.
(1)去掉绝对值，写出f(x)的分段解析式；
(2)画出f(x)的图象，并写出值域．
【解析】(1)当x≥2时，f(x)＝x2＋x－2，
当x＜2时，f(x)＝x2－x＋2，
所以f(x)＝；
(2)当x≥2时，f(x)为以x＝－为对称轴，开口向上的抛物线，当x＜2时，f(x)为以x＝为对称轴，开口向上的抛物线，
所以f(x)的图象如图所示：
所以函数f(x)的值域为.
关于分段函数的综合应用
首先列出分段函数的解析式，作出函数的图象，通过图象的最高点、最低点观察函数的值域．
微提醒：对于一元二次函数，作图时要特别注意对称轴、与x轴、y轴的交点等特殊点的坐标．
创新思维　抽象函数求值(数学抽象)
【典例】已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝1，则f(1)＝________，f＝________．
【解析】因为f(2)＝f(2×1)＝f(2)＋f(1)，
所以f(1)＝0.
又f(1)＝f＝f(2)＋f＝0，
所以f＝－1.
答案：0　－1
关于抽象函数求值
题目并未给出函数的解析式，只给出了函数的法则，解题时要按照给出的运算法则进行运算，结合要求值的自变量的特征，灵活赋值，直到求出所求值．
1．函数f(x)＝的图象是(　　)
【解析】选C.由于f(x)＝＝
所以其图象为C.
2．若f(x)＝则f[f(－3)]＝(　　)
A．2
B．5
C．4
D．9
【解析】选D.因为－3＜0，所以f(－3)＝－(－3)＝3；
又因为3＞0，所以f[f(－3)]＝f(3)＝32＝9.
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
【解析】选C.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，C图象符合题意．
4．已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x＝________．
【解析】依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，
不合题意，舍去．
若0答案：
5．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则＝________．
【解析】由题图可知，函数f(x)的解析式为
f(x)＝
所以f＝－1＝－，
所以＝f＝－＋1＝.
答案：
PAGE3．2　函数的基本性质
3．2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵．经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准．他经过对自己的测试，得到了一些数据．
时间间隔t
0分钟
20分钟
60分钟
8～9小时
1天
2天
6天
一个月
记忆量y(百分比)
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数．描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).
【问题1】当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？
【问题2】从左向右看，图象是上升的还是下降的？
【问题3】你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
1．函数的单调性
函数
增函数
减函数
图示
条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：如果?x1，x2∈D，当x1都有f都有f>f
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
本质：定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系，是函数诸多性质中最核心、最本质的性质．函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质．因此，说单调性时最好指明区间．
函数单调性的定义中，能否将“?”改为“?”？
提示：不能，一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性，不能用特殊代替一般．
2．单调函数与函数的单调性
(1)单调函数：当函数在它的定义域上单调递增(减)时，就称它是增(减)函数；
(2)单调性与单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
混淆：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
函数y＝在，上都单调递减，那么函数y＝在定义域上是减函数吗？函数的单调递减区间怎样表示？
提示：函数y＝在定义域上不具有单调性；函数的单调递减区间为和.
1．对于函数f(x)＝x2，因为－1<2，且f2．函数f(x)在某一区间D上是不是要么单调递增要么单调递减？
3．任意一个函数是不是一定有单调区间？
提示：1.不是；2.不是；3.不一定．
观察教材图3.2－2，函数的单调区间是什么？
提示：单调递增区间是，单调减区间是.
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是___________．
【解析】由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞).
答案：(－∞，1]和(1，＋∞)
2．若函数f(x)是[－2，2]上的减函数，则f(－1)________f(2).(填“>”“<”或“＝”)
【解析】因为f(x)在[－2，2]上是减函数，且－1<2，所以f(－1)>f(2).
答案：>
基础类型一　函数单调性的判断(直观想象)
1．(2021·天津高一检测)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－
D．f(x)＝－|x|
【解析】选C.对于A，f(x)＝3－x为一次函数，在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意；对于B，f(x)＝x2－3x为二次函数，在上单调递减，不符合题意；对于C，f(x)＝－为反比例函数，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于D，f(x)＝－|x|，当x＞0时，f(x)＝－x，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．
2．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
【解析】f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调增区间为[2，＋∞).
关于函数单调性的判断
(1)根据常见函数的性质进行判断，如一次函数y＝kx＋b，当k>0时是增函数，当k<0时是减函数．因此要熟悉常见的函数的单调性；
(2)根据函数的图象进行判断，作出函数的图象，根据图象上升、下降的特征进行判断．
微提醒：函数－f(x)与f(x)图象关于x轴对称．
基础类型二　利用定义证明函数的单调性(逻辑推理)
【典例】证明：函数f(x)＝在区间(－1，1)上单调递减．
【证明】?x1，x2∈(－1，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝
eq
\f(x1,x－1)
－
eq
\f(x2,x－1)
＝－
eq
\f(（x1x2＋1）（x1－x2）,（x－1）（x－1）)
，
又由－1＜x1＜x2＜1，则(x1－x2)＜0，x1x2＋1＞0，
则有f(x1)－f(x2)＞0，
即函数f(x)在(－1，1)上单调递减．
【备选例题】
判断函数f(x)＝，x∈(－2，2)的单调性．
【解析】在(－2，2)上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝
eq
\f(x2,4－x)
－
eq
\f(x1,4－x)
＝
eq
\f(（x2－x1）（4＋x1x2）,（4－x）（4－x）)
，
因为x2－x1＞0，4＋x1x2＞0，4－x＞0，4－x＞0，
所以f(x2)－f(x1)＝
eq
\f(x2,4－x)
－
eq
\f(x1,4－x)
＝
eq
\f(（x2－x1）（4＋x1x2）,（4－x）（4－x）)
＞0，
即f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在(－2，2)上单调递增．
利用定义证明函数单调性的步骤
微提醒：证明函数的单调性的关键是判断差式的正负．
已知函数f(x)＝－x.判断f(x)在(－∞，0)上的单调性，并给予证明．
【解析】f(x)在(－∞，0)上单调递减．
?x1，x2∈(－∞，0)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－(x1－x2)
＝－(x1－x2)
＝－(x1－x2)×，
因为x1＜x2＜0，则－(x1－x2)×＞0，
即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(－∞，0)上单调递减．
综合类型　函数单调性的简单应用
　求参数的值(范围)
①函数f(x)＝2x2－kx－4的单调增区间是区间，则k的值为________．
②已知函数f(x)＝x2＋(k－2)x在[1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围为________．
【解析】①根据题意，＝－2，k＝－8.
答案：－8
②根据题意，函数f(x)＝x2＋(k－2)x为开口向上的二次函数，其对称轴为x＝－，
若函数f(x)＝x2＋(k－2)x在[1，＋∞)上单调递增，
则必有－≤1?k≥0，即k的取值范围为[0，＋∞).
答案：[0，＋∞)
点拨：二次函数的单调性与对称轴有关．
与二次函数单调性相关的参数问题
(1)若已知函数的单调区间，则对称轴即区间的端点；
(2)若已知函数在某区间上的单调性，则该区间是函数相关区间的子区间，利用端点关系求范围．
【加固训练】
函数f(x)＝x2＋(2a＋1)x＋1在区间[1，2]上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A．∪
B．∪
C．
D．
【解析】选A.根据题意，函数f(x)＝x2＋(2a＋1)x＋1为二次函数，其对称轴为x＝－，
若f(x)在区间[1，2]上单调，
则有－≤1或－≥2，
解可得a≥－或a≤－，
即a的取值范围为∪.
　解不等式
【典例】(2020·昆明高一检测)已知f(x)是定义在R上的减函数，则关于x的不等式f(x2－x)－f(x)＞0的解集为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
【解析】选B.因为f(x)是定义在R上的减函数，
则f(x2－x)－f(x)＞0.所以f(x2－x)＞f(x)，
所以x2－x＜x.即x2－2x＜0，
解可得0＜x＜2.
即不等式的解集为(0，2).
本例中，若函数的定义域为，试求不等式的解集．
【解析】因为f(x)是定义在R上的减函数，
则f(x2－x)－f(x)＞0.所以f(x2－x)＞f(x)，
所以x2－x＜x.即x2－2x＜0，解可得0＜x＜2.
因为函数的定义域为，
所以1≤x＜2.所以不等式的解集为.
关于不等式的解法
(1)利用函数的单调性转化为一次、二次不等式(组)求范围；
(2)求出的范围与函数的定义域求交集．
创新拓展　函数单调性的等价定义(数学抽象)
【典例】已知函数f(x)＝|x－a|对于区间(－∞，－1)上任意的x1，x2(x1≠x2)均满足＜0，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．(－∞，－1]
【解析】选A.由于函数f(x)＝|x－a|的图象是将函数f(x)＝|x|向右平移a个单位得到的；
故函数f(x)＝|x－a|在(－∞，a)上单调递减；
在(a，＋∞)上单调递增；
因为函数f(x)＝|x－a|对于区间(－∞，－1)上任意的x1，x2(x1≠x2)均满足＜0，
所以函数在(－∞，－1)上单调递减，由函数的性质可得a≥－1.故a的取值范围为：[－1，＋∞).
函数单调性的等价定义
函数的定义域为I，D?I，?x1，x2∈D，且x1≠x2
单调递增
>0
>0
单调递减
<0
<0
创新题型　分段函数的单调性(数学运算)
【典例】已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(2，3)
B．[1，3)
C．(1，3)
D．[1，3]
【解析】选B.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以解得1≤a＜3，所以a的取值范围为[1，3).
关于分段函数的单调性
(1)根据每一段上解析式的类型，分别求出符合单调性的参数的范围；
(2)分界点处的函数值比较，如果函数单调递增，在分界点处左侧的函数值小于等于右侧的函数值；如果函数单调递减，在分界点处左侧的函数值大于等于右侧的函数值．
【加固训练】
已知f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】由f(x)＝是R上的增函数，
得解得≤a<3.
答案：
创新思维　抽象函数的单调性(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.
求证：f(x)是R上的增函数；
【证明】设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，
所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝
f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
所以f(x1)关于抽象函数的单调性
(1)根据已知的运算规律、函数性质，构造出单调性的定义是证明抽象函数单调性的关键，也是难点；
(2)掌握一些常见的变形技巧，如x2＝(x2－x1)＋x1，x2＝·x1等．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的减区间是(　　)
A．(0，1)
B．(－∞，1)
C．
D．(－∞，3)
【解析】选A.由图象可知减区间为(0，1).
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有(　　)
A．a≥
B．a≤
C．a>
D．a<
【解析】选D.函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，
则2a－1<0，即a<.
3．函数y＝在上是增函数，则k的取值范围是(　　)
A．k≥1
B．k≤1
C．k＞1
D．k＜1
【解析】选D.k－1＞0时，由y＝的图象可知，在区间，上是减函数；当k－1＜0时，由y＝的图象可知，在区间，上是增函数．
4．函数y＝x2－8x＋2的增区间是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.根据题意，由函数y＝x2－8x＋2是二次函数，开口向上，且对称轴为x＝4，可知在对称轴的右侧是单调递增的，故增区间为.
5．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)>f(－m)，求实数m的取值范围．
【解析】由函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)>f(－m)，得m2>－m，解得m<－1或m>0.
PAGE第2课时　函数的最大值、最小值
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
【问题1】要求公司所获利润最大，需要研究函数的哪个性质？
【问题2】对于函数R(x)，要求函数的最值需要用到什么知识？
【问题3】我们学习过哪些求二次函数最值的方法？
函数的最大值和最小值
定义：
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m)
条件
(1)?x∈I，都有f(x)≤M(2)?x0∈I，使得f＝M
(1)?x∈I，都有f(x)≥m(2)?x0∈I，使得f＝m
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称m是函数y＝f(x)的最小值
1．本质：函数图象上最高点的纵坐标即为最大值；最低点的纵坐标即为最小值．
2．混淆：函数的最值需要同时满足(1)(2)，特别是(2)容易忽视，并不是说函数恒小于某个数，该数就是函数的最大值．
函数f(x)＝－x2的定义域为R，存在实数1，?x∈R，都有f(x)≤1.那么1是函数f(x)＝－x2的最大值吗？为什么？
提示：不是．因为不存在x0∈R，使得f＝－x＝1.
1．任何函数都有最大值、最小值吗？
2．如果函数有最大值，那么最大值是唯一的吗？
3．如果一个函数f(x)是区间上的减函数，那么函数的最大值是f还是f？
提示：1.不一定；2.不一定唯一；3.f.
观察教材中烟花距离地面的高度h与时间t的函数h＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象3.2－4，函数h在区间上的值域为________．
提示：因为函数h在区间上单调递减，所以最大值为h＝27.8，最小值为h＝18，故函数h在区间上的值域为.
答案：[18，27.8]
1．函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为(　　)
A．f，f
B．f(0)，f
C．f，f(0)
D．f(0)，f(3)
【解析】选B.观察函数图象，
f(x)最大值、最小值分别为f(0),
f.
2．下列说法正确的是(　　)
A．若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b
B．若f(x)min＝a，f(x)max＝b则函数f(x)的值域为[a，b]
C．若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图象有交点
D．若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点
【解析】选A.值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对．f(x)min＝a，
f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错．若f(x)min＝a，由定义知一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错．
基础类型一　函数最值的实际应用(数学运算)
【典例】某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，那么当该公司在甲、乙两地各销售多少时，能获得最大利润？最大的利润是多少？
【解析】设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司总获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，所以当x＝9或10时，L最大为120万元．即该公式在甲地销售9台，乙地销售10台时，利润最大，最大利润为120万元．
关于实际问题的最值问题
(1)实际问题中的最值问题往往与一元二次函数的最值相关，用配方法或公式求最值；
(2)要注意实际问题中变量的实际意义，如本例中的自变量x∈N
.
如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m.
【解析】由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．对于函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，若x＝1函数有最大值h(x)max＝－12＋2×1＋＝(m).于是水流喷出的最高高度是
m.
答案：
基础类型二　利用单调性求最值(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)＝.求函数f(x)在区间[1，5]上的最值．
【解析】?x1，x2∈[1，5]，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为10，
且(2x1－1)(2x2－1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间[1，5]上单调递减．
因此，函数f(x)＝在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
【备选例题】
设函数f(x)＝2－.求函数f(x)在区间[2，5]上的最大值与最小值．
【解析】?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.
因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
所以f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(2)＝.
利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
微提醒：求最值的区间应是连续的区间，否则无法用单调性求最值．
已知函数f(x)＝.求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．
【解析】?x1，x2∈[2，9]，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝.
因为x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
所以函数f(x)在区间[2，9]上单调递增．
故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝＝，最小值为f(2)＝＝.
综合类型　一元二次函数的最值(数学运算)
　不含参数的最值问题
①函数
f(x)＝x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为________．
②函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为________．
【解析】①f(x)＝x2＋4x－6＝2－10，
因为－2<0，所以当x＝0时，f(x)取得最小值为－6；
所以当x＝5时，f(x)取得最大值为39.
所以函数f(x)的值域为[－6，39].
②函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]，
所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；
当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，
所以函数f(x)的值域是[－11，－2].
答案：①[－6，39]　②[－11，－2]
点拨：考查对称轴与区间的关系．
不含参数的最值问题
首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系，
(1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到；
(2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得．
　含参数的最值问题
【典例】已知g(x)＝x2－2mx－15，求函数g(x)在x∈[0，2]上的最小值．
【解析】g(x)＝x2－2mx－15，x∈，对称轴为x＝m，
当m>2时，g(x)min＝g＝4－4m－15＝－4m－11；
当m<0时，g(x)min＝g＝－15；
当0≤m≤2时，g(x)min＝g＝m2－2m2－15＝－m2－15.
综上所述，g(x)min＝
本例的条件不变，试求函数g(x)的最大值．
【解析】当m≤1时，g(x)max＝g＝－4m－11；
当m>1时g(x)max＝g(0)＝－15.
综上所述，g(x)max＝
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为x＝m为例，区间为，则有
(1)最小值：f(x)min＝；
(2)最大值：f(x)max＝.
当开口向下时，可用类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．
创新拓展　“对勾”函数的值域(数学运算)
【典例】函数f(x)＝x＋的值域为________．
【解析】函数f(x)＝x＋的定义域为.
当x>0时，f(x)＝x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，x＝时等号成立；
当x<0时，f(x)＝x＋＝－≤
－2＝－2，当且仅当－x＝，x＝－时等号成立．所以函数f(x)＝x＋的值域为∪
答案：∪
“对勾”函数y＝x＋(a>0)的单调性及值域
函数图象如图所示，则函数y＝x＋的单调增区间是(－∞，－]和[，＋∞).单调减区间是(－，0)和(0，).值域为∪.
创新题型　恒成立问题(数学运算)
【典例】设函数f(x)＝x2－x＋m.若对于x∈，f(x)>m－4恒成立，求m的取值范围．
【解析】由题意，当x∈时，x2－x＋4>0恒成立，即x∈时，m由基本不等式得x＋－1≥2－1＝3，
当且仅当x＝2时，等号成立，
所以m<3，因此实数m的取值范围是.
关于恒成立问题
(1)利用参数分离法，转化为最值问题；
(2)不能分离参数的，结合函数的图象构造不等式求范围．
【加固训练】
已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足条件f(x＋1)－f(x)＝2x(x∈R)，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x≥0时，f(x)≥mx－3恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由f(0)＝1得，c＝1，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
化简得2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，
可得：a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1；
(2)由题意得x2－x＋1≥mx－3，x∈[0，＋∞)恒成立．即g(x)＝x2－(m＋1)x＋4≥0，x∈[0，＋∞)恒成立．
其对称轴x＝，①当≤0，
即m≤－1时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(0)＝4＞0，所以m≤－1成立．
②当＞0时，满足解得－1＜m≤3.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，3].
1．函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为
(　　)
A．f(2)，f(－2)
B．f，f(－1)
C．f，f
D．f，f(0)
【解析】选C.根据函数最值定义，结合函数图象可知，
当x＝－时有最小值f；
当x＝时有最大值f.
2．函数f(x)＝2－在区间[1，3]上的最大值是(　　)
A．2
B．3
C．－1
D．1
【解析】选D.容易判断函数f(x)在区间[1，3]上是增函数，所以在区间[1，3]上的最大值是f(3)＝1.
3．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为(　　)
A．42，12
B．42，－
C．12，－
D．无最大值，－
【解析】选D.因为f(x)＝2－，x∈(－5，5)，
所以当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是
(　　)
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
【解析】选C.依题意，当a>0时，2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；
当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2.
PAGE3.2.2　奇　偶　性
第1课时　函数奇偶性的概念
初中我们学习过一元二次函数y＝x2，一元一次函数y＝2x，图象如图所示：
【问题1】两个函数是轴对称图形还是中心对称图形？
【问题2】两个函数的对称轴或对称中心分别是什么？
【问题3】在数学中，我们怎样定义这样的函数？
1．函数的奇偶性
前提
设函数f(x)的定义域为I,如果?x∈I,都有-x∈I,
条件
且f(-x)=f(x)
且f(-x)=-f(x)
结论
那么函数f(x)就叫做偶函数
那么函数f(x)就叫做奇函数
1．本质：函数最重要的性质之一，当自变量互为相反数时，函数值相等则为偶函数，函数值互为相反数则为奇函数．反映在图象上关于y轴对称的为偶函数，关于原点对称的为奇函数．
2．混淆：函数的单调性是针对函数定义域或定义域上一个区间而言，是局部概念，函数的奇偶性是针对定义域内任意x而言，是整体概念．
函数奇偶性定义的前提条件是“如果?x∈I，都有－x∈I”，说明奇偶函数的定义域有什么特征？
提示：关于原点对称．
2．奇偶函数的图象特征
(1)函数是偶函数?图象关于y轴对称；
(2)函数是奇函数?图象关于原点对称．
1．若已知函数的图象关于y轴对称，那么函数是什么函数？
提示：偶函数．
2．有没有既是偶函数，又是奇函数的函数？
提示：有，如函数y＝0.
1．如果定义域内存在x0，满足f(-x0)＝f(x0)，函数f(x)是偶函数吗？
2．若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)＋f(-x)＝0，则函数f(x)是奇函数吗？
3．奇函数的图象一定过原点吗？
提示：1.不是.2.是.3.不一定．
观察教材图3.2?7(2)，若a>0，g(a)＝，那么g(-a)＝？
提示：
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)
【解析】选B.选项A中的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，故排除；选项C，D中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B中的函数图象关于y轴对称，是偶函数．
2．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________．
【解析】偶函数的定义域关于原点对称，故t－4＝－t，解得t＝2.
答案：2
基础类型一　奇偶性的判断(直观想象、逻辑推理)
1．函数f(x)＝2x－的图象关于(　　)
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．直线y＝x对称
D．坐标原点对称
【解析】选D.函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
则f(－x)＝－2x＋＝－＝－f(x)，
则函数f(x)是奇函数，则函数f(x)＝2x－的图象关于坐标原点对称．
2．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
【解析】(1)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称．
f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
所以f(x)是非奇非偶函数．
(3)方法一：作出函数的图象如图所示：
因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．
方法二：f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
　判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法：
(2)图象法：
微提醒：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．
【结论通通用】
若函数f(x)，g(x)具有共同的定义域，那么由函数f(x)，g(x)的奇偶性可以得到其加、减、乘、除的奇偶性，其规律是：
偶±偶＝偶、奇±奇＝奇、偶×偶＝偶、偶×奇＝奇、奇×奇＝偶，相除时类似于相乘的情况．
【典例】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
【解析】选D.当x∈R时，－x∈R，
设g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，
所以f(x)＋f(－x)是偶函数．
基础类型二　奇偶函数图象的应用(直观想象)
【典例】(1)如图是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信息，下列结论正确的是(　　)
A．f(－2)－f(6)＝0
B．f(－2)－f(6)<0
C．f(－2)＋f(6)<0
D．f(－2)－f(6)>0
【解析】选B.由图象可知，f(2)又因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，
所以f(－2)－f(6)<0.
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
【解析】由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3).又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3).综上可知不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3).
答案：[－6，－3)∪(0，3)
　巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性．
(2)作出函数在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的图象．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在平面直角坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
【解析】(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)观察图象，知f(3)综合类型　利用函数的奇偶性求值(数学运算)
　利用奇偶性求函数值
【典例】(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【解析】选C.因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.
(2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21
B．－21
C．26
D．－26
【解析】选B.设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，
由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，
求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，
所以g(3)＝－g(－3)＝－13，
于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.
　利用函数的奇偶性求值
利用函数奇偶性的定义式f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)进行转化求值，或者构造方程组求值．
【加固训练】
已知函数f(x)=ax3+bx++5,满足f(-3)=2,则f(3)的值为________.?
【解析】因为f(x)=ax3+bx++5,
所以f(-x)=-ax3-bx-+5,
即f(x)+f(-x)=10.
所以f(-3)+f(3)=10,又f(-3)=2,
所以f(3)=8.
答案:8
　利用奇偶性求参数值
【典例】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝________．
【解析】因为x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，
所以f(2)＝5＋2m，f(1)＝2＋m，
又f(－1)＝－f(1)＝－2－m，
所以5＋2m＝3(－2－m)，所以m＝－.
答案：－
若函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2是奇函数，则a＝________．
【解析】因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
得－x3＋(a＋1)x2＝－x3－(a＋1)x2，
即(a＋1)x2＝0，即a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
　利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
【加固训练】
已知f(x)是定义在R上的奇函数,若当x>0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=(　　)
A.3
B.1
C.-1
D.-3
【解析】选D.因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,
所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,
所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.
答案：-3.
1．函数f(x)＝x(－1A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【解析】选C.因为函数的定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．
2．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是(　　)
【解析】选B.AD不是函数的图象，C是偶函数的图象．
3．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
【解析】选C.函数f(x)＝－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．
4．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是(　　)
A．(a，－f(a))
B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a))
D．(a，f(－a))
【解析】选B.因为f(x)为奇函数，所以f(－a)＝－f(a)，
所以点(－a，－f(a))在函数y＝f(x)的图象上．
5．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝______．
【解析】当x>0时f(x)＝x2＋，所以f(1)＝1＋1＝2.又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
PAGE第2课时　函数奇偶性的应用
基础类型　利用奇偶性求解析式(数学运算)
1．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于(　　)
A．x2
B．2x2
C．2x2＋2
D．x2＋1
【解析】选D.因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①
所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，
所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②
由①②联立，得f(x)＝x2＋1.
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x＋－4.求函数f(x)在R上的解析式．
【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0，
由x＞0时，f(x)＝x＋－4可知，
f(－x)＝－x－－4，
又f(x)为奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝x＋＋4(x<0)，
所以函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝.
　利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
微提醒：定义在R上的奇函数f(x)一定有f(0)＝0.
综合类型　函数奇偶性与单调性的应用(逻辑推理)
　比较大小
【典例】1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)，则下列各式中一定成立的是(　　)
A．f(－1)B．f(0)C．f(3)>f(2)
D．f(2)>f(0)
【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1).
又f(3)>f(1)，所以f(3)>f(－1).
2．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则下列关系正确的是(　　)
A．f(1)＞f(－2)＞f(3)
B．f(3)＞f(1)＞f(－2)
C．f(1)＞f(3)＞f(－2)
D．f(－2)＞f(1)＞f(3)
【解析】选A.根据题意，y＝f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－2)＝f(2)，
又由函数图象可得：f(x)在(0，＋∞)上为减函数，即有f(1)＞f(2)＞f(3)，则有f(1)＞f(－2)＞f(3).
点拨：根据奇偶性，已知y轴一侧的单调性可得另一侧的单调性．
　奇偶性与单调性的关系
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)利用奇偶性转化到一个单调区间，再利用单调性比较大小．
　解不等式
【典例】(2021·昆明高一检测)已知偶函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x＋1)≤0，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3]
B．[1，＋∞)
C．[－3，1]
D．[－∞，－3]∪[1，＋∞)
【解析】选D.因为偶函数f(x)区间(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，
所以f(－2)＝f(2)＝0，
则不等式f(x＋1)≤0，等价为f(|x＋1|)≤f(2)，
则|x＋1|≥2，解得x≤－3或x≥1.
1．本例条件不变，试解不等式xf(x)>0.
【解析】当x>0时，f(x)>0，
因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，所以0当x<0时，f(x)<0，
因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，f(－2)＝0，所以x<－2.
所以不等式的解集是(-∞，-2)∪(0,2).
2．本例中，将条件变为“奇函数f(x)在区间R上单调递增”，试解不等式
f(2x＋1)＋f(2－x)＜0.
【解析】因为f(x)是R上的奇函数，在R上为增函数，
又f(2x＋1)＋f(2－x)＜0，
所以f(2x＋1)＜f(x－2)，
所以2x＋1＜x－2，
解得x＜－3.
即不等式的解集为(－∞，－3).
利用函数的奇偶性、单调性解不等式
(1)奇函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用单调性可直接得到a，b的大小的不等式；
(2)偶函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考虑，的大小的不等式．
微提醒：解不等式不能忽视定义域，解出的范围要与定义域求交集．
创新探究　探究函数的性质(逻辑推理)
【典例】研究函数y＝x－的性质，并作出函数的图象．
【解析】函数的定义域为D＝，
从而可知函数的图象有左右两部分．
设f(x)＝x－，则对任意x∈D，都有－x∈D，
而且f(-x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数y＝x－是奇函数，函数的两部分图象关于原点对称．
?x1，x2∈，且x1f(x2)－f(x1)＝－＝(x2-
x1)
(x2-
x1)＋
＝(x2-
x1)＋＝(x2－x1)，
因为x1，x2∈(0,+∞)，且x1所以x2－x1>0，1＋>0，
所以(x2－x1)>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x2)>f(x1)，
所以函数y＝x－在x∈(0,+∞)上是增函数．
列出部分函数值如表所示，描点作图．
x
1
2
3
y＝x－
－
0
再根据函数是奇函数，可得出函数图象如图所示，
　如何探究函数的性质及图象
应探究函数的定义域、奇偶性、单调性．顺序是先求函数的定义域，再判断是否具有奇偶性，如果具有奇偶性，则只探究y轴右侧的函数单调性及图象，y轴左侧的可以根据奇偶性得到．
1．如果偶函数在区间[a，b]上具有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上(　　)
A．有最大值
B．有最小值
C．没有最大值
D．没有最小值
【解析】选A.因为偶函数关于y轴对称，所以在区间[－b，－a]上有最大值．
2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)
A．x＋1
B．x－1
C．－x－1
D．－x＋1
【解析】选A.当x<0时，－x>0，
所以f(-x)＝－x－1，
所以－f(x)＝－x－1，所以f(x)＝x＋1.
3．(2021·泰安高一检测)设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若是函数F(x)的单调递增区间，则一定是F(x)的单调递减区间的是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在上F(x)一定单调递减．
4．已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则
f(－2)，f(－π)，f(3)的大小关系是________．
【解析】本题是利用函数的单调性比较函数值的大小．当自变量的值不在同一区间上时，利用函数的奇偶性，化到同一单调区间上比较其大小．因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又因为f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，2＜3＜π，所以f(2)＜f(3)＜f(π)，
所以f(－2)＜f(3)＜f(－π).
答案：f(－2)＜f(3)＜f(－π)
5．函数f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，且在x∈(0，＋∞)单调递增，则f(x)＞0的解集为______．
【解析】由题可知，
所以f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b＝a(x2－4)，
因为f(x)＞0，所以x2－4＞0，解得x＞2或x＜－2，
所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
PAGE3.3　幂　函　数
观察下列函数：
(1)y＝x2，y＝，y＝x3，y＝x5，…；
(2)y＝x－1，y＝x－2，y＝，y＝x－3，y＝x－5，….
【问题1】这两组函数有什么共同的特征？
【问题2】这样的函数是怎样定义的？
【问题3】两组函数有什么不一样的性质？
1．幂函数的定义
一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中__x__是自变量，__α__是常数．
2．常见幂函数的图象与性质
(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝和y＝x－1的图象都过点__(1,1)__；
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是__奇__函数，函数y＝x2是__偶__函数；
(3)在区间(0,+∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝单调__递增__，函数y＝x－1单调__递减__；
(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与__y__轴无限接近，向右与__x__轴无限接近．
本质：(1)幂函数的一般形式是y＝xα，其中，α可为任何常数，但中学阶段仅研究α为有理数的几种特殊情形．
(2)当α为有理数时，可表示为y＝·(－1)k，其中m，n，k∈N
，且m，n互质．特别地，当n＝1时为整数指数幂．
在区间(0，＋∞)上，幂函数y＝xα有怎样的单调性？
提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，
y＝xα是减函数．
1.函数y＝2x是幂函数吗？
2．幂函数的图象一定过点(0，0)和(1，1)吗？
3．幂函数的图象为什么不过第四象限？
提示：1.不是；2.不一定；3.因为当x>0时，xα>0，因此幂函数的图象不过第四象限．
下列结论正确的是(　　)
A．幂函数图象一定过原点
B.当α<0时，幂函数y＝xα是减函数
C.当α>1时，幂函数y＝xα是增函数
D.函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
【解析】选D.函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．
基础类型一　幂函数的概念(数学抽象)
1．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x2
C.f(x)＝(x≥0)
D．f(x)＝x－1(x≠0)
【解析】选C.设f(x)＝xα，α∈R；由幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以4α＝2，解得α＝；所以函数f(x)的解析式为f(x)＝＝(x≥0).
2．(2021·福州高一检测)若函数f(x)＝(t＋2)xt－1是幂函数，则这个函数的解析式为________．
【解析】因为t＋2＝1，所以t＝－1，所以f(x)＝x－2.
答案：f(x)＝x－2
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝______．
【解析】由f(2)＝可知2α＝，即α＝－，
所以f(4)＝＝.
答案：
　幂函数的概念及应用
判断一个函数是否为幂函数的依据：
(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
微提醒：幂函数的自变量在底数上，不是在指数上．
基础类型二　幂函数图象的应用(直观想象)
【典例】1.(2021·盐城高一检测)函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
【解析】选B.y＝的图象在第一象限，函数y＝－1的图象可看作是由y＝的图象向下平移1个单位长度得到的，将y＝－1的图象关于x轴对称后即为选项B所示图象．
2．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
【解析】选C.当a<0时，函数y＝ax－是减函数，且在y轴上的截距－>0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以B，D选项均不正确．对于A，C选项，由y＝ax－是增函数可知a>0，则y＝xa在x∈(0，＋∞)上应为增函数，A选项错，C选项正确．
【备选例题】
(2021·西安高一检测)函数y=的图象是(　　)
【解析】选B.直接由幂函数的图象特征判定.
　关于幂函数的图象
(1)注意幂函数的变化特点，如递增、递减的特征，与x轴、y轴的接近等，以区分α的范围；
(2)对于α的不同取值，可以与α＝－1，1，2，3，时的幂函数图象类比判断．
(多选)(2021·衡水高一检测)下列命题中不正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图象不可能在第四象限
【解析】选ABC.当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为两条射线，故A选项不正确；
当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故选项B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；
当x>0，α∈R时，y＝xα>0，故幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确．
综合类型　幂函数性质的综合应用
(直观想象、数学运算)
比较大小
【典例】1.(2021·宿迁高一检测)a＝1.，b＝，c＝1.的大小关系是(　　)
A．cB．aC．bD．c【解析】选D.因为y＝是增函数，所以1.>>1.，即a>b>c.
2．(2020·郑州高一检测)设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cB．aC．aD．c【解析】选A.a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，
由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c点拨：利用幂函数比较大小关键是构造函数y＝xα.
　关于利用幂函数的性质比较大小
(1)将幂的指数化为相同的实数α，构造幂函数y＝xα；
(2)根据α的取值确定幂函数的单调性，利用单调性比较大小．
【加固训练】
设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是
(　　)
A.a>b>c
B.c>a>b
C.aD.b>c>a
【解析】选C.因为a==,b==,c==,又函数f(x)=单调递增,且<<,所以a　综合应用
【典例】(2021·衢州高一检测)已知幂函数f(x)＝xm＋2过点(2，8)，且f>8，则实数x的取值范围是________.
【解析】因为幂函数f(x)＝xm＋2过点(2，8)，所以2m＋2＝8，求得m＝1，幂函数f(x)＝x3.所以f(x)＝x3在R上单调递增，因为f(2x+1)>8，即f(2x+1)>f(2)，
所以2x＋1>2，x>.
答案：
本题的条件不变，若f(k2＋6)＋f(6－7k)＜0，则实数k的取值范围是________．
【解析】因为幂函数f(x)＝xm＋2过点(2，8)，
所以2m＋2＝8，求得m＝1，幂函数f(x)＝x3.
显然，f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
因为f(k2＋6)＋f(6－7k)＜0，
即f(k2＋6)＜－f(6－7k)＝f(7k－6)，
所以k2＋6＜7k－6，解得3＜k＜4.
答案：(3，4)
　关于幂函数性质的应用
根据条件确定幂函数的类型，再按照幂函数的奇偶性、单调性，转化为解方程、解不等式求解．
微提醒：不宜盲目代入，应利用幂函数的性质转化求解．
1．下列函数是幂函数的是(　　)
A．y＝5x
B．y＝x5
C．y＝5x
D．y＝(x＋1)3
【解析】选B.函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；
函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2．下列函数中，定义域是R的是(　　)
A．y＝x－2
B．y＝
C．y＝x2
D．y＝x－1
【解析】选C.函数y＝x－2，y＝x－1的定义域为{x|x∈R，x≠0}，函数y＝的定义域为{x|x≥0}，函数y＝x2的定义域为R.
3．幂函数f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m的值为______．
【解析】设f(x)＝xα，则2α＝m，mα＝(2α)α＝2α2＝16，
所以α2＝4，所以α＝±2，所以m＝4或.
答案：4或
4．判断大小：2.________2.(填“>”或“<”)
【解析】因为y＝为[0，＋∞)上的增函数，
且2.3<2.4，所以2.<2..
答案：<
5．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(，2)，则f(9)＝______.
【解析】因为幂函数f(x)＝xα的图象过点(，2)，
所以f()＝()α＝2，
解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(9)＝92＝81.
答案：81
PAGE3.4　函数的应用(一)
基础类型一　建立函数模型解决实际
问题(数学建模)
【典例】据调查，某地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车量为x辆次，存车处总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4
000)
B．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4
000)
D．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
【解析】选D.根据题意可知总收入分为两部分：
普通车存车费用0.2x元，
变速车存车费用0.3(4
000－x)元．
所以y＝0.2x＋1
200－0.3x＝－0.1x＋1
200.
　关于建立函数模型解决实际问题
在函数建模中，二次函数模型占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．
微提醒：结合实际情景确定函数的定义域．
把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是______cm2.
【解析】设一个三角形的边长为x
cm，
则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋
(4－x)2＝(x－2)2＋2≥2，所以这两个正三角形面积之和的最小值是2cm2.
答案：2
基础类型二　利用函数图象模型解决
实际问题(直观想象，数学运算)
【典例】某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资的函数模型为y＝k1x，B产品的利润与投资的函数模型为y＝k2xα(利润和投资的单位为百万元)，其关系分别如图①和图②所示．
(1)分别求出A，B两种产品的利润与投资的函数解析式；
(2)该企业已筹集资金1千万元，并准备全部投入到A，B两种产品的生产中，问怎样分配这1千万元，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少？(精确到万元)
【解析】(1)A产品：y＝k1x过点(1，0.5)，所以k1＝.
B产品：y＝k2xα过点(4，2.5)，(9，3.75).
所以所以
所以A产品利润与投资的函数解析式为：y＝x(x≥0)，B产品利润与投资的函数解析式为：y＝(x≥0).
(2)设投资B产品x百万元，则投资A产品(10－x)百万元．总利润y＝(10－x)＋＝－＋(0≤x≤10).
所以当＝1.25，x＝1.562
5≈1.56时，ymax≈5.78，
此时10－x＝8.44.故投资A产品844万元，投资B产品156万元时，总利润最大，约为578万元．
　关于图象在实际问题中的应用
首先理解并提取图象中的数据，确定图象对应的函数类型，利用函数类型及图象中数据确定函数的解析式，表示出目标函数，再利用函数知识解题．
一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为(　　)
A．100
km
B．125
km
C．150
km
D．225
km
【解析】选C.t＝2时，汽车行驶的路为s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km).
综合类型　分段函数在实际问题中的
应用(数学建模、数学运算)
【典例】1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位：元)由函数f(m)＝给出，其中[m]是不小于m的最小整数，例如[2]＝2，[1.21]＝2，那么从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为(　　)
A．3.71元
B．4.24元
C．4.7元
D．7.95元
【解析】选B.由[m]是不小于m的最小整数可得[5.2]＝6，
所以f(5.2)＝1.06×(0.5×6＋1)＝1.06×4＝4.24，
故从甲地到乙地通话5.2分钟的话费为4.24元．
2．某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/t
每吨收费标准y/元
x≤2
m
23
x>4
n
已知某用户1月份用水量为8
t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6
t，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式．
(2)若某用户3月份用水量为3.5
t，则该用户需缴纳的水费为多少元？
(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水．
【解析】(1)由题设可得y＝
当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，
代入得解得
所以y关于x的函数解析式为y＝
(2)当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5(元).
故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．
(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.
故该用户最多可以用6.5
t水．
　关于分段函数在实际问题中的应用
(1)分段函数在不同范围的解析式不同，因此确定分段函数的解析式是解题的关键；
(2)此类问题往往涉及范围、最值等问题，可以通过解不等式、求最值等方法解决．
微提醒：注意分界点处自变量、函数值的取值．
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)
A．310元
B．300元
C．290元
D．280元
【解析】选B.设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1，800)，(2，1
300)，
则解得
所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.
所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
2．一辆汽车在某段路中的行驶路程s关于时间t的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)
A.一次函数
B．二次函数
C．分段函数
D．无法确定
【解析】选C.由题图知在不同时段内，路程曲线不同，故函数模型为分段函数．
3．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40
000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套(　　)
A．2
000双
B．4
000双
C．6
000双
D．8
000双
【解析】选D.由5x＋40
000≤10x，
得x≥8
000，即日产手套至少8
000双才不亏本．
4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数).
已知工人组装第4件产品用时30
min，组装第A件产品用时15
min，那么c和A的值分别是(　　)
A．75，25
B．75，16
C．60，25
D．60，16
【解析】选D.由题意知组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，
解得c＝60，将c＝60代入＝15，解得A＝16.
5．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是________．
【解析】由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，
配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．
答案：9
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