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第9讲
直线和椭圆的位置关系
[玩前必备]
一、直线与椭圆的位置关系
1．位置关系的判断
直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ，
(1)Δ>0?直线与椭圆相交；(2)Δ＝0?直线与椭圆相切；(3)Δ<0?直线与椭圆相离．
2．弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝
|y1－y2|.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.
[玩转典例]
题型一　直线与圆的位置关系的判断
例1　若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　　
B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5)
D．[1,5)∪(5，＋∞)
例2　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[玩转跟踪]
1．（2020·全国高三课时练习（理））已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞)
B．(－∞，3]
C．(3，＋∞)
D．(－∞，3)
2.（2020·全国高二课时练习）若直线没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（
）
A．2个
B．至多一个
C．1个
D．0个
题型二　椭圆的弦长问题
例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．
[玩转跟踪]
1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为(　　)
A．±1　　　　　　　　
B．±
C.
D．±
2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
题型三
中点弦问题
例4　(1)已知椭圆＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________________．
(2)焦点是F(0,5
)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为________________．
例5　如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
[玩转跟踪]
1．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
2．已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称，求实数m的取值范围．
题型四
椭圆大题
例6　设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．
[玩转跟踪]
1．已知动点M到两定点F1(－m,0)，F2(m,0)的距离之和为4(0(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，且·＝2(O为坐标原点)，求k的值．
[玩转练习]
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A．至多一个　　　　　
B．2
C．1
D．0
2．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A．－　　　　　　　　
B．－
C．－
D．－
3．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)
A.
B.
C.
D．2
4．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
5．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点M(2,1)在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点．下面结论正确的有(　　)
A．椭圆C的方程为＋＝1
B．kOM＝
C．－2＜m＜2
D．m≤－2或m≥2
6．(多选)已知B1，B2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)短轴上的两个顶点，点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q与点P关于y轴对称，则下列四个命题中正确的是(　　)
A．直线PB1与PB2的斜率之积为定值－
B．·＞0
C．△PB1B2的外接圆半径的最大值为
D．直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线
7．已知椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为(　　)
A．(1,6)
B．(1,5)
C．(3,6)
D．(3,5)
8．(一题两空)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．则椭圆C的方程为________；若点M的坐标为，且MN⊥PQ，则线段MN所在的直线方程为_____________．
9．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是____________．
10．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为__________．
11．(2020·上饶模拟)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
12．(一题两空)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.
(1)椭圆C的方程为____________．
(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，则直线l的斜率k的值为________．　
13．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．
14．在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，＝
.记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求直线l的方程．
15.如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆C上任意一点，点A关于原点O的对称点为点B，有|AF1|＋|BF1|＝4，且∠F1AF2的最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若A′是点A关于x轴的对称点，设点N(－4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，直线A′E与x轴相交于点M，试求|NF1|·|MF2|的值．

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