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11404600110363002020新版上海高一上数学复习卷23—函数的零点
1．函数的零点：
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．
(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴 ?
函数y＝f(x) ．
由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用
公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，
从而求出方程的根．
2．函数的零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈ ，使得 ，这个c也就是方程
f(x)＝0的根．
3．二次函数零点的分布：
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数
之间的关系如表所示.
根的分布(m＜n＜p且m，n，p均为常数)　
图象
满足的条件
x1＜x2＜m
①
m＜x1＜x2
②
x1＜m＜x2
③f(m)<0.
m＜x1＜x2＜n
④
m＜x1＜n＜x2＜p
⑤
m⑥
只有一根在区间
(m，n)内
⑦ f(m)·f(n)<0.
答案：1．(1)f(x)＝0　实数根　交点的横坐标 (2)有交点　有零点　零点　函数y＝f(x)
2．f(a)·f(b)＜0　(a，b)　(a，b)　f(c)＝0
类型一　判断函数零点所在的区间
　已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)
解：f(x)在(0，＋∞)为减函数，又f(1)＝6＞0，f(2)＝2＞0，f(4)＝－2＝－＜0.故选C.
【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点
存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质
来求．但应注意到：不满足f(a)·f(b)<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．
　函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1，2) B．(2，3) C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞)
解：∵ f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln3－＞0，f(2)＝ln2－1＜0，∴f(2)·f(3)＜0，
∴ f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.
类型二　零点个数的判断
　已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝
则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
解：由题意知，方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数即为函数y＝f(x)与y＝1－g(x)交点个数
及函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)交点个数之和，而y＝1－g(x)＝
作图易知函数y＝f(x)与y＝1－g(x)有两个交点，又y＝－1－g(x)＝
作图易知函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)有两个交点，因此共有4个交点．故填4.
【点拨】
(1)连续函数在区间[a，b]上满足f(a)·f(b)＜0时，函数在(a，b)内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a，b)内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；
(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f(x)＝g(x)的形式，通过考察两个函数图象的
交点个数来求原函数的零点个数；
(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其
变化速度快慢．
　函数f(x)＝的零点个数是________．
解：当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝(舍)或x＝－，
即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，
令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.作出函数y＝lnx与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图象，
易得两函数图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一个零点．
综上可知，函数f(x)的零点个数是2.故填2.
类型三　已知零点情况求参数范围
　已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，
若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
解：函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3，4]
与y＝a的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f(x)在一个周期[0，3)上的图象如图，
可知当0＜a＜时满足题意．故填.
【点拨】
(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；
(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．
　已知函数f(x)＝
函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，1) B．[0，2] C．[－2，2) D．[－1，2)
解：∵f(x)＝∴g(x)＝f(x)－2x＝
方程－x＋2＝0的解为x＝2，方程x2＋3x＋2＝0的解为x＝－1或－2.
若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则 解得－1≤a＜2，
即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D.
【规律总结】
1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．
2．判断函数在给定区间零点的步骤：
(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；
(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；
(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．
除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．
3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，
Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能
确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，
则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．

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