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2020新版上海高一上数学复习卷19—二次函数
1．二次函数解析式的三种形式：
(1)一般式：f(x)＝ (a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝ (a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝ (a≠0)．
2．二次函数的图象与性质：
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、
值域、单调性分别是：
(1)对称轴：x＝ ；
(2)顶点坐标： ；
(3)开口方向：a＞0时，开口 ，a＜0时，开口 ；
(4)值域：a＞0时，y∈ ，a＜0时，y∈ ；
(5)单调性：a＞0时，f(x)在 上是减函数，在 上是增函数；
a＜0时，f(x)在上是 ，在上是_____________．
3．二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系：
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0的________，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0(或ax2＋bx＋c≤0)
解集的________．
4．二次函数在闭区间上的最值：
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的________或二次函数的________处
取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．
5．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)：
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数
之间的关系如表所示.
根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)　
图象
满足的条件
x1＜x2＜m
①
m＜x1＜x2
②
x1＜m＜x2
③f(m)<0.
m＜x1＜x2＜n
④
m＜x1＜n＜x2＜p
⑤
m⑥
只有一根在区间
(m，n)内
⑦ f(m)·f(n)<0.
答案：1．(1)ax2＋bx＋c　(2)a(x－h)2＋k　(3)a(x－x1)(x－x2)
2．(1)－　(2)　(3)向上　向下
(4) 　
(5)　　增函数　减函数
3．根　端点值 4．端点　顶点
类型一　求二次函数的解析式
　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得 解之得∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线对称轴为x＝＝，∴m＝，又根据题意，函数有最大值为8，
∴n＝8，∴f(x)＝a＋8.∵f(2)＝－1，即a＋8＝－1.解之得a＝－4.
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g(x)＝f(x)＋1的两个零点为2，－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8，解之得a＝－4，
∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋7.
【点拨】由条件f(2)＝f(－1)及f(x)的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x＝，
故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，－1看作函数g(x)＝f(x)＋1的两个零点，
利用零点式求g(x)的解析式，再求f(x)的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数
一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．
　已知y＝f(x)是二次函数，且f＝f对x∈R恒成立，f＝49，
方程f(x)＝0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式．
解：由x∈R，f＝f知，f(x)的对称轴为x＝－.又f＝49，则二次函数f(x)的
顶点坐标为，故设f(x)＝a＋49(a≠0)．
解法一：设方程f(x)＝a＋49＝0的两根为x1，x2，x1＋x2＝－3，x1x2＝＋，
则|x1－x2|＝＝＝7，
解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋49，即f(x)＝－4x2－12x＋40.
解法二：设f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，由两实根之差的绝对值为7得x1＝－－＝－5，
x2＝－＋＝2，将x1或x2代入f(x)＝0得a＝－4.从而得到f(x)＝－4x2－12x＋40.
类型二　二次函数的图象
　在同一坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠0)的图象可能是(　　)
解：抛物线y＝ax2＋bx过原点排除A，又直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx都过点，
排除B，C.故选D.
【点拨】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a的正负决定抛物线开口的方向，c确定抛物线在y轴
上的截距，b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)，再结合题设条件就不难解答了．
　设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)＝0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
解：∵函数y＝f(x)图象的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，∴y＝f(x)的大致图象如图．
由f(m)<0结合图象可知－1＜m＜0，则0＜m＋1＜1，故f(m＋1)>0.故选C.
类型三　二次函数的最值
　已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[－1，1]上的最大值．
(1)证明：当|a|≥2时，M(a，b)≥2；(2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|＋|b|的最大值．
解：(1)证明：由f(x)＝＋b－，得对称轴为直线x＝－.
由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1，1]上单调，
所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．当a≥2时，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，
得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.当a≤－2时，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，
得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.综上，当|a|≥2时，M(a，b)≥2.
(2)由M(a，b)≤2得|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，
故|a＋b|≤3，|a－b|≤3，由|a|＋|b|＝ 得|a|＋|b|≤3.
当a＝2，b＝－1时，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值为2，
即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值为3.
【点拨】求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”．本题考查含有两个参数的
二次函数的最值问题，属于“动轴定区间”问题，首先根据已知条件判断二次函数对称轴与所给区间
的关系，再依据函数单调性、不等式的性质，结合分类讨论的数学思想进行解答．
　设函数f(x)＝x2－2x－1在区间[t，t＋1]上有最小值g(t)，求g(t)的解析式．
解：f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2.
①当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝－2.
②当t>1时，f(x)在区间[t，t＋1]上是增函数，则最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t－1；
③当t＋1<1，即t<0时，f(x)在区间[t，t＋1]上是减函数，则最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2－2.
∴g(t)＝
类型四　二次方程根的分布
　已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围．
解：(1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，
作出函数f(x)的大致图象，得
　　? ∴－故m的取值范围为.
(2)由抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，作出函数f(x)的大致图象，得
?
∴－【点拨】对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：
(1)根的个数问题，由判别式判断；
(2)正负根问题，由判别式及韦达定理判断；
(3)根的分布问题，依函数与方程思想，
通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解．
　已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0
的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围．
解：由题意知f(1)＝1＋2b＋c＝0，∴c＝－1－2b，
记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c＝x2＋(2b＋1)x－b－1，
则 解得即b∈.因此b的取值范围为.
类型五　二次函数的综合应用
　已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0恒成立；②存在x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0成立.
求实数m的取值范围．
解：当x<1时，g(x)<0，当x>1时，g(x)>0，
当x＝1时，g(x)＝0，故m＝0不符合要求；
当m>0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0时不满足条件①；
当m<0时，如图所示，如果满足条件①，则函数f(x)的两个零点都小于1，如果满足条件②，
则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，
其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，
故m满足或
由第一个不等式组得－4【点拨】解二次函数的综合应用问题时，通常要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间
的密切关系．一般地，如果二次函数的解析式中含有参数，则可对参数进行分类讨论．在本题中，
当m＝0时，f(x)＝0；当m≠0时，参数m的正负决定了f(x)图象的开口方向，故按照m与0的大小
关系进行分类讨论，合理利用二次函数图象，将题设条件转化为二次函数零点的范围问题，从而
列不等式组求解．
　已知函数f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若对于任一实数x0，函数值f(x0)与g(x0)中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(0，2] B．(－2，0)∪(0，2] C．(－2，2] D．(0，＋∞)
解：由题可知函数f(x)的图象过原点，g(x)的图象过定点(0，1)．
①当t＝0时，f(x)恒为0，g(x)＝2x2－4x＋1，Δ＝16－8＞0，g(x)不恒为正，故不合题意；
当t＝2时，f(x)＝2x，g(x)＝－4x＋1，显然符合题意；
当t＞2时，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1，Δ＝4t＋8＞0，对称轴x＝＜0，图象开口向下，
作出g(x)与f(x)的函数图象，由图可知存在x0＜0使得g(x0)＜0且f(x0)＜0，故不合题意；
④当0＜t＜2时，g(x)的图象开口向上，Δ＞0，对称轴x＝＞0，作出g(x)与f(x)的函数图象，由图可知对任一x0∈R，有g(x0)＞0或f(x0)＞0，故符合题意；
当t＜0时，g(x)的图象开口向上，Δ＝4t＋8，对称轴x＝＞0，若Δ＜0，即t＜－2，
则g(x)恒为正，故符合题意；若Δ≥0，即－2≤t＜0，则作出g(x)与f(x)的函数图象，
由图可知存在x0＞0，使得f(x0)＜0且g(x0)≤0，故不合题意．
另解：也可令t取特殊值，利用排除法解答．
综上可得实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(0，2]．故选A.
考点总结：
求二次函数的解析式：利用已知条件求二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，但须根据
不同条件选取适当形式的f(x)，一般规律是：
①已知三个点的坐标时，常用一般式；
②已知抛物线的顶点坐标、对称轴、最大(小)值时，常用顶点式；
③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式更方便．
2．含有参数的二次函数在闭区间上的最值或值域：二次函数在区间[m，n]上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中
含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即
区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住
“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．
3．二次函数的综合应用：解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的结构特点和a，b，c的几何意义，注意一些特殊点的函数值，如f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c等．

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