资源简介

第14章　勾股定理
一、选择题(每题4分,共24分)
1.由下列条件能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A.(b+c)(b-c)=a2
B.∠A+2∠B=∠C
C.a=2,b=3,c=4
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
3.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”,应假设(　　)
A.四边形中所有角都是锐角
B.四边形中至多有一个角是钝角或直角
C.四边形中至多有一个角是锐角
D.四边形中所有角都是钝角或直角
4.已知Rt△ABC的三边长分别为a,b,c.若a=8,b=15,则c2等于(　　)
A.161 B.289
C.225 D.161或289
5.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E.若AC=3,AB=5,则DE等于(　　)
图1
A.2 B. C. D.
6.如图2,有一长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A沿长方体的表面爬到点B处,则它需要爬行的最短路径长为(　　)
图2
A. cm B. cm
C. cm D. cm
二、填空题(每题5分,共40分)
7.在△ABC中,∠C=90°,若AB=5,则AB2+AC2+BC2= 　　　　.?
8.求图3中直角三角形未知边的长度:b=　　　　 ,c= 　　　　.?
图3
9.如图4,已知△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,S1,S2,S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S2=225,则S3=　　　　.?
图4
10.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14 cm,c=12 cm,则Rt△ABC的面积为　　　　.?
11.在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,则另一边BC=　　　　,面积为　　　　,AB边上的高为　　　　.?
12.如图5,在长方形ABCD中,E是BC边的中点,长方形ABCD的周长是20 cm,AE=5 cm,则AB的长为　　　　　cm.?
图5
13.如图6,AB为一棵大树,BC为地面,且AB⊥BC,在树上距地面10 m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上C处有一筐水果,一只猴子从D处向上爬到树顶A处,然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经过的路程都是15 m,则树高AB是　　　　.?
图6
14.如图7,在△ABC中,∠ACB=90°,O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,D,E,F分别是垂足,且BC=8 cm,AC=6 cm,则点O到边AB的距离为　　　　cm.?
图7
三、解答题(共36分)
15.(8分)如图8,在△ABC中,点D在BC边上.若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.
(1)判断△ABD的形状;
(2)求△ABC的面积.
图8
16.(8分)如图9,在离水面高度为4米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为8米,此人以每秒0.5米的速度收绳,则6秒后船向岸边移动了多少米(结果保留根号)?
图9
17.(10分)由于大风,山坡上的一棵树甲在点A处被拦腰折断,如图10,其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处.已知AB=1米,BC=5米,两棵树的水平距离为3米,请计算出甲树原来的高度(结果保留根号).
图10
18.(10分) 如图11,A,B两个小镇在河流CD的同侧,到河的距离分别为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现要在河边建一自来水厂,向A,B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万元.请你选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用.
图11
答案
1.A　[解析] ∵(b+c)(b-c)=b2-c2=a2,
即b2=a2+c2,
∴△ABC为直角三角形,故A选项符合题意;
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A+2∠B=∠C,
∴2∠C=180°+∠B,
∴∠C=90°+∠B>90°,
∴△ABC不是直角三角形,
故B选项不符合题意;
∵22+32≠42,
∴a2+b2≠c2,
∴△ABC不是直角三角形,
故C选项不符合题意;
∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,
∴∠A=180°×=45°,∠B=180°×=60°,∠C=180°×=75°,
∴△ABC不是直角三角形,
故D选项不符合题意.
故选A.
2.A
3.A
4.D
5.C　[解析] 如图,连结AE.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==4.由作法可知:MN是AB的垂直平分线,
∴AE=BE.
在Rt△ACE中,由勾股定理,得AC2+CE2=AE2,
即32+(4-AE)2=AE2,解得AE=.
在Rt△ADE中,AD=AB=,
由勾股定理,得DE2+2=2,
解得DE=.故选C.
6.B　7.50
8.12　30　[解析] 根据勾股定理即可求得未知边的长.熟练运用勾股定理,计算的时候注意简便方法的运用.
根据勾股定理,得b===12,c==30.
9.144
10.13 cm2　[解析] 如图,∵∠C=90°,
∴a2+b2=c2=144,
∴(a+b)2-2ab=144,
∴196-2ab=144,
∴ab=26,
∴S△ABC=ab=13 cm2.
故答案为13 cm2.
11.8　24　4.8　[解析] 根据勾股定理,得BC==8,面积是×6×8=24,
AB边上的高为=4.8.
12.4
13.12 m　[解析] 在Rt△ABC中,∠B=90°,
设BC=a m,AC=b m,AD=x m,
则10+a=x+b=15(m),
∴a=5,b=15-x.
又在Rt△ABC中,由勾股定理得
(10+x)2+a2=b2,
∴(10+x)2+52=(15-x)2,
解得x=2,即AD=2 m,
∴AB=AD+BD=2+10=12(m).
故答案为12 m.
14.2　[解析] 由题意,得OD=OE=OF.
根据勾股定理,得AB===10(cm).
∵S△ABC=AC·BC=×6×8=24(cm2).
又S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=AB·OF+BC·OD+AC·OE
=·OF+·OF+·OF
=12·OF
=24,
∴OF=2 cm.
15.解:(1)在△ABD中,∵BD2+AD2=62+82=100,AB2=102=100,∴BD2+AD2=AB2.根据勾股定理的逆定理可知△ABD是直角三角形.
(2)由(1)可知∠ADB=90°,
∴∠ADC=180°-∠ADB=90°,
∴△ADC是直角三角形,
∴DC===15,
∴BC=BD+DC=6+15=21,
∴S△ABC=BC·AD=×21×8=84.
16.解:在Rt△CAB中,由勾股定理,得AB===(米).
设经过拉绳,6秒后小船到达点D处,如图.
在Rt△CAD中,
AC=4米,CD=8-0.5×6=5(米),
由勾股定理,得
AD===3(米).
∴DB=AB-AD=(-3)米.
答:6秒后船向岸边移动了(-3)米.
17.解:过点C作CH⊥AB,交AB的延长线于点H.
在Rt△BCH中,CH=3米,BC=5米,
由勾股定理,得BH==4(米),
∴AH=5米.
在Rt△ACH中,由勾股定理,得
AC==(米),
∴甲树原来的高度为(1+)米.
18.[解析] 本题求最节省的费用,实际就是要使AM与BM的和最小,可作点A关于CD的对称点A',连结BA',与CD交于点M,则点M即为所求.然后再利用勾股定理求出A'B的长就是AM+BM的最小值.本题综合考查轴对称的性质和勾股定理,解决本题的关键是求出点M的位置.
解:如图,作出点A关于CD的对称点A',连结BA',与CD交于点M,则点M即为所求的水厂的位置,此时AM+BM=A'M+BM=A'B.过点A'作BD的垂线交BD的延长线于点E,则DE=A'C=AC=10千米.在Rt△A'BE中,BE=30+10=40(千米),A'E=CD=30(千米),由勾股定理,得A'B==50(千米),
因此总费用为3×50=150(万元).

展开更多......

收起↑