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2016-2017学年江苏省宿迁市沭阳县高一上学期期中数学试卷
一、填空题
1．（2016高一上·沭阳期中）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩B=　 　．
【答案】{3}
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={1，2，3}，B={3，4，5}，
∴A∩B={3}，
故答案为：{3}．
【分析】由A，B，求出两集合的交集即可．
2．（2016高一上·沭阳期中）已知幂函数f（x）=k xα的图象过点（ ， ），则k+α=　 　．
【答案】
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由幂函数的定义得k=1，
再将点（ ， ）代入得 =（ ）α，
从而α= ，故k+α= ．
故答案为：
【分析】根据幂函数系数为1，可以求出k的值，又由幂函数f（x）=k xα的图象过点（ ， ），我们将点的坐标代入函数解析式，易求出a值，进而得到k+α的值．
3．（2016高一上·沭阳期中）已知函数y=f（x）在R上为奇函数，当x＞0时，f（x）=3x2﹣9，则f（﹣2）=　 　
【答案】﹣3
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：由题意：函数y=f（x）在R上为奇函数，可得：f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x）．
当x＞0时，f（x）=3x2﹣9，
当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）=3x2﹣9，
∵f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣3x2+9，
故得f（x）在R上解析式为： ，
∵﹣2＜0，
∴f（﹣2）=﹣3（﹣2）2+9=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】根据题意函数y=f（x）在R上为奇函数，可得：f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x）．当x＞0时，f（x）=3x2﹣9，求解f（x）在R上解析式，再求f（﹣2）的值．
4．（2016高一上·沭阳期中）方程2x+（ ）x=2的根为　 　．
【答案】0
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程2x+（ ）x=2，化为：（2x）2﹣2 2x+1=0，解得2x=1，可得x=0．
故答案为：0．
【分析】利用方程求出2x的值，然后求解x的值即可．
5．（2016高一上·沭阳期中）函数y= 的定义域是　 　
【答案】[﹣3，1]
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，
解得：x∈[﹣3，1]，
故答案为：[﹣3，1]
【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．
6．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）= ，则f[f（1）]=　 　
【答案】1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：f（1）=log21=0
f[f（1）]=f（0）=1
故答案为1
【分析】先将x=1代入第一段的解析式求出f（1）；再求出f[f（1）]的值．
7．（2016高一上·沭阳期中）设a=0.32，b=20.5，c=log24，则实数a，b，c的大小关系是　 　．（按从小到大的顺序用不等号连接）
【答案】：a＜b＜c
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由0＜a=0.32＜1，1＜b=20.5＜2，c=log24=2，
可得a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c．
【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，即可判断大小．
8．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）=5x+b的图象经过第一、三、四象限，则实数b的取值范围是　 　．
【答案】b＜﹣1
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵y=5x的图象过（0，1）点，且在第一、第二象限，
∴要使函数f（x）=5x+b的图象经过第一、三、四象限，则b＜﹣1．
故答案为：b＜﹣1．
【分析】由指数函数y=5x的图象过（0，1）点，且在第一、第二象限，结合函数的图象平移得答案．
9．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）=2x+x﹣5，那么方程f（x）=0的解所在区间是（n，n+1），则n=　 　．
【答案】1
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：令f（x）=2x+x﹣5，则 方程2x+x=5的解所在的区间就是函数f（x）=2x+x﹣5的零点所在的区间．
由于f（1）=2+1﹣5=﹣2＜0，f（2）=4+2﹣5=1＞0，
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x﹣5的零点所在的区间为（1，2），
方程f（x）=0的解所在区间是（n，n+1），
∴n=1，
故答案为：1．
【分析】方程2x+x﹣5=0的解所在的区间就是函数f（x）=2x+x﹣5的零点所在的区间，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间，由此可得结论．
10．（2016高一上·沭阳期中）已知指数函数y=ax（a＞1）在区间[﹣1，1]上的最大值比最小值大1，则实数a的值为　 　
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当a＞1时，y=ax在[﹣1，1]上单调递增，
∴当x=﹣1时，y取到最小值a﹣1，当x=1时，y取到最大值a，
∴a﹣a﹣1=1，
解得：a= ，
故答案为： ．
【分析】根据函数的单调性得到关于a的方程，解出即可．
11．（2016高一上·沭阳期中）设lg（4a）+lgb=2lg（a﹣3b），则log3 的值为　 　．
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：lg（4a）+lgb=2lg（a﹣3b），a＞3b＞0
可得4ab=（a﹣3b）2=a2﹣6ab+9b2，
即：a2﹣10ab+9b2=0，即（a﹣b）（a﹣9b）=0，
可得a=b（舍去）或a=9b．
log3 =log39=2．
故答案为：2．
【分析】利用对数运算法则化简已知条件，推出结果即可．
12．（2016高一上·沭阳期中）已知方程x2﹣2mx+4=0的两个实数根均大于1，则实数m的范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：令f（x）=x2﹣2mx+4，
∵方程x2﹣2mx+4=0的两个实数根都大于1，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴实数m的取值范围是 ，
故答案为： ．
【分析】令f（x）=x2﹣2mx+4，利用二次函数的零点与判别式、对称轴及区间端点处的函数值，列出不等式组，求出解集即可得出答案．
13．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）= 在区间（﹣∞，+∞）内是减函数，则a的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；分段函数的应用
【解析】【解答】解：∵函数f（x）= 在区间（﹣∞，+∞）内是减函数，
∴ ，
解得a∈ ．
故答案为：
【分析】若函数f（x）= 在区间（﹣∞，+∞）内是减函数，则 ，解得a的取值范围．
14．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）=|x|﹣x+1，则不等式f（1﹣x2）＞f（1﹣2x）的解集为　 　
【答案】{x|x＞2或x＜﹣1}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意：函数f（x）=|x|﹣x+1，
当x≥0时，f（x）=1，
当x＜0时，f（x）=﹣2x+1．
故得f（x）的解析式为f（x）= ，
∵f（x）=﹣2x+1是减函数，
当x＜0时：∴不等式f（1﹣x2）＞f（1﹣2x）转化为： ，解得：x＞2；
当 时，不等式恒成立．
解得：x＜﹣1．
综上所得：不等式f（1﹣x2）＞f（1﹣2x）的解集为为{x|x＞2或x＜﹣1}．
故答案为：{x|x＞2或x＜﹣1}．
【分析】对x≥0和x＜0进行讨论去掉绝对值，求出f（x）的解析式，利用f（x）的单调性解不等式的即可．
二、解答题
15．（2016高一上·沭阳期中）已知全集U=R，函数f（x）=lg（4﹣x）﹣ 的定义域为集合A，集合B={x|﹣2＜x＜a}．
（1）求集合 UA；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：对于函数 ，
所以 ，解可得﹣1＜x＜4，
即A=（﹣1，4）
所以CUA=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）
（2）解：因为A∪B=B，所以A B
所以a≥4
【知识点】集合间关系的判断；补集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数 的定义域，即可得集合A，进而由补集的定义计算可得答案；（2）因为A∪B=B，所以A B，进而集合包含关系分析可得答案．
16．（2016高一上·沭阳期中）计算：
（1）（2 ） ﹣（﹣9.6）0﹣（3 ） +（1.5）﹣2；
（2）lg5+lg2 lg5+（lg2）2+eln3．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=lg5+（lg2+lg5）lg2+3=lg5+lg2 lg10+3=lg10+3=4
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．
17．（2016高一上·沭阳期中）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式P= t，Q= ．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元），
（1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式；
（2）当对甲种商品投资x（单位：万元）为多少时？总利润y（单位：万元）值最大．
【答案】（1）解： （0≤x≤3）
（2）解：设 ，x=3﹣t2，因为0≤x≤3，所以 ， .
当 时，即 时， ．
答：应甲种商品投资 万元，对乙种商品投资 万元时，总利润最大，最大值为 万元
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域；（2）对于（1）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题．
18．（2016高一上·沭阳期中）已知二次函数t满足f（0）=f（2）=2，f（1）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣1，2]时，求y=f（x）的值域；
（3）设h（x）=f（x）﹣mx在[1，3]上是单调函数，求m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可设f（x）=a（x﹣1）2+1，因为f（0）=2，所以a （0﹣1）2+1=2，
解得：a=1，即f（x）=（x﹣1）2+1
（2）解：因为x∈[﹣1，2]，f（x）在[﹣1，1]为减函数，f（x）在[1，2]为增函数．
当x=1时，ymin=1．
当x=﹣1时，ymax=5．所以y=f（x）的值域是[1，5]
（3）解：因为h（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，
所以 或 ，即m≤0或m≥4．
综上：当m≤0或m≥4，h（x）=f（x）﹣mx在[1，3]上是单调函数
【知识点】函数单调性的判断与证明；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）由题意可设f（x）=a（x﹣1）2+1，代值计算即可，（2）根据二次函数的图象和性质求解即可；（3）根据题意可知对称轴不在区间内即可．
19．（2016高一上·沭阳期中）对于函数f1（x）、f2（x）、h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a f1（x）+bf2（x），那么称h（x）为f1（x）、f2（x）的和谐函数．
（1）已知函数f1（x）=x﹣1，f2（x）=3x+1，h（x）=2x+2，试判断h（x）是否为f1（x）、f2（x）的和谐函数？并说明理由；
（2）已知h（x）为函数f1（x）=log3x，f2（x）=log x的和谐函数，其中a=2，b=1，若方程h（9x）+t h（3x）=0在x∈[3，9]上有解，求实数t的取值范围．
【答案】（1）解：h（x）是f1（x）、f2（x）的和谐函数，因为存在a=﹣1，b=1
使h（x）=﹣f1（x）+f2（x）
设h（x）=af1（x）+bf2（x），则2x+2=a（x﹣1）+b（3x+1），
所以 ，
所以h（x）是f1（x）、f2（x）的和谐函数
（2）解：解法一：依题意，由方程 在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+t log3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，
化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0
设m=log3x，x∈[3，9]，则m∈[1，2]，即 （1+m） t+（t+2）=0
原问题可以转化关于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，
令g（m）=（1+t）m+（t+2）
由题意得：g（1） g（2）≤0，解得 ．
综上：
解法二：log3（9x）+t log3（3x）=0，化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0
因为x∈[3，9]，所以（1+log3x）∈[2，3]，
原式可转化为方程 在x∈[3，9]区间上有解
即求函数 在x∈[3，9]的值域
令 ，因为 2≤1+log3x≤3
由反比例函数性质可得，函数g（x）的值域为
所以实数t的取值范围
【知识点】函数的值；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】（1）h（x）是f1（x）、f2（x）的和谐函数，存在a=﹣1，b=1，设h（x）=af1（x）+bf2（x），利用新定义判断即可．（2）解法一：方程 在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+t log3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，设m=log3x，x∈[3，9]，则m∈[1，2]，原问题可以转化关于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，令g（m）=（1+t）m+（t+2）通过g（1） g（2）≤0，求解即可．（2）解法二：log3（9x）+t log3（3x）=0，化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0，原式可转化为方程 在x∈[3，9]区间上有解，即求函数 在x∈[3，9]的值域，通过分离常数法，求解即可．
20．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）= ，（a＞0）．
（1）当a=2时，证明函数f（x）不是奇函数；
（2）判断函数f（x）的单调性，并利用函数单调性的定义给出证明；
（3）若f（x）是奇函数，且f（x）﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2，2]时恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明：当a=2时，f（x）= ，因为f（1）=0，f（﹣1）=﹣1，
所以f（﹣1）≠﹣f（1），
故f（x）不是奇函数
（2）证明：函数f（x）在R上为单调增函数，
证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =
∵x1＜x2，∴ ＜0，且 ， ，
又∵a＞0，
∴1+a＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上为单调增函数
（3）证明：因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立．
即 + =0对任意x∈R恒成立．
化简整理得 对任意x∈R恒成立．
∴a=1
因为f（x）﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2，2]时恒成立，
令g（x）=f（x）﹣x2+4x，设x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2，
则g（x1）﹣g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）]+（x1﹣x2）（4﹣x1﹣x2），
由（2）可知，f（x1）﹣f（x2）＜0，又（x1﹣x2）（4﹣x1﹣x2）＜0，
所以g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），
故函数g（x）=f（x）﹣x2+4x在x∈[﹣2，2]上是增函数…14分（直接判断出单调性也给分）
所以当x=﹣2时，函数g（x）取最小值﹣ ，
故m≤﹣ ，
因此m的取值范围是（﹣∞，﹣ ]
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）当a=2时，f（x）= ，根据f（﹣1）≠﹣f（1），可得函数f（x）不是奇函数；（2）函数f（x）在R上为单调增函数，取x1＜x2，利用作差法，判断出f（x1）＜f（x2），再由函数单调性的定义，可得结论；（3）若f（x）是奇函数，可得a=1．令g（x）=f（x）﹣x2+4x，判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，进而可得实数m的取值范围．
1 / 12016-2017学年江苏省宿迁市沭阳县高一上学期期中数学试卷
一、填空题
1．（2016高一上·沭阳期中）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩B=　 　．
2．（2016高一上·沭阳期中）已知幂函数f（x）=k xα的图象过点（ ， ），则k+α=　 　．
3．（2016高一上·沭阳期中）已知函数y=f（x）在R上为奇函数，当x＞0时，f（x）=3x2﹣9，则f（﹣2）=　 　
4．（2016高一上·沭阳期中）方程2x+（ ）x=2的根为　 　．
5．（2016高一上·沭阳期中）函数y= 的定义域是　 　
6．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）= ，则f[f（1）]=　 　
7．（2016高一上·沭阳期中）设a=0.32，b=20.5，c=log24，则实数a，b，c的大小关系是　 　．（按从小到大的顺序用不等号连接）
8．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）=5x+b的图象经过第一、三、四象限，则实数b的取值范围是　 　．
9．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）=2x+x﹣5，那么方程f（x）=0的解所在区间是（n，n+1），则n=　 　．
10．（2016高一上·沭阳期中）已知指数函数y=ax（a＞1）在区间[﹣1，1]上的最大值比最小值大1，则实数a的值为　 　
11．（2016高一上·沭阳期中）设lg（4a）+lgb=2lg（a﹣3b），则log3 的值为　 　．
12．（2016高一上·沭阳期中）已知方程x2﹣2mx+4=0的两个实数根均大于1，则实数m的范围是　 　．
13．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）= 在区间（﹣∞，+∞）内是减函数，则a的取值范围是　 　
14．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）=|x|﹣x+1，则不等式f（1﹣x2）＞f（1﹣2x）的解集为　 　
二、解答题
15．（2016高一上·沭阳期中）已知全集U=R，函数f（x）=lg（4﹣x）﹣ 的定义域为集合A，集合B={x|﹣2＜x＜a}．
（1）求集合 UA；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
16．（2016高一上·沭阳期中）计算：
（1）（2 ） ﹣（﹣9.6）0﹣（3 ） +（1.5）﹣2；
（2）lg5+lg2 lg5+（lg2）2+eln3．
17．（2016高一上·沭阳期中）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式P= t，Q= ．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元），
（1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式；
（2）当对甲种商品投资x（单位：万元）为多少时？总利润y（单位：万元）值最大．
18．（2016高一上·沭阳期中）已知二次函数t满足f（0）=f（2）=2，f（1）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣1，2]时，求y=f（x）的值域；
（3）设h（x）=f（x）﹣mx在[1，3]上是单调函数，求m的取值范围．
19．（2016高一上·沭阳期中）对于函数f1（x）、f2（x）、h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a f1（x）+bf2（x），那么称h（x）为f1（x）、f2（x）的和谐函数．
（1）已知函数f1（x）=x﹣1，f2（x）=3x+1，h（x）=2x+2，试判断h（x）是否为f1（x）、f2（x）的和谐函数？并说明理由；
（2）已知h（x）为函数f1（x）=log3x，f2（x）=log x的和谐函数，其中a=2，b=1，若方程h（9x）+t h（3x）=0在x∈[3，9]上有解，求实数t的取值范围．
20．（2016高一上·沭阳期中）已知函数f（x）= ，（a＞0）．
（1）当a=2时，证明函数f（x）不是奇函数；
（2）判断函数f（x）的单调性，并利用函数单调性的定义给出证明；
（3）若f（x）是奇函数，且f（x）﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2，2]时恒成立，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】{3}
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵A={1，2，3}，B={3，4，5}，
∴A∩B={3}，
故答案为：{3}．
【分析】由A，B，求出两集合的交集即可．
2．【答案】
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由幂函数的定义得k=1，
再将点（ ， ）代入得 =（ ）α，
从而α= ，故k+α= ．
故答案为：
【分析】根据幂函数系数为1，可以求出k的值，又由幂函数f（x）=k xα的图象过点（ ， ），我们将点的坐标代入函数解析式，易求出a值，进而得到k+α的值．
3．【答案】﹣3
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：由题意：函数y=f（x）在R上为奇函数，可得：f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x）．
当x＞0时，f（x）=3x2﹣9，
当x＜0时，则﹣x＞0，f（﹣x）=3x2﹣9，
∵f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣3x2+9，
故得f（x）在R上解析式为： ，
∵﹣2＜0，
∴f（﹣2）=﹣3（﹣2）2+9=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】根据题意函数y=f（x）在R上为奇函数，可得：f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x）．当x＞0时，f（x）=3x2﹣9，求解f（x）在R上解析式，再求f（﹣2）的值．
4．【答案】0
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程2x+（ ）x=2，化为：（2x）2﹣2 2x+1=0，解得2x=1，可得x=0．
故答案为：0．
【分析】利用方程求出2x的值，然后求解x的值即可．
5．【答案】[﹣3，1]
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，
解得：x∈[﹣3，1]，
故答案为：[﹣3，1]
【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．
6．【答案】1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：f（1）=log21=0
f[f（1）]=f（0）=1
故答案为1
【分析】先将x=1代入第一段的解析式求出f（1）；再求出f[f（1）]的值．
7．【答案】：a＜b＜c
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由0＜a=0.32＜1，1＜b=20.5＜2，c=log24=2，
可得a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c．
【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，即可判断大小．
8．【答案】b＜﹣1
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：∵y=5x的图象过（0，1）点，且在第一、第二象限，
∴要使函数f（x）=5x+b的图象经过第一、三、四象限，则b＜﹣1．
故答案为：b＜﹣1．
【分析】由指数函数y=5x的图象过（0，1）点，且在第一、第二象限，结合函数的图象平移得答案．
9．【答案】1
【知识点】二分法求函数零点近似值
【解析】【解答】解：令f（x）=2x+x﹣5，则 方程2x+x=5的解所在的区间就是函数f（x）=2x+x﹣5的零点所在的区间．
由于f（1）=2+1﹣5=﹣2＜0，f（2）=4+2﹣5=1＞0，
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x+x﹣5的零点所在的区间为（1，2），
方程f（x）=0的解所在区间是（n，n+1），
∴n=1，
故答案为：1．
【分析】方程2x+x﹣5=0的解所在的区间就是函数f（x）=2x+x﹣5的零点所在的区间，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间，由此可得结论．
10．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当a＞1时，y=ax在[﹣1，1]上单调递增，
∴当x=﹣1时，y取到最小值a﹣1，当x=1时，y取到最大值a，
∴a﹣a﹣1=1，
解得：a= ，
故答案为： ．
【分析】根据函数的单调性得到关于a的方程，解出即可．
11．【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：lg（4a）+lgb=2lg（a﹣3b），a＞3b＞0
可得4ab=（a﹣3b）2=a2﹣6ab+9b2，
即：a2﹣10ab+9b2=0，即（a﹣b）（a﹣9b）=0，
可得a=b（舍去）或a=9b．
log3 =log39=2．
故答案为：2．
【分析】利用对数运算法则化简已知条件，推出结果即可．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：令f（x）=x2﹣2mx+4，
∵方程x2﹣2mx+4=0的两个实数根都大于1，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴实数m的取值范围是 ，
故答案为： ．
【分析】令f（x）=x2﹣2mx+4，利用二次函数的零点与判别式、对称轴及区间端点处的函数值，列出不等式组，求出解集即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；分段函数的应用
【解析】【解答】解：∵函数f（x）= 在区间（﹣∞，+∞）内是减函数，
∴ ，
解得a∈ ．
故答案为：
【分析】若函数f（x）= 在区间（﹣∞，+∞）内是减函数，则 ，解得a的取值范围．
14．【答案】{x|x＞2或x＜﹣1}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意：函数f（x）=|x|﹣x+1，
当x≥0时，f（x）=1，
当x＜0时，f（x）=﹣2x+1．
故得f（x）的解析式为f（x）= ，
∵f（x）=﹣2x+1是减函数，
当x＜0时：∴不等式f（1﹣x2）＞f（1﹣2x）转化为： ，解得：x＞2；
当 时，不等式恒成立．
解得：x＜﹣1．
综上所得：不等式f（1﹣x2）＞f（1﹣2x）的解集为为{x|x＞2或x＜﹣1}．
故答案为：{x|x＞2或x＜﹣1}．
【分析】对x≥0和x＜0进行讨论去掉绝对值，求出f（x）的解析式，利用f（x）的单调性解不等式的即可．
15．【答案】（1）解：对于函数 ，
所以 ，解可得﹣1＜x＜4，
即A=（﹣1，4）
所以CUA=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）
（2）解：因为A∪B=B，所以A B
所以a≥4
【知识点】集合间关系的判断；补集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数 的定义域，即可得集合A，进而由补集的定义计算可得答案；（2）因为A∪B=B，所以A B，进而集合包含关系分析可得答案．
16．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=lg5+（lg2+lg5）lg2+3=lg5+lg2 lg10+3=lg10+3=4
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．
17．【答案】（1）解： （0≤x≤3）
（2）解：设 ，x=3﹣t2，因为0≤x≤3，所以 ， .
当 时，即 时， ．
答：应甲种商品投资 万元，对乙种商品投资 万元时，总利润最大，最大值为 万元
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域；（2）对于（1）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题．
18．【答案】（1）解：由题意可设f（x）=a（x﹣1）2+1，因为f（0）=2，所以a （0﹣1）2+1=2，
解得：a=1，即f（x）=（x﹣1）2+1
（2）解：因为x∈[﹣1，2]，f（x）在[﹣1，1]为减函数，f（x）在[1，2]为增函数．
当x=1时，ymin=1．
当x=﹣1时，ymax=5．所以y=f（x）的值域是[1，5]
（3）解：因为h（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，
所以 或 ，即m≤0或m≥4．
综上：当m≤0或m≥4，h（x）=f（x）﹣mx在[1，3]上是单调函数
【知识点】函数单调性的判断与证明；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）由题意可设f（x）=a（x﹣1）2+1，代值计算即可，（2）根据二次函数的图象和性质求解即可；（3）根据题意可知对称轴不在区间内即可．
19．【答案】（1）解：h（x）是f1（x）、f2（x）的和谐函数，因为存在a=﹣1，b=1
使h（x）=﹣f1（x）+f2（x）
设h（x）=af1（x）+bf2（x），则2x+2=a（x﹣1）+b（3x+1），
所以 ，
所以h（x）是f1（x）、f2（x）的和谐函数
（2）解：解法一：依题意，由方程 在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+t log3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，
化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0
设m=log3x，x∈[3，9]，则m∈[1，2]，即 （1+m） t+（t+2）=0
原问题可以转化关于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，
令g（m）=（1+t）m+（t+2）
由题意得：g（1） g（2）≤0，解得 ．
综上：
解法二：log3（9x）+t log3（3x）=0，化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0
因为x∈[3，9]，所以（1+log3x）∈[2，3]，
原式可转化为方程 在x∈[3，9]区间上有解
即求函数 在x∈[3，9]的值域
令 ，因为 2≤1+log3x≤3
由反比例函数性质可得，函数g（x）的值域为
所以实数t的取值范围
【知识点】函数的值；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】（1）h（x）是f1（x）、f2（x）的和谐函数，存在a=﹣1，b=1，设h（x）=af1（x）+bf2（x），利用新定义判断即可．（2）解法一：方程 在x∈[3，9]上有解，即log3（9x）+t log3（3x）=0在x∈[3，9]上有解，设m=log3x，x∈[3，9]，则m∈[1，2]，原问题可以转化关于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，令g（m）=（1+t）m+（t+2）通过g（1） g（2）≤0，求解即可．（2）解法二：log3（9x）+t log3（3x）=0，化简得：2+log3x+t（1+log3x）=0，原式可转化为方程 在x∈[3，9]区间上有解，即求函数 在x∈[3，9]的值域，通过分离常数法，求解即可．
20．【答案】（1）证明：当a=2时，f（x）= ，因为f（1）=0，f（﹣1）=﹣1，
所以f（﹣1）≠﹣f（1），
故f（x）不是奇函数
（2）证明：函数f（x）在R上为单调增函数，
证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =
∵x1＜x2，∴ ＜0，且 ， ，
又∵a＞0，
∴1+a＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上为单调增函数
（3）证明：因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立．
即 + =0对任意x∈R恒成立．
化简整理得 对任意x∈R恒成立．
∴a=1
因为f（x）﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2，2]时恒成立，
令g（x）=f（x）﹣x2+4x，设x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2，
则g（x1）﹣g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）]+（x1﹣x2）（4﹣x1﹣x2），
由（2）可知，f（x1）﹣f（x2）＜0，又（x1﹣x2）（4﹣x1﹣x2）＜0，
所以g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），
故函数g（x）=f（x）﹣x2+4x在x∈[﹣2，2]上是增函数…14分（直接判断出单调性也给分）
所以当x=﹣2时，函数g（x）取最小值﹣ ，
故m≤﹣ ，
因此m的取值范围是（﹣∞，﹣ ]
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）当a=2时，f（x）= ，根据f（﹣1）≠﹣f（1），可得函数f（x）不是奇函数；（2）函数f（x）在R上为单调增函数，取x1＜x2，利用作差法，判断出f（x1）＜f（x2），再由函数单调性的定义，可得结论；（3）若f（x）是奇函数，可得a=1．令g（x）=f（x）﹣x2+4x，判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，进而可得实数m的取值范围．
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