资源简介

专题一：函数与导数
一．主要数学思想：
分类讨论、形数结合、构建应用、函数与方程等。
常见讨论：就导数的正负、就系数、就判别式、就根的大小、就对称轴的位置，…等等。
构建应用：这里主要是指构建出一个函数，把问题转化为考察函数的性质（如最值）来解决，如参数范围中的变量分离法。多个变数时，可利用拼凑、同除等手段构建成某一整块的函数，如。
函数与方程：方程解的个数、解的范围等，转化为函数图象的交点个数及范围，反之亦然。
二．主要解题思路：
定义域求导导数的正负？列表判断
三．主要题型再现：
（一）选择、填空：
1．若集合，则下列对应中，不是从P到Q的映射是( )
A． B． C． D．
2．对任意的函数，在公共定义域内，规定，若，则的最大值为 。
3．函数的定义域为且,已知为奇函数，当时，,那么当时的递减区间是( )
A. B. C. D.
4．如果一个函数满足：（1）定义域为；（2）任意，若，则；（3）任意，若，则，则可以是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是上的奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
6．对于函数作代换，则不改变函数的值域的代换是( )
A． B． C． D．
7．已知映射其中，对应法则
对于实数，在集合A中不存在原象，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
8．函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
9．设函数为奇函数，，则
A． B．1 C． D．5
10．已知是周期为的周期函数，那么是（ ）
A．周期为的周期函数 B．周期为的周期函数
C．周期为的周期函数 D．不是周期函数
11.设函数是上以3为周期的奇函数，若，则（ ）
A． B．且 C．且 D．
12．设函数在上单调递增，则与的大小关系是
A. B. C. D不能确定
13若在内内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数满足：，则
。
15．若函数是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（二）综合大题：
1．（分式函数型）已知函数
（Ⅰ）当时求函数的最小值；
（Ⅱ）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。
2．（三次函数型）（14分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求证：.
3．（对数函数+一次函数型）（本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）求函数的极值点；
（Ⅱ）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：.
4．（14分）已知（）
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：（，，其中无理数）．
5．设,函数.
(1) 若，求曲线在处的切线方程；
(2) 若无零点,求实数的取值范围；
(3) 若有两个相异零点,求证: .
6．（对数+二次函数型）(本题满分14分) 设函数，其中为常数。
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：对任意不小于的正整数，不等式都成立。
7．（14分）已知函数，，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的值；
（Ⅲ）设（）有两个极值点、 （ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ），
求实数的取值范围，并证明：．
8．（对数+分式型）（本题满分14分）已知函数．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．
9．已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
⑴求实数的值；
⑵若，且对任意恒成立，求的最大值。
10．（对数+对勾型）（本题14分）已知函数R, .
(1) 求函数的单调区间；
(2) 若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值.
11．（乘积型）（本小题满分14分）已知函数，在点处的切线方程是（为自然对数的底）。
（1）求实数的值及的解析式；
（2）若是正数，设，求的最小值；
（3）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
12．（三次函数+对数函数型）设命题：函数在区间上单调递减；命题：函数的值域是．如果命题为真命题，为假命题，求的取值范围．
13．已知函数，直线与的图象相切．
（1）求实数a的值；
（2）若方程上有且仅有两个解；
①求实数b的取值范围； ②比较的大小．
14．（抽象函数型）（14分）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有。
（1）解不等式；
（2）若对所有、恒成立。求实数的取值范围。
参答
（一）
（二）综合大题：
1．（分式型）已知函数
（Ⅰ）当时求函数的最小值；
（Ⅱ）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。
解：（Ⅰ）当a=时,f(x)==x+,x∈[1,+∞)
∵ f(x)在[1,+∞)上单调递增, ∴ 当x=1时f(x)的最小值为.
（Ⅱ）当任意x∈[1,+∞)时，函数f(x)=＞0恒成立不等式x2+2x+a＞0对 x∈[1,+∞)恒成立。
由x2+2x+a＞0，得 a＞－x2－2x，
令g(x)= －x2－2x=－(x+1)2+1 ，则g(x)在 [1,+∞)上递减，
∴当x=1是g(x)最大=－3，因此 ，a＞－3
2．（三次型）（14分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求证：.
（Ⅰ）解：由已知得：. ……………1分
由为偶函数，得为偶函数，
显然有. …2分 又，所以，即.……3分
又因为对一切实数恒成立，
即对一切实数，不等式恒成立. …………4分
显然，当时，不符合题意. …………5分
当时，应满足 注意到 ，解得. …7分 所以. ……8分
（Ⅱ）证明：因为，所以.………9分
要证不等式成立,
即证. …………10分
因为, ………12分
所以.
所以成立. ……………14分
3．（对数函数+一次函数型）（本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）求函数的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：.
解：（1），
…………2分
当 上无极值点 …………3分
当p>0时，令的变化情况如下表：
x (0，)
+ 0 －
↗ 极大值 ↘
从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 ……………7分
（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，
要使恒成立，只需， ∴
∴p的取值范围为[1，+∞ …………………10分
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，
∴ …………11分
∴
…………12分
∴结论成立 …………………14分
（含参单调性讨论）14分）已知（）
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：（，，其中无理数）．
21、【解】（Ⅰ）
当时，由得
∴在单调递增，在单调递减。
当且的判别式，即时，对恒成立。
∴在上单调递减。
当时，由得：
解得：
由可得：或
∴在上单调递增，在上单调递减。
综上所述：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增，
在上单调递减；
当时，在上单调递减。
（Ⅱ）由（Ⅰ）当时，在上单调递减。
当时
∴，即
∴
设,函数.
(1) 若，求曲线在处的切线方程；
(2) 若无零点,求实数的取值范围；
(3) 若有两个相异零点,求证: .
20．（本题满分14分）
解：方法一在区间上,. ……………………1分
（1）当时，，则切线方程为，即 …………3分
（2）①若,则,是区间上的增函数,
,,
,函数在区间有唯一零点. …………6分
②若,有唯一零点. …………7分
③若,令得: .
在区间上, ,函数是增函数;
在区间上, ,函数是减函数;
故在区间上, 的极大值为.
由即,解得:.
故所求实数a的取值范围是. …………9分
方法二、函数无零点方程即在上无实数解 …………4分
令，则
由即得： …………6分
在区间上, ,函数是增函数;
在区间上, ,函数是减函数;
故在区间上, 的极大值为. …………7分
注意到时，；时；时，
故方程在上无实数解.
即所求实数a的取值范围是. …………9分
[注:解法二只说明了的值域是,但并没有证明.
(3) 设
,
原不等式
令,则,于是. …………12分
设函数,
求导得:
故函数是上的增函数,
即不等式成立,故所证不等式成立. ……………………14分
4．（对数+二次函数型）(本题满分14分) 设函数，其中为常数。
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：对任意不小于的正整数，不等式都成立。
解：（1）当时，函数，
此时有惟一极小值点， ……… 3分
则当时，，所以在上为减函数，
当时，，所以在上为增函数。…… 5分
（2）由（1）知时，函数，有惟一极小值点，
且时，，所以在上为减函数。
因为当时，，所以恒有，……8分
即恒有。所以当时恒有成立。…… 10分
令函数，则，
所以当时，，又在处连续，所以时为增函数。…… 12分
因为当时，，所以，即，
所以，
综上可知，当时不等式都成立 ……………… 14分。
（本小题满分14分）(理)设函数，其中
(Ⅰ)当判断在上的单调性．
(Ⅱ)讨论 的极值点．
解：(理)由题设函数定义域是，…………………………………………1分
函数………………①
………………………………………………２分
(Ⅰ)．当时，①式的的，
，又
　　　　　………………………………………………４分
在上的单调递增． ………………………………………………５分
(Ⅱ)．
当时，由(Ⅰ)知，
在上的单调递增，故无极值点．……………………………７分
当时，由解得，此时
当或时，
当时，
………………………………………………８分
当时，，，
时，，
，
在上单减，在上单增，
为极小值点，无极大值点．………………………………１０分
当时，，，
当或时，
时，
在上单减，在和上单增，
为极大值点，为极小值点．……………１２分
综上，时，为极小值点，无极大值点；时，为极大值点，为极小值点；时，无极值点．　　　　　　　　　　　　　　………………………………………………１４分
5．（对数+分式型）（本题满分14分）已知函数．
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．
（本题满分14分）解：（1）∵，∴．
∵在上是增函数，
∴≥0在上恒成立，即≤在上恒成立．
令，则≤．
∵在上是增函数，∴．∴≤1．所以实数的取值范围为．
（2）由（1）得，．
①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．
所以，解得（舍去）．
②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数．
所以，解得（舍去）．
③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．
所以，所以．
综上所述，．
已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
⑴求实数的值；
⑵若，且对任意恒成立，求的最大值。
21.（1）解：因为，所以．
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
所以，即．
所以．
（2）解：由（1）知，，
所以对任意恒成立，即对任意恒成立．
令，
则，
令，
则，
所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以
．
所以．
故整数的最大值是3．
6．（14分）已知函数，，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的值；
（Ⅲ）设（）有两个极值点、 （ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ），
求实数的取值范围，并证明：．
（14分）解：（Ⅰ）G(x) , HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4
在上递减，在上递增
………………………3分
（Ⅱ）
所以 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 的必要条件是，得 HYPERLINK "http://www." ………………………5分
当时，由(1)知恒成立。 所以 ……………6分
（Ⅲ），
，有两个极值点、等价于
方程在上有两个不等的正根
得 ………………………9分
（方法1）由得， （）
设，
得， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
所以 ……………………14分
（方法2）由得，又
所以
得
所以
所以 ………………………………………14分
7．（对数+对勾型）（本小题满分14分）
已知函数R, .
(1) 求函数的单调区间；
(2) 若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值.
(1)解: 函数的定义域为.
∴.
① 当, 即时, 得,则.
∴函数在上单调递增. ……2分
② 当, 即时, 令 得,
解得.
(ⅰ) 若, 则.
∵, ∴,∴函数在上单调递增. …… 4分
(ⅱ)若,则时, ;
时, ,
∴函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增.
综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为; …… 6分
当时, 的减区间为, 增区间为. … 8分
(2) 解: 由, 得, 化为.
令, 则.令, 得.
当时, ; 当时, .
∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
∴当时, 函数取得最大值, 其值为. …… 10分
而函数,
当时, 函数取得最小值, 其值为. …… 12分
∴ 当, 即时, 方程只有一个根. …… 14分
(本题满分14分) 设函数，其中为常数。
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）证明：对任意不小于的正整数，不等式都成立。
解：（1）当时，函数，
此时有惟一极小值点， ……… 3分
则当时，，所以在上为减函数，
当时，，所以在上为增函数。…… 5分
（2）由（1）知时，函数，有惟一极小值点，
且时，，所以在上为减函数。
因为当时，，所以恒有，……8分
即恒有。所以当时恒有成立。…… 10分
令函数，则，
所以当时，，又在处连续，所以时为增函数。…… 12分
因为当时，，所以，即，
所以，
综上可知，当时不等式都成立 ……………… 14分。
（本小题满分14分）已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。
（1）求实数的值及的解析式；
（2）若是正数，设，求的最小值；
（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
（本小题满分14分）解：（1）依题意有……1分
；……3分
故实数……4分
（2）， 的定义域为；……………5分
……………6分
……………8分
增函数减函数
……………10分
（3）
由(2)知
…………11分
对一切恒成立
…………13分
故实数的取值范围.…………14分
8．（本小题满分14分）已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。
（1）求实数的值及的解析式；
（2）若是正数，设，求的最小值；
（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
（本小题满分14分）解：（1）依题意有……1分
；……3分
故实数……4分
（2）， 的定义域为；……………5分
……………6分
……………8分
增函数减函数
……………10分
（3）
由(2)知
…………11分
对一切恒成立
…………13分
故实数的取值范围.…………14分
（三次函数+对数函数）设命题：函数在区间上单调递减；命题：函数的值域是．如果命题为真命题，为假命题，求的取值范围．
16、解：
　 　　　　　　　　
由题意P和q有且只有一个是真命题
综上所述：　　　　　　　　　
（三次函数+对数函数）已知函数，直线与的图象相切．
（1）求实数a的值；
（2）若方程上有且仅有两个解；
①求实数b的取值范围； ②比较的大小．
20、解：（1）设切点，
（2）令
则有
已知，
上递增.
①依题意有： 解得
②依题意有
（抽象函数）（14分）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有。
（1）解不等式；
（2）若对所有、恒成立。求实数的取值范围。
19、解：（1）任取，且，则（4分）
，，（5分）
即不等式的解集为（7分）
（2）由于，，。
即：。
所以。10分
把由
（13分）
（14分）
（本小题满分14分）已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。
（1）求实数的值及的解析式；
（2）若是正数，设，求的最小值；
（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
（本小题满分14分）解：（1）依题意有……1分
；……3分
故实数……4分
（2）， 的定义域为；……………5分
……………6分
……………8分
增函数减函数
……………10分
（3）
由(2)知
…………11分
对一切恒成立
…………13分
故实数的取值范围.…………14分

展开更多......

收起↑