资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
5.3.2
简单的轴对称图形
学案
课题
5.3.2
简单的轴对称图形
单元
第五单元
学科
数学
年级
七年级下册
学习
目标
1、了解线段垂直平分线的有关性质；
2、掌握尺规作线段垂直平分线；
3、应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
重点
探索线段垂直平分线的有关性质．
难点
利用线段垂直平分线的有关性质解决相关实际问题．
导学过程
新知导入
1、什么是轴对称图形？
2、轴对称的性质是什么？
新知学习
探究：如图所示，线段AB是轴对称图形吗？然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O
.你发现了什么？
归纳：线段是________图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条________.
概念：垂直于一条线段，并且________这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称________）
问题：线段还有其它的对称轴吗？
议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？你能证明吗？
归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________.
用数学语言表示为：
因为l⊥________，
AO
=________，
所以
________=BC．
例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
问题：你能说明这样作的道理吗？
试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？
做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.
提示：三角形三条中线的交点叫做三角形的________.
课堂练习
1、下列说法中,不正确的是(　　)
A.线段是轴对称图形
B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴
C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
2、如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为(　　)
A．22厘米
B．16厘米
C．26厘米
D．25厘米
3、如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC＝86°，∠FAE＝19°，则∠C＝______度．
4、如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是(　
　)
A．AE＝BE
B．AD＝AC
C．AD＝BD
D．∠BED＝90°
5、在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
拓展提高
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
知识小结
1．线段是轴对称图形，___________________________是它的一条对称轴．
2．垂直于一条线段，并且______这条线段的直线，叫做这条线段的_____________(简称__________)．
3．线段垂直平分线上的点到这条线段__________的距离________.
课后检测
1．下列说法错误的是（
）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
2．如图，在中，的垂直平分线交于点，如果，，那么的周长是（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
4．如图，△ABC中，AB
=
5，AC
=
6，BC
=
4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_______．
5．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
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（共
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第五章
生活中的轴对称
北师大版
七年级下
5.3.2
简单的轴对称图形
学习目标
1、了解线段垂直平分线的有关性质；
2、掌握尺规作线段垂直平分线；
3、应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
新知导入
1、什么是轴对称图形？
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2、轴对称的性质是什么？
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
新知讲解
探究：如图所示，线段AB是轴对称图形吗？
然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O
.
你发现了什么？
答：线段是轴对称图形．
新知讲解
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）.
线段还有其它的对称轴吗？
新知讲解
议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？
AC＝BC
　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点C
在直线l上．求证：AC
=BC．
解：因为
l⊥AB，
所以
∠COA
=∠COB＝90
°
．
又
AO
=BO，OC
=OC，
所以△COA
≌△COB（SAS）．
所以AC
=BC．
新知讲解
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
用数学语言表示为：
因为l⊥AB，
AO
=BO，
所以
AC
=BC．
新知讲解
例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
（2）作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
?
?
A
B
C
D
作法：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
你能说明这样作的道理吗？
垂直平分线的作图理论依据是等腰三角形的三线合一；而垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等）.
新知讲解
试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？
（2）作直线CD，交AB于点O.
点O就是线段AB的中点．
作法：
（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
?
?
A
B
C
D
新知讲解
　做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.
作法：
（1）作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
（2）作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；
（3）连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.
点O就是△ABC的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
课堂练习
1、下列说法中,不正确的是(　　)
A.线段是轴对称图形
B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴
C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
C
课堂练习
2、如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为(　　)
A．22厘米
B．16厘米
C．26厘米
D．25厘米
A
课堂练习
3、如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC＝86°，∠FAE＝19°，则∠C＝______度．
24
4、如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是(　
　)
A．AE＝BE
B．AD＝AC
C．AD＝BD
D．∠BED＝90°
课堂练习
B
课堂练习
5、在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
解：如图.
∵∠C＝90°，
∠EBC＝40°，
∴∠BEC＝50°.
又
∵ED是AB的中垂线，
∴ED⊥AB，AE＝BE，
∴∠A＝∠EBA，
课堂练习
5、在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
∵∠A＋∠EBA＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEC＝180°，
∴∠BEC＝∠A＋∠EBA.
∴∠BEC＝2∠A＝50°，
∴∠A＝25°，
∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，
∴∠BED＝90°－∠EBA＝90°－25°＝65°.
拓展提高
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
解：∵△ABC的周长为28，
BC＝8且AB＝AC，
∴AB＋AC＋BC＝28，
即2AC＋BC＝28，
∴AC＝10.
拓展提高
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴△BCE的周长为：
BE＋EC＋BC
＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18.
即△BCE的周长是18.
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
1．线段是轴对称图形，___________________________是它的一条对称轴．
2．垂直于一条线段，并且______这条线段的直线，叫做这条线段的_____________(简称__________)．
3．线段垂直平分线上的点到这条线段__________的距离________.
课堂总结
垂直并且平分线段的直线
平分
垂直平分线
中垂线
两个端点
相等
作业布置
教材124--125页
习题5.4第1、2、3题中小学教育资源及组卷应用平台
5.3.2
简单的轴对称图形
学案
课题
5.3.2
简单的轴对称图形
单元
第五单元
学科
数学
年级
七年级下册
学习
目标
1、了解线段垂直平分线的有关性质；
2、掌握尺规作线段垂直平分线；
3、应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．
重点
探索线段垂直平分线的有关性质．
难点
利用线段垂直平分线的有关性质解决相关实际问题．
导学过程
新知导入
1、什么是轴对称图形？
答案：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2、轴对称的性质是什么？
答案：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
新知学习
探究：如图所示，线段AB是轴对称图形吗？然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O
.你发现了什么？
答：线段是轴对称图形．
归纳：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）
问题：线段还有其它的对称轴吗？
答：有，就是这条线段所在的直线
议一议：如图所示，点C是线段AB垂直平分线l上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？你能证明吗？
答案：AC＝BC，成立
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为O，AO=BO，点C
在直线l上．求证：AC
=BC．
解：因为　l⊥AB，
所以
∠COA
=∠COB＝90
°
．
又
AO
=BO，OC
=OC，
所以△COA
≌△COB（SAS）．
所以AC
=BC．
归纳：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
用数学语言表示为：
因为l⊥AB，
AO
=BO，
所以
AC
=BC．
例：利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
作法：（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
（2）作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
问题：你能说明这样作的道理吗？
答案：垂直平分线的作图理论依据是等腰三角形的三线合一；而垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等）
试一试：你能利用尺规作图，找出线段AB的中点吗？
作法：
（1）分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
（2）作直线CD，交AB于点O.
点O就是线段AB的中点．
?
做一做：利用尺规作如图所示△ABC的重心.
作法：
（1）作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
（2）作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；
（3）连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.
点O就是△ABC的重心
提示：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
课堂练习
1、下列说法中,不正确的是(　　)
A.线段是轴对称图形
B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴
C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形
D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
答案：C
2、如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为(　　)
A．22厘米
B．16厘米
C．26厘米
D．25厘米
答案：A
3、如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC＝86°，∠FAE＝19°，则∠C＝______度．
答案：24
4、如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是(　
　)
A．AE＝BE
B．AD＝AC
C．AD＝BD
D．∠BED＝90°
答案：B
5、在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数．
解：如图.
∵∠C＝90°，
∠EBC＝40°，
∴∠BEC＝50°.
又
∵ED是AB的中垂线，
∴ED⊥AB，AE＝BE，
∴∠A＝∠EBA，
∵∠A＋∠EBA＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEC＝180°，
∴∠BEC＝∠A＋∠EBA.
∴∠BEC＝2∠A＝50°，
∴∠A＝25°，
∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，
∴∠BED＝90°－∠EBA＝90°－25°＝65°.
拓展提高
如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长．
解：∵△ABC的周长为28，
BC＝8且AB＝AC，
∴AB＋AC＋BC＝28，
即2AC＋BC＝28，
∴AC＝10.
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴△BCE的周长为：
BE＋EC＋BC
＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18.
即△BCE的周长是18.
知识小结
1．线段是轴对称图形，___________________________是它的一条对称轴．
2．垂直于一条线段，并且______这条线段的直线，叫做这条线段的_____________(简称__________)．
3．线段垂直平分线上的点到这条线段__________的距离________.
答案：1.垂直并且平分线段的直线
2.平分；垂直平分线；中垂线
3.两个端点；相等
课后检测
1．下列说法错误的是（
）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
答案：D
2．如图，在中，的垂直平分线交于点，如果，，那么的周长是（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
答案：C
3．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
答案：D
4．如图，△ABC中，AB
=
5，AC
=
6，BC
=
4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是_______．
答案：10
5．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
解：（1），
，
点E是CD的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
又，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知，，
．
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