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(共24张PPT)
21.3实际问题与一元二次方程
---几何图形
人教版
九年级上
教学目标
1.通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题
的能力.（重点）
2.在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程.（重点）
情境导入
(80+2x)(60+2x)=5200
假如有一幅画长80cm，宽60cm，要给它四周裱上同样的宽度
木框，使它总面积达到5200cm2
，设木框宽度xcm，你能列出等式吗？
生活中，为了美观，我们经常看到给字画进行装裱，那为什么要装裱呢？我们一起来看一看
合作探究
探究：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何
设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
27cm
21cm
合作探究
分析：这本书的长宽之比
：
，正中央的矩形长宽之比
：
.
9
7
9
7
27cm
21cm
设中央矩形的长和宽分别为9a
cm和7a
cm由此得到上下边衬宽度之比为：
合作探究
解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm.依题意,得
解方程得:
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm.
方程的哪个根合乎实际意义?为什么?
合作探究
思考:
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意,得
解得:
故上、下边衬的宽度为:
故左、右边衬的宽度为:
答：上下边衬的宽度为:1.8cm,左右边衬的宽度为1.4cm.
典例精析
20
32
x
x
解：设道路的宽为x米.
例1
如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？
还有其他解法吗？
方法一：
典例精析
20
32
x
x
解：设道路的宽为
x
米.
20-x
32-x
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
解得
x1=2，x2=50
当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.
∴取x=2.
答：道路的宽为2米.
方法二：
知识点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题上，通过“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些。
小试牛刀
1、如图，某小区在一个长为40
m，宽为26
m
的长方形场地ABCD
上修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB
平行，另一条与AD
平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144
m2，求甬路的宽度.
小试牛刀
?
分析：将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设甬路的宽为x
m，则草坪总面积为(40-2x)(26-x)m2，所列方程为(40-2x)(26-x)＝
144×6.
小试牛刀
解：设AB长是x
m.
(58-2x)x=200
x2-29x+100=0
x1=25，x2=4
当x=25时，58-2x=8
当x=4时，58-2x=50
答：猪圈的边长AB和BC的长各是25m，8m或4m，50m.
2、如图，要利用一面墙(墙足够长)建猪圈，用58
m的围栏围成面积为
200
m2的矩形猪圈，则猪圈的边长AB和BC的长各是多少米？
D
C
B
A
小试牛刀
解：设AB长是x
m.
(58-2x)x=200
x1=25，x2=4
x=25时，58-2x=8<25，
x=4时，58-2x=50>25，
(舍去)
答：猪圈的边长AB和BC的长各是25m，8m.
变式训练
如图，要利用一面墙(墙长为25
m)建羊圈，用58m的围栏围成面积为200
m2的矩形猪圈，则猪圈的边长AB和BC的长各是多少米？
D
C
B
A
25
m
知识点拨:围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.
综合演练
B
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为800平方米的矩形绿地，并且长比宽多15米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(
)
A．
x(x－15)＝800
B．
x(x＋15)＝800
C．15(x＋15)＝800
D．2[x＋(x＋15)]＝800
综合演练
2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1
m，另一边减少了2
m，剩余空地的面积为82
m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x
m，则可列方程为(
)
A．(x＋1)(x＋2)＝82
B．
x2－3x＋80＝0
C．(x－1)(x－2)＝82
D．x2＋3x＋80＝0
C
综合演练
3.
在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
B
综合演练
4、在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为
x
米.
(32-x)(20-x)=540
可列方程为
x1=2，
x2=50
(舍去)
答：这种方案下的道路的宽为2米。
综合演练
5、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
住房墙
1m
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x
m，
由题意得
x(25-2x+1)=80
化简，得
x2-13x+40=0
解得
x1=5，x2=8
当x=5时，26-2x=16>12
(舍去）
当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
能力提升
6．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5
cm，BC＝7
cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2
cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4
cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5
cm?
(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7
cm2？说明理由．
能力提升
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4
cm2.根据题意，得x(5－
x)＝4.
解得x1＝1，
x2＝4.
∵当x＝4时，2
x＝8>7，不合题意，舍去．
∴
x
＝1.
答：1
s后，△PBQ的面积等于4
cm2.
(2)设y秒后，PQ＝5
cm，则(5－
y)2＋(2y)2＝25.
解得y1＝0(舍去)，
y2＝2.
∴
y＝2.
答：2
s后，PQ的长度等于5
cm.
(3)设a秒后，△PBQ的面积等于7
cm2.根据题意，得a(5－a)＝7.
此方程无解．
∴△PBQ的面积不能等于7
cm2.
课堂总结
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题21.3
P22：第8、9题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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