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第五节
共点力平衡
一、共点力作用下的物体平衡
1.平衡状态：①
静止不动；②
匀速直线运动
2.平衡条件：物体所受合力为，即
二、正交分解法解决共点力平衡
正交分解法是解决共点力平衡问题最常用的方法，通过建立直角坐标系，将不在坐标轴上的力分解到相互垂直的方向，沿坐标轴的两个方向书写对应的平衡方程，将共点力平衡问题转化为基础的数学问题，既可以定性分析，也可以进行定量计算。
【示例】倾角为的斜面固定在水平面上，质量为的物块在斜面上匀速下滑，求物块与斜面之间的动摩擦因数。
【分析】
物块沿斜面匀速下滑，所受合力为0，通过正交分解的方式建立平衡方程，进而求解相关的物理量。为了能够尽可能少分解力，所以在建立直角坐标系时尽量使更多力落在坐标轴上。
和相互垂直，所以沿斜面和垂直斜面建立直角坐标系，如图所示。
沿斜面方向
垂直于斜面方向
滑动摩擦力满足
联立方程可得
解得
【例20】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受的支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，则下列关系正确的是（　　）
A．F＝
B．F＝mgtanθ
C．FN＝
D．FN＝mgtanθ
【答案】A
【解析】
滑块的受力情况如图所示
由平衡条件可得FNsinθ＝mg，FNcosθ＝F
联立解得FN＝，F＝，故只有A正确。
【训练54】（多选）如图所示，质量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面上，m2在空中)，力F与水平方向成θ角。则下列关于m1所受的支持力FN和摩擦力Ff，正确的是（　　）
A．FN＝m1g＋m2g－Fsinθ
B．FN＝m1g＋m2g－Fcosθ
C．Ff＝Fcosθ
D．Ff＝Fsinθ
【答案】AC
【解析】
因为本题中两个物体和轻弹簧一起做匀速直线运动，所受合力为零，将两个物体和轻弹簧看成一个整体并进行受力分析，如图所示
由正交分解法可知，在水平方向有Ff＝Fcosθ，竖直方向有FN＋Fsinθ＝m1g＋m2g，所以Ff＝Fcosθ，FN＝m1g＋m2g－Fsinθ，A、C正确。
【训练55】（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态。若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则（　　）
A．B对墙的压力减小
B．A与B之间的作用力增大
C．地面对A的摩擦力减小
D．A对地面的压力不变
【答案】ACD
【解析】
对球B受力分析，如图所示，
物体A对球B的支持力为F1，竖直墙对球B的弹力为F2，F1与竖直方向的夹角θ因物体A右移而减小。由平衡条件得：F1cosθ＝mBg，F1sinθ＝F2，解得F1＝，F2＝mBgtanθ，θ减小，F1减小，F2减小，A正确，B错误；对A、B整体受力分析可知，竖直方向，地面对整体的支持力FN＝(mA＋mB)g，与θ无关，即A对地面的压力不变，D正确；水平方向，地面对A的摩擦力Ff＝F2，因F2减小，故Ff减小，C正确。
【训练56】如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50
N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力大小．
【答案】50(－1)
N　25(－)
N
【解析】
以C为原点建立直角坐标系，设x轴水平，y轴竖直
在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力，即
FACx＝FACsin
30°＝FAC
FACy＝FACcos
30°＝FAC
FBCx＝FBCsin
45°＝FBC
FBCy＝FBCcos
45°＝FBC
在x轴上，FACx与FBCx大小相等，即FAC＝FBC①
在y轴上，FACy与FBCy的合力与重力大小相等，
即FAC＋FBC＝50
N②
由①②两式解得
绳BC的拉力FBC＝25(－)
N
绳AC的拉力FAC＝50(－1)
N.
【训练57】两个大人和一个小孩拉一条船沿河岸前进。两个大人对船的拉力分别是F1和F2，其大小和方向如图所示。今欲使船沿河中心线行驶，求小孩对船施加的最小拉力的大小和方向。
【答案】186.4
N　垂直于河中心线指向F2
【解析】
根据题意建立如图所示的直角坐标系。则有
F1y＝F1·sin60°＝200
N，
F2y＝F2·sin30°＝160
N，
欲使船沿河中心线行驶，y轴方向需受力平衡，所以当小孩对船施加的拉力方向沿y轴负方向时其大小最小，此时，
F＝F1y－F2y＝(200－160)
N≈186.4
N。
方向为垂直于河中心线指向F2(海岸)一侧。
三、力的合成法解决共点力平衡
我们在数学的平面几何中，最常见、最熟练的便是解三角形，所以力的合成法常用于三个共点力平衡的情形，通过三角形的边角关系解决共点力平衡。
【示例】甲图中的轻杆通过铰链固定在竖直墙上，两根轻绳系于点，下悬挂一重物质量为，上绳与水平杆的夹角为，求结点对杆的作用力；乙图中的水平轻杆左端固定在竖直墙壁上，一根轻绳跨过轻杆下悬挂一质量为的重物，求结点对轻杆的作用力。
【分析】
甲图中，轻杆通过铰链固定在墙上，轻杆上产生的作用力一定沿杆，否则轻杆就会转动；乙图中，轻杆固定在墙上，杆产生的作用力可能沿杆，也可能不沿杆。
对甲图中的点
轻杆对结点的作用力为
根据牛顿第三定律可知结点对杆的作用力为
对乙图中的结点
同一根绳上的作用力处处相等，所以绳子上的拉力，三个力首尾相接合成后构成等边三角形，所以结点对轻杆的作用力为，根据牛顿第三定律可知杆对结点的作用力大小为。
【例21】如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．图甲中BC对滑轮的作用力为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶m2
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
【答案】D
【解析】
图甲中绳跨过滑轮，与滑轮接触的点是“动点”，也称为“活结”，绳上拉力大小处处相等，两段绳的拉力都是m1g，互成120°角，因此合力的大小是m1g，故BC对滑轮的作用力大小也是m1g(方向与竖直方向成60°角斜向右上方)，A错误；图乙中绳与杆的端点连在一起，杆的端点与绳接触的点是“静点”，也称为“死结”，两段绳上的拉力不一定相等，此时，杆对G点的弹力方向沿杆，由力的平衡条件可得HG杆受到绳的作用力为m2g，B错误；图乙中FEGsin30°＝m2g，得FEG＝2m2g，故＝，C错误，D正确。
【训练58】如图，一不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于O′点的固定光滑轴悬挂一质量为M的物体；OO′段水平，长度为L；绳子上套一可沿绳滑动的轻环．现在轻环上悬挂一钩码，平衡后，物体上升L，则钩码的质量为（　　）
A.M
B.M
C.M
D.M
【解析】
重新平衡后，绳子形状如图
由几何关系知：绳子与竖直方向夹角为30°，则环两边绳子的夹角为60°，根据平行四边形定则，环两边绳子拉力的合力为Mg，根据平衡条件，则钩码的质量为M，故选项D正确．
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共点力平衡
一、共点力作用下的物体平衡
1.平衡状态：①
静止不动；②
匀速直线运动
2.平衡条件：物体所受合力为，即
二、正交分解法解决共点力平衡
正交分解法是解决共点力平衡问题最常用的方法，通过建立直角坐标系，将不在坐标轴上的力分解到相互垂直的方向，沿坐标轴的两个方向书写对应的平衡方程，将共点力平衡问题转化为基础的数学问题，既可以定性分析，也可以进行定量计算。
【示例】倾角为的斜面固定在水平面上，质量为的物块在斜面上匀速下滑，求物块与斜面之间的动摩擦因数。
【分析】
物块沿斜面匀速下滑，所受合力为0，通过正交分解的方式建立平衡方程，进而求解相关的物理量。为了能够尽可能少分解力，所以在建立直角坐标系时尽量使更多力落在坐标轴上。
和相互垂直，所以沿斜面和垂直斜面建立直角坐标系，如图所示。
沿斜面方向
垂直于斜面方向
滑动摩擦力满足
联立方程可得
解得
【例20】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受的支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，则下列关系正确的是（　　）
A．F＝
B．F＝mgtanθ
C．FN＝
D．FN＝mgtanθ
【训练54】（多选）如图所示，质量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面上，m2在空中)，力F与水平方向成θ角。则下列关于m1所受的支持力FN和摩擦力Ff，正确的是（　　）
A．FN＝m1g＋m2g－Fsinθ
B．FN＝m1g＋m2g－Fcosθ
C．Ff＝Fcosθ
D．Ff＝Fsinθ
【训练55】（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态。若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则（　　）
A．B对墙的压力减小
B．A与B之间的作用力增大
C．地面对A的摩擦力减小
D．A对地面的压力不变
【训练56】如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50
N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力大小．
【训练57】两个大人和一个小孩拉一条船沿河岸前进。两个大人对船的拉力分别是F1和F2，其大小和方向如图所示。今欲使船沿河中心线行驶，求小孩对船施加的最小拉力的大小和方向。
三、力的合成法解决共点力平衡
我们在数学的平面几何中，最常见、最熟练的便是解三角形，所以力的合成法常用于三个共点力平衡的情形，通过三角形的边角关系解决共点力平衡。
【示例】甲图中的轻杆通过铰链固定在竖直墙上，两根轻绳系于点，下悬挂一重物质量为，上绳与水平杆的夹角为，求结点对杆的作用力；乙图中的水平轻杆左端固定在竖直墙壁上，一根轻绳跨过轻杆下悬挂一质量为的重物，求结点对轻杆的作用力。
【分析】
甲图中，轻杆通过铰链固定在墙上，轻杆上产生的作用力一定沿杆，否则轻杆就会转动；乙图中，轻杆固定在墙上，杆产生的作用力可能沿杆，也可能不沿杆。
对甲图中的点
轻杆对结点的作用力为
根据牛顿第三定律可知结点对杆的作用力为
对乙图中的结点
同一根绳上的作用力处处相等，所以绳子上的拉力，三个力首尾相接合成后构成等边三角形，所以结点对轻杆的作用力为，根据牛顿第三定律可知杆对结点的作用力大小为。
【例21】如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．图甲中BC对滑轮的作用力为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶m2
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
【训练58】如图，一不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于O′点的固定光滑轴悬挂一质量为M的物体；OO′段水平，长度为L；绳子上套一可沿绳滑动的轻环．现在轻环上悬挂一钩码，平衡后，物体上升L，则钩码的质量为（　　）
A.M
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C.M
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