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12446000109855002020新版上海高一上数学复习卷21—函数的奇偶性
1．奇、偶函数的概念
(1)偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象特征：偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称．
3．具有奇偶性函数的定义域的特点：具有奇偶性函数的定义域关于 ，
即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件．
4．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)：
奇±奇＝ ， 偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，
偶×偶＝ ，奇×偶＝ .
答案：1．(1)f(－x)＝f(x)　(2)f(－x)＝－f(x) 2．y轴　原点
3．原点对称　原点对称　必要不充分 4．奇　偶　偶　偶　奇
　判断下列函数的奇偶性：
(1) false； (2) false；
(3) false； (4) false。
解：(1) 定义域并不关于原点对称，是非奇非偶函数。
(2) 求出false有意义的false的范围false，原式化为false，易知为奇函数。
3147060674370(3) 定义域为false，false，是偶函数。
(4) 解一：①false，则false
false；
②false，则false
false
∴false是奇函数。
解二：利用图像判断其为奇函数。
【注】函数奇偶性的判断：
① 观察定义域是否关于原点对称；
② 观察对定义域内任意的false，是否恒有false或false；
③ 要断定函数是非奇非偶函数，可以从定义域和举反例入手。
【点拨】
(1)判断函数奇偶性的步骤是：
求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；
②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)
是否成立．
(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．
(3)对于含有x的对数式或指数式的函数通常用“f(－x)±f(x)＝0”来判断．
　(1) 已知false是定义在false上的奇函数，当false时表达式为false，
求函数false在false上的表达式。
(2) 设false，false为奇函数，false为偶函数，
且false，求false和false的解析式。
解：(1) 由于其定义域为false，又为奇函数，所以false，
当false时，由于false，再由奇函数定义false，
所以false。
(2) 因为false为奇函数，false为偶函数，
所以，由false可知：false，
再由false，解出：false；false
已知false是定义在false上的奇函数，求实数false、false的值。
解：函数false是false上的奇函数falsefalse，即falsefalsefalse。
由false得，false，
falsefalsefalsefalse对任意false恒成立，必须false，
∴false,false。验证：false时函数定义域为R。
（可增问：false是定义在false上的函数，则false的取值范围？答案：false）
【注】① 若false是奇函数，那么false要么在false处没有定义，要么false。
② false是false为奇函数的必要条件，而false为奇函数，
即false在求false的过程中被验证了。
已知false。
(1) 若false能表示为奇函数false和偶函数false的和，求false和false的解析式；
(2)在（1）的条件下，若false和false在区间false都是减函数，求
实数false的取值范围；(3) 在(2)的条件下，证明不等式：false。
解：(1) 依题意，得false ①
false。
∵false为奇函数，false为偶函数，∴false ②
①-②，得false；①+②，得false。
(2) 由false是减函数，得false。
由false在区间false 上是减函数，
得false。解不等式false，得false。
此时falsefalsefalse，满足false。∴false。
(3) 由false，得false，
构造关于false的函数false。当false时，false。
因为函数false和false在区间false上单调递增，
因此函数false在此区间上单调递增，故false。
已知false是奇函数，且false。
(1) 求实数false，false的值；(2) 判断函数false在false上的单调性，并加以证明。
解：(1) ∵false是奇函数，由定义域中false，从而false。
因此，false，又∵false，∴false，∴false。
(2) false，任取false，则
false。∵false，
∴false，false，false，∴false，∴false在false上是单调增函数。
lefttop(1)false是定义在false上的奇函数，若false，
则falsefalse。
(2) 已知对于任意实数false，函数false满足false。若方程false
有false个实数解，则这false个实数解之和为false。
解： (1)由题意得，falsefalsefalse。
(2)由题意，若实数false满足false，那么一定有false。
即方程false的解以相反数的形式成对出现，且另有一个解为false。

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